a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn.. b Gọi H là giao điểm của BD và CE.. Chứng minh HB.HP = HC.HQ.. c Chứng minh OA vuông góc với DE.. Điều này luôn luôn đúng..
Trang 1SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015 - 2016
Khóa ngày `19/06/2015 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
MÃ ĐỀ 264
Câu 1: (2.0điểm): Cho biểu thức A= 2
x
+ + +
− + − với x≠ ±1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x khi A = 4
2015
Câu 2: (1.5điểm): Cho hàm số: y = (m-1)x + m + 3 với m≠ 1 (m là tham số)
a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm M(1; -4)
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đường thẳng (d): y = -2x + 1
Câu 3: (2.0điểm): Cho phương trình: x2 – (2m+1)x + m2 + m -2 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:
x1(x1 -2x2) + x2(x2 -3x1) = 9
Câu 4: (1.0điểm): Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x > y và xy = 1
Chứng minh rằng: ( )
2
2 2
2 8
x y
x y
+
≥
−
Câu 5: (3.5điểm): Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao BD và CE cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q (P≠ B, Q≠ C).
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE Chứng minh HB.HP = HC.HQ.
c) Chứng minh OA vuông góc với DE.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
1a
x
+ + +
+ − − + +
=x+ − + +1(x−x1)(1 4x+1)x+2
=(x−41)(x+x4+1)=(x4(−1)(x+x1)+1) = 4
1
x− với x≠ ±1
1b
A= 4
1
x− với x≠ ±1
Khi A = 4
2015 ta có 4
1
x− =
4 2015
⇒ x- 1 = 2015
⇔ x = 2016 (TMĐK)
Vậy khi A = 4
2015 thì x = 2016
2a Ta có M(1; - 4) ⇒x = 1; y = -4 thay vào hàm số đã cho ta có:
-4 = (m- 1).1 + m +3
⇔- 4 = m-1 +m +3
⇔-4-2= 2m
⇔ -6 = 2m
⇔ m= -3 (TMĐK)
Với m = -3 thì đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm M (1; -4)
2b Để đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng (d): y =-2x +1
Khi và chỉ khi a = a/ ⇔ m-1 = -2 ⇔ m = -1 ⇒m= -1
b≠ b/ m+3 ≠ 1 m≠ -2
Vậy với m = -1 thì đồ thị hàm số y = (m-1)x + m + 3 song song với
đường thẳng (d): y =-2x +1
3a
Khi m = 2 thì phương trình (1) trở thành : x2 – 5x + 4 = 0
Phương trình có dạng: a + b +c = 0 hay 1 +(-5) + 4 = 0
Phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 4
3b Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi và chỉ khi:
∆ > ⇔ 0 ( ) 2
− +
-4(m2 +m-2) >0
⇔ 4m2 +4m+ 1 -4m2 – 4m+8 = 0
Trang 3⇔ 9 > 0 ⇒ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Theo định lí Viet x1 +x2 = 2m +1, x1x2 = m2 + m -2
Theo đề ra: x1(x1 -2x2) + x2(x2 -3x1) = 9
⇔ 2 2
1 2 1 2 2 3 1 2
x − x x + −x x x = 9
⇔ 2 2
1 2 1 2
(x +x ) 5 − x x =9
⇔ 2
1 2 1 2 1 2
(x +x ) − 2x x − 5x x = 9 ⇔ 2
1 2 1 2
(x +x ) − 7x x =9 ⇔(2m+1)2 – 7(m2 + m -2) = 9
⇔ 4m2 +4m+ 1 - 7m2 – 7m+14= 9
⇔ 3m2 +3m - 6= 0
Phương trình có dạng: a + b +c = 0 hay 3 +3+ (-6) = 0
⇒ m1 = 1; m2 = -2
Vậy với m1 = 1; m2 = -2 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1, x2 và thỏa mãn: x1(x1 -2x2) + x2(x2 -3x1) = 9
Vì x > y nên x – y >0
Nên ( )
2
2 2
2 8
x y
x y
+
≥
− Suy ra
2 2
2 2
x y
x y
+ ≥
− ( Khai phương hai vế)
⇔x2 +y2 ≥ 2 2(x y− )
⇔x2 +y2 -2 2x+ 2 2y ≥0
⇔x2 +y2 + 2-2 2x+ 2 2y- 2≥0
⇔x2 +y2 + ( )2
2 -2 2x+ 2 2y- 2xy≥0 (xy=1 nên 2.xy = 2)
⇔(x-y - 2)2 ≥0 Điều này luôn luôn đúng
Vậy ta có điều phải chứng minh
5
3,5điểm
Trang 4Ta có BD ⊥AC (gt) => ·BDC= 90 0, CE⊥AB (gt) =>BEC· = 90 0
Nên điểm D và E cùng nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông
Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC
5b
Xét ∆BHQ và ∆CHP có :
BHQ CHP= (đối đỉnh)
BQH CPH= (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC của đường tròn (O)) Nên ∆BHQ đồng dạng với ∆CHP (g-g)
Suy ra: BH HQ
CH = HP Hay BH.HP = HC HQ
5c
Ta có BDE BCQ· =· ( góc nội tiếp cùng chắn cung BE của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE) (1)
BCQ QPB= (góc nội tiếp cùng chắn cung BQ của đường tròn (O)) (2)
Từ (1) và (2) => QPB BDE· = ·
mà hai góc này lại ở vị trí đồng vị => PQ//DE (*)
Ta có DCE BDE· = · (góc nội tiếp cùng chắn cung DE của đường tròn nội tiếp tứ giác BCDE)
Hay ·ACQ ABP=· ⇔ »AP AQ=» ⇒ AP AQ= (3)
Mặt khác: OP = OQ (cùng là bán kính của đường (O) ) (4)
Từ (3) và (4) => OA là đường trung trực của đoạn thẳng PQ
=> OA ⊥PQ (*) (*)
Từ (*) và (*) (*) suy ra OA ⊥DE (đpcm)
Trang 5Giải cách 2 câu c
5c Kẽ tiếp tuyến Ax Ta có góc C· Ax= ·ABC (Vì cùng chắn cung AC)
Mà ·ABC =·ADE (Vì tứ giác BCDE nội tiếp)
Nên C· Ax = ·ADE.
Mà hai góc ở vị trí so le trong
x
Trang 6Suy ra Ax // DE.
Mà OA vuông góc Ax nên OA vuông góc DE