SKKN Rèn luyện tư duy, tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp

Nếuchưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận dụng các công thức trong sáchgiáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn.. Để giúphọc sin

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình toán học phổ thông phần đại số tổ hợp, số phức là chương trình mới

lạ và khó đối với các em học sinh Các bài toán tổ hợp mang tính tổng hợp và khái quáthóa cao Vì vậy học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng tạo giảm Nếuchưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận dụng các công thức trong sáchgiáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn Các

em không biết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức nào để chứng minh? Để giúphọc sinh khắc phục tình trạng trên,giúp cho các em có sự say mê, tư duy sáng tạo trongviệc học phần đại số tổ hợp Tôi đã đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy,tìm tòi thêm các công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các côngthức mới dựa trên các công thức đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức

để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn.Tạo ra sự hứng thútrong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loạibài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác Trong khuôn khổ

đề tài “Rèn luyện tư duy,tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp” tôi chỉ nêu một số phương pháp thường dùng để các em

giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp một cách khoa học hơn, có cơ sở và cótính sáng tạo hơn Từ đó để các em củng cố kiến thức,rèn luyện khả năng nghiên cứukhoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốtnghiệp và kỳ thi đại học,cao đẳng

PHẦN II: NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Công thức nhị thức Niu-tơn:

k k n k n n

n n k

k n k n n

n n n

; (k n k nN* (Quy ước a0 b0  1)

- Một số em khi gặp các bài toán mà các em chưa tìm ra hướng giải các em sẽ bỏ cuộcngay,không có tính kiên trì tìm tòi,ỷ lại,chờ thầy giáo,cô giáo chữa

- Số tiết bài tập dành cho loại bài tập này ít nhưng nó lại có trong các đề thi thử Đại họccủa một số trường THPT ,và đặc biệt cũng có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng,thihọc sinh giỏi tỉnh.

n n

n n

n n

n n

n

n C 3C 3 C 3 C 3 C 3 C

) 3 1

n n

1 2

2

1 2

8

9 4

5 2

3 2 1

n k

n k

k n

n n

n n

n

1 2

2 1 2

1

1 2

0

1

2          2 (n  N* )

Giải:

a.Xét khai triển n n

n k

k n n

n n

k n k n

n n n

2

1

2

1

8

1 4

1 2

1 )

n n n

n C C C C  C  C

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

1 2

3 2 2

1 2

2

1 2

8

9 4

5

2

3 2 1

n k

n k

k n

n n

2 1 2

1 1 2

0 1 2 1

2

2 1 2

1 1 2

2 1 2

1 1 2

0 1 2 1

) 1

2 1 2

1 1 2

0 1

n n

n n n

n

1 2

2 1 2

1 1 2

0 1 2 1

2

2 1 2

1 1 2

3 2

n n

C n

n n n n n

n n

n n n

2C n nC n

2

1 3

1 1

2 1

1 1

0 1

) 1

Thay x = 1 ta được: 1

1

2 1

1 1

0 1

2 ( )

( ) 1 (

n

n n n

n n

n n n

n n

.

n n

n n

4 3

.

n n

n

Cách 1: Ta có:

1 2 ) 2 ( 1 2 2 2 ) 2 ( )

n n

n n n

n n n

4 3 3 2 2

1 2 1 1

0 1

2 1

1 1

0 1

) 1

1 2 1 1

0 1

Giáo viên: Làm cho học sinh hiểu rõ :Nếu ở ví dụ này ta thay x bởi một số tự nhiên khác

thì chúng ta lại có một bài toán mới Từ đó giáo viên cho học sinh tổng quát thành bàitoán:

Bài tâp tổng quát:

Ví dụ 6:

Cho n là số tự nhiên n 1 Chứng minh đẳng thức sau:

1

1 2 1

1 1

4

1 3

1

2

1 3

2 1

C n C

C C

C

n n n

n n n

n n

k

n C

k

Do đó: 1

1 0

2

1 1

1

1 2

3

1 2

1

1 3

( 1

1 1

1 1

4

1 3

2 1

1 1 1

3 2 1

C n C

C C

1 1 1 2

2 1

1 1

0 1

1 1

0 1

) 1 1

1 1

4

1 3

1 2

1 3

2 1 0

C n C

C C C

n n n

n n n

n n n

điều phải chứng minh

Cách 2:Sử dụng đạo hàm (Phần sau)

Giáo viên: Nếu ở khai triển (1) của ví dụ này ta thay x = 2; x = 3 thì kết quả như thế

nào ? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán Từ đó cho học sinh pháttriển thành bài tập tổng quát với x = a (a  N* )

Đặt: n

n

n n n

0 2 2

2 C n n n C n nC n

2 1

1 2 3

3 C n n n C n nC n

2 1

3 2 1

2 2

( )

1 1

0 1

2 21

2 2

1 2

0 2

2 2

1 2

0 2

) 1

2 1

1 1

0 1

) 1

2013 2013

1 2014

2012 2013

2011 2014

2 2013

2012 2014

1 2013

2013

2013

) 1 ( x 2013 C0 C1 xC2 x2  C x

2014 2014

2014

2014

) 1

4027 4027

4027

4027

) 1 ( x 4027 C0 C1 xC2 x2  C x

Và ( 1 x) 2014 ( 1 x) 2013  ( 1 x)

Đồng nhất các hệ số của x k (k  N* )ở hai vế của đẳng thức 4027

) 1 ( ) 1 ( ) 1

x x

k n m

k n

k m n

k m n

k m

,

; 0

n n n

n n

n n

n n

n n

n n

4 2013

2 2013

0 2013

n

n n

n

n

C n C

C C

S

1

) 1 ( 1

) 1 (

4

1 3

1 2

1 3

2 1

2 2 1

2

3 2

1

1

4

1 2

n n

n

n

C n C

C C

S

1

5 5

4

5 3

5 2

1 3

4 2 3 1 2

n n

n

n

a C n

a C

a C a C

2

1 1 3

4 2 3 1 2

n

n n

n

n

C n C

C C

S

1

) 1 ( 1

) 1 (

4

1 3

1 2

1 3

2 1

1 2

2

1

4

1 2

n n

n

n

C n C

C C

S

1

5 5

4

5 3

5 2

1 3

4 2 3 1 2

n n

n

n

a C n

a C

a C a C

2

1 1 3

4 2 3 1 2

2013 2 2012 2013 2 2010

3 2013 2 2011 2

2013 2 2012

3 2 2 2 2 1

n n

n n

n n

1 2

3 1

2

0

1

) 1 (

n

n n n

n n

C n C

C C

1 2

2012 2014

2011 2012

2 2014

2012 2013

1 2014

2013 2014

thể mà ta phải tính đến đạo hàm cấp một, cấp hai,v.v bằng các ví dụ giáo viên dẫn dắt,giúp học sinh lựa chọn cách giải nào cho phù hợp.

Ví dụ1: (Đây là Ví dụ 1 phần phương pháp 1 ta sẽ dùng đạo hàm để chứng minh)

n n n

n n

n n

- Như vậy khi học sinh đã được học đạo hàm thì việc dùng đạo hàm để giải bài toán này

sẽ nhanh hơn cách giải ở phần trước

- Ở Bài tâp tổng quát: phần phương pháp 1 ta chỉ cần thay x = a.( * )

1 2 2 2

1 2

1 1

n

n n

3 1 2 2 2 1 2

1 1 2

0 1 2 1

) 1

1 2 2 2

1 2

1 1 2

Ví dụ 3:

n

n n

n n

n n

n n

4 2014

2 2014

1 2014

0 2014

) 1 ( x C C xC x  C x (1)

2014 2

2 2014

1 2014

0 2014

) 1 (  x C  C xC x  C x (2)Lấy (1( cộng (2) ta được:

2014 2014 2014 4

4 2014 2

2 2014

0 2014 2014

4 2014

2 2014 2013

n n

n n

n n

3 1

2 0

2 2 0

1 2 1

) 1

Bài tập:

1.Chứng minh đẳng thức:

n n

n n

n

n n

n n

n n

n n

2.Chứng minh đẳng thức:

1 2  2 3  3 4   (  1 ) n  (  2 ) 2n 1  1

n n

2 (

n m m n

m

n n n n

Phương pháp3:Dùng tích phân

Có những bài tập có thể dùng nhiều phương pháp để chứng minh, một số ví dụ hay một

só bài tập ở hai phương pháp trên có thể dùng phương pháp tích phân để giải.Giáo viênđưa ra các phương pháp sau đó yêu cầu học sinh lựa chọn phương pháp nào cho phù hợpbởi vì mỗi em có thể thiên về mỗi mảng kiến thức khác nhau.Rèn luyện để các em căn cứvào đề bài để chọn cách lấy cận của tích phân

Ví dụ:1

Cho n là số tự nhiên n 1 Chứng minh đẳng thức sau:

1

1 2 1

1 1

4

1 3

1

2

1 3

2 1

C n C

C C

n

n n n

n n

n

Giải:

n n

n n n

dx x C x

C x C x C C dx

n n

n n n

3 4 2 3 1 2

1

1 1

4

1 3

1 2

1

n n n

n

n n

n n

n C x n C

x C x C x C

n n

n

C n C

C C C

1

1 1

4

1 3

1 2

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

1

(

1 1

0

1 1

0 1

n

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Từ ví dụ 1 giáo viên yêu cầu học sinh đọc kết quả bài tập sau:

Cho n là số tự nhiên n 1 Tính tổng :

n n n

n n

n n

n n

n

C n C

C C

C

S

1

1 2 1

2

4

1 2 3

1 2 2

1

n n

n n

n C

C C

C

P

1

1 2 ) 1 (

4

1 2 3

1 2 2

1 2

1 2 1

2

4

1 2 3

1 2 2

1

1 3

4 2 3 1

C n C

C C

n

n n n

n n

n n

n

Giải:

Cách 1:

n n

n n n

C x C x C C dx

n n

n n n

3 4 2 3 1 2

1

1 1

4

1 3

1 2

1

n n n

n

n n

n n

n C x n C

x C x C x C

n n

n n

n

C n C

C C

C

1

1 2 1

2

4

1 2 3

1 2 2

1

1 3

4 2 3 1 2 0

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

1

(

1 1 2

1

1 2

1 2

n n

1 2

2

) 1 ( 2

) 1 (

8

1 6

1 4

C n C

C C

n

n n

n

n n

n n

0

2 2

n

(1)

Xét khai triển:

n n n

n n

n n

C x

C x C x C x C dx

x

n

n n

n n

8 2 6 1 4 0

2 2

1 ) 1 (

8

1 6

1 4

n n

n

n C

x C x C x C

n n

n

n n

n n

n

C n C

C C

C

2 2

) 1 ( 2

) 1 (

8

1 6

1 4

1 2 3

3

1

12

1 9

1 6

1

3

3 2

C C

C

n n n n

n n

1

(

1 1

0

1 3 1

0

3 3

1

0

3 2

n

Xét khai triển:

n n n n

n n n

1

C x C x C x C dx

x

n n

n n

12 2

9 1 6 0

3 3

1

12

1 9

1 6

n n

n C

x C

x C x C

n n

n C

C C

C

3 3

1

12

1 9

1 6

n n

n n n

n n

n n

n x dx C C x C x nC n x n dx

n n

n n

) 1

1 3

3 2 2

n n n n n n

dx x

n n n

n n

n

C n C

C C

C

S

2 2

1 2

1

8

1 6

1 4

) 3 ( 1 2

2

2 ) 1 ( 2

2 ) 1 (

8

2 6

2 4

2

2

1 2 1 3

8 2 6 1 4

C n C

C C

C

n n

n

n n n

n

n n n

n n

4.Chứng minh đẳng thức sau:

1

) 1 ( 1 1

1 2 ) 1 (

4

1 2 3

1 2 2

C C

C

n n

n n

n n

n n

5.Chứng minh đẳng thức sau:

) 1 2 (

5 3

) 2 (

4 2 1

2

) 1 (

7

1 5

n C

C C

n

n n

n n

Ví dụ 1 :

2013

5 2013

3 2013

3 2013 2

2 2013

1 2013

0 2013

) 1

i C C

C C

C C

C

2013

5 2013

3 2013

1 2013

2012 2013

4 2013

C C

C C

C C

3 2013

1 2013

2012 2013

4 2013

2 2013

0 2013 1006

3 2013

1

2013  C C  C   2

Sau khi giải xong ví dụ này giáo viên yêu cầu học sinh rút ra kết quả của bài tập sau:

2013

4 2013

2 2013

8 2013

4 2013

Xét khai triển : 2013 2013

2013 3

3 2013 2

2 2013

1 2013

0 2013

) 1

i C C

C C

C C

C

2013

5 2013

3 2013

1 2013

2012 2013

4 2013

C C

C C

C C

3 2013

1 2013

2012 2013

4 2013

2 2013

0 2013 1006

2 2013

0 2013

3 2013 2

2 2013

1 2013

0 2013

) 1

Thay x = 1 ta có:

2013 2013

2013

5 2013

3 2013

1 2013

2012 2013

4 2013

5 2013

3 2013

1 2013

2012 2013

4 2013

2 2013

0 2013

2013 3 4 2013 2 2 2013

2013 3

3 2013 2

2 2013 1

2013 0

C C

C C

C

2013 1006 3

2013 1

2013 2012

2013 1006 4

2013 2 2

Từ (1) và (2) ta có: 2 C 3C 3 C 3 C (C 3C 3 C2013 ) 3i

2013 1006 3

2013 1

2013 2012

2013 1006 4

2013 2 2 2013 0

2013 2013

2013 1006 6

2013 3 4 2013 2 2

2013

0

2013  3C  3 C  3 C   3 C   2

Sau khi giải xong ví dụ này giáo viên yêu cầu học sinh rút ra kết quả của bài tập sau:

2013 1006 5

2013 2 3 2013

4 cos 3

cos 2

C C

n n

n n

n

Giải:

n n

n n n

3 3 2 2 1

n n

n

) ) 1 sin(

3 sin 2

sin sin

(cos 2 cos 2 ) 2

cos 2 sin 2 2 cos 2 ( ) sin cos

2

cos

) 2

sin 2

)(cos sin (cos

) 2

sin 2 )(cos sin

n i n i

i

2 cos 2 cos 2 ) sin cos

1 )(

sin

i n

4 cos 3

cos 2

C C

n n

n n

4 sin 3

sin 2

C C

n n

n n

2014

4 2014

2 2014

C

n n

3 3

C C

C

C

n n

n n

n      (n  N* )

7.Tính các tổng hữu hạn:

1 3

1

IV KIỂM NGHIỆM

Trước đây chưa sử dụng đề tài này qua quá trình kiểm tra các em tôi thấy các em khôngbiết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức nào để chứng minh? các bài kiểm tra cónhiều em còn bị điểm kém ,điểm khá giỏi ít.Để kiểm tra hiệu quả của đề tài này, sau khicác em được hướng dẫn cách sử dụng công thức, tính chất tổ hợp, cách sử dụng đạo hàm,tích phân, công thức triển khai nhị thức Niu Tơn, số phức để chứng minh hay tính tổngcác bài toán liên quan đến tổ hợp Các em đã tự tin và giải bài toán dạng này một cáchthành thạo, ngoài ra một số em khá giỏi còn tự tìm tòi thêm một số bài toàn mới, một sốbài tổng quát Tôi đã tiến hành kiểm tra miệng,15 phút ,1 tiết hoặc 2 tiết trên các lớp thựchiện đề tài này kết quả thu được đáng khích lệ như sau:

1.Năm học 2009-2010

Lớp Sỹ số Điểm từ 5 đến dưới

7

Điểm từ 7 đến dưới 8 Điểm trên 8

12K 48 1 2 14 29,2 33 68,8

Lớp Sỹ số Điểm từ 5 đến dưới

7

Điểm từ 7 đến dưới 8 Điểm trên 8

Qua quá trình thực hiện đề tài này tôi thu được một số bài học kinh nghiệm:

- Luôn củng cố và khắc sâu các kiến thức có liên quan

- Cần rèn luyện cho học sinh sau khi đọc đề bài cần phân tích và chọn lời giải tối ưu nhất.Biết linh hoạt trong việc lựa chọn cách giải và phải để ý đến thời gian làm bài, nhất là khi

đó là bài kiểm tra

- Biết phân tích bài toán và tìm ra các cách giải khác nhau, từ đó nhằm phát huy tính sángtạo và khái quát hóa bài toán Động viên các em nỗ lực tìm tòi những lời giải hay, tranhluận với bạn bè giúp nhau cùng tiến bộ

- Rèn luyện cách trình bày bài một cách chặt chẽ, cẩn thận và sáng sủa

- Làm cho các em yêu thích môn toán và say mê học toán hơn

Trên đây lầ một số phương pháp để rèn luyện cho học sinh, tuy nhiên trong phạm vị đềtài này tôi cũng chỉ mới giải quyết một số bài toán Rất mong các bạn đồng nghiệp góp ýkiến để có một cách dạy và khai thác thể loại này một cách tốt nhất và hiệu quả cao nhất.