Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. 1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.. 2 Chứng minh tam giác AEB vuông cân.. 3 Gọi M l
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 Ngày thi: 28/3/2016
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4,0 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4+2016x2+2015x+2016
2) Cho a 3ab3− 2=5 và b 3a b 10 3 − 2 = Tính S = a b2+ 2
Câu 2 (4,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức sau:
= + − − + − ÷ − − ÷
2) Giải phương trình sau:
(2x + −x 2015) +4(x −5x−2016) =4(2x + −x 2015)(x −5x−2016)
Câu 3 (4,5 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 + 4x = x2 y + 3y +5
2) Cho f(x) = (x – a)(x – b)(x – c )
Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 0 thì f(x) + 2abc = -f(-x)
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy điểm
D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng
2) Chứng minh tam giác AEB vuông cân
3) Gọi M là trung điểm của đoạn BE, tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC = AH HC
+ .
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = 3 3 3 3 3 3
x y + y z +z x
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký)
Giám thị 2 (Họ tên và ký)
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP
HUYỆN MÔN THI: TOÁN 8
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
1
(2 điểm)
Ta có x4+2016x2+2015x+2016 =(x4− +x) 2016x2+2016x+2016
0,75
Kết luận x4+2016x2+2015x+2016 =(x2 + +x 1) (x2 − +x 2016) 0.25
2
(2 điểm)
Ta có a 3ab 3 − 2 = 5⇒( 3 2)2
a 3ab− =25⇒ a6 - 6a4b2 + 9a2b4 = 25và
b 3a b 10 − = ⇒( 3 2 )2
Suy ra 125 = a b 3a b 3a b 6 + + 6 2 4 + 4 2 0.5
1
(2.5
điểm)
ĐK: x x≠02
≠
Ta có
= + − − + − ÷ − − ÷
0.5
2 2
( 2) 4 ( 1)( 2) 2( 2)( 4)
Vậy A 1
2
x x
+
= với 0
2
x x
≠
≠
Trang 3(2 điểm)
Đặt:
2 2
a x x
b x x
= + −
= − −
Phương trình đã cho trở thành:
2 2 2
a + b = ab⇔ −a b = ⇔ −a b= ⇔ =a b 0.5
Khi đó, ta có:
2x + −x 2015 2(= x −5x−2016)⇔2x + −x 2015 2= x −10x−4032 0.5
2017
11
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2017
11
x= −
1
(2,5
điểm)
Ta có x3 + 4x = x2 y + 3y +5 ⇔ y = x + 4x -53 2
x +3 ⇔ y = x + 2
x 5
−
Ta thấy y nguyên ⇔ x 52
− + nguyên ⇔ x – 5 chia hết cho x2 + 3 0.5
=> (x – 5)(x + 5) chia hết cho x2 + 3 hay x2 + 3 - 28 chia hết cho
x2 + 3 => 28 chia hết cho x2 + 3, mà x2 + 3 ≥3 nên
Xét các trường hợp ta được các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là:
(1;0);
(-2; -3) và (5; 5)
0.75
f(x) + 2abc = (x – a )(x – b )(x – c ) +2abc
=x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx + bcx + abc
= x3 + abx + acx + bcx + abc ( vì a +b + c = 0) 0.75
-f(-x) = - ( -x – a )(-x – b )(-x – c ) => - f(-x) = (x +a)(x +b)(x + c)
=x3 + ax2 + bx2 + cx2 + abx + acx + bcx + abc
= x3 + abx + acx + bcx + abc ( vì a +b + c = 0) 1 Vậy f(x) = - f(-x) 0.25
Trang 41
(2 điểm)
a) Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung
CD CA
CE =CB(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
2
2
(2 điểm)
Do tam giác ADC và BEC đồng dạng với nhau Suy ra:
BEC= ADC= (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). 1 Nên ·AEB=450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A 1
3
(2 điểm)
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC
Suy ra:
GB AB
GC = AC
mà AB ED( ABC DEC) AH(ED AH// ) HD
AC = DC ∆ : ∆ = HC = HC
1.0
Do đó:
GC = HC ⇒GB GC = HD HC ⇒ BC = AH HC
Câu 5 1điểm
1 điểm
Từ ( )2 2 2
0
x y− ≥ ⇒x − +xy y ≥xy (1)
mà x + y > 0 (2)
Từ (1) và (2) 3 3
x y xy x y
⇒ + ≥ + dấu "=" xẩy ra khi x = y 0.25 Vậy 3 3
x y xyz ≤ xy x y z
+ + + + (3) dấu "=" xẩy ra khi x = y Tương tự ta có 3 3
x z xyz ≤ xz x y z
+ + + + (4) dấu "=" xẩy ra khi x = z
3 3
y z xyz ≤ yz x y z
+ + + + (5) dấu "=" xẩy ra khi y = z
0.25
Cộng vế với vế của (3), (4), (5) và có xyz = 1, ta được Q ≤1
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
0.25
Điểm toàn bài (20điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.