Chuyên đề giới hạn

CHỦ ĐỀ 1CHỦ ĐỀ 3 CHỦ ĐỀ 2 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN CỦA HÀM SÔ HÀM SỐ LIÊN TỤC PHÂN LOẠI GIỚI HẠN... Giới hạn của hàm số tại một điểmNêu định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN và hàm số liên tục

LÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ HÌNH MANG

TÍNH TƯƠNG ĐỐI

GIỚI HẠN TẠI ĐIỂM

xác định )

= f (

Giá trị của hàm số tại

Giá trị của hàm số tại

HỌC

HOW ?

START ?

HÀM f(x)

CHỦ ĐỀ 1

CHỦ ĐỀ 3

CHỦ ĐỀ 2

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

GIỚI HẠN CỦA HÀM SÔ

HÀM SỐ LIÊN TỤC

PHÂN LOẠI GIỚI HẠN

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHI x =>

 Dãy số là một tập hợp các số mà chỉ số chạy từ 1 đến n ( VÔ CỰC)

 Khi xét dãy số ta thường xét số hạng tổng quát

GIỚI HẠN CỦA

HÀM SỐ

Giới hạn của hàm số tại một điểm

Nêu định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm?

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp (a; b)\{x0}.

ví dụ minh họa

Bµi 1: TÝnh c¸c giíi h¹n sau:

2 1

4 lim

) 2 )(

1 (

) 2 )(

4

( lim 2

8

2 lim

)

2 2

x

x

x x

x

x

x a

x x

x

12

1 )

2 3 )(

2 (

1 lim

) 2 3 )(

2 )(

1 (

1 lim

2

2 3 lim

)

11

2

+ + +

= +

+ +

−

−

=

− +

x

x b

x x

x

2

3 4

6 2

1

3 6

lim )

2 1

)(

3 (

) 3 6

)(

3 (

lim 3

6

2 1

lim

)

33

+ +

+

+

= +

+

−

+ +

−

=

− +

x

x

x x

x c

x x

x

9

4 )

1 (

3

2 1

3 lim

) 1 )(

1 (

3

) 2 1 3

)(

1

( lim 2

1 3

1 lim

)

3

3 2 1

3

3 2 1

3

+ +

+

+

= +

+

−

+ +

−

=

− +

x x

x

x x

x d

x x

x

1 Giới hạn hữu hạn:

Định nghĩa 1: Giới hạn bên phải của hàm số tại điểm x0

Định nghĩa 2: Giới hạn bên trái của hàm số tại điểm x0

0 0

y

0 •1

Giới hạn đạt tại vô cực

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0; b)

0 0

x → + x

Bài Tập 2 <SGK> Tìm các giới hạn sau (nếu có)

2

2 ) lim

2

x

x a

2

x

x b

2

x

x c

x

→

−

−

Bài tập 3( SGK ) Tìm các giới hạn sau

0

2 ) lim

7 12 ) lim

x a

• CHÚ Ý

a) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

; ; ;

b) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi

vẫn còn đúng khi hoặc

a) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

; ; ;

b) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi

vẫn còn đúng khi hoặc

x

c x

Ví dụ 2: Cho hàm số:

Tìm và

Giải:

Giải

Hàm số đã cho xác định trên và trên

• Giả sử là một dãy số bất kỳ thỏa mãn và

Ta có:

Vậy:

• Tương tự ta có:

4 3 ( )

C©u hái tr¾c nghiÖm

− +

.

0 )

1 3

4 ( lim

)

1

.

0 )

1 (

lim

)

3

.

0

)

4 (

1 lim

)

2

5 0

.

1

3

2 lim

)

2 5

2 4

2 4

1

D C

B A

x x

d

D C

B A

x x

x c

D C

B

A x

x b

D C

B

A x

x a

2 4

2 4

) 4 (

1 lim

0 )

4 (

3 )

1 ( lim

0 )

4 (

lim )

x

x x

x

x

b

x x

x

) (

)

( lim

Luyện tập: giới hạn hàm số

Bài 2: a) Tính giới hạn của hàm số sau tại x0 = 1:

H ớng dẫn giải

b) Tìm m để hàm số sau có giới hạn tại x0=1

a) Để hàm số tồn tại giới hạn tại x0=1 ta xét

1 1

2 )

(

2

2

x khi x

x

x

khi x

x x x

(

2

x khi x

m x

x khi x

x x

f

3 ) ( lim 3

) ( lim )

(

lim 3

) 1 (

lim

3 ) 2 (

lim 1

2 lim

11

12

+

= +

=

−

− +

−

+ +

x f x

f x

f x

x

x x

x x

x x

x x

x x

= +

= +

m x

x x

x

x

1 lim

3 ) 3 (

lim

1

21

2 3

1 )

( lim )

Bµi 3: TÝnh giíi h¹n sau:

→

6

5 3

1 2

1

) 1 (

1 1

1 lim

1 1

1 lim

1 1

lim 1

1 lim

) 1 1

( ) 1 1

( lim

1

1 lim

3 0

0

3 0

0

3 0

3 0

= +

=

=

− +

−

−

+ + +

=

=

−

+ +

x

x

x x

x

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

4

3 2

3 7

2 lim

)

3

1

2 5

9 lim

)

2

27 )

3

( lim

2 1

−

−

−

− +

x

x x x

x

x x x

Hàm số liên tục

Đối với các hàm số trên các

nếu

1 x

nếu

3

2 )

nếu

1 x

nếu 2

)

lim

và

f(1) Tính

a)

→

có) nếu

lim và

f(1)

1 x

neáu

1 x

neáu 2

)

( x x

f

x =

→

1 lim

) ( lim

21

f

3 )1 ( =

1 x nếu

2 ( lim

) ( lim

x

x

) 1 ( )

1 x

nếu 2

( lim

1 1

1 1

f

x f

x x

x x

) (

lim

1 f x

x→

tại tồn không

x y

o 1

2 3

y

x

o 1 1

2

y

x

o 1 1

Đồ thị khơng là một đường liền nét tai x = 1

Đồ thị khơng là một đường liền nét tại x = 1

Đồ thị là một đường liền nét tại x = 1

Hàm số liên tục tại

x=1

Hàm số khơng liên tục tại x=1 Hàm số khơng liên tục tại x=1

Theo các em thì hàm số phải thỏa

mãn điều kiện gì thì liên tục tại x=1 ?

•

) 1 ( )

lim

1 f x

x →

tại tồn không

1 )

1 ( =

1 x nếu 3

2 ) ( x x f

1 x

nếu 2

)

( x x f

Hàm số phải thỏa điều kiện

) (

f

=

Dựa vào ví dụ vừa nêu các em hãy thử nêu định nghĩa khái niệm

Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0

Dựa vào ví dụ vừa nêu các em hãy thử nêu định nghĩa khái niệm

Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và

x0 ∈ (a;b)

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và

1.Hàm số liên tục tại một điểm:

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b)

) (

0

x f

x

f x

→

•

* Nếu tại điểm x0 hàm số f(x) không liên tục thì nó được

đoạn của hàm số.

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại một

VÝ dô : XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè

x y

2 Hàm số liên tục trên một khoảng , trên một đọan:

Định nghĩa 1:

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy.

Định nghĩa 2:

Hàm số f(x) xác định trên đọan [a;b] được gọi là liên tục trên đọan đó, nếu nó liên tục

trên khoảng (a;b) và

Liên tục phải tại a Liên tục trái tại b

Khái niệm h/s liên tục trên nửa khoảng: (a;b];[a;+ ∞ )…được đ/n tương tự.

) (

) (

lim

) (

) (

lim f x f a f x f b

b x

VÝ dô 2 :XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè

2

lim ( ) lim 1 0 ( 1) lim ( ) lim 1 0 (1)

1 lim

) ( lim

: ) 1

; 1

0

0 0

x f

x x

f

x

x x x

.HÀM SỐ LIấN TỤC

I.Hàm số liờn tục tại một điểm:

f(x) liên tục tại xo nếu:

x0∈Tập xác định

Tồn tại

II Hàm số liờn tục trờn một khoảng , trờn một đọan:

f(x) liờn tục trờn đọan [a;b] nếu:

liên tục trên khoảng (a;b)

Cõu 1: Cho hàm số y =f(x) = 2.x2 + 3.x + 1 Ta có:

Điền những dữ kiện thích hợp vào dấu

TXĐ: D =

Với mọi ,f(xo) = .

f(xo)

Vậy hàm số liên tục trên

Cõu 2: Cho hàm số Ta có: TXĐ: D =

Với mọi ,f(xo) = .

f(xo) .

Vậy hàm số liên tục trên khoảng

Hàm số tại x = 1

f(x) khụng liờn tục tại x0 > giỏn đoạn tại x0

-) (

lim

0

x

f

x

x →

) (

) (

0

x f x

f

x

→

) ( )

(

lim f x f b

b

→

) ( )

(

lim f x f a

a

→

R

xo ∈

=

→ ( )

lim

0

x

f

x x

0

x

f

x

x→

1

) (

−

=

=

x

x x

f y

( − ∞ ) ( ∪ +∞ )

o

x

=

lim

0

x

f

x x

0

x

f

x

x →

Đ3.HÀM SỐ LIấN TỤC

I.Hàm số liờn tục tại một điểm:

f(x) liên tục tại xo nếu:

x0∈Tập xác định

Tồn tại

II Hàm số liờn tục trờn một khoảng , trờn một đọan:

f(x) liờn tục trờn đọan [a;b] nếu:

liên tục trên khoảng (a;b)

Cõu 1: Cho hàm số y =f(x) = 2.x2 + 3.x + 1 Ta có:

Điền những dữ kiện thích hợp vào dấu

TXĐ: D =

Với mọi ,f(xo) = .

f(xo)

Vậy hàm số liên tục trên

Cõu 2: Cho hàm số Ta có: TXĐ: D =

Với mọi ,f(xo) = .

f(xo)

Vậy hàm số liên tục trên khoảng

Hàm số tại x = 1

R = R

gián đoạn

=

f(x) khụng liờn tục tại x0 > giỏn đoạn tại x0

-) (

lim

0

x

f

x

x →

) (

) (

0

x f x

f

x

→

) ( )

(

lim f x f b

b

→

) ( )

(

lim f x f a

a

→

R

xo ∈

=

→ ( )

lim

0

x

f

x x

0

x

f

x

x→

1

) (

−

=

=

x

x x

f y

( − ∞ ) ( ∪ +∞ )

o

x

=

lim

0

x

f

x x

0

x

f

x

x →

1

3

2 x 0 2 + x 0 +

( − ∞ ) ( ∪ +∞ )

o

x

( −∞ ;1 , 1; ) ( +∞ )

1

0

0

−

x x

1

0

0

−

x x

( − ∞ ; 1 ) ( ∪ 1 ; +∞ )

1

3

2 x 0 2 + x 0 +

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

:

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0;

b) Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0

NHẬN XÉT:

NX 2

NX 1

( ) ( )

f x y

g x

=

VÍ DỤ :

với x = 1Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó

Giải: Tập xác định của hàm số là R

• Nếu x ≠ 1, thì

Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-∞ ; 1) U (1 ; +∞)

Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-∞ ; 1) và (1 ; +∞)

• Nếu x = 1, ta có h(1) = 5 và

Vì ≠ h(1), nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 1

Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-∞ ; 1) và (1 ; +∞) và gián đoạn tại x = 1.

f(a)0

HỆ QUẢ 1:

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Nếu f(a)f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0.

a

bf(b)

f(a)0

y

x

Hình 7

Ý nghĩa hình học của hệ quả :

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c (a;b)

∈

Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0), ít nhất một nghiệm thuộc (0;2).

Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm

•) Nhận xét về cách làm bài trên của một học sinh:

Xét hàm số f(x) = -2x3 + 6x +1

Hàm số liên tục trên R

Có f(-1)=-3, f(0)=1, f(1)=5

f(-1).f(0)<0; f(-1).f(1)<0

Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0), ít nhất một nghiệm thuộc (-1;1)

Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm

neáu

x

0 x

neáu

1

x )

(

2

x f

neáu

2

1 x

neáu

1

1 )

(

2

x

x x

f

neáu

x

0 x

neáu

1

x )

(

2

x f

0 lim

) (

1 )

1 (

lim )

neáu

2

1 x

neáu

1

1 )

(

2

x

x x

f

2 )

1 ( =

f

2 )

1 (

lim

1

) 1 )(

1

( lim 1

1 lim

) ( lim

1 1

2 1

1

= +

x x

f

x

x x

x

) 1 ( )

( lim

) 2 ( )

Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó

2 -2

4

x y

0

Click to edit Master title style

1789-1857

1815-1897

Cha đẻ của GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI

Bản Thu Hoạch

HỌC SINH XUẤT SẮC NHẤT : .

LỚP : MÃ HỌC SINH :

NÔI DUNG :

+ Khi nhớ về bài học bạn sẽ nhớ gì ?

+ Cụ thể hóa bằng những ý chính nhất bạn vừa nhớ ?

+ Xây dựng một sơ đồ tổng quan nhất theo ý hiểu của mình

+ Xây dựng sơ đồ con đường để làm bài tập

TỰ ĐÁNH GIÁ CỦA BẢN THÂN VỀ PHẦN HỌC

Cam kết

TÔI NHẤT ĐỊNH SẼ HỌC XUẤT SẮC CHUYÊN ĐỀ NÀY VÀ ĐẠT ĐIỂM THI

TUYỆT ĐỐI

x x x

→

+ − + −

2 2

3 2

6

2 2

( )

11

2 3

x