Hình học 11 chương III

Tính chất • Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O và cĩ cạnh SA vuơng

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

§1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A. Kiến thức cần nhớ

I.Các đ nh nghĩa ị

1 Vect - giá- đ dài vect ơ ộ ơ

- Vect trong không gian là m t đo n th ng có h ơ ộ ạ ẳ ướ ng.

+ Kí hi u vect ệ ơ ch vect có đi m đ u là A, đi m cu i là B ỉ ơ ể ầ ể ố

+ Vect còn đ ơ ượ c kí hi u: ệ

- Giá c a vect là đ ủ ơ ườ ng th ng đi qua đi m đ u và đi m cu i c a vect đó ẳ ể ầ ể ố ủ ơ

- Hai vect đ ơ ượ ọ c g i là cùng ph ươ ng n u giá c a chúng song song ho c trùng nhau ế ủ ặ

- Hai vect cùng ph ơ ươ ng có th cùng h ể ướ ng ho c ng ặ ượ c h ướ ng.

- Đ dài c a vect là đ dài đo n th ng có hai đ u mút là đi m đ u và đi m cu i c a vect đó ộ ủ ơ ộ ạ ẳ ầ ể ầ ể ố ủ ơ

VD:

- Vect có đ dài b ng 1 đ ơ ộ ằ ượ ọ c g i là vect đ n v ơ ơ ị

2 Hai vect b ng nhau ơ ằ

Vect có đi m đ u và đi m cu i trùng nhau đ ơ ể ầ ể ố ượ ọ c g i là vet - không Kí hi u: ơ ệ

- có đ dài b ng 0 và cùng h ộ ằ ướ ng v i m i vect ớ ọ ơ

2 M t s qui t c ộ ố ắ

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:

+ Qui tắc trừ: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có:

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn

thẳng AB, O tuỳ ý

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác

ABC, O tuỳ ý Ta có:

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện

ABCD, O tuỳ ý Ta có:

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta có:

2 Sự đồng phẳng của ba vectơ

• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng songsong với một mặt phẳng

• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , trong đó

không cùng phương Khi đó: đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R:

• Cho ba vectơ không đồng phẳng, tuỳ ý

Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R:

3 Tích vô hướng của hai vectơ

• Góc giữa hai vectơ trong không gian:

• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

+ Cho Khi đó:

+

B. Bài t p ậ

D NG 1: XÁC Đ NH CÁC Y U T C A VECT VÀ CH NG MINH Đ NG TH C VECT Ạ Ị Ế Ố Ủ Ơ Ứ Ẳ Ứ Ơ

Phương pháp: D a vào các phép tốn, tính ch t và các h th c vect ự ấ ệ ứ ơ

Bài 1 Cho lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ Hãy nêu tên các vect b ng nhau cĩ đi m đ u và đi m cu i ụ ơ ằ ể ầ ể ố

là các đ nh c a lăng tr ỉ ủ ụ

Bài 2 Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ Hãy k tên các vect cĩ đi m đ u và đi m cu i là các đ nh c a ộ ể ơ ể ầ ể ố ỉ ủ

hình h p l n lộ ầ ượ ằt b ng các vect ơ

Bài 3 Cho lăng tr t giác ABCD.A’B’C’D’ M t ph ng (P) c t các c nh bên AA’, BB’,CC;,DD’ l n lụ ứ ặ ẳ ắ ạ ầ ượt

t i I,K,L,M Hãy ch ra các vect :ạ ỉ ơ

c)G i G là tr ng tâm tam giác ABC Ch ng minh r ng: ọ ọ ứ ằ

Bài 7 Cho t di n ABCD G i M,N l n lứ ệ ọ ầ ượt là trung đi m c a các c nh AC và BD G i I là trung đi m ể ủ ạ ọ ể

c a MN và P là m t đi m b t kì trong khơng gian Ch ng minh r ng: ủ ộ ể ấ ứ ằ

Bài 8 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình ch nh t Ch ng minh r ng:ữ ậ ứ ằ

Bài 9 Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ cĩ P và R l n lộ ầ ượt là trung đi m c a các c nh AB,A’D’ G i P’,Q,Q’,R’ể ủ ạ ọ

l n lầ ượt là tâm đ i x ng c a các hình bình hành ABCD,CDD’C’, A’B’C’D, ADD’A’.ố ứ ủ

a) Chứng minh rằng:

b) Ch ng minh r ng hai tam giác PQR và P’Q’R’ cĩ tr ng tâm trùng nhau.ứ ằ ọ

D NG 2: CH NG MINH BA VECT Đ NG PH NG- PHÂN TÍCH M T VECT QUA BA VECT Ạ Ứ Ơ Ồ Ẳ Ộ Ơ Ơ

+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

• Để phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, ta tìm

các số m, n, p sao cho:

Bài 1 Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA

lấy điểm M sao cho và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho .

Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng.

Bài 2 Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của BH và DF

Chứng minh ba vectơ đồng phẳng

Bài 3 Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.

a) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.

b) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.

Bài 4 Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE,

EC, CD, BC, BE

a) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho Cácđường thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại Pvà Q Chứng minh ba vectơ đồng phẳng

Bài 5 Cho ba vectơ không đồng phẳng và vectơ

a) Cho với m và n ≠ 0 Chứng minh các bộ ba vectơ sau khôngđồng phẳng:

b) Cho với m, n và p ≠ 0 Chứng minh các bộ ba vectơ sau

Bài 6 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có Hãy phân

tích các vectơ theo các vectơ

Bài 7 Cho tứ diện OABC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a) Phân tích vectơ theo các ba

b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC Phân tích vectơ theo ba

Bài 7 Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I là tâm của hình hộp

a) Phân tích hai vectơ theo ba vectơ

b) Phân tích vectơ theo ba vectơ

Bài 8 Cho hình lập phương ABCD.EFGH

a) Phân tích vectơ theo ba vectơ

b) Phân tích vectơ theo ba vectơ

DẠNG 3 : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN Bài 1 Cho tứ diện đều ABCD cĩ H là trung điểm cạnh AB Hãy tính gĩc giữa các cặp vectơ sau đây:

Bài 2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

a) Chứng minh vuơng gĩc với

Bài 5 Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ SA=SB=SC=AB=AC=a và Hãy tính gĩc giữa

2 Góc giữa hai đường thẳng:

• Giả sử là VTCP của a, là VTCP của b,

• Giả sử là VTCP của a, là VTCP của b Khi đó

• Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặcchéo nhau

Bài 1 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và .Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB

Bài 2 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoạitiếp ∆BCD

a) Chứng minh AO vuông góc với CD

b) Gọi M là trung điểm của CD Tính góc giữa AC và BM

Bài 3 Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có thì

Bài 4 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC và Chứng minh rằng:

Bài 5 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và

a) Chứng minh rằng:

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,CD Chứng minh:

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có Gọi M,N,P là trung điểm của SA,SB,SC.a) Tính góc giữa MN và AD

b) Tính góc giữa MN và BD

c) Chứng minh MP vuông góc với BD

d) Tính góc giữa MN và BC

Bài 7 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều Mặt bên SAB là tam giác có góc S bằng và góc

B bằng Gọi M,N,P là trung điểm của SA,SB,AC

a) Tính góc giữa MN và AC

b) Tính góc giữa MN và BP

c) Chứng minh MP vuông góc với BC

Bài 8 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt SAB,SAC với các cạnh bằng a và Gọi M,N,P là trungđiểm của SA,SB,AC

b) Nếu I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì và

Bài 10 Cho tứ diện ABCD có Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC,AC,BD Cho

, tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB

§3 : ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

A. Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa

d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)

2 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

3 Tính chất

• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông

góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

4 Định lí ba đường vuông góc

Cho , a′ là hình chiếu của a trên (P) Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′

5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).

• Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

• Chứng minh d // a và a ⊥ (P).

* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

• Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

• Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Bài 1 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O và cĩ cạnh SA vuơng gĩc với (ABCD)

Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A trên các cạnh SB,SC,SD

b) Chứng minh và điểm I thuộc (AHK)

c) Chứng minh , suy ra HK vuơng gĩc với AI

Bài 2 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA=SC,SB=SD.

a) Chứng minh SO vuơng gĩc (ABCD)

b) Gọi I,K lần lượt là trung điểm của cạnh BA,BC Chứng minh

Bài 3 Cho tứ diện ABCD cĩ hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân cĩ chung cạnh đáy BC Gọi I là

trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh BC vuơng gĩc (ADI)

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuơng gĩc với (BCD)

Bài 4 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD và SA=SB=SC=SD Gọi O là giao điểm của AC

và BD Chứng minh rằng:

a) SO vuơng gĩc với (ABCD)

b) AC vuơng gĩc với (SBD) và đường thẳng BD vuơng gĩc với (SAC)

Bài 5 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành, SA=SC,SB=SD Gọi O là giao điểm của

AC và BD

a) Chứng minh SO vuơng gĩc (ABCD)

b) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của S lên AB Chứng minh

Bài 6 Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng tại B,

a) Chứng minh

b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh AH vuơng gĩc với SC

Bài 7 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC) Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (OAH)

b) H là trực tâm của tam giác ABC

d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn

Bài 8.Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB làtam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trungđiểm của AB và CD

a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ CMR: SH ⊥ AC

c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM ⊥ SA Tính AMtheo a

Bài 9 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam

giác đều và SC = a Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.

a) CMR: SH ⊥ (ABCD).

b) Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.

Bài 10 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A và cĩ cạnh bên SA vuơng gĩc với

(ABC) Gọi D là điểm dối xứng của điểm B qua trung điểm O của AC Chứng minh

Bài 11 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy.

Chứng minh các mặt bên của hình chĩp là những tam giác vuơng

Bài 12 Cho tứ diện SABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng ở A, Gọi H,K, I lần lượt

là trung điểm của SA, AB, BC Chứng minh rằng:

Bài 13 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, Gọi AE, AF là đường cao

các tam giác SAB và SAD Chứng minh

Bài 14 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a mặt bên SAB là tam giác đều,

SCD là tam giác vuơng cân đỉnh S gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng

b) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ Chứng minh rằng

c) Gọi N là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho Tính AN theo a.

Bài 15 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC đều cạnh a, cạnh bên và CC’=a

a) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh rằng

b) Gọi M là trung điểm của BB’ Chứng minh rằng

c) Lấy N trên A’B’ sao cho và gọi J là trung điểm của B’C’ Chứng minh rằng

Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SB=SD.

a) Chứng minh (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD

b) Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD Chứng minh rằng: SH=SK,OH=OK, HK//BD

c) Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của HK

DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Phương pháp:

Để xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta làm như sau:

+ Bước 1: Tìm giao điểm I của d với (P)

+ Bước 2: Chọn điểm , tìm hình chiếu vuông góc H của A lên (P) Khi đó:

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, có cạnh Gọi M,Nlần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên các đường thẳng SB và SD

a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (AMN)

Bài 3 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng với đường chéo bằng 2a, cạnh bên SA vuơng gĩc với

đáy Cho

a) Tính sin của gĩc giữa SC và (ABCD)

b) Tính cosin của gĩc giữa SB và (SAC)

c) Tính gĩc giữa SA và (SBD)

d) Tính tan của gĩc giữa SA và (SCD)

Bài 4 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD Cho AB=2a,

a) Tính gĩc giữa SA và (ABCD)

b) Chứng minh SB và AC vuơng gĩc với nhau

Bài 5 Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ các cạnh bằng a.

a) Gọi là gĩc giữa SA và (ABC) Tính

b) Chứng minh AB và SC vuơng gĩc với nhau

Bài 6 Cho lăng trụ ABC.A′B′C′, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA′ ⊥

(ABC) Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của B′C′ có độ dàibằng a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên BCC′B′ góc β

a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và α

b) Chứng minh rằng: cosα = sinβ

DẠNG 3: THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ VUƠNG GĨC VỚI MỘT ĐIỂM CHO

TRƯỚC Bài 1 Cho hình chĩp S.ABCD cĩa đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B với AB=BC=a,AD=2a,

và SA=2a Gọi M là trung điểm cạnh AB, là mặt phẳng qua M và vuơng gĩc với AB

a) Tìm thiết diện của hình chĩp với Thiết diện là hình gì ?

b) Tính diện tích thiết diện theo a và

Bài 2 Cho tứ diện SABC cĩ ABC là tam giác đều cạnh a, Gọi là mặt phẳng

qua B và vuơng gĩc với SC Tìm thiết diện của tứ diện SABC với và tính diện tích thiết diện đĩ

Bài 3 Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B,AB=a , M là một

điểm tùy ý trên cạnh AB, đặt Gọi là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB

a) Tìm thiết diện của tứ diện SABC với

b) Tính diện tích thiết diện theo a và Tìm giá trị của để diện tích của thiết diện có giá trị lớn nhất

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a, và

a) Tính và AH

b) Gọi M là trung điểm của AB, qua M và vuông góc với SB cắt hình chóp theo thiết diện là hình hình gì ? Tính diện tích thiết diện đó

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, Gọi M là

một điểm trên cạnh AB là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB Tìm thiết diện của hình chóp với, thiết diện là hình gì ?

Bài 6 Cho hình chóp S.ABC có và , tam giác ABC vuông tại A,AB=a, O là trungđiểm BC

a) Chứng minh

b) Gọi M là điểm thuộc cạnh AB Qua M dựng mặt phẳng vuông góc với AO Xác định thiết diện

của hình chóp với Thiết diện là hình gì ?

c) Đặt Tính diện tích thiết diện theo a và x Tìm x để diện tích thiết diện là lớn nhất

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

A. Lý thuyết

1 Góc giữa hai mặt phẳng

•

• Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng ⇒

Chú ý:

2 Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S ′ là diện tích của hình chiếu (H ′ )

của (H) trên (Q), ϕ = Khi đó: S ′ = S.cos ϕ

3 Hai mặt phẳng vuông góc

5 Một số hình đa diện thường gặp

a) Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ cĩ các cạnh bên vuơng gĩc với các mặt đáy Độ dài các cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ.

- Hình lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều

- Hình lăng trụ đứng cĩ đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng

- Hình lăng trụ đứng cĩ đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật

- Hình lăng trụ đứng cĩ đáy là hình vuơng và các mặt đều là hình vuơng được gọi là hình lập phương