Dùng đạo hàm để chứng minh đẳng thức tổ hợpBài tập: 1.. Cho n là số tự nhiên.. Chứng minh rằng: bằng cách xét khai triển x2+x100.. Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên
Trang 1Dùng đạo hàm để chứng minh đẳng thức tổ hợp
Bài tập:
1 Chứng minh rằng:
2011 3 2011 3 2011 3 2011 2 (2 1)
Từ đó tổng quát lên bằng cách thay 2011 bởi một số tự nhiên n bất kì
2 Cho n là số tự nhiên Chứng minh đẳng thức sau:
2010 3 2010 5 2010 2009 2010 2 2010 4 2010 6 2010 2010 2010
3 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Rút gọn biểu thức sau:
1
2 2 2.2 3.2
n
k
=
∑
4 Tìm số tự nhiên n biết rằng:
2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 ( 1) 2 k k 2k 1 (2 1).2 n 2n1 2011
5 Chứng minh rằng:
bằng cách xét khai triển (x2+x)100
6 Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n lớn hơn 2:
2.1 3.2 .( 1) n ( 1).2n
7 Bằng cách xét khai triển (x−1)n, chứng minh rằng đẳng thức sau
đúng với mọi n:
2 0 ( 1)2 1 ( 2) 2 2 ( 1)n 1 n 1 0
n C − −n C + −n C − + − −C − =
Trang 2Sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức
Lời giải
8 Chứng minh các đẳng thức lợng giác trong tam giác:
a Ta cần chứng minh: sin sin sin 4cos cos cos 0
Do A, B, C là các góc của một tam giác nên: A B C+ + = ⇒ = −π C π (A B+ )
Cố định B, ta xét hàm số biến A nh sau:
( , ) sin sin sin ( ) 4cos cos cos
sin sin sin( ) 4cos cos sin
A B
π
+
Ta sẽ chứng minh đạo hàm của hàm số này bằng 0 với mọi A Thật vậy:
( , ) cos cos( ) 4cos sin sin cos cos
2 cos cos( ) 2cos cos
+
Suy
ra với B cố định thì ( , )f A B là hàm hằng với mọi A Cho A=0, ta có:
0 (0, ) sin 0 sin sin 4cos cos sin 2sin 4sin cos 0
Vậy ( , ) 0, f A B = ∀A B, ∈(0, )π Ta có đpcm
b Xét hàm số: ( , ) cos cos cos( ) 4sin sin cos 1
Tơng tự câu a., ta chứng minh ( , ) 0f A B′ = và (0, ) 0f B =
Trang 3c Xét hàm số: ( , ) tan tan tan cot cot tan 1
Tơng tự câu a., ta chứng minh ( , ) 0f A B′ = và (0, ) 0f B =
9 Chứng minh đẳng thức:
(a) arcsin arccos ,
2
x+ x=π ∀ ∈ −x [ 1, 1];
Với 1, arcsin1 arccos1 0
x= + = + =π π .
Với 1, arcsin( 1) arccos( 1)
Suy ra đẳng thức trên đúng trong trờng hợp x= ±1
Xét hàm số: ( ) arcsin arccos ,
2 ( 1,1)
f x = x+ x−π ∀ ∈ −x Ta có:
(arccos) , (arcsin)
f x
− − Suy ra, là hàm hằng với mọi x∈ −( 1,1).
Cho 2
2
x= , ta có: ( 2) arcsin 2 arccos 2 0
Do đó: f(x)=0, ∀ ∈ −x ( 1,1)
Từ đó suy ra: arcsin arccos 0, [ 1,1]
2
x+ x− =π ∀ ∈ −x Ta có đpcm.
Trang 4(b) arctan arccot ,
2
x
Cũng tơng tự câu (a), ta xét hàm số: ( ) arctan arccot ,
2
Chú ý rằng (arctan) 1 2, (arccot) 1 2
Suy ra: ( ) 1 2 1 2 0 0
f x
+ + , tức là hàm hằng với mọi x∈Ă
Hơn nữa (1) arct arccot1
2
4 2
1
4
f = + − = + −π π π π = .
Do đó: f x( )=0, ∀ ∈x Ă Ta có đpcm
10 Xét khai triển:
( 1)n n n n ( 1)n n ( 1)n n
x− =C −C − ì +x C − ì − + −x − ì ìC x − + − ì ìC x
Đạo hàm hai vế theo biến x, ta có:
( 1)n n 2 n ( 1)n ( 1) n ( 1)n n
n xì − − = −C − + ìC − ì − + −x − ì − ì ìn C x − + − ì ì ìn C x −
Nhân hai vế của biếu thức trên cho x, ta đợc:
1
( 1)
2 ( 1) ( 1) ( 1)
n
n x x
−
ì ì − =
= − ì + ì ì − + − ì − ì ì + − ì ì ì
Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta có:
( 1) ( 1) ( 1)
2 ( 1) ( 1) ( 1)
= − + ì ì − + − ì − ì ì + − ì ì ì
Cho x=1, ta đợc:
0 n 2 n ( 1)n ( 1) ( 1)n
= − + ì − + − ì − ì + − ì ì hay
Trang 52 0 1 2 1 2 2 1
( 1)n ( 1)n ( 1) 2 n n 0
Ta có đpcm
11 Xét khai triển:
(1−x) =C −C ì +x C ì −x C ì + −x C ìx +C ìx
Đạo hàm hai vế theo biến x, ta đợc:
2010 (1 x) C 2 C x 2009 C x 2010 C x
Cho x=1, ta có:
Ta có đpcm
12 Xét khai triển:
Đạo hàm hai vế theo biến x, ta đợc:
100 (2 1) ( )
Cho 1
2
x= − , ta có:
= − ì ì ữ + ì ì ữ + ì ì ữ − ì ì ữ
Trang 6Ta có đpcm.
13 Tìm số tự nhiên n biết rằng:
2 1 2 2ã ã 2 1 3 2ã ã 2 1 ( 1)k ã2k ã 2k 1 (2 1)ã ã2 n 2n1 2011
C + − C + + C + − + −L − − C + + +L n+ C ++ = Trớc hết, ta sẽ rút gọn:
2 1 2 2ã ã 2 1 3 2ã ã 2 1 ( 1)k ã2k ã 2k 1 (2 1) 2ã ãn 2n1
Xét khai triển:
Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta đợc:
(2 1) (1 ) n 2 2 n n (2 1) n n
Cho x= −2, ta đợc:
2 1 2 2 2 2 n n (2 1) 2 n n
n+ =C + − ì ìC + + − nì − ìC + + n+ ì ìC ++
Do đó, với mọi số tự nhiên n thì: S n =2n+1.
Suy ra: S n =2011⇔ 2n+ =1 2011⇔ =n 1005.
Vậy giá trị n cần tìm là 1005
14 Ta cần tính:
2n 2 2ã n 3ã2n n
Ta thấy:
1
n n n
n
S
−
− = + + + +
Xét khai triển:
x+ =C +C x C xì + ì + +C − ìx − +C xì
Đạo hàm hai vế theo biến x, ta có:
Trang 71 1 2 1 1 1
( 1)n 2 ( 1) n n n n
n x× + − =C + × × + + − ×C x n C − ×x − + × ×n C x −
Cho 1
2
x= , ta cã:
2 ( 1)
−
× ÷ = + × × ÷+ + − × × ÷ + × × ÷
Suy ra:
1
1 1
3
3
n
n n
n n
S
−
−
− = × ⇔ = ×
÷
VËy tæng cÇn tÝnh lµ: 1
3n n
S = ×n −