hệ thống điều khiển bộ biến đổi dc dc

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp mô hình hóa, thiết kế bộ điều chỉnh cho bộ biến đổi DC/DC trên miền tần số sử dụng đồ thị Bode và giới thiệu khả năng thiết kế cấu trúc đ

3 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN BỘ BIẾN ĐỔI DC/DC

Bộ biến đổi DC/DC đa dạng về cấu trúc bộ biến đổi, và được phân loại theo chức năng:

bộ biến đổi DC/DC giảm áp (buck converter), bộ biến đổi DC/DC tăng áp (boost converter), bộ biến đổi DC/DC tăng-giảm áp (buck-boost converter) Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp mô hình hóa, thiết kế bộ điều chỉnh cho bộ biến đổi DC/DC trên miền tần số sử dụng đồ thị Bode và giới thiệu khả năng thiết kế cấu trúc điều khiển phi tuyến cho bộ biến đổi DC/DC

3.1 Phương pháp mô hình hóa bộ biến đổi kiểu DC/DC

Quá trình thiết kế một hệ thống điều khiển thường được thực hiện theo các bước sau: xây dựng mô hình toán học của đối tượng điều khiển, phân tích hệ thống và tìm ra bộ điều khiển thích hợp, và cuối cùng là mô phỏng và thử nghiệm Trong đó, việc mô hình hóa là cầu nối giữa đối tượng vật lý (bộ biến đổi DC/DC) và lý thuyết điều khiển (phương pháp thiết kế bộ điều chỉnh) Tính chính xác và đặc điểm của mô hình toán học tìm được là một yếu tố quyết định đến chất lượng hệ thống, và định hướng cho công việc thiết kế các bộ điều chỉnh sau này

3.1.1 Phương pháp trung bình không gian trạng thái

Giả thiết bộ biến đổi DC/DC làm việc trong chế độ dòng điện liên tục (CCM) Giá trị trung bình của điện áp và dòng điện trong mỗi chu kỳ phát xung khóa bán dẫn S được chỉ

Trong đó x  là giá trị tức thời

Mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện trung bình qua phần tử thụ động L, C được chỉ

Bước 2: Sử dụng các định luật Kirhoff viết phương trình mạch điện bộ biến đổi DC/DC trong trạng thái 2 dưới dạng chuẩn hóa

Do mô hình (3.6) là phi tuyến, thể hiện qua phép nhân giữa hệ số điều chế d và biến

trạng thái x, nên muốn thiết kế bộ điều chỉnh theo phương pháp tuyến tính cần thiết phải tìm được mô hình khác phù hợp hơn để mô tả mô hình bộ biến đổi DC/DC dưới giác độ quan hệ hàm truyền đạt Theo [1], mô hình tín hiệu nhỏ là giải pháp để thực hiện ý tưởng trên và phục vụ cho công việc thiết kế bộ điều khiển tuyến tính sau này Mô hình tín hiệu nhỏ của bộ biến đổi DC/DC được viết lại như sau

Mối quan hệ giữa giá trị trung bình, giá trị xác lập và tín hiệu nhỏ được chỉ ra:

ˆˆˆˆ

+ Hàm truyền đạt giữa đầu ra và hệ số điều chế (khi cho u ˆ 0)

3.1.2 Phương pháp trung bình hóa mạch đóng cắt

Phương pháp trung bình không gian trạng thái trên đây có ưu điểm là có cơ sở toán học

rõ ràng Các bước tính toán chỉ dựa trên các phép biến đổi ma trận và có thể tự động hóa bằng một số công cụ hữu hiệu như Matlab, Mathcad, … Tuy nhiên việc sử dụng công cụ toán học thuần túy làm tách rời ý nghĩa vật lý, dẫn đến những khó khăn khi giải thích các đặc tính thu được và tiến hành hiệu chỉnh trong quá trình thiết kế

Phương pháp trung bình hóa mạch đóng cắt (switching network averaging) với xuất phát ban đầu từ trung bình hóa phần tử đóng cắt (switch averaging) là cách làm từ đầu khi muốn mô hình hóa các mạch điện tử công suất Ngày nay phương pháp này lại gây được sự quan tâm vì mô hình thu được gần với mô hình vật lý, có thể mô tả cả các phần tử gây tổn

thất như điện trở khi dẫn dòng của van, sụt áp trên van, một số mạch điện ký sinh (ví dụ như mô hình tụ điện ở tần số cao là một mạch RLC) Phương pháp cũng có thể được dùng cho các sơ đồ cộng hưởng, cho sơ đồ một pha, ba pha, các loại bộ biến đổi DC-DC, DC-

AC, AC-DC Trung bình hóa phần tử hay mạng đóng cắt đều dùng thay thế một phần của mạch điện bằng một mạng hai cửa với các biến là điện áp, dòng điện ở cửa vào và cửa ra Tùy theo điện áp hay dòng điện có thể coi là biến độc lập (ví dụ điện áp nguồn vào, đầu vào điều khiển, điện áp ra trên tải), các biến này được mô tả bởi nguồn áp hay nguồn dòng độc lập Hai biến còn lại sẽ trở thành các nguồn dòng hay nguồn áp phụ thuộc, tùy theo chức năng hoạt động của sơ đồ Nếu phần tử được thay thế bằng một mạng hai cửa thì có thể đặt nó vào bất cứ sơ đồ nào để phân tích tiếp Tuy nhiên vị trí trong sơ đồ của phần tử khác nhau dẫn đến mô hình có thể phức tạp không cần thiết Vì vậy phương pháp trung bình mạng đóng cắt tỏ ra phù hợp hơn cho mục đích mô hình hóa

Phương pháp trung bình hóa dựa trên cơ sở chính là các đại lượng cần quan tâm được điều khiển hay thay đổi với tần số thấp hơn nhiều (ít nhất là 10 lần), so với tần số đóng cắt của sơ đồ Khi đó có thể bỏ qua độ đập mạch của điện áp hay dòng điện và chỉ cần quan tâm đến giá trị trung bình của chúng trong một chu kỳ đóng cắt Ts Sau khi trung bình hóa

ta sẽ loại bỏ được phần tử đóng cắt và thu được mô hình phi tuyến cho tín hiệu lớn DC Tiếp theo sẽ tiến hành tuyến tính hóa quanh điểm làm việc cân bằng bằng cách đưa vào các biến động nhỏ đối với các biến, cuối cùng sẽ thu được mô hình cho tín hiệu lớn DC và tín hiệu nhỏ AC

Mạch điện Hình 3.1a được xem như mạng điện hai cửa, từ phân tích dạng điện áp và

dòng điện của mạng hai cửa này, trong trạng thái xác lập ta có mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện như sau:

Hình 3.1 Mô tả bộ biến đổi DC/DC, a) mạch lực bộ biến đổi DC/DC, b) Mô hình bộ biến đổi

DC/DC tại điểm xác lập, c) Mô hình trung bình bộ biến đổi DC/DC

Để thiết bộ điều chỉnh, mô hình bộ biến đổi DC/DC cần phải được tuyến tính hóa tại điểm làm việc cân bằng, khi đó các đại lượng điện áp và dòng điện được viết theo (3.19)

Hình 3.2 Mạng điện hai cửa, a) tín hiệu trung bình, b) Mạch điện điện tương đương được tuyến

tính tại điểm làm việc cân bằng

Từ mạng điện hai cửa được biểu diễn bằng mạch điện tương đương với tin hiệu trung bình và mạch điện tương được được tuyến tính tại điểm làm việc cân bằng, ứng dụng mô hình bộ biến đổi Buck, Boost, Buck-Boost

t o

u

o

u

t L

i

t o

Hình 3.3 Mô hình trung bình bộ biến đổi DC/DC, a)Bộ biến đổi Buck, b)Bộ biến đổi Boost

3.2 Mô hình toán học bộ biến đổi kiểu buck

L

Hình 3.4 Sơ đồ mạch điện bộ biến đổi kiểu buck (a), Sơ đồ mạch điện bộ biến đổi kiểu buck trong

thái 1(b), Sơ đồ mạch điện bộ biến đổi kiểu buck trong thái 2 (c)

3.2.1 Phương pháp trung bình không gian trạng thái

Sử dụng định luật KV ta có hệ phương trình mô tả sơ đồ mạch điện của bộ biến đổi buck converter trong trạng thái 1

L C

0

0 1

L L

in C

C

L o

C

d i

u L u

u

i u

0

d L

Do hệ số điều chế ở điểm làm việc xác lập 0D1, theo (3.29) bộ biến đổi buck converter mang đặc điểm bộ giảm áp

Sử dụng Toolbox Symbolic Math trong Matlab (chương trình chi tiết nằm ở phần phụ lục), ta sẽ tìm được các hàm truyền bộ biến đổi Buck dạng tổng quát theo các công thức (3.13), (3.14), (3.15), (3.16)

Hàm truyền điện áp đầu ra và hệ số điều chế

 

ˆˆ

3.2.2 Phương pháp trung bình hóa mạch đóng cắt

Từ mô hình mạch điện tương đương thay thể phần tử đóng cắt lắp Hình 3.2 vào sơ đồ

mạch lực bộ biến đổi Buck, ta có mạch điện mô tả bộ biến đổi Buck với tín hiệu nhỏ như

Hình 3.5

2

I d

1

U d

1ˆ

u

0ˆ

u

1ˆ

Trước hết ta xét hàm truyền từ hệ số điều chề đến điện áp đầu ra, từ (3.34) hàm truyền viết dưới miền ảnh Laplace:

 

   1

RCs



 là trở kháng song song giữa mạch tụ lọc C và tải R; Z L sLlà

trở kháng mạch điện cảm L Từ (3.35), (3.36) hàm truyền giữa hệ số điều chế với đầu ra điện áp ra sẽ là:

2

2 2

3.3 Mô hình toán học bộ biến đổi kiểu boost

L

Hình 3.6 Sơ đồ mạch điện bộ biến đổi kiểu boost (a), Sơ đồ mạch điện bộ biến đổi kiểu boost trong

thái 1(b), Sơ đồ mạch điện bộ biến đổi kiểu boost trong thái 2 (c)

3.3.1 Phương pháp trung bình không gian trạng thái

Sử dụng định luật KV ta có hệ phương trình mô tả sơ đồ mạch điện của bộ biến đổi boost converter trong trạng thái 1

dddd

L in

0

L RC

0 1

L L

in C

C

L o

u

d

i u

d L d

U U

Bộ biến đổi Boost với hàm truyền được mô tả ở (3.46) là hệ pha không cực tiểu, đây là vấn đề quan trọng để thiết kế bộ điều chỉnh cho bộ biến đổi boost converter sau này

3.3.2 Phương pháp trung bình hóa mạch đóng cắt

Từ mô hình Hình 3.3b mô tả bộ biến đổi Boost với các tín hiệu trung bình Sử dụng

công thức (3.19)để tuyến tính quanh điểm làm việc xác lập, ta thu được mô hình tín hiệu nhỏ của phần tử đóng cắt trong sơ đồ mạch lực bộ biến đổi Boost

Từ mạch điện được mô tả theo (3.48) kết hợp với sơ đồ mạch lực bộ biến đổi Boost, ta

có mạch điện mô tả bộ biến đổi Boost với tín hiệu nhỏ (chú ý rằng uˆ2 u Uˆ ,o 2 U o)

0ˆ

u

2ˆ

u

2

i

Hình 3.7 Mạch điện mô tả bộ biến đổi Boost với tín hiệu nhỏ

Viết phương trình cho nút dòng điện qua tụ C, chỉ xét với các thành phần xoay chiều:

ˆ1

o RC

3.4 Mô hình toán học bộ biến đổi kiểu buck – boost

Hình 3.8 Sơ đồ mạch điện bộ biến đổi kiểu buck - boost (a), Sơ đồ mạch điện bộ biến đổi kiểu buck

- boost trong thái 1(b), Sơ đồ mạch điện bộ biến đổi kiểu buck - boost trong thái 2 (c)

3.4.1 Phương pháp trung bình không gian trạng thái

Sử dụng định luật KV ta có hệ phương trình mô tả sơ đồ mạch điện của bộ biến đổi buck - boost converter trong trạng thái 1

L in

0

L RC

Hệ phương trình (3.58) được viết lại theo dạng không gian trạng thái (3.3) với ma trận được xác định theo (3.59)

10

in C

C

L o

u

d

i u

DU U

Bộ biến đổi Buck - Boost với hàm truyền được mô tả ở (3.46) là hệ pha không cực tiểu (tương tự như bộ biến đổi Boost) Để thấy được ảnh hưởng của hệ pha không cực tiểu ta khảo sát các đáp ứng trên miền tần số (khi thay đổi tải và điện áp đầu vào), và đáp ứng quá

độ theo thời gian khi thay đổi hệ số điều chế của bộ biến đổi Buck – Boost

Hình 3.9 Ảnh hưởng pha không cực tiểu đối với đáp ứng trên miền tần số (a) và động học (b) của

bộ biến đổi Buck-Boost [6]

Sự xuất hiện các điểm không nằm bên phải trục ảo dẫn đến nhiều khó khăn khi muốn có được tần số cắt lớn cho cả 2 bộ biến đổi Boost và Buck – Boost Công thức (3.47), (3.64) cho thấy tần số tại điểm không này là nhỏ nhất khi bộ biến đổi làm việc ở trong chế độ tải

nặng (R nhỏ) và điện áp đầu vào (U in) thấp, đây là trường hợp tồi tệ nhất khi thiết kế các bộ điều chỉnh cho 2 bộ biến đổi Boost và Buck – Boost Ngoài ra, đáp ứng động học cũng chỉ

rõ khi hệ số điều chế d tăng lên, điện áp đầu ra ban đầu có xu hướng giảm (ngược xu hướng với sự tăng lên của hệ số điều chế d) rồi sau đó mới tăng lên giá trị xác lập, điều này

làm giảm đáp ứng động học của hệ thống

3.4.2 Phương pháp trung bình hóa mạch đóng cắt

3.5 Mô hình toán học bộ biến đổi kiểu DC/DC dẫn dòng điện theo hai chiều

SC

u

Hình 3.10 Sơ đồ mạch lực bộ biến đổi DC/DC dẫn dòng điện theo 2 chiều

3.6 Mô hình bộ biến đổi DC/DC làm việc trong chế độ dòng điện gián đoạn (DCM)

Trong chế độ dòng điện liên tục (Continuos Current Mode – CCM) các bộ biến đổi đều

có quan hệ vào ra có dạng M(D), tức là hệ số truyền điện áp từ đầu vào đến đầu ra chỉ phụ thuộc vào hệ số điều chế D, là tỷ số giữa thời gian điều khiển mở van với chu kỳ đóng cắt

Ts, mà không phụ thuộc vào tải R Điều này nghĩa là trong mô hình các bộ biến đổi phía đầu ra coi là nguồn điện áp Trong các mô hình trung bình tín hiệu lớn DC và nhỏ AC, có thể xác định hàm truyền đạt giữa đầu vào đến đầu ra Gvg(s) và giữa điều khiển với đầu ra

Gvd(s) Cả hai hàm truyền này đều có đặc trưng là có cặp điểm cực (double pole) ở tần số thấp do mạch LC quyết định Thông thường tần số ở cặp điểm cực này chỉ cỡ 0,01 ÷0,05 fs, trong đó fs là tần số đóng cắt của bộ biến đổi (nghĩa là khoảng 1 kHz đến 5 kHz nếu fs =

100 kHz) Khi mô tả tính tới tổn hao trên cuộn cảm (rL) và điện trở nối tiếp hiệu dụng trên

tụ (rC hay ESR – effective series resistant) xuất hiện điểm zero âm, gọi là ESRzero, ở tần

số cao, cỡ 0,1 fs Điểm ESRzero làm giảm độ dự trữ về pha trong mạch vòng điều chỉnh dẫn tới hệ mất ổn định Đối với hàm truyền từ điều khiển đến điện áp đầu ra, hai loại bộ biến đổi cơ bản boost converter và buck-boost converter có xuất hiện điểm zero bên phải trục ảo Điểm zero dương cũng làm giảm độ dự trữ về pha trong mạch vòng điều chỉnh và làm cho boost và buck-boost converter trở nên các hệ pha không cực tiểu Vì vậy bộ điều chỉnh cho boost và buck-boost converter phải có dạng phức tạp, ít nhất là bao gồm 2 điểm cực và hai điểm zero, trong khi đối với buck converter bộ điều chỉnh có thể chỉ bao gồm 2 phần tử, 1 điểm cực và 1 điểm zero

Các bộ biến đổi đều có thể rơi vào chế độ làm việc dòng gián đoạn (Discontinuos Current mode – DCM) Chế độ dòng gián đoạn đặc trưng bởi dòng qua cuộn cảm bắt đầu

từ 0 và kết thúc cũng bằng 0 trước khi kết thúc chu kỳ đóng cắt Ts Do dòng gián đoạn

quan hệ điện áp vào ra sẽ phụ thuộc vào tải, M(D,K), trong đó K là một hệ số phụ thuộc tải Như vậy mô hình bộ biến đổi phía đầu ra sẽ không thể coi là nguồn áp được nữa Phương pháp trung bình phần tử đóng cắt vẫn được dùng để mô hình hóa bộ biến đổi Từ

mô hình trung bình thu được tiến hành tuyến tính hóa để có được mô hình tín hiệu nhỏ AC Hàm truyền thu được sẽ cho thấy chỉ có một điểm cực ở tần số thấp và một điểm cực ở tần

số rất cao, gần với tần số đóng cắt fs Do đó trong chế độ DCM việc thiết kế mạch vòng điều chỉnh sẽ đơn giản hơn, so với CCM

Hình 3.11 Dạng điện áp và dòng điện qua các phần tử trong chế độ dòng gián đoạn của bộ biến

đổi Buck- Boost [6]

3.6.1 Bộ biến đổi Buck

Hàm truyền đạt giữa điện áp ra và hệ số điều chế:

U



3.6.2 Bộ biến đổi Boost

Hàm truyền đạt giữa điện áp ra và hệ số điều chế:



3.6.3 Bộ biến đổi Buck - Boost

Hàm truyền đạt giữa điện áp ra và hệ số điều chế:

được xác định theo (3.15) Tuy nhiên, để có thể

thấy được ý nghĩa vật lý của nguyên lý điều khiển theo dòng điện, ta sử dụng phương pháp trung bình mạch đóng cắt

3.7.1 Bộ biến đổi Buck

3.7.1.1 Trong chế độ dòng điện liên tục

Theo mạch điện Hình 3.5 công suất trung bình cân bằng giữa đầu vào và đầu ra mạng

điện hai cửa u t i t1   , 1   , u t i t2 , 2 nên ta có:

       

Chú ý rằng đối với bộ biến đổi Buck thì i t2 i L t

Giả thiết bộ mạch vòng điều khiển dòng điện sẽ đảm bảo cho dòng thực bám theo dòng đặt trong mọi điểm làm việc, nghĩa là i t c i L t Phương trình (3.69) được viết lai:

Phương trình (3.71) được mô tả trên mạch điện hình Hình 3.12 Từ (3.71) ta có mô hình

tín hiệu nhỏ cho buck converter, điều khiển bằng dòng điện như thể hiện trên hình 4-8 Hình 4-8 cho thấy cổng ra mạng đóng cắt thể hiện là nguồn dòng, có giá trị i tc  Dòng điện ở cổng vào được phân làm ba thành phần Thành phần liên quan đến i tc  thể hiện bằng nguồn dòng độc lập và liên quan đến vo t thể hiện bằng nguồn dòng phụ thuộc, còn

thành phần liên quan đến vg t thể hiện qua điện trở ảo âm 1

1

U I

 , thể hiện đặc tính của nguồn thu công suất đầu vào

2 1

ˆ

c

U i U

u

1 1

U I

Như vậy điều khiển theo dòng điện biến buck converter thành nguồn dòng Hình 3.12

cũng nói lên rằng hàm truyền từ điện áp vào đến điện áp ra bằng 0:

Phương trình (3.74) nói lên rằng sự thay đổi điện áp vào v g (t) không ảnh hưởng đến điện

áp ra vì dòng qua cuộn cảm L chỉ phụ thuộc vào điều khiển i c (t) Hệ thống điều khiển sẽ hiệu chỉnh hệ số điều chế d để giữ dòng qua cuộn cảm không đổi, không phụ thuộc vào sự

thay đổi của điện áp vào

3.7.1.2 Trong chế độ dòng điện gián đoạn

3.7.2 Bộ biến đổi Boost

3.7.2.1 Trong chế độ dòng điện liên tục

Theo mạch điện Hình 3.7 công suất trung bình cân bằng giữa đầu vào và đầu ra mạng

điện hai cửa u t i t1   , 1   , u t i t2 , 2 nên ta có:

       

Chú ý rằng đối với bộ biến đổi Boost thì i t1 i L t

Giả thiết bộ mạch vòng điều khiển dòng điện sẽ đảm bảo cho dòng thực bám theo dòng đặt trong mọi điểm làm việc, nghĩa là i t c i L t Phương trình (3.69) được viết lai:

           

u t i t u t i t u t i t (3.76) Thay công thức (3.19) vào(3.70), kết hợp với biểu thức cân bằng công suất ở chế độ xác lập (U I1 1U I2 2,I1I c) và thành phần ˆ1   ˆ

11

Phương trình (3.80) được mô tả dưới dạng sơ đồ mạch điện như sau:

   , tần số tại điểm cực p 2

RC

 

3.7.2.2 Trong chế độ dòng điện gián đoạn

3.7.3 Bộ biến đổi Buck - Boost

3.7.3.1 Trong chế độ dòng điện liên tục

Ta có hàm truyền giữa điện áp đầu ra và dòng điện đặt được viết như sau:

3.7.3.2 Trong chế độ dòng điện gián đoạn

3.8 Nghiên cứu một số ảnh hưởng trong thực tế đến mô hình

bộ biến đổi DC/DC

3.8.1 Ảnh hưởng bởi thành phần điện trở nối tiếp với tụ đầu ra

Tụ hóa được sử dụng rộng rãi ở đầu ra bộ biến đổi DC/DC, tuy nhiên tụ này có tồn tại nội trở lớn, và giá trị của nội trở này có thể được xác định gần đúng như sau:

tan2

Với sự xuất hiện thành phần điện trở r c thì hàm truyền đạt giữa điện áp và hệ số điều

chế sẽ được bổ sung thêm điểm không nẳm ở bên trái mặt phẳng phức Dạng tổng quát của hàm truyền này được mô tả như sau:

  ˆ   0

ˆ

1ˆ

in

o vd

3.8.2 Ảnh hưởng bộ lọc LC (post LC filter) đầu ra

Hình 3.14 Lọc LC (post LC filter) đầu ra bộ biến đổi DC/DC

Do có sự tham gia khâu lọc LC đầu ra bộ biến đổi DC/DC hàm truyền đạt giữa điện áp đầu ra và hệ số điều chế sẽ có sự tham gia khâu dao động bậc 2 , và có dang tổng quát như sau:

1ˆ

ˆ

1

in

ESR o



Hình 3.15 Ảnh hưởng bộ lọc LC đến hàm truyền đạt giữa điện áp đầu ra và hệ số điều chế

Tần số cộng hưởng của mạng lọc LC phải được thiết kế trong phạm vi từ (1/10 ÷ 1/5) tần số phát xung của bộ biến đổi

3.9 Tuyến tính hóa khâu điều chế độ rộng xung

12

s

T PWM

Tuy nhiên, tần số phát xung PWM rất lớn (T rất bé so với tần số thực hiện các phương s

pháp mô hình bộ biến đổi DC/DC), vì vậy trong thiết kế bộ điều chỉnh DC/DC người ta chỉ

sử dụng hàm truyền đạt (3.92) để mô hình hóa khối PWM

Hàm truyền khối PWM theo (3.92) sử dụng thiết kế mạch vòng điều khiển sử dụng các

IC tương tự: UC38xx Tuy nhiên, đối bộ điều chỉnh được thiết kế và thực thi trên vi điều khiển, thông thường người ta sử dụng hàm truyền đạt G PWM s 1

3.10 Điều khiển tuyến tính cho bộ biến đổi DC/DC

Hình 3.16 Phản ứng sự thay đổi giữa hệ số điều chế đến điện áp đầu ra tại tần số 1kHz (điểm A)

và tần số 10kHz (điểm B)

3.10.1 Nhắc lại một số kiến thức về lý thuyết điều khiển tự động

Cấu trúc bộ điều khiển tuyến tính cho DC/DC được thiết kế trên miền tần số Do đó, việc nắm vững kiến thức về đồ thị Bode (đặc tính tần biên-pha) đóng vai trò quan trọng trong việc thiết kế các bộ điều chỉnh

Xét hệ thống tuyến tính được mô tả bằng hàm truyền đạt sau:

Theo [11], (3.94) chỉ đúng khi tất cả các điểm cực của G s phải nằm bên trái trục ảo  

Đồ thị bode biểu diễn G j  thành hai thành phần

+ Biên độ là: L  20 logG j  Đơn vị là dB

+ Góc   c arcG j c là tung độ cả   c tại tần số cắt

+ Hệ kín sẽ ổn định nếu   c nằm phía bên đường   

Khi hệ kín ổn định và tín hiệu vào là hằng số thì sau quá trình quá độ, tín hiệu ra cũng

sẽ là hằng số Tuy nhiên, tín hiệu ra có bằng tín hiệu vào (không tồn tại sai lệch tĩnh) thì không được đảm bảo