ĐỀ CHÍNH THỨC.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 12
Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán
Ngày thi: 3 – 10 – 2013 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang)
Bài I (5 điểm)
Cho hàm số: yx33x4 có đồ thị (C)
a) Tìm các điểm M, N cùng nằm trên (C) sao cho điểm 1
; 2 2
I
là trung điểm của đoạn thẳng MN
b) Cho ba điểm phân biệt A, B, C cùng thuộc (C) Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt (C) tại điểm thứ hai lần lượt là A’, B’, C’ Chứng minh rằng: Nếu A, B, C thẳng hàng thì A’, B’, C’ cũng thẳng hàng
Bài II (5 điểm)
a) Giải phương trình: 2 2
2 x 2 x 5 4 x 1 x 3
b) Giải hệ phương trình:
Bài III (2 điểm)
Cho các số thực a, b, c sao cho a 0, b 0, 0 c 1 và a2 b2 c2 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
6
a b c
Bài IV (5 điểm)
Trong không gian cho ba tia 0x, 0y, 0z không đồng phẳng Đặt xOy , yOz , Ox z
Lấy các điểm A, B, C lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho OA OB OC a với a 0
a) Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho BM 2 MC và I là trung điểm của đoạn AM Tính độ dài đoạn thẳng OI theo a trong trường hợp 60 ,0 900
os +cos +cos
>-2
Bài V (3 điểm)
Cho dãy số un thoả mãn điều kiện:
1
2
1
2
2013
, 1, 2
n
u
u
a) Chứng minh rằng un là dãy số tăng
b) Với mỗin 1, n N, đặt
1 1
n n
n
u v
u
Chứng minh rằng:
1 2 n 2014
v v v với mọi n 1
- HẾT -
Họ tên thí sinh:……… Phòng thi:………
ĐỀ CHÍNH THỨC