CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12CÔNG THỨC TỌA DỘ 12
Trang 1HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Các r r ri j k; ;
lần lượt là các vecto đơn vị của Ox, Oy, Oz (ri = =rj kr = 1)
2.Tọa độ vecto
M x y z ⇔OMuuuur=x i y j zkr+ r+ r
0r= 0;0;0
-Cộng 2vecto: ar
+ br
= (x x y y z z+ '; + '; + ')
- Trừ 2vecto: ar
- br
= (x x y y z z− '; − '; − ')
- Nhân vecto với 1 số: k ar
= (kx ky kz; ; )
-Hai vecto bằng nhau: ar
' '
x x
z z
=
⇔ =
=
4 Độ dài của một vecto Cho ar=(x y z; ; ) Có ar = x2 +y2 +z2
br
= x.x’+y.y’+z.z’
• ar
⊥ br
⇔ ar br= 0 ⇔x.x’+y.y’+z.z’= 0
6 Tích có hướng của 2 vecto
' ' ' ' ' '
r r
a br r; ⊥ ar và a br r; ⊥ br
Độ dài của tích có hướng :a br r; = a br r .sin ;( )a br r
và br
cùng phương ⇔ ∃k sao cho x' y' z' k
x = y = z = (với br r≠0)
• PP2: ar
và br
cùng phương ⇔ a br r, = 0r(với br r≠ 0)
• 0 r
cùng phương với mọi vecto
; br
; cr
đồng phẳng ⇔a b cr r r; =0
9 Điểm đặc biệt Cho 3 điểm A(x y z A; A; A) và B(x y z B; B; B) ; C(x y z C; C; C)
1. uuurAB=(x B −x y A; B−y z A; B−z A)
uuur
3 Tọa độ trung điêm M của AB là
B A B A B A
x +x y +y z +z
4 Tọa độ trọng tâm G của ∆ABC là G=
B A C B A C B A C
x +x +x y +y +y z + +z z
Trang 210 Góc
• Góc giữa hai đường thẳng: os ;( ) .
.
a b
a b
=
r r
r r
r r
• Góc giữa đt và mp : sin .
.
u n
u n
α =
r r
r r
11 Diện tích, thể tích
1. Tính diện tích ∆ABC : S=1
2 uuur uuurAB AC;
2. Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng ta có
6
ABCD
V = AB AC AD
uuur uuur uuur
3. Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là
; '
ABCD
V = AB AD AA
uuur uuur uuur
( )
0 ; Ax 2 By2 Cz2
d M
+ +
• Khoảng cách từ điểm M0(x y z0 ; ; 0 0) đến đt ∆ là ( ) 0
0
,
d M
u
∆ =
uuuuur r
r Với M ∈∆; ur
là VTCP
• Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau là ( ') , ' '
;
, '
u u MM d
u u
∆ ∆ =
r ur uuuuur
r ur
Với M ∈∆; ur
là VTCP của ∆
Với M’ ∈∆ '; ur '
là VTCP của ∆ '
•
Trang 3BÀI TÂP
1 Xác định tọa độ điểm: Sử dụng các công thức + pt mặt phẳng+ pt mặt cầu+ pt đường
thẳng
- Tọa độ các đỉnh của tam giác, tứ giác
- Tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác,
- Tọa độ điểm đối xứng
- Tọa độ điểm là hình chiếu của 1 điểm
- Tọa độ điểm cách đều 2 điểm, 3 điểm ,
- Một số bài toán khác,
2 PT mặt cầu :
x a− + −x b + −x c =r
x +y + +z ax+ by+ cz d+ = là ptmc khi a2 + + >b2 c2 d Khi đó
mc có tâm I (-a;-b;-c) và bk r = a2 + + −b2 c2 d
- Lập pt mc biết tâm và BK
- Lập pt mc biết đi qua 2 điểm
- Lập pt mc biết tâm và điều kiện tiếp xúc
- Lập pt mc biết các yếu tố khác :
3 PT mặt phẳng
0
A +B +C ≠ )
• PT MP ( )α đi qua điểm M(x y z0 ; ; 0 0) và có VTPT nr =(A B C; ; ) có dạng là:
A(x x− 0)+ B( y y− 0)+ C(z z− 0) = 0
Trang 4- Lập pt mp biêt đi qua 1 điểm và vuông góc với đt
- Lập pt mp biết đi qua 3 điểm
- Lập pt mp biết đi qua 1 điểm và vuông góc với 2mp
- Lập pt mp biết đi qua 1 điểm và song song mp
- Lập pt mp biết đi qua 2 điểm và vuông góc với mp
- Lập pt mp biết các yếu khác