Giao trinh hinh hoc so cap phan 1

Nhóm IU ch a năm tiên ề về "bang nhau"... Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C... tính ch t hình chóp.

AO T A M

Giáo trình

HÌNH HOC Sơ CÁP

NHÀ XU T B N I H C su PH M

M c L C

Trang

Ph n t h nh t: Các h tiên ề xây d ng hình h c ph 7 thông và th c hành ng d ng

Chương ì: Các h tiên ê xây d ng hình h c trư ng phô thông 7

§1 M t sô yêu c u cơ b n c a vi c xây d ng hình h c

b ng phương pháp tiên ề

§3 H tiên ề Pogorelov c a hình h c ơclit 24

§4 H tiên ề Waylơ c a hình h c ơclit 27

§6 H tiên ề xây d ng hình h c ph thông Vi t Nam 32

Chương l i : S liên thu c gi a các hình quan h song

§1 Các bài toán về s liên thu c gi a các hình 41

§2 Quan h song song, phép chiêu song song 56

§4 Seminar về ch ề: Các bài toán aphin và x nh

v n d ng vào gi i bài toán hình h c sơ c p 70

3

M J 'MÓI <T c VU

Giáo t r ì n h h ì n h h c sơ c p, chi t i ế t hơn là các cơ s lý thuyêt

và th c h à n h h ì n h h c ph thông ư c biên so n d à n h cho sinh viên khoa Toán Trưòng i h c s ư ph m

Trong giáo t r ì n h này, m t s cơ s c a hình h c gi i tích

ư c v n d ng t h ò n g qua th c h à n h gi i toán và trình bày m t

sô vân ề lý thuyết khác

5

Giáo trình ư c chia làm hai ph n bao g m năm chương,

m t s chư ng có hư ng d n giúp cho h c sinh t h c, t nghiên

c u t t hơn và kèm theo m t s seminar dành cho sinh viên

P h n ì: C á c h t i ê n x â y d n g h ì n h h c p h ô t h ô n g

v à t h c h à n h n g d n g

P h n l i : H ì n h a d i n , h ì n h l i , b i ê n h ì n h , d n g h ì n h

ê nâng cao tay nghề sư ph m cho sinh viên, chúng tôi cho

r ng c n th c hi n giáo trình này k ế t n i v i các giáo trình phương p h á p d y h c i cương, c bi t là phương pháp d y

h c hình h c

PH N TH NH T

CÁC H TIÊN XÂY D NG HÌNH H C PH THÔNG VÀ TH C HÀNH NG D NG

nh n là úng) Tuy nhiên h th ng các tiên ê c n ph i ư c

m b o các iều k i n sau:

a iều ki n phi mâu thu n: iêu ki n này có nghĩa là

nh ng iều nói trong các tiên và nh ng kết qu suy ra t

c h ú n g không có hai cái nào trái ngư c nhau

ni m cơ b n trong h tiên ề không ư c nh nghĩa, do ó m i

t h u t ng ch m t khái ni m c b n, ta có thê hiếu là cái gì cũng

ư c mi n là h tiên ề ư c nghi m úng M t t p h p nh ng cái c thê như v y ư c g i là m t th hi n ho c m t mô hình

c a h tiên ề y n g v i m t tiên ê có th có nhiều mô hình khác nhau

§2 Hê t i ê n ề Hinbe c a h ì n h h c ơ c l í t

A Hè t i ê n Hinbe trong khoa h c h ì n h h c

Nhà toán h c Hinbe (ngư i c, 1862 - 1943) l n u tiên công bô hình h c tiên ê (năm 1899) sau khi phát hi n ra hình

h c phi Oclít Công trình này ư c gi i thư ng Lôbasepski năm

1930 Sau ó, phương pháp tiên ề th nh h à n h và xu t hi n nhiều h tiên khác Nhiều công trình nghiên c u tiếp t c về

cơ s hình h c cũng ã b sung, t o ra nhiều h tiên ề tương ương v i h tiên ề Hinbe

ơ ây, ta t r ì n h bày h tiên ề Hinbe có s a i chút ít H tiên ề Hinbe g m 20 tiên ê v i 6 khái ni m cơ b n

Nhóm IU ch a năm tiên ề về "bang nhau"

Nhóm IV ch hai tiên ề về liên t c

l Cho b t c ba i m A, B, c nào, bao gi cũng có m t m t

phang a thu c m i i m ó M i m t phang thu c ít n h t m t i m

Các n h lý:

n h lý 1: Hai ư ng th ng ph n bi t có nhiều nh t là m t

i m chung

Ch ng minh: Nêu hai ư ng t h n g p h â n bi t có hai iếm

chung thì theo tiên ề 2 c h ú n g ph i t r ù n g nhau nghĩa là chúng

k h ô n g ph i là hai ư ng t h n g p h â n bi t n a và iều này trái

v i gi thiết

n h lý 2: M t m t phang và m t ư ng th ng không thu c

m t phang ó có nhiều nh t là m t i m chung

Ch ng minh: Nêu ư ng t h n g và m t p h ă n g có hai i m chung thì theo tiên 6, ư ng t h n g ó sẽ thu c m t phang iều này trái v i gi t h i ế t và do ó c h ú n g có nhiều nh t là m t

i m chung

n h lý 3: Nếu hai m t phang phân bi t có m t i m chung

thì chúng có m t ư ng th ng chung ch a t t c các iếm chung

c a hai m t phăng

n h nghĩa 2:

- Hai ư ng t h n g g i là c t nhau nếu hai ư ng th ng ch

có m t iếm chung, và i m chung ó g i là giao i m c a hai

ư ng t h n g ã cho

- ư ng t h n g và m t phang g i là c t nhau nêu ư ng

th ng và m t phang ch có m t iếm chung iếm chung ó g i

là giao i m c a ư ng th ng và m t phang ã cho

- Hai m t phang g i là c t nhau nêu hai m t phang ch có

m t ư ng th ng chung và dư ng t h n g chung ó g i là giao

tuyến c a hai m t phang cho trư c

n h lý 4:

th ng ó ho c qua hai ư ng thăng cát nhau bao gi c ng có

không bao gi có quá m t iếm gi a hai iếm kia

m t ư ng th ng a thu c m t ph ng (ABC) n h ư n g k h ô n g thu c

b t c i m nào trong ba i m A, B, c c Nếu ư ng t h n g a có

m t iếm chung V I o n A B thì nó còn có m t diêm chung n a

ho c v i o n AC ho c v i o n BC

l i

C h ú ý:

a) Tiên l i , cho biết tương quan " gi a" ch t ra ôi v i

ba i m khác nhau th ng h à n g và tương quan này không ph thu c vào th t c a hai u mút

b) Tiên ề li., cho biết bao gi cũng có m t i m B ngoài

o n AC, nghĩa là m i o n th ng có ít ra là m t iếm ngoài

Do tiên ề này ta biêt thêm m i ư ng t h n g có ít ra là ba iếm c) Tiên ề li.) cho biết r ng trong ba i m th ng hàng thì có nhiều nh t là m t iếm gi a hai i m kia

V y ư ng th ng FD ph i có m t iếm chung c v i o n

AB Ta nói r ng FD c t AB t i c và như v y c gi a A và B

n h lý 7: Trong bát c ba i m A, B, c nào trên m t

ư ng th ng bao gi c ng có m t i m gi a hai i m kia

à) V i bát c o n thăng AC nào bao gi trên ư ng thăng

AC ta cũng có nh ng iếm trong và ngoài o n AC

b) V i ba i m trên m t ư ng thăng bao gi c ng có m t

vá chì m t (tiêm ơgi a hai iếm kia

n h lý 8: Nếu iếm B gi a A và c, iếm c gi a B và D

thì các diêm B và c ều gi a A và D

n h lý 9: Nếu i m c gi a A và D, iếm B gi a A và c

thì i m B gi a A và D và iếm c gi a B và D

n h lý 10: Nếu B là m t iếm c a o n AC thi o n AB và

o n BC ều thu c o n AC, nghĩa là môi i m c a o n AB

ho c c a o n BC ều thu c o n AC

n h lý l i : Nếu B là m t i m c a o n AC thì môi i m

c a o n AC khác v i B ph i thu c ho c là o n AB ho c là

o n Be

n h lý 12: Nếu môi iếm B và c ều gi a A và D thi m i

i m c a o n BC ều thu c o n AO

n h lý 13: Môi ư ng thăng có vô sô iếm

ĩ n h nghĩa 4: Cho ba i m 0, A, B cùng thu c m t ư ng

th ng N ế u i m 0 k h ô n g gi a A và B thì ta nói r ng A và B

cùng phía i v i 0 Nêu i m 0 gi a A và B thì ta nói r ng A

và tí khác phía dôi v i 0

13

n h lý 14: M t iếm o c a ư ng th ng a chia tát c các

iếm còn l i c a ư ng thang ó ra làm hai l p không rông sao cho b t c hai diêm nào thu c cùng m t l p thì cùng phía ôi

v i o và bât r c hai iếm nào khác l p thì khác phía ôi v i o

n h nghĩa 5: M t i m 0 t r ê n ư ng thang a chia t p h p

các i m t r ê n ư ng th ng này ra l à m hai l p (theo nh lý 14)

M i l p là m t n a ư ng th ng hay m t tia nh n o làm g c

Hai n a ư ng th ng hay hai tia g i là bù nhau nêu chúng có

chung g c và t o nên m t ư ng th ng

n h nghĩa 6: Trên m t tia g c o, i m A g i là i trư c

i m B nêu A thu c o n OB

n h nghĩa 7: Cho ba i m A B, c không cùng thu c m t

ương th ng K h i ó ba o n t h n g AB, BC, CA t o nên m t

h ì n h g i là m t tam giác Các iếm A, B, c g i là các nh và

các o n AB, BC, CA g i là các c nh c a tam giác Trong m t

tam giác, m t nh và m t c nh k h ô n g thu c nhau g i là m t

nh và m t c nh ôi di n

n h lý 15: M i ư ng th ng a c a m t phang a chia t t c

các i m không thu c a c a a ra hai l p không rông sao cho hai

i m , B b t kỳ thu c hai l p khác nhau nêu o n AB ch a

m t i m c a ư ng th ng a, còn hai i m A, A' b t kỳ thu c cùng m t l p nêu o n AA' không ch a iếm nào c a a c

n h nghĩa 8: M i l p c a m t phang a trong nh lý 15 là

m t n a m t ph ng có ư ng biên là ư ng th ng a Hai i m

M j và M., thu c cùng m t n a m t phang g i là cùng phía i

v i ư ng t h n g a Hai i m M , N thu c hai n a m t ph ng

k h á c nhau g i là khác phía ôi v i a

nh nghĩa 9: M t c p tia h, k có c ù n g g c o g i là mót góc

và ư c ký hi u là (h,k)

i m 0 g i là ính và các tia h, k g i là c nh c a góc N ế u

A, B là hai i m l n lư t l y t r ê n tia h, k thì ta có thê d ù n g ký

hi u góc AOB thay cho góc (h,k)

nh lý 16: Nếu A, B là hai i m năm trên hai c nh h, k

c a m t góc th m i tia xu t phát t g c o và thu c miền trong

c a góc ều c t o n AB Ngư c l i, m i tia nôi nh c a góc v i

m i i m b t kỳ cúc o n AB ều thu t miền ti'Oiig c a góc

m i góc (h,k) ta ều có (h,k) = (h,k) và (h,k) = (k,h)

15

I I I5 Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C Nêu AB a A'B\

AC • AT', và BÁC EE BVYC" thì bao giò ta cũng có ABC = A'B'C'

và ACB = A'C'B

Các nh lí:

nh lí 17:

lì Nêu AB = A'5' f/ù AB = B'A\

2) M i o n th ng AB ều băng chính nó, nghĩa là

AB = AB (ph n x )

3) Nếu AB — A'B' thì A'B' = AB ( i x ng)

4) Nêu AB = A'S' và A'B' = A"B" thì AB = A"B" rò c c u;

Ch ng minh:

1) Theo gi thiết, AB = A B' Theo tiên ề IU,, ta có B'A' = A'B'

Do ó, theo tiên ề III, ta có AB = B'A'

2) Theo tiên I U , , ta có AB = BA và áp dung ph n Ì nh

lý 17 ta có: AB s AB

3) Theo ph n 2 c a nh lý 17 ta có A'B' = A'B' và theo gi thiết ta có AB = A'B' Do áp d ng tiên ề IIIv ta có A'B' = AB

4) Theo gi thiết A'B' = A"B" và theo ph n 3 c a nh lí 17

ta có A"B" = A'B' M t khác theo gi thiết ta có AB = A'B' và áp

d ng tiên ề IU., ta suy ra AB = A"B"

nh lí 18: Nếu cho m t o n thăng AB thi trên n a ư ng

th ng góc A' có duy nhát m t iếm B' sao cho A'B' = AB

nh nghĩa 10: Tam giác ABC g i là b ng tam giác A'B'C

nếu AB = A'B', AC = A'C, BC = B'C và Â = Â', s B ' C s C Ta

kí hi u AABC = AA'B'C

nh lý 19: Nếu hai tam giác ABC và AB'Ơ có AB = AB\

AC = AC và A = A' thì tam giác ABC b ng tam giác A'B'C

(Ta thư ng kí hi u trư ng h p này là (c.g.c))

n h lý 20: Nếu hai tam giác ABC và ARC có AB = A'B',

A = A', B = tí thì tam giác ABC b ng tam giác A'B'C

(Ta thư ng kí h i u trư ng h p này là (g.c.g))

n h lý 21: Nếu tam giác ABC có AC = CB thi CAB = CBA

và CBA = CAB

n h n g h ĩ a l i : Tam giác ABC có AC = CB g i là tam giác

cân tai c và theo nh l i 21 trong tam giác này ta có hai góc B và

A b ng nhau B và A g i là hai góc áy c a tam giai cân ABC

n h lý 22: Cho hai b ba tia (h,k,l) và (h\k\V), m i b n m

trong m t m t phang và xu t phát t hai i m o và 0\ Nếu s

s p th t c a các tia trong hai b giông nhau (chăng h n thu c miền trong c a góc (h,k) và ' thu c miền trong c a góc (h'.k'j, thì nếu (h,l) = (h',ư), (l,k) = d',k') ta suy ra (h,k) = (h',k')

n h lí 23: Nếu hai tam giác ABC và A'B'C có AB = A'B',

(Trư ng h p này ta thư ng kí hi u là (c.c.c))

n h lí 24: Nếu ta có (h,k) = (h',k'), (h,k) = (h",k") thì (K~K) = (h",k")

n h n g h ĩ a 12:

a) Hai góc có chung nh và m t c nh, còn các c nh t h hai

là hai tia bù nhau g i là hai góc bù nhau

b) Hai góc có chung nh còn các c nh c a c h ú n g là các tia

n h lí 26: Hai góc ôi nh b ng nhau

D i n h l i 27: T t c các góc vuông ều băng nhau

i n h lí 28: M t o n thang có m t iếm duy nhát chia nó

thành hai o n bang nhau

n h nghĩa 13: Cho hai o n th ng AB và A'B' Nêu trên

o n AI? ta có m t iếm c sao cho AC = A'B' thì ta nói r ng

o n AB l n hơn o n A'B' hay o n A'B' bé hơn o n AB

Ta kí hi u AB > A'B' hay A'B' < AB

i n h nghĩa 14: Cho hai góc (h.k) và (h',k') Nêu xu t phát

t góc 0 c a góc (h,k) ta có m t tia / n m trong góc ó sao cho

(hjl) = (h',k') thì nói r ng góc (h.k) l n hơn góc (h'.k') hay góc (h',k') bé hơn góc (h,k) Kí hi u là (h,k) > (h'.k') hay fh'.k") < (h,k)

i n h lí 29: Góc ngoài c a m t tam giác l n hơn mói góc

trong không k v i nó

n h lý 30: Trong m t tam giác, i di n v i c nh l n hơn có

góc l n hơn và ngư c l i ôi di n v i góc l n hơn có c nh l n hơn

n h n g h ĩ a 15: Cho hai t p h p T và T Nếu gi a các i m

c a hai t p h p ó có m t liên h Ì - Ì (song ánh) sao cho v i b t

c hai i m A, B nào c a T và hai i m tương ng A", B' c a T

ta cũng có AB = A'B', thì ta nói r ng có m t phép d i hình í biên

T t h à n h T (và phép d i hình o ngư c f biên T t h à n h T) 2.4 N h ó m I V - T i ê n l i ê n t c

i n h l ý 32: Trên m t ư ng th ng a b t kỳ nêu ta có m t

dãy vô h n các o n tháng A B , A 2 B 2 A N B N , sao cho:

-M i o n sau ều năm trong o n trư c ó (AfiiCrAi-fii-i)

- Cho trư c b t c o n th ng AB nào ta cũng có m t sô t nhiên n cho o n A n B„ c a dãy bé hơn o n AB thì khi ó có

m t i m c duy nh t thu c t t cá các o n A,B, c a dãy

D i n h l ý 33: ( T i ê n ề A c s i m é t )

19

trong m t m t phang và không có i m chung g i là hai ư ng

th ng song song v i nhau Nếu a b là hai ư ng th ng song

song v i nhau ta ký hi u a /7 b

i n h lý 34: Cho a, b, c là ba ư ng th ng cùng năm trong

m t m t phăng và nêu c c t a b t o nên hai góc so le trong trong băng nhau thì a và b song song v i nhau

H qu : Trong m t phang hai ư ng th ng cùng vuông góc

v i ư ng th ng th ba thi song song V I nhau

cho trư c bao gi c ng có m t ư ng thăng song song v i ư ng

th ng cho trư c ó

T i ê n V hay t i ê n ề về song song:

Cho m t ương, th ng a b t kỳ và m t i m A không thu c

a K h i ó trong m t phang xác nh b i i m A và dư ng th ng

a có nhiều nh t là m t ư ng thang i qua A và không c t a

Chú : Tiên ề này ch nêu lên s duy nh t c a ư ng

th ng i qua A và không c t a Các nh lý và h qu ph n trên ây tuy có ề c p t i khái ni m song song c a hai dư ng

th ng nhưng chưa c n dùng t i tiên ề về song song

nh lý 36: Hai ư ng th ng song song t o v i m t cát

tuyến hai góc so le trong b ng nhau

2) N ế u hai o n t h n g A B và A ' B ' b ng nhau t h ì f(AB) = f(A'B')

n h lý 38: V i môi ơn v dài cho trư c, môi o n th ng có

t h n g ó khá c v i 0 ta cho ng v i m t s th c a dương là dài c a o n OA

Ta l y d u c ng cho s a nêu i m \ thu c tia dương và l y

d u tr cho sô a nêu iếm A thu c tia âm S a sau khi thêm

d u c ng ho c tr g i là toa c a iếm A trên ư ng t h ă n g iếm 0 ư c ch n v i toa b ng 0 Ngư c l i v i m t s th c b (s âm hay dương) ta tìm ư c m t iềm B duy nh t trên ư ng

th ng ó Như v y gi a t p h p các i m trên ư ng thang và

4) Có m t góc (h„.k„) sao cho (p(ho,k 0 ) = ]

t h n g t h ì giá t r c a h à m f b n g 1

K h i ó giá tr c a h à m í t i m i a giác ( ơn) p, t c là s

f(P) ư c g i là di n tích c a ì' theo ơn v d i n tích là h ì n h

v u ô n g nói t r o n g i ê u k i n 4

f T h tích c a c á c h ì n h a d i n ơ n

Theo sơ tương t như vi c xây d ng lý thuyết về di n tích

c a các a giác ơn trong m t phang, ngư i ta ã xây d ng ư c

lý thuyết về th tích c a các hình a di n ơn trong không gian

K ế t lu n:

Không gian ơclit xác nh b i m t h tiên ề ã cho là t p

h p các i tư ng và các tương quan gi a các i tư ng ó thoa mãn các yêu c u nêu ra trong m t h tiên ê

Không gian v t lý thông thư ng mà chúng ta ang s ng là

m t mô hình c a hình h c ơclit tr u tư ng V i h tiên c a hình h c ơclit ngư i ta có th xây d ng s th hi n c a hình h c

ó b ng các mô hình Vi c t r u tư ng hoa hình h c b ng phương pháp tiên ề ã m r ng ư c ph m vi áp d ng c a hình h c, và

t o iều ki n cho s ra òi c a nhiều môn hình h c m i

§3 H t i ê n Pogorelov c a h ì n h h c ơ c l i t

Trong cu n sách giáo khoa "Cơ s hình h c" viết cho sinh viên toán các trư ng i h c và i h c Sư ph m Nga, Vi n sĩ Pogorelov ã trình bày h tiên c a m ì n h v i các khái ni m cơ

b n là iếm, ư ng thang, m t phang, iếm thu c ư ng th ng,

i m thu c m t phang, m t i m i trư c m t i m khác và phép d i H tiên ê này g m có 5 nhóm tiên ề

1 N h ó m ì: Nhóm tiên ề về liên thu c g m 8 tiên ề và

ư c trình bày hoàn toàn gi ng n h ư h tiên ề c a Hinbe v i tương quan cơ b n là i m thu c ư ng t h ă n g và i m thu c

m t ph ng

2 N h ó m l i : Nhóm tiên ề về th t g m 5 tiên ề Tương

quan cơ b n trong nhóm này là tương quan " i trư c"

l i , - V i m t trong hai hư ng ã ư c xác nh trên m t

ư ng thang, m i i m B thu c ư ng th ng ó có hai i m A

v i a)

3 N h ó m I I I : Nhóm tiên về phép d i hình

Khái ni m cơ b n ư c ưa vào nhóm này là "phép d i hình"

I U , M i phép d i hình H b o toàn tương quan liên thu c IU., M i phép d i hình H b o toàn tương quan th t trên

ưòng th ng

1113 T p h p các phép d i h ì n h l p t h à n h m t nhóm

1114 Nêu v i phép d i h ì n h H tia Ox biên t h à n h chính nó v i

iếm 0 ư c gi nguyên (là iếm b t ng) thì t t c các i m

c a tia Ox cũng biên t h à n h chính nó

25

i n , V i m i c p iếm A và B, có m t phép d i hình H biến

A t h à n h B và biến B t h à n h A

I I I , ; V i m i c p tia h, k có chung g c, có m t phép d i hình

H biên tia h t h à n h tia k và biến tia k t h à n h tia h

I U ; Cho a và ) là hai m t phang b t kỳ Trên ư ng t h á n g

a b t kỳ thu c a ta l y m t i m A tuy ý và trên ư ng th ng b

b t ky thu c p ta l y m t iếm B tuy ý Khi ó có m t phép d i hình duy nh t biên iếm A thành iếm B, biên n a ư ng

th ng cho trư c xác nh b i iếm A trên a thành n a ư ng

th ng cho trư c xác nh b i iếm B trên b và biến n a m t

phang cho trư c xác nh b i ư ng thang a trên ử t h à n h n a

m t phang cho trư c xác nh b i ư ng th ng b trên p

4 N h ó m I V : Nhóm tiên ê về liên t c

Nhóm này ch có m t tiên ê là tiên ơ ơkin:

IV Nêu tát c các iếm c a m t ư ng th ng ư c chia

t h à n h hai l p không r ng sao cho v i m t trong hai hư ng ã

ư c xác nh trên ư ng th ng, m i iếm c a l p th nh t luôn luôn i trư c m i iếm c a l p t h hai thì khi ó ho c l p

t h nh t có m t i m mà t t c các i m còn l i c a l p này êu

i trư c iếm ó ho c là l p th hai có m t iếm và i m này

i trư c t t c các iếm còn l i c a l p th hai ó

5 N h ó m V: Nhóm tiên ề ve song song

Nhóm này chí có m t tiên và ư c trình bày giông như cách t r ì n h bày trong h tiên ê c a Hinbe

C á c t ư ơ n g quan cơ b n là p h é p c ng vectơ, n h â n véc tơ v i s tích

vô h ư n g c a hai vectơ và p h é p t vectơ t các i m H t i ê n

n à y g m có 5 n h ó m :

ì C á c t i ê n

1 N h ó m ì : N h ó m t i ê n v ề p h é p c n g v e c t ơ

N h ó m tiên ê n à y mô t á n h xỳ: V X V —> V là p h é p c ng vectơ

P h é p t o á n n à y t tương ng gi a hai vectơ X ý b t kỳ c a k h ô n g

gian vectơ V v i m t vectơ t h ba c a V g i là t ng c a hai vectơ ó

và ư c kí h i u là X + V P h é p t o á n n à y thoa m ã n 4 tiên ề sau ây: ì, P h é p c ng vecttí có t í n h c h t giao h o á n nghĩa là v i h a i vectơ X , V b t k ỳ c a V ta ê u có:

2 N h ó m l i : N h ó m t i ê n v ề p h é p n h â n v e c t ơ v i s ô

N h ó m t i ê n ề n à y m ô t á n h x V X R —> V là p h é p n h â n vectơ v i s (v i R là trư ng s th c) V i m i véc tơ X E V và v i

m i À € R ta có vectơ À.X g i là tíc h c a vectơ X v i sô t h c X

P h é p t o à n n à y thoa m ã n 4 t i ê n sau:

l i ] P h é p n h â n vectơ v i s có t í n h c h t p h â n p h i ôi v i phép c ng vectơ nghĩa là v i hai vectơ X , V b t kì và v i s th c

k - X , , - X = 0 v i X i , h> Â k G R

n h n g h ĩ a 2: N h n g véctơ X ì , x2 , x k g i là ph thu c tuyến tính (nghĩa là k h ô n g c l p t u y ế n t í n h ) n ế u t r o n g c á c h

s X , h, X K có ít n h t m t h sô k h á c k h ô n g sao cho

X X + X x + + A , x = 0

Nhóm tiên về sô chiều này có hai tiên ề:

I U , : Có ba vectơ c l p tuyến tính ẽ, , ẽ : , ẽ,

l i lo B t kì bôn vectơ nào cũng ph thu c tuyên tính

4 Nhóm IV: Nhóm tiên về tích vô hư ng

Nhóm tiên ề này mô t á n h x : V X V -» R là phép toán về tích vô hư ng c a hai vectơ Phép toán này t tương ng gi a hai vectơ X, ỳ b t kì c a V v i m t s th c xác nh duy nh t

dư c kí hi u là X ỳ Ngư i ta g i s th c X ý này là tích vô

hư ng c a hai vectơ X, V nêu thoa mãn các tiên sau ây:

IV) Tích vô hư ng c a hai vectơ có tính ch t giao hoán, nghĩa là vói hai vectơ X , b t kì c a V ta có

V i hai iếm b t kì A, B ta có thê t ư c vectơ ĩt G i T

là t p h p i m, nhóm tiên này mô t á n h x : T X T —» V là

phép toán t vectơ Phép toán này t tương ng gi a hai i m

A, B b t kì c a T v i m t vectơ AB = X c a V i m A g i là

29

i m u, i m B g i là iếm cu i Phép t vect ơ thoa mãn hai

tiên sau ây:

Sau ây là m t s nh nghĩa c a hình h c phang ơclit xây

d ng theo h tiên ề Wayld

nh nghĩa 1: Cho hai iếm phân bi t A B ư ng th ng Ai?

là t p h p i m M sao cho AM và AB ph thu c tuyến tính

AB là t p h p i m M sao cho AM -m AB vói 0 < m < 1

nh nghĩa 3: Cho hai i m phân bi t A, B Tia AB là t p

t h à n h p h n

Nếu l y d i hình làm khái ni m ban u thì hai hình là toàn ang nêu có phép d i hình biên hình này t h à n h hình kia, còn kho ng cách ư c xem như m t b t biến c a phép d i hình Nếu xu t phát t khái ni m kho ng cách thì phép d i hình

là á n h x m t dôi m t b o toàn kho ng cách còn hai o n th ng toàn ng (b ng nhau) ư c xem là hai o n th ng có kho ng cách ( dài) b ng nhau

B a H i n nay trư ng i h c và phô thông nhiều nư c trên thê gi i, ngư i ta không còn dùng h tiên ê Hinbe e trình bày hình h c ơclit vì:

- G p nhiều khó k h ă n không kh c ph c nôi trong vi c m

r ng sô chiêu c a không gian, mà vi c nghiên c u hình h c nhiều chiều là òi h i c a th c ti n

- Hi nho chưa s d ng kiến th c về trư ng s th c nên g p nhiều khó k h ă n khi t r ì n h bày tính liên t c

31

- Không làm nôi b t c u trúc bên trong c a hình h c ơclit, có thê nói h tiên ê Hinbe là h tiên ê cô truyền c a hình h c ơclít

b S d ng khái ni m cơ b n là phép d i hình ê t r ì n h bày hình h c ơclít tuy còn nh ng như c iếm như h tiên ê Hi nhe, nhưng l i có hai ưu i m sau:

- Th hi n ư c quan i m nhóm trong hình h c, c bi t là nhóm d i hình

- Ch ng minh m t cách th ng nh t các nh lý c a hình h c

sơ c p b ng phép d i hình

c S d ng h tiên ề Wayld thì có ưu iếm:

- H c sinh n m ư c mô hình c a không gian vectơ

- M r ng s chiều c a không gian m t cách d dàng

- Thu n ti n trong vi c xây d ng các lo i không gian khác Tuy nhiên cũng có như c i m là kém p h á t t r i n trí tư ng

tư ng không gian và tr c giác hình h c

Có thê nói h tiên ề Waylơ là h tiên ề hi n i nh t ế xây d ng hình h c ơclít

§6 H tiên ề xây d ng h ì n h h c phô t h ô n g V i t Nam 6.1 Hê tiên Pogorelov trong sách giáo khoa phô thông Trong cu n sách giáo khoa hình h c viết cho h c sinh ph thông Nga, Vi n sĩ Pogorelov ã nghiên c u các h tiên ê có trư c ó và c i tiến s p xếp trình bày l i cho phù h p vói trình tiếp thu c a h c sinh ây là h tiên ê ư c làm căn c ch yếu cho s ra i c a các cu n sách giáo khoa hình h c viết theo chư ng trình CCGD Vi t Nam

ì., Qua hai iếm phân bi t b t kì có m t và ch m t ư ng thang

2 Nhóm tiên ê vê v trí tương ôi c a iếm trên ư ng

xOv có s o cho trư c (n a ư ng t h n g Oy ư c xác nh duy nh t)

rv3 Cho tam giác ABC b t kì và tia A,x có m t và ch m t tam giác A J I ^ C J b ng tam giác A B C sao cho c nh A , B ; n m trên tia A)X và i m c, thu c n a m t phang xác nh b i

ư ng th ng ch a tia A,x

5 Nhóm tiên ề về song song:

V Trong m t phang cho m t ư ng th ng a b t kì và m t

i m A b t kì không thu c a có nhiều nh t là m t ư ng th ng

i qua A và không c t a

6 Nhóm tiên ề về hình h e khôpg gian:

VI] V i m t m t ph ng b t kì có nh ng i m thu c và không thu c m t phang ó

V I , Nếu hai m t phang p h â n bi t có m t i m chung thì chúng sẽ c t nhau theo m t ư ng th ng

V I3 Nếu hai ư ng th ng p h â n bi t có m t i m chung thì

u n m trên cùng m t n a m t phang và không n m trên a

l i , B t kì i m o nào t r ê n ư ng thang cũng là g c chung

c a hai tia ôi nhau i m 0 n m gi a hai i m thu c hai tia

ôi nhau (và p h â n bi t v i i m 0)

I I I N h ó m t i ê n ề c ó l i ê n quan ế n k h á i n i ê m dài

o n th ng

I U , M i o n t h n g có dài xác nh l n hơn 0

I I I Nếu iếm M n m gi a hai i m A và B thì MA + MB = AB

HI V I b t kì s m l n hơn 0 nào, trên tia Ox cũng xác nh

ư c m t i m và ch m t i m M sao cho OM = m

IV N h ó m t i ê n có l i ê n quan ế n khái ni m sô o góc

IV[ M i góc có s o xác nh l n hơn 0; s o ( ) c a góc

b t là 180°

rv2 Nếu tia Oy n m gi a hai tia Ox, Oz thì xOy + yOz = xOz

IV V i b t kì s m nào sao cho 0 < m < 180 trên m t m t phang ã cho có b là ư ng th ng ch a tia Ox cũng xác nh

ư c m t tia và ch m t tia Oy sao cho xOy = m

V T i ê n ề về hai tam g i á c b ng nha u

Nếu hai tam giác ABC, A'B'C có = ', AB = A'B\ AC = A'C thì hai tam giác ó b ng nhau

35

ư c xây d ù n g t r ê n 6 tiên ề sau ây:

1 Có ít n h t bôn i m không cùng thu c m t m t phang

2 Có m t và ch m t m t phang i qua ba i m không

c a m t phang Nh ng kiến th c (quan h , phép toán) về lí thuyết t p h p ư c v n d ng coi n h ư ã biết Ngôn ng và m t

s kí h i u c a lí thuyết t p h p ư c s d ng

2 Vì lí do sư ph m ế t r á n h h thông kí hi u c ng kênh

trong sách giáo khoa hình h c nhiều k h i m t kí hi u ư c d ù n g

ch nhiều k h á i ni m k h á c nhau Vì v y ph i n m v ng n i dung ch a ng trong kí hi u

3 Tuy có s d ng kiên th c s ( dài o n th ng, s o

góc) nh nghĩa quan h hình h c n h ư n g h th ng kiên th c hình h c v n mang tính c l p (tương dôi) Không gian toán

h c c a h th ng kiên th c là không gian ng; các h ì n h hình

h c ư c nh nghĩa theo phương pháp kiến thiết; m t n i dung quan tr ng c a h ì n h h c la nghiên c u các phép biến hình

4 Hình h c phang THCS t nó là m t h th ng tương i hoàn ch nh T t nhiên không t h òi h i ây m t c u trúc lôgic ch t chẽ, thoa m ã n các yêu c u c a m t h tiên ề Vì lí do

sư ph m ph i công nh n m t sô khái ni m, tuy r ng các khái

ni m này có t h nh nghĩa ư c (chang h n: quan h "n m

gi a", "s o

góc" )-Hình h c phang THCS ư c xây d ng trên nền t ng lí thuyết t p h p và lôgic toán, có s công n h n trư ng sô th c, v i

d ng ý nêu l p r á p t h ê m i tư ng m i (là " m t phang ") cùng

v i các tiên ê m i liên quan t i m t p h ă n g thì có hình h c không gian Vì v y hình h c phang có v trí quan tr ng, ó là cơ

s ban u cho toàn b kiên th c hình h c phô thông

tính ch t hình chóp V i mô hình hình chóp ta có ch d a tr c quan gi ng d y hai ư ng th ng chéo nhau, ư ng th ng và

m t phang c t nhau, hai m t ph ng c t nhau, thiết di n hình chóp t o b i m t phang nào ó

Sau khi h c vê quan h song song, h c sinh ư c h c khái

ni m hình lăng t r và hình h p

Sau khi h c về quan h vuông góc c a dư ng th ng và m t phang

h c sinh ư c h c khái ni m hình lăng tr ng, hình chóp ều

Cái l i ch yếu c a vi c k ế t h p này là h c sinh có iều ki n

nh n th c sâu tính ch t các quan h không gian và v n d ng các tính ch t áy trong nghiên c u các hình không gian ơn gi n Như c i m c a c u trúc này là h c sinh khó th y h th ng các tính ch t các hình lăng tr , hình chóp

2 Quan h vuông góc ư c t r ì n h bày d a trên phương pháp tông h p l p l i và phương pháp véctơ l p ] 2:

- Hai ư ng th ng g i là vuông góc nếu các vectơ ch phương c a chúng vuông góc v i nhau

- M t ư ng th ng g i là vuông góc v i m t m t phang nếu vectơ ch phương c a ư ng th ng vuông góc v i c p vcctơ ch phương c a m t phang

- Hai m t phang g i là vuông góc nêu các vectơ pháp tuyên

c a c h ú ng vuông góc