buoi 15 thuvienvatly com 2e6e8 38030

Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có 2 kA 2 kx F Sc m Trong đó x là tọa độ vật dừng lại kết thúc dao động, chọn O tại vị trí cân bằng.. Tìm độ giảm biên độ sau mỗi lần vật đi qua vị

Chủ đề: CÁC LOẠI DAO ĐỘNG

A LÍ THUYẾT

I DAO ĐỘNG TẮT DẦN

1 Định nghĩa

Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo

thời gian

2 Nguyên nhân

Nguyên nhân dao động bị giảm dần biên độ là do lực

cảm của môi trường làm biến đổi dần cơ năng của con

lắc sang nhiệt năng

3 Khảo sát dao động tắt dần

Theo định luật II Niu tơn Tại vị trí x ta có:

dh ms

F + F + + = P N ma

uuur uuur ur uur r

ms

k

⇒ −  ± ÷ =

k

Vì thế ta có: − = ku mu " ⇒ u " k u 0

m

m

ω = Vât dao động điều hòa quanh vị trí cách

O một đoạn 0 Fms

x

k

= ±

4 Khảo sát dao động tắt dần bằng phương pháp động

lực học

Xét điển hình của một dao động tắt dần là dao động của

con lắc lò xo nằm ngang trên bề mặt có ma sát

Chọn trục Ox như hình vẽ, O là vị trí vật khi lò xo chưa

biến dạng

Tại vị trí li độ x ta có: F uuur uuur ur urdh+ Fms+ + = P N ma r

ms

⇒ − ± = ⇒ − ± µ kx mg ma =

mg

k

 µ 

⇒ −  ÷ =

mg

u x

k

µ

= m

u' x' u" x"

ku mu" u" u 0

k

m

k

ω = ⇒ + ω = u" 2u 0 Điều này thể hiện dao động

tắt dần là những nửa dao động điều hòa liên tiếp sau từng

nửa chu kì với tần số góc như nhau m

k

ω = quanh vị trí cân bằng tức thời O1 và O2 lần lượt có tọa độ

0

mg x

k

µ

= và 0 mg

x

k

µ

= − với những biên độ giảm dần theo thời gian

Cụ thể ta xem hình sau:

Giả sử ban đầu ta kéo vật ra vị trí có tọa độ A0 và thả vật Nửa chu kì đầu tiên vật dao động điều hòa với tần số góc

m k

ω = qua vị trí cân bằng O1 có tọa độ x0 mg

k

µ

biên độ ( A0− x0), và dừng lại để đổi chiều chuyển động ở vị trí đối xứng với vị trí ban đầu qua O1, vị trí này

có tọa độ − ( A0− 2x0) Ở vị trí này nếu Fdh> Fms thì vật chuyển động quay trở lại thực hiện nửa dao động điều hòa tiếp theo với tần số góc m

k

ω = , biên độ

( A0− 3x0), nhận O2 có tọa độ x0 mg

k

µ

= − làm vị trí cân bằng, vật dừng lại ở vị trí đối xứng với vị trí có tọa

độ − ( A0− 2x0) qua O2, là vị trí có tọa độ ( A0− 4x0) Vật tiếp tục thực hiện những nửa dao động điều hòa tiếp theo cho đến khi dừng lại ở vị trí biên thỏa mãn điều kiện

dh ms

F ≤ F , vị trí đó có tọa độ thỏa mãn − ≤ ≤ x0 x x0 Như vậy, sau mỗi nửa chu kì, biên độ giảm một lượng

( A0− x0) ( − A0− 3x0) = 2x0, nghĩa là

0

A 2x

µ

5 Các dạng bài tập và phương pháp giải

Ta gọi A0, A1, A2, … là biên độ ban đầu, biên độ sau một nửa chu kì, biên độ sau một nửa chu kì tiếp theo, … Xét sau một nửa chu kì đầu tiên ta có:

2 kA = 2 kA + F Ac + A

2 Fc

k

Tương tự sau một nửa chu kì tiếp theo ta có:

2 kA = 2 kA + F A Ac +

●

●

O O

1

O

2

A

0

x

-(A0 -2x0 )

A

0 -4 x 0

-x 0

x 0

●

1 2

2 Fc

A A

k

Suy ra độ giảm biên độ sau một chu kì:

4 Fc

k

∆ = − =

Nếu con lắc lò xo đặt nằm ngang thì ta được:

ω

+) Số dao động vật thực hiện được đến khi vật dừng hẳn

4 c

N

∆

+) Số lần vật đi qua vị trí cân bằng: n = 2N

+) Thời gian vật thực hiện dao động

t nT = Với 2

T

k

π π ω

= = +) Tính quãng đường vật đi được cho đến lúc vật dừng

lại

Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có

2 kA 2 kx F Sc m

Trong đó x là tọa độ vật dừng lại kết thúc dao động,

chọn O tại vị trí cân bằng

Sau một nửa chu kì biên độ của vật giảm 2x0, trong đó

0 = Fc

x

k Nếu N là số nửa dao động của con lắc thì vị trí

vật dừng là: x A = 0− N x 2 0

Điều kiện: − ≤ ≤ ⇒ − ≤ x0 x x0 x0 A0− N x 2 0 ≤ x0

Giải tìm ra N, thế N vào phương trình trên tìm ra x Từ

đó tìm ra S

- Tính tốc độ cực đại khi vật đi từ biên vào vị trí cân

bằng Dùng công thức: v0 axm = ω ( A x − 0)

Vật có tốc độ lớn nhất khi: Fdh= Fc⇒ kx0 = µ mg

Hay

k

mg

x = µ

0

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng khi vật đat vận

tốc cực đại lần đầu tiên:

2 kA = 2 kx + 2 mvm + µ mg A − x

mv = k A − x − µ mg A x −

Do

k

mg

x = µ

0 → µ mg = kx0 Nên ta có:

0 axm ( 0) 2 0( 0)

mv = k A − x − kx A x −

⇒ v0 axm = ω ( A x − 0)

Trong đó k

m

ω =

Dạng 1: Độ giảm biên độ trong dao động tắt dần

chậm

Phương pháp:

Theo phần lí thuyết ta có độ giảm biên độ sau một nửa chu kì là 1 0 2 mg

A 2x

µ

∆ = = , như vậy sau một chu kì

độ giảm biên độ sẽ là: A 4x0 4 mg

k

µ

Biên độ dao động còn lại sau n dao động là:

A = A − ∆ n A

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có lò xo nhẹ độ cứng k =

100N/m, vật nhỏ m = 100g, dao động trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát là 0,01 Lấy g = 10m/s2 Tìm độ giảm biên độ sau mỗi lần vật đi qua vị trí cân bằng ?

Hướng dẫn giải: Độ giảm biên độ sau mỗi lần vật đi qua

vị trí cân bằng là sau mỗi nửa chu kì Ta có:

4 0

1 A 2x 2 mg 2.0,01.0,1.10 2.10 m 0,2mm

−

µ

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo có lò xo nhẹ độ cứng k =

100N/m, vật nhỏ m = 100g, dao động trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát là 0,2 Lấy g = 10m/s2 Từ vị trí cân bằng kéo vật ra một đoạn 10cm rồi thả nhẹ Tìm biên

độ của vật sau 4 chu kì dao động?

Hướng dẫn giải: Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :

3 0

4 mg 4.0,2.0,1.10

−

µ

Vậy biên độ sau 4 chu kì là :

A = A − ∆ = 4 A 10 4.0,8 6,8cm − =

Dạng 2: Độ giảm cơ năng trong dao động tắt dần Phương pháp

1 Tính phần trăm cơ năng bị mất sau 1 chu kì

Do dao động tắt dần chậm nên tính gần đúng ta có:

A + A ≈ 2A

1

1 kA 1 kA

1

2

Với 0

A A

∆

là phần trăm biên độ bị giảm trong 1 chu kì

Ví dụ 1: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi

chu kì, biên độ bị giảm 5% Tìm phần trăm cơ năng bị mất sau mỗi chu kì ?

Hướng dẫn giải: Phần trăm cơ năng bị mất sau mỗi chu

kì là

0

2 Tính phần trăm cơ năng bị mất sau n chu kì

Phần trăm biên độ bị giảm sau n chu kì : a 0 2n

0

h

A

−

=

Phần trăm biên độ còn lại sau n chu kì : 2n a

0

A

1 h

Phần trăm cơ năng còn lại sau n chu kì :

2

W

0

h

 

= =   ÷ ÷

 

Phần trăm cơ năng bị mất sau n chu kì :

n

W

W W

1 h

W

−

= −

Ví dụ 1 : Một con lắc lò xo đặt nằm ngang tắt dần chậm,

trong 3 chu kì đầu tiên biên độ của nó giảm 20% Tìm

phần trăm cơ năng bị mất sau 3 chu kì ?

Hướng dẫn giải: Theo bài ra ta có :

a

−

Vậy % cơ năng bị mất sau 3 chu kì là :

2

2

 

=   ÷ ÷ = =

 

Dạng 3: Số dao động vật thực hiện được, số lần vật đi

qua vị trí cân bằng và thời gian dao động

Phương pháp

Theo lí thuyết ta có độ giảm biên độ sau mỗi chu kì là

0

4 mg

A 4x

k

µ

∆ = =

Tổng số dao động thực hiện được là : A0

N A

=

∆

Số lần vật đi qua vị trí cân bằng : 2N

Thời gian dao động : t N.T N.2 m

k

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có m = 100g, k = 100N/m bố

trí cho dao động trên mặt bàn nằm ngang không ma sát,

hệ số ma sát 0,1 Số dao động vật thực hiện được đến khi

dừng hẳn là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải: Độ giảm biên độ sau một chu kì :

3

4 mg 4.0,1.0,1.10

−

µ

Số dao động vật thực hiện được đến khi dừng lại :

0

∆

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo có m = 100g, k = 40N/m bố

trí cho dao động trên mặt bàn nằm ngang không ma sát,

hệ số ma sát 0,05 Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 10cm rồi buông nhẹ Số lần vật đi qua vị trí cân bằng cho đến khi dừng hẳn là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải: Độ giảm biên độ sau một chu kì :

4 mg 4.0,05.0,1.10

µ

Số dao động vật thực hiện được đến khi dừng lại :

0

∆

Số lần vật đi qua vị trí cân bằng là : 2N = 2.20 = 40 lần

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo có m = 200g, k = 10N/m bố

trí cho dao động trên mặt bàn nằm ngang không ma sát,

hệ số ma sát 0,1 Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 10cm rồi buông nhẹ Tìm thời gian vật dao động đến khi dừng lại?

Hướng dẫn giải: Chu kì dao động :

Độ giảm biên độ sau một chu kì :

4 mg 4.0,1.0,2.10

µ

Số dao động vật thực hiện được đến khi dừng lại :

0

∆ Vậy thời gian vật thực hiện dao động : t = NT = 5.0,89 = 4,45s

Dạng 4: Tìm tốc độ cực đại của vật đạt được trong quá trình dao động

Phương pháp

Trong dao động điều hòa ta đã biết vận tốc của vật lớn nhất khi vật đi qua vị trí cân bằng : vmax = ω A Ta đã chứng minh được dao động tắt dần là những nửa dao động điều hòa liên tục có biên độ giảm dần và vị trí cân bằng tức thời thay đổi, chung tần số góc k

m

ω = Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, nếu vị trí biên của nửa dao động ta xét có tọa độ A0 thì nửa dao động đó vật dao động điều hòa quanh vị trí có tọa độ x0 mg

k

µ

= Suy ra biên độ của nửa dao động này là A A = 0− x0

Ví dụ 1: (Trích đề ĐH 2010) Một con lắc lò xo có vật

nhỏ khối lượng m = 0,02kg và độ cứng k = 1N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ nằm ngang dọc theo trục của lò

xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10m/s2 Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải: Ta nhận định tốc độ lớn nhất vật nhỏ

đạt được trong quá trình dao động là tốc độ vật đi qua vị

trí cân bằng tức thời trong nửa dao động đầu tiên, quá

trình này vị trí cân bằng có tọa độ

0

mg 0,1.0,02.10

µ

Vậy

v = ω = ω A (A − x ) 5 2(10 2) 40 2 = − =

(cm/s)

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ m =

200g, lò xo có độ cứng 10N/m, hệ số ma sát trượt giữa

vật và mặt phẳng ngang là 0,1 Ban đầu vật được giữ ở vị

trí lò xo giãn 10cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt

dần, lấy g = 10m/s2 Tìm tốc độ cực đại của vật kể từ khi

vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng lần đầu tiên?

Hướng dẫn giải: Sau khi đi qua vị trí lò xo không biến

dạng lần đầu tiên vật sẽ đạt tốc độ cực đại trong nửa chu

kì thứ 2, nếu chọn vị trí cân bằng ban đầu là gốc tọa độ,

chiều dương theo chiều kéo vật thì vị trí bắt đầu của nửa

dao động thứ 2 có tọa độ:

− − = −  − ÷  = − − ÷ = − = −

Với tọa độ của vị trí cân bằng tức thời trong nửa dao

động này là :

0

mg 0,1.0,2.10

µ

Biên độ của nửa dao động này là: A1= − + = 6 2 4cm

Vậy tốc độ cực đại tìm được là:

v = ω = A 5 2.4 20 2 = (cm/s)

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối

lượng m = 100g, lò xo nhẹ có độ cứng k = 25N/m, hệ số

ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,5 Ban đầu

vật được giữ ở vị trí lò xo giãn 9cm, rồi thả nhẹ để con

lắc dao động tắt dần, lấy g = 10m/s2 Tìm độ giảm thế

năng tính từ khi buông vật đến lúc vật đạt tốc độ cực đại

trong quá trình dao động?

Hướng dẫn giải: Nếu chọn vị trí cân bằng làm gốc tọa

độ, chiều dương theo chiều kéo vật thì tọa độ vị trí thả

vật là A0 = 9cm

Vị trí vật đạt tốc độ cực đại có tọa độ

0

mg 0,5.0,1.10

µ

Vậy độ giảm cơ năng tìm được là:

W W W kA kx 25.0,09 25.0,02 9,625.10 (J)

−

Dạng 5: Quãng đường vật đi được trong dao động tắt dần

Phương pháp

Chúng ta phải chú ý rằng mỗi nửa dao động thì biên độ của vật giảm 2x0 2 mg

k

µ

= , vậy nếu gọi n là số nửa dao động của vật thì sau n nửa dao động tọa độ của vật nặng

− ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ thì con lắc không tiếp tục dao động được nữa vì lúc đó Fdh≤ Fms

nên con lắc không thể tiếp tục chuyển động từ trạng thái nghỉ Giải tìm n∈Z từ biểu thức − ≤ x0 A0− n.2x0 ≤ x0

rồi thế n vào biểu thức x A = 0− n.2x0 ta tìm được tọa

độ con lắc dừng lại Sau đó áp dụng định luật bảo toàn năng lượng 2 2

2 = 2 + µ ta tìm được chính xác quãng đường vật đi trong dao động tắt dần

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có m = 100g, k = 25N/m Dao

động tắt dần trên mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát

là 0,5 Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 9cm rồi thả nhẹ để vật dao động tắt dần Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại ?

Hướng dẫn giải : Ta có vị trí mà Fđh = Fms là

0

mg 0,5.0,1.10

µ

Tọa độ dừng của vật là x A = 0− n.2x0, điều kiện vật dừng lại là − ≤ ≤ x0 x x0 hay − ≤ x0 A0− n.2x0 ≤ x0 Thay số ta có − ≤ − 2 9 n.2.2 2 ≤ ⇒ 1,75 n 2,75 ≤ ≤ , vậy lấy n = 2 Thay vào biểu thức x A = 0− n.2x0 ta có tọa độ vật dừng x 9 2.2.2 1cm = − =

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng :

0

−

µ Thay số:

0 max

µ

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo dao động trên mặt bàn nằm

ngang có ma sát Ban đầu kéo vật đến vị trí lò xo giãn 9,5cm và thả ra, vật đi được quãng đường 8,5cm thì đạt tốc độ cực đại Hãy tìm quãng đường vật đi được từ khi thả vật đến khi vật dừng lại ?

Hướng dẫn giải: Nếu chọn gốc tọa độ tại vị trí vật mà lò

xo chưa biến dạng, chiều dương theo chiều kéo vật thì

tọa độ của vị trí vật đạt tốc độ cực đại là x0 = 9,5 – 8,5 =

1cm

Tọa độ dừng của vật là x A = 0− n.2x0, điều kiện vật

dừng lại là − ≤ ≤ x0 x x0 hay − ≤ x0 A0− n.2x0 ≤ x0

Thay số ta có − ≤ 1 9,5 n.2.1 1 − ≤ ⇒ 4, 25 n 5, 25 ≤ ≤ ,

vậy lấy n = 5 Thay vào biểu thức x A = 0− n.2x0 ta có

tọa độ vật dừng x 9,5 5.2.1 = − = − 0,5cm

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng :

0

−

µ

x k

µ

2 2

0

max

0

II DAO ĐỘNG DUY TRÌ

1 Định nghĩa

Dao động duy trì là dao động được giữ nguyên biên độ

mà không làm thay đổi chu kì dao động nhờ một hệ

thống thiết bị cung cấp bổ sung phần cơ năng bị mất sau

mỗi chu kì

2 Công suất trung bình cung cấp năng lượng

W

P

t

=

III DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC

1 Định nghĩa

Đó là dao động được giữ cho không tắt nhờ ngoại lực tác

dụng cưỡng bức tuần hoàn lên vật dao động Lực này

cung cấp năng lượng dao động cho con lắc bù lại phần bị

mất mát do ma sát Dao động cưỡng bức có chu kì dao

động theo chu kì của ngoại lực cưỡng bức

2 Hiện tượng cộng hưởng

Đó là hiện tượng biên độ của dao động cưỡng bức tăng

đến giá trị cực đại khi tần số f của lực cưỡng bức tiến

đến bằng tần số riêng f0 của hệ dao động

Nghĩa là thỏa mãn: f = 0⇒ ω ω = 0 hoặc T T = 0

B BÀI TẬP VD

Ví dụ 1: Cơ năng của một con lắc lò xo dao động tắt dần

giảm 5% sau mỗi chu kì Tìm độ giảm biên độ sau mỗi

chu kì?

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có:

0

W

∆ = Hay ta có:

0

0,05

1 2

kA

0 2

0 0

5%

A A

0

2,5%

A A

∆

Ví dụ 2: Một con lắc dao động chậm dần, sau mỗi chu kì

biên độ giảm 4% Tìm độ giảm năng lượng dao động sau mỗi chu kì?

Hướng dẫn giải

0

A

−

Như vậy độ giảm năng lượng dao động sau mỗi chu kì là:

2 2

0

1 W

2

A kA

Hay:

2

(0,96 )

W

A

−

Ví dụ 3: Một con lắc bố trí theo phương ngang có vật

nặng 200g và lò xo nhẹ độ cứng 100N/m Lấy g = 10m/s 2 Kéo vật rời khỏi vị trí cân bằng theo phương ngang 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao động Biết độ giảm biên độ sau một nửa chu kì là 2% Tìm:

a) Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang?

b) Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại?

c) Số lần vật đi qua vị trí cân bằng?

Hướng dẫn giải

0

A

−

Như vậy độ giảm năng lượng dao động sau một nửa chu

Theo định luật bảo toàn năng lượng độ giảm năng lượng dao động bằng công của lực ma sát, hay ta có:

2 k A − A = µ mg A + A

0,05

b) Độ giảm biên độ sau 1 chu kì Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại

Ví dụ 4: Một con lắc bố trí theo phương ngang có vật

nặng 20g và lò xo nhẹ độ cứng 1N/m Lấy g = 10m/s 2

Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1 Ban đầu giữa vật ở vị trí lò xo bị nén 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao động tắt dần Tìm tốc độ lớn nhất của vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động?

Hướng dẫn giải

Tốc độ cực đại tính bằng công thức:

0 axm ( 0)

v = ω A x −

Trong đó: ω = = 1 = 5 2

0,02

k

0

0,1.0,02.10

1

mg

k

µ

Vậy: v0 axm = 5 2(10 2) 40 2 − = (m/s)

Các bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Một con lắc đơn dao động tắt dần Sau mỗi chu

kì biên độ lại giảm bớt 3% Tìm năng lượng dao động

còn lại so với năng lượng dao động ban đầu sau 10 chu

kì?

tại nơi g = 10m/s 2 Kéo vật ra vị trí biên độ góc α =0 90

rồi buông nhẹ Năng lượng dao động giảm đều sau mỗi

chu kì là 5%.

a) Tìm thời gian con lắc dao động cho đến lúc dừng lại?

b) Tìm số dao động vật thực hiện được.