chương 1 biến cố và xác suất của biến cố

Không gian các biến cô sơ cấp 1.1 Phép thử ngẫu nhiên - Phép thư là việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó xảy ra hay không.. - Phép thử ngâu nhi

Trang 1

Bài giảng: Xác suất và Thống kê GV: Tôn Thất Tú

Chương 1 BIẾN CÓ VÀ XÁC SUÁT CỦA BIEN CO

Bail: KIEN THUC VE GIẢI TÍCH TÔ HỢP

- Số cách chọn k phần tử (khác nhau và không thứ tự) trong tập n phần tử:

- Quy tắc nhân: Quá trình M được thực hiện qua m giai đoạn liên tiếp:

+ Giai đoạn 1: c6 n, cach thực hiện

+ Giai đoạn 2: có ø, cách thực hiện

+ Giai đoạn m: có 0ø„ cách thực hiện

Trang 2

a) có tất cả bao nhiêu cách đề lên

b) có tất cả bao nhiêu cách lên đề toa 1 có 4 khách

e) có tất cả bao nhiêu cách lên đề có 2 toa có 3 khách

Sc

về :

I0“?

ĐS: )3” 8)GL2 ` ace

Bài 2: KHÁI NIỆM VẺ XÁC SUÁT

1 Không gian các biến cô sơ cấp

1.1 Phép thử ngẫu nhiên

- Phép thư là việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó xảy ra hay không

- Phép thử ngâu nhiên là thuật ngữ dùng đề chỉ những phép thử nghiệm mà ta

có thê tiễn hành lặp lại nhiều lần trong những điều kiện hoàn toàn như nhau nhưng

kết quả của mỗi phép thử thì ta không thê đoán trước được

Ví dụ Ï:

+ Gieo một con xúc xắc, một đồng xu là các phép thử ngẫu nhiên vì mặt nào

sẽ xuất hiện là điều ta không thê đoán được

+ Rút ngẫu nhiên 1 quân bài từ bộ bài gom 52 quân bài

+ Ðo chiều cao của một người gặp ngẫu nhiên trên đường

+ Kiểm tra lượng xăng bán ra ở một trạm xăng vào 2 ngày cuối tuần

1.2 Biến cô ngẫu nhiên và không gian biến cỗ sơ cấp

- Biến cố ngau nhiên là thuật ngữ chỉ những sự vật, sự việc, hiện tượng có thể xảy ra hay không xảy ra trong phép thử ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi các chữ cái In hoa như A B

Trang 2

Trang 3

- Khi các kết quả nào đó xảy ra kéo theo sự xảy ra của biến có A thì ta bảo đó

là các kết quả thuận lợi cho biễn cô A Số kết quả thuận lợi cho biến có A kí hiệu là n(A)

- Mỗi biến có A được xem là xảy ra nếu có ít nhất I kết quả thuận lợi xảy ra Lưu ý: Môi biến có được xem như đồng nhất với tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi của nó

Ví dụ 2: Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi A là biến

cô "xuất hiện mặt có số chăn chấm" Khi đó các kết cục “xuất hiện mặt 2 chấm, 4 chấm, 6 chấm” là các kết cục thuận lợi cho biến có A và n(A)=3

- Tập tất cả các kết quả xảy ra trong một phép thử ngẫu nhiên được gọi là

không gian các biến cô sơ cấp hay không gian mâu và kí hiệu là © Mỗi phần tử

œc © được gọi là một biến cố sơ cấp Mỗi tập con A của không gian mẫu © được gọi là một biến có

Ví dụ 3:

+ Xét phép thử gieo 1 đồng xu 2 lần liên tiếp Gọi A là biến có “số lần xuất

hiện mặt sap bang số lần xuất hiện mặt ngửa” Lúc đó: Q={SS,SN,NS,NN} va

A={SN,NS}

+ Xét phép thu gieo déng thoi 2 con xtic xac Goi B 1a bién cô “tông sô châm 0s

xuất hiện băng 8” Lúc đó: @={Œ j).1<¡ j<6} và 8={(2.6).(3.5).(4.4).(5.3).(6.2)} + Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên từ 1 đến 10 Gọi C là biến có chọn được số

nguyên tố Lúc đó: @= {1.2 10} và C= {2.3.5.7}

Các biến có đặc biệt:

- Biến có chắc chắn kí hiệu © là biến có luôn xảy ra khi thực hiện phép thử

- Biến có không thể kí hiệu Ø là biên cô nhất định không xảy ra khi thực hiện

phép thử

Ví dụ 4: Gieo ngẫu nhiên 1 lần 2 con xúc xắc Biến cô "tông số chấm xuất hiện

ở 2 con xúc xăc lớn hơn L2" là biên cô không thê Tuy nhiên hiện tượng "tông sô

Trang 3

Trang 4

cham xuất hiện ở 2 con xúc xắc lớn hơn I" luôn xảy ra, hay nói cách khác, nó là

biến có chắc chăn

1.3 Mối quan hệ giữa các biến cỗ

- Quan hệ bao hàm (kéo theo): Biến có A được gọi là kéo theo biến có B (kí hiệu Ac Ø) nếu sự xảy ra của A kéo theo sự xảy ra của B

- Quan hệ băng nhau: Hai biến có A và B được gọi là bảng nhau nếu Ac B và

BEA

- Quan hệ xung khắc: Hai biến có A và B được gọi là xưng khắc với nhau nêu hai biến cố này không thê xuất hiện đồng thời

1.4 Các pháp toán trên biến cố

- Biến cô tổng : Tổng (hop) cua hai bién co A va B (ki hiéu AUB) 1a bién c6

mà nó xảy ra khi ít nhất một trong hai biên có A và B xảy ra

- Biển có tích: Tích (giao) cua hai biến cố A và B (ki hiệu An hay A8) là

biến cô mà nó xảy ra khi đồng thời cả hai biến có A và B xảy ra

- Biến có hiệu: Hiệu của hai biến có A và B (kí hiệu A\v8) là biến cố mà nó

xảy ra khi biến cô A xảy ra và B không xảy ra

- Biến có đối của biến cô A là biến có, kí hiệu A sao cho trong mỗi phép thử xảy ra một trong hai biến có A hay 4 nhưng chúng không thê đồng thời xảy ra

Nhận xét:

- Nếu A là biến có đối của B thì B cũng là biến có đối của A

- Hai biến có đối nhau thì xung khắc nhưng điều ngược lại nói chung là không

đúng

- A=Q\A

- A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu A¬=Ø

Ví dụ 5: Gieo mot đồng xu Lúc đó hai biến cố "xuất hiện mặt sap" và "xuất hiện mặt ngửa" là xung khắc nhau và là biến có đối của nhau

Vi du 6: Gieo 1 con xúc xắc Gọi A B là các biến cố: “số chấm xuất hiện là 2

và Š” tương ứng Khi đó A và B xung khăc với nhau nhưng AB

Trang 4

Trang 5

Ví dụ 7: Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc xắc Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện là số lẻ”, B là biến có “tông số châm xuất hiện >6” Khi đó:

AB: là biến có “tổng số chấm bằng 7, 9 hoặc II”

AUB: là biến có “tổng số chấm lẻ hoặc >6”

A\øØ: là biến có “tổng số chấm bang 3 hoặc 5”

B\A: là biến cố “tổng số cham bằng 6, 8, 10 hoặc 12”

Ví dụ §: Có 2 xạ thủ mỗi người bắn l viên đạn vào mục tiêu Gọi A và B

tương ứng là các biến cố: “người thứ nhất và thứ hai bắn trúng mục tiêu” tương

ứnø Khi đó ta có biêu điện các biên cô như Sau: 0s

- C6 dan tring dich: AUB

- _ Có đúng | vién dan tring dich: ABU AB

2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển

Xét biến cố A trong không gian Q Giả sử phép thử có n(©) kết cục đồng khả năng, trong đó có m(A) kết cục thuận lợi cho biến có A Lúc đó xác suất của biến cố

A kí hiệu P(A) được định nghĩa bằng công thức:

_ H(A)

P(A)= ‘ n(Q)

Từ định nghĩa, ta có tính chất cơ bản sau:

(1) P(@)=0, P(Q)=1

(ii) 0< P(A)<1 với mọi biến cô A

Ví dụ I: Trong một hộp có 6 bi đen và 4 bi trăng Lấy ngẫu nhiên một viên Tìm xác suât lây được viên bi trang

Trang 5

Trang 6

Bài giảng: Xác suất và Thông kê GV: Tôn Thất Tú

Ví dụ 3: Một chiếc lồng nuôi các con chuột trong đó có đúng 2 con chuột

trăng Người ta chọn ngẫu nhiên 4 con chuột từ chiếc lồng đó Hỏi trong lồng có bao nhiêu con chuột ? Biết rằng xác suất chọn được 2 con chuột trắng bằng 2 lần xác suất chúng không được chọn

GIải:

Gọi ø là số chuột có trong chiếc lông (a>4), A là biến cô trong 4 con chuột

được chọn có 2 con chuột trăng

Số trường hợp thuận lợi:

—= = n(A) 1 c = (n 2)(n 3)

Trang 7

a) Mỗi người có đúng một quả hỏng

b) Có đúng l người có 2 qua hong

Giai:

Số kết cục đồng khả năng ø(Q) =CjC‡C)

a) Gọi A là biến có mỗi người có đúng một quả hỏng

Số cách chia quả hỏng cho 3 người: 3'!

Số cách chia 9 quả không hỏng cho 3 người: CỷC‡C}

Suy ra số kết cục thuận lợi cho biến có A: n(A)=3!C}Cÿ¿C)

(ii) Định nghĩa theo quan điểm cô điền sẽ không thề áp dụng được nếu các kết

quả trong phép thử có khả năng xuất hiện khác nhau hoặc số lượng kết quả của phép thử là vô hạn

2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

Trang 7

Trang 8

xác suất của biến cô A

Vì thế, trong thực tế khi số phép thử n lớn, ta có thê xem tần suất f như là xác suất của hiện tượng A

Ví dụ 5: Dé nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sắp khi tung một đồng xu người ta tiên hành tung nhiêu lân và được bảng kêt quả sau:

2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Bây giờ chúng ta xét vấn đề tính xác suất khi không gian mẫu cũng như các biến có liên quan có thê biều diễn dưới dạng các miền hình học Cụ thé, cho Q IA

miền đo được (trên đường thăng, trong mặt phăng trong không gian 3 chiều ) va

S là một miền con của nó Lấy M là một điểm trong miền © Kí hiệu A là biến cố

"điểm M thuộc miền S" Khi đó xác suất của biến có A được định nghĩa là:

_ Jnes(S)

P(A) mes(Q) Ặ

trong đó kí hiệu mes(X) sé 1a:

- độ dài nếu Q là đường cong hay đoạn thăng

- diện tích nêu © là mặt cong hay miền trong hình phăng

- thé tích nếu Q là một khối 3 chiều

Ví dụ 6: (Bài toán gặp gỡ) Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm có định

trong khoảng thời gian từ 12h trưa đến 1h chiều Người đến trước sẽ đợi người kia

20 phút, sau đó sẽ bỏ đi nêu người kia không đên Tính xác suât hai người gặp

Trang

Trang 9

Hai người gặp nhau khi và chỉ khi |x— y|< 20, tức là:

$ ={(x, y):0< x<60,0< y<60.|x— y|< 20}

Biêu diện các mién Q va S lên mặt phăng tọa độ như hình vẽ:

2.4 Định nghĩa theo hệ tiên đề

Định nghĩa này do nhà toán học lỗi lạc người Nga tên là Kolmogorov đưa ra năm 1933

Ta gọi bộ ba (Ó.S.P) trong đó:

¡)_O là mội tập tùy ý khác rỗng

ii) 3 là một ø- đại SỐ các tập con của ©,

ii) P là độ đo xác suất ø -cộng tính xác định trên 3

là một không gian xác suất

Tập O@ được gọi là không gian các biển cố sơ cấp và mỗi phần tử øe © là một biến có sơ cấp Tập Ae 3 được gọi là một biển cố và P(A) được gọi là xác suất

của biên cô A

Trang 9

Trang 10

2.5 Tính chất cơ bản của xác suất

(1) 0< P(A)<1 với mọi biến có A

(I1) P(Ø)=0 P(O)=I

Bài 3: CÁC ĐỊNH LÝ VÉ XÁC SUÁT

1 Định lý cộng

Cho A và B là hai biến có, lúc đó

P(AUB)= P(A)+ P(B)- P(AB)

Hệ qua:

(i) P(AUB)=P(A)+P(B) voi A B là hai biến cố xung khắc

(ii) P(A)=1-P(A)

(11) P(AUBUC)= P(A)+P(B)+ P(C)—P(AB)— P(BC)-P(CA)+P(ABC)

Tông quát hơn ta có "công thức bao hàm và loại trừ”:

F[ÙA |=Š?tA0-EPAaA+ Y Pa nd AA) Pe A.A)

i=] i= i<j i<j<k

Trường hợp đặc biệt, khi A,.A A, là các biến cô xung khắc đôi một thì

PUA ) = P(A) + P(A,)+ +P(A,)

Goi A, la biến có 4 sản phẩm lấy ra có ¡ chính phâm

A là biến có 4 sản phâm lấy ra có ít nhất 2 chính phâm

Trang 11

Ví du 2: Một lớp có 20 sinh viên, trong đó có 10 sinh viên biết tiếng Anh, 12

sinh viên biết tiêng Pháp và 7 sinh viên biết cả hai thứ tiếng Chọn ngẫu nhiên một

sinh viên Tìm xác suât đề:

quả

a) Sinh viên đó biết ít nhất một ngoại ngữ

b) Sinh viên đó học đúng một ngoại ngữ

Giải:

a) Gọi A., B lần lượt là các biến có sinh viên biết tiếng Anh, tiếng Pháp

C là biến có sinh viên biết ít nhất một ngoại ngữ

Do tính xung khắc nên P(D)= P(AB)+ P(AB)

Suyra P(AB) = P(B)— P(AB)

Tương tự P(Að) = P(A)- P(AB)

Goi A: “lay duge ft nhat 1 qua hong”

=A: “lay được 3 quả không hỏng”

Tạ Cổ:

Trang 11

Trang 12

P(A)=1~ P(Ä)=1—-<

20

2 Xác suât có điêu kiện, định lý nhân xác suât

a) Xác suất có điều kiện

Cho A và B là hai biến có, trong đó P(8)>0 Khi đó tỉ số i được gọi là

xác suát điểu Kiện của biên cô A với điêu kiện biên cô B đã xảy ra và kí hiệu:

® P(GI|B)=0, P(BIB)=I1, P(O|IB)=l

° P(AIB)=1— P(AI B) P(AIB)=1— P(AIB)

e P(AUC!B)=P(AIB)+P(C|IB)—P(ACIB)

Ví dụ 4: Một công ty đấu thầu 2 dự án A và B Xác suất thắng thầu dự án A

và B tướng ứng là 0.6 và 0,7 Xác suất thắng thầu đồng thời cả 2 dự án là 0,5 Tính

Xác suất:

a) Công ty thăng thầu dự án A biết đã thắng thầu dự án B

b) Công ty không thăng thầu dự án B biết đã thắng thầu dự án A

Ví dụ 5: Một hộp có 4 bi do va 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn

lại 2 viên Tính xác suất đề lấy viên bi thứ 2 là bi do, biết răng viên bi lấy ra đầu

tiên là bị đỏ

Trang 12

Trang 13

Bài giảng: Xác suất và Thống kê GV: Tôn Thất Tú Gial:

Nhận xét: Trong nhiều trường hợp, ta có thể tính xác suất có điều kiện P(AI)

theo “trực quan”, nghĩa là xem B đã xảy ra khi đó tính riêng xác suất của A trong

“không gian mẫu đã thay đồi”

Chăng hạn, đối với ví dụ trên khi A, đã xảy ra, trong hộp còn lại 3 bi đỏ và 3

bi xanh Vì thế xác suất đề lần tiếp theo lây được bi đỏ sẽ là

3

b) Định lý nhân xác suất

Từ định nghĩa trên ta suy ra rằng P(AB) = P(A).P(BIA) nếu P(A)#0

Tương tự, ta sẽ có P(AB)= P(A).P(B| A) = P(B).P(A| B) néu P(B)#0

Trong trường hợp tông quát

PCA A, A,) = P(A,)P(A, (APA, lÁA,) PÚ, l2 Ä.¡) néu P(AA, A,_,) #0

Vi du 6: Một hộp chứa 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả màu xanh Lấy ra | qua

bóng Nếu đó là quả bóng màu xanh thì ta bỏ thêm vào 3 quả màu xanh nữa, nếu đó

là quả bóng màu đỏ thì ta bỏ thêm vào 1 qua mau đỏ Sau đó lấy ra I quả bóng

Tính xác suất đề 2 quả bóng lấy ra ở 2 lần đều có màu xanh

Giai:

Gọi A, là biến có quả bóng lấy ra lần thir i c6 mau xanh, i=1,2

A là biến cố 2 quả bóng lấy ra đều màu xanh

Ta có A=AA,

Trang 13

Trang 14

Gọi A là biến có lần thứ ¡ lây ra 3 sản phâm mới đề kiêm tra

A là biến có sau 3 lần kiểm tra tất cả sản phâm đều được kiểm tra

Ta có A=A,A,A, Do đó

€Œ_ 5 C; 174

Tìm xác suất của các biến cô sau:

a) Việc kiêm tra dừng lại khi kiểm tra đến sản phẩm thứ 2

b) Việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra đến sản phâm thứ 3

c) Giả sử việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra đến sản phâm thứ 3 Tìm xác suất

đề sản phâm kiềm tra ở lần | là chính phẩm

Giai:

Goi A, là biến có sản phẩm lấy ra ở lan thtr 7 1A phé pham, i=1,2,3

a) Gọi A là biến cô việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra đến sản pham thứ 2

Ta có A=A.A,

Do đó

| 2l PÑ)= P(AA,)=FG@I)PA(A, LA)=—*—=— (A) A, ) (A, ) P(A, | A,) 65 15

b) Gọi B 1a bién cé viéc kiém tra dừng lại khi kiểm tra đến sản phâm thứ 3

Tac6 B=AA,A,UAA,A,

Trang 14

Trang 15

Vì A.A,A, A,A,A, xung khắc nên

P(B) = P(A,A,A, UA, A,A,) = P(A,A, A) + P(A, A, Ay)

Ví dụ 9: Trong thời gian có dịch bệnh ở một vùng dân cư, cứ 200 người bị

bệnh thì có 20 người đi cấp cứu Xác suất gặp người đi cấp cứu do mắc phải dịch ở

vùng đó là 0,03 Tìm tỉ lệ mắc bệnh của vùng dân cư đó

Giải:

Gọi A là biến có chọn ra một người ở vùng dân cư đó bị dịch

B là biến cô người chọn ra ở vùng đó phải đi cấp cứu

Theo giả thiết, ta có

P(AnB)= P(A)P(BI A)=0.03 và P(BIA)=—— = =

200 10 0.03

Trang 16

P(A.) =[] P(A), Voi moi 1c {1,2, ,n}

kel kel

Nhận xét:

() Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(AIB)=P(A) hoặc P(BI A)= P(B)., hay nói cách khác là sự xảy ra hay không xảy ra của biến có này không ảnh hưởng đến sự xảy ra hay không xảy ra của biến có khác

(1) Cho nhóm {A,.A, A,} độc lập, khi đó nhóm {ð,.B, B,} với B là A hoặc 4A cũng độc lập

(11) Cho nhóm {A,.A, A,} độc lập Khi đó mọi nhóm con của nhóm này cũng độc lập

(iv) Từ tính độc lập toàn bộ suy ra tính độc lập đôi một, tuy nhiên điều ngược lại nói chung là không đúng

Ví dụ 10: Cho O={a.b.e.d} với xác suất xuất hiện z.b,c.¿ đều như nhau tức

la P(a) = P(b) = P(c) = P(d)=114 Xét 3 biến cô A={a,d},B={b,d},C={c,d} Khi d6,

dé thay P(AB) = P(BC) = P(AC) = P(d)=1/4 va P(A) = P(B) = P(C)=1/2 Từ đó ta suy

ra rang 3 biến cố A, B, C đôi một độc lập với nhau Tuy nhiên P(ABC) = P(d)=1/4# P(A).P(B).P(C)=1/8 hay nói cách khác 3 biến cố này không

độc lập theo nhóm

Ví dụ 11: Một nồi hơi có 3 van bảo hiểm hoạt động độc lập với xác suất hỏng

cua van 1, van 2, van 3 trong khoảng thời gian T tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3 Nồi hơi

hoạt động an toàn nếu có ít nhất một van không hỏng Tính xác suất đề nôi hơi hoạt động an toàn trong khoảng thời gian T

Trang 16

Trang 17

Bài giảng: Xác suất và Thống kê GV: Tôn Thất Tú Gial:

Goi A, 1a bién cé: "van i bi hong trong khoang thoi gian T", i=1,2.3

A là biến có: "nồi hơi hoạt động an toàn trong thời gian T"

P(A,) =0,1; P(A,)=0.2: P(A,)=0.3

Suyra: P(A)=0.9: P(A,)=0.8: P(A,)=0.7

Do các van hoạt động độc lập nên các biến có A, A, A, độc lập

Tac6: A=A,UA,UA,

Xác suât nôi hơi hoạt động an toàn trong khoảng thời gian T là:

P(A) = P(A,)+ P(A,) + P(A,)— P(A, A,) — P(A, A,) — P(A, A,) + P(A,AGA,)

= P(A) + P(A,) + P(A,)- P(A, )P(A,) ~ P(A, A,) — P(A, )P(A,) + P(A, P(A, PCA)

=0,9+0,8+0, 7—0,9*0,8—0,9*0, 7-0,8*0, 7—0,9*0,8*0, 7 =0,994,

Ví dụ 12: Phải gieo ít nhất bao nhiêu con xúc xắc để xác suất có ít nhất một

con xuất hiện mặt 6 chấm lớn hơn hay băng 0.9

Cải:

Giả sử ta cần phải gieo n con Gọi A, là biến cố "con thứ ¡ xuất hiện mặt 6

châm" ¡=I,n A là biên cô "có ít nhât một con xuât hiện mặt 6 cham"

Ta có P(A)=1- P(A)>0.9 > P(A)<0.1

Mặt khác P(A)= P(A,A A,)= P(A,)P(A,) P(A,) = B

3 Công thức xác suât đây đú và công thức Bayes

Định nghĩa: Nhóm biên cô HỊ H„ được gọi là đáy ẩu nêu thỏa mãn 2 điêu

kiện:

Ù) H,¬H, =Ø, Vi# j,

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	6,11 MB