Bài 4 sự ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN của hàm số

Đầu tiên chúng ta sẽ làm quen với các bài toán đồng biến, nghịch biến của hàm số mà không chứa tham số.. Trong các hàm số sau hàm nào đồng biến trên ??. Hàm số y 2x2 x4 nghịch biến t

Bài 4 Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số

Video và đáp án chi tiết chỉ có tại khóa học!

Đầu tiên chúng ta sẽ làm quen với các bài toán đồng biến, nghịch biến của hàm số mà không chứa

tham số Những bài toán này chỉ ở mức độ nhận biết và thông hiểu Khi tôi còn là học sinh phổ thông,

tôi rất “ coi thường “ dạng toán này vì cho rằng nó dễ, điều này là cực kì sai lầm vì tôi đã bỏ qua những

điểm cực kì quan trọng, khiến sau này áp dụng vào một bài toán phức tạp hơn gặp rất nhiều khó khăn

Lý thuyết cần nhớ:

Về Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số

Định nghĩa Hàm số y f x  xác định trên tập K ( khoảng, nửa khoảng, đoạn ) được gọi là đồng

biến trên K nếu

Đinh lí 1 Cho hàm số y f x  xác định trên tập K ( khoảng, nữa khoảng, đoạn )

a Nếu f '(x) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y f (x) đồng biến trên K

b Nếu f '(x) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y f (x) nghịch biến trên K

Đinh lí 2 Cho hàm số y f (x) xác định trên tập K ( khoảng, nữa khoảng, đoạn )

a Nếu f '(x)0 với mọi x thuộc K và f '(x)0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số

y f (x) đồng biến trên K

b Nếu f '(x) 0 với mọi x thuộc K và f '(x) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số

y f (x) nghịch biến trên K

Định lí 3 Cho hàm số y f x  xác định và có đạo hàm trên tập K ( khoảng, nữa khoảng, đoạn )

a Nếu hàm số y f x  đồng biến trên K thì f x'    0,  x K

b Nếu hàm số y f x  nghịch biến trên K thì f x'    0,  x K

Phần 1 Bài toán khảo sát sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Các bước khảo sát sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x  :

Bước 1 Tìm tập xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên và kết luận

Ví dụ 1 Cho hàm số yx3  2x2 x 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1

;1 3

 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;  

Trích Đề Minh Họa 2 Năm 2017 Của Bộ Giáo Dục Hướng dẫn giải

 

 ,  1;   nghịch biến trên khoảng 1

;1 3

Để xét dấu đạo hàm ta dùng MTCT 570VN PLUS nhập đạo hàm vào bằng phím ALPHA

Để biết dấu của khoảng  0;   ta bấm CALC rồi nhập một giá trị thuộc  0;   ví dụ như nhập 2

Rồi bấm = được một giá trị dương thì ta điền vào bảng dấu +

Tương tự khoảng 1

;1 3

 

  ta CALC -1 được giá trị dương điền dấu +

Với cách này dùng đạo hàm có phức tạp đến thế nào chúng ta vẫn dễ dàng xét dấu được

Ví dụ 2 Hàm số y  x3 3x2 9x 4 đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A ( 3;1)  B ( 1;3)  C (   ; 3) D (3;  )

Hướng dẫn giải

Ta có: y  x3 3x2 9x 4

Tập xác định: DR

1 1

 



 

x x y

1 1

 



 

x x y

7 2

2

x x



    Bảng biến thiên :

Hàm số nghịch biến trên ( ; 3)

2 và (3;)

2

Chú ý:

-  có thể dùng một số rất lớn để đại diện nó như 10 , 10 , 10 3 6 12

-  có thể dùng một số âm rất lớn để đại diện nó như  10 ,3  10 ,6  10 12

- 0 có thể dùng các số rất nhỏ để đại diện nó như 10 , 10 , 103 6 12, 10 ,  6  10 12

Minh họa 2 Cho hàm số

2

2 1 1





 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 1 

B Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 

C Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng    1; 

Trích Đề Minh Họa 3 Năm 2017 Của Bộ Giáo Dục Câu 2 Cho hàm số y f x  là hàm số đơn điệu trên khoảng  a; b Trong các khẵng định sau, khẵng

định nào đúng?

A f x     0, x  a;b B f x     0, x  a;b

C f x     0, x  a;b D f ' x  không đỗi dấu trên  a; b

Câu 3 Cho hàm số yx3 2x2  x 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1

;1 3

 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;  

Trích Đề Minh Họa 2 Năm 2017 Của Bộ Giáo Dục Câu 4 Phát biểu nào sau đây sai về tính đơn điệu của hàm số?

A Hàm số y f x  được gọi là đồng biến trên miền D x ,x1 2D và x1x2, ta có

C Nếu f ' x     0, x  a;b thì hàm số f x  đồng biến trên  a; b

D Hàm số f x  đồng biến trên  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b

Câu 5 Cho hàm số y f x  là hàm số xác định trên khoảng  a; b

A Hàm số y f x  được gọi là đồng biến trên  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b

B Hàm số y f x  được gọi là đồng biến trên  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b

C Hàm số y f x  được gọi là đồng biến trên  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b

D Hàm số y f x  được gọi là đồng biến trên  a; b và có đạo hàm trên  a; b thì f x'    0

Câu 7 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng  a; b Phát biểu nào sau đây đúng?

A Hàm số y f x  được gọi là nghịch biến trên  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b

B Hàm số y f x  được gọi là nghịch biến trên  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b

C Hàm số y f x  được gọi là nghịch biến trên  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b

D Hàm số y f x  nghịch biến trên  a; b và có đạo hàm thì f ' x     0, x  a;b

Câu 8 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng  a; b Phát biểu nào sau đây sai?

A Hàm số y f x  được gọi là đồng biến trên  a; b khi và chĩ khi

C Hàm số đa thức y f x  bậc nhất trở lên đồng biến trên  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b

D Hàm số đa thức y f x  bậc nhất trở lên nghịch biến  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b

Câu 9 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng  a; b Phát biểu nào sau đây đúng?

A Hàm số y f x  được gọi là nghịch biến trên  a; b khi và chĩ khi

C Hàm số y f x  được gọi là đồng biến trên  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b và

  

f ' x 0 tại hữu hạn giá trị x  a;b

D Hàm số y f x  được gọi là nghịch biến trên  a; b khi và chĩ khi f ' x     0, x  a;b và

  

f ' x 0 tại hữu hạn giá trị x  a;b

Câu 10 Nếu hàm số y f x  liên tục và đồng biến trên khoãng   1 2;  thì hàm số y f x 2   luôn

đồng biến trên khoãng nào?

A   1 2; . B   1 4; C   3 0; . D   2 4; .

Câu 11 Nếu hàm số y f x  liên tục và đồng biến trên khoãng   0 2; thì hàm số y f  2x luôn

đồng biến trên khoãng nào?

A   0 2; B   0 4; C   0 1; D   2 0; .

Câu 12 Cho hàm số y f x  đồng biến trên khoãng  a; b Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số y f x 1   đồng biến trên  a; b

B Hàm số y f x   1 nghịch biến trên  a; b

C Hàm số y f x  nghịch biến trên  a; b

D Hàm số y f x   1 đồng biến trên  a; b

Câu 13 Hàm số y  x3 3x2 9x 4 đồng biến trên khoảng nào sau đây?

1 1

 



 

x x y

x x ?

A (   ; 1) B (1;  ) C ( 1;1)  D (    ;1) (1; ).

A y x

x

1 2

x Khẳng định nào sau đây là đúng

y x  x  Chọn khẳng định đúng:

A Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2; 0)  và (2;  )

B Hàm số đồng biến trên các khoảng (   ; 2) và (0; 2)

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (   ; 2) và (2;  )

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 2; 0)  và (2;  )

Câu 20 Cho hàm số 3

3

x y x





 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số đơn điệu trên 

B Hàm số đồng biến trên các khoảng (   ; 3) và ( 3;   )

C Hàm số nghịch biến trên  \ 3  

D Hàm số đồng biến trên  \ 3   

Câu 21 Cho hàm số yx2(3 x) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (  ; 0)

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;  ).

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 2).

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (  ; 3).

Câu 22 Trong các hàm số sau hàm nào đồng biến trên ?

3

x y x

x y

x Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên mỗi (từng) khoảng (  ;1) và (1;  )

B Hàm số nghịch biến trên mỗi (từng) khoảng (  ;1) và (1;  )

D Hàm số nghịch biến với mọi x1

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (  ; 0)

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (   ; 4)

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;  )

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 4; 0) 

Câu 31 Cho hàm số y x 4  2x2  1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (   ; 1) và (0;1)

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;  )

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (   ; 1) và khoảng (0;1)

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 1; 0) 

Câu 32 Hàm số f x( ) có đạo hàm  2 

'( ) ( 2)

f x x x Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;   )

B Hàm số nghịch biến trên các khoảng (   ; 2) và (0;  )

C Hàm số đồng biến trên các khoảng (   ; 2) và (0;  )

D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; 0) 

Câu 33 Hàm số y 2x4  1 đồng biến trên khoảng nào?

x y

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 1;1)  , đồng biến trên các khoảng (   ; 1) và (1;  )

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 1;1)  , nghịch biến trên các khoảng (   ; 1) và (1;  )

C Hàm số đã cho đồng biến trên (   ; )

Câu 42 Biết hàm số y  x3 12x 5 đồng biến trên khoảng  a b; , khi đó tập  a b; là tập con của

tập nào sau đây?

A    ; 2  B  2;   C   2; 2  D   3;1 

Câu 43 Hàm số y 2x2 x4 nghịch biến trên những khoảng nào? Tìm đáp án đúng nhất

A ( 1; 0);(1; ). B ( ; 1);(0;1). C ( 1; 0)  D ( 1;1) 

Câu 44 Cho hàm số y 1 x2 Khẵng định nào sau đây là đúng:

A Hàm số đã cho đồng biến trên   0;1

B Hàm số đã cho đồng biến trên   0;1

C Hàm số đã cho nghịch biến trên   0;1

D Hàm số đã cho nghịch biến trên   1; 0 

Câu 45 Cho hàm số 4 3 2 2 3

3

y  x  x  x Khẳng định nào sau đây là đúng:

A Hàm số đã cho nghịch biến trên ; 1

D Hàm số đã cho nghịch biến trên R

Câu 46 Hàm số nào sau đây đồng biến trên R ?

Câu 48 Cho hàm số y x 3  3x2  1 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 0)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;  ).

Câu 49 Cho hàm số f x( ) xác định trên  và có đồ thị hàm số y f x'( ) là đường cong trong hình

bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (1; 2)

B Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng (0; 2)

C Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng ( 2;1) 

D Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng ( 1;1) 

Câu 50 Cho y x4  x2

2 4 Hãy chọn mệnh đề sai trong 4 phát biểu sau :

A Hàm só nghịch biến trên các khoảng   ; 1 và   0 1;

B Hàm só đồng biến trên các khoảng   ; 1 và  1; .

C Trên các khoãng   ; 1 và   0 1; , y' 0 nên hàm số nghịch biến

D Trên các khoãng   1 0;  và  1; , y' 0 nên hàm số đồng biến

3 đồng biến trên khoãng nào?

D Hàm số nghịch biến trên toàn tập xác định

Câu 57 Cho hàm số y x x 2

2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây?

A   0 2; B   0 1; C   1 2; D   1 1; 

Câu 58 Cho hàm số y x3  x

3 Hãy chọn câu đúng:

A Tập xác định D  ;   ;

 3 0  3

B Hàm số nghịch biến trên   1 1; 

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng   1 0;  và   0 1;

D Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 3 và  3; .

Câu 59 Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?

Câu 61 Khẵng định nào sau đây sai?

A Hàm số y2x cos x luôn đồng biến trên 

B Hàm số y  x3 x

3 1 luôn nghịch biến trên 

C Hàm số x

y x







1 luôn đồng biến trên các khoãng xác định

D Hàm số y 2x4 x3  1 luôn nghich biến trên khoãng  ;0 

Câu 62 Nhận định nào đúng đối với hàm số 2.

1

x y x

A cotx cosx B cotx cosx

Câu 65 Cho hàm số y f x  x5  5x Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A Hàm số f x  nghịch biến trên    ;1 và đồng biến trên  1; 

B Hàm số f x  đồng biến trên    ;1 và nghịch biến trên  1; 

C Hàm số f x  nghịch biến trên     ; 1 ;  1;  và đồng biến trên 1;1 

x      Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số f x  đồng biến trên khoảng   0; 3

B Hàm số f x  đồng biến trên khoảng   0;1

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng   2; 3

D Hàm số f x  là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng   1;2

Câu 67 Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y  x x  2

x y

x Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên mỗi (từng) khoảng (  ;1) và (1;  )

B Hàm số nghịch biến trên mỗi (từng) khoảng (  ;1) và (1;  )

C Hàm số nghịch biến trên tập \ 1  

D Hàm số nghịch biến với mọi x 1

Câu 71 Hàm số y  x3 3x2  9x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A ( 1; 3)  B ( 2; 1)  C  D (1; 3)

Câu 72 Cho hàm số y  x3 6x2  10 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (  ; 0)

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (   ; 4)

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 4; 0) 

Câu 73 Cho hàm số y x 4  2x2  1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ; 1) và (0;1)

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;  )

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (   ; 1) và khoảng (0;1)

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 1; 0) 

Câu 74 Hàm số f x( ) có đạo hàm  2 

'( ) ( 2)

f x x x Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;   )

B Hàm số nghịch biến trên các khoảng (   ; 2) và (0;  )

C Hàm số đồng biến trên các khoảng (   ; 2) và (0;  )

D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; 0) 

Câu 75 Hàm số y 2x4  1 đồng biến trên khoảng nào?

x y

Câu 83 Xét tính đơn điệu của hàm số y x 3 3x 2

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 1;1)  , đồng biến trên các khoảng (   ; 1) và (1;  )

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 1;1) , nghịch biến trên các khoảng ( ; 1) và (1;)

C Hàm số đã cho đồng biến trên (   ; )

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 3) , đồng biến trên các khoảng (  ; 0) và (3;  )

Câu 84 Hàm số y 2x2 x4 nghịch biến trên những khoảng nào? Tìm đáp án đúng nhất

A ( 1; 0);(1; ). B ( ; 1);(0;1). C ( 1; 0)  D ( 1;1) 

Truy cập FB Trần Công Diêu để được học trực tiếp với tác giả qua Khóa Học Online TCD+2018

Đáp án chi tiết phần 1 Câu 1

Khởi động máy tính cầm tay bấm Mode 7 nhập hàm ( để nhập biến x ta bấm ALPha X )

Quan sát đáp án A sau đó bấm = chọn START? -20 END? -1 STEP 1 để máy tính 20 giá trị của hàm số

bắt đầu từ -20, -19, -18, <, -1

Ta thấy khi tăng thì tăng nên hàm số đồng biến trên   20; 1   do đó A sai, D sai

Tiếp tục bấm AC quay trở lại màn hình sau đó bấm = chọn START? -1 END? 20 STEP 1 để máy tính 22

giá trị của hàm số bắt đầu từ -1, 0, 1, 2, 3, 4, <, 19, 20

Ta thấy hàm số không xác định tại x  1 nên không thể nào số đồng biến trên khoảng    ;  do

Phát họa nhanh bảng biến thiên hoặc dấu của y' ta thấy hàm số

đồng biến trên các khoảng 1

; 3

Hướng dẫn giải

Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x  sang trái 2 đơn vị, ta sê được đồ thị y f x 2   Khi đó, do

Hướng dẫn giải

Tỗng quát: hàm số y f x  liên tục và đồng biến trên khoãng  a; b thì hàm số y f nx  liên tục và

đồng biến trên khoãng a b

1 1

 



 

x x y

x x

 

 

 ' 0

a  nên ở đây ta có thể xác định nhanh hàm số đồng biến trên ( 2; 0) 

 với mọi x D Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Tức là hàm

số đồng biến trên các khoảng (   ; 3) và ( 3;   )

Chọn C

Câu 22

Hướng dẫn giải

Ta có thể loại luôn phương án A, B, C do :

Hàm số bậc bốn trùng phương không bao giờ đồng biến trên  Tương tự hàm bậc hai có đồ thị dạng

parabol nên cũng luôn có khoảng đồng biến, nghịch biến trên 

Còn phương án B : Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất gián đoạn tại x  3 , do đó hàm số này

không thể luôn đồng biến trên  Mà chỉ luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định

Chọn D

Câu 23

4 3

x y

7 2

x y

x y

4

x y

0

x y

Đồ thị hàm số có dạng Parabol có đỉnh là I(0;1) và hệ số a  2 0 nên đồ thị hàm số là Parabol có bề

lõm hướng xuống, tức hàm số đồng biến trên (0;  )

Chọn B

Câu 34

Hướng dẫn giải

Do hàm số đồng biến trên (0;  ) nên đồ thị hàm số không thể có ba điểm cực trị, vậy đồ thị hàm số

có dạng parabol quay bề lõm xuống dưới và có đỉnh là I(0; )c

Áp dụng sơ đồ về dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, để thỏa mãn điều kiện trên thì

ab    

1 0 4

a   nên đồ thị hàm số là parabol quay bề lõm lên trên, tức hàm số nghịch biến trên (0;  ).

1 ' 0

3

y    x  Hàm số này không đồng biến trên tập xác định của nó

Phương án B Loại vì hàm số nghịch biến trên từng khoảng (  ;1) và (1;  )

x y

Hướng dẫn giải

Dê̂ thấy x = 0 là nghiệm của phương trình y’=0 và y’ đổi dấu từ dương sang âm

Hướng dẫn giải

Dê̂ thấy hàm số y 4x 3

x

  bị gián đoạn tại x = 1

Chọn C

Câu 49

Hướng dẫn giải

Đây là một bài toán dễ mắc sai lầm, do đồ thị trong hình vẽ

Nhận thấy trên (   ; 2) và (0; 2) thì f x'( ) 0  nên hàm số y f x( ) nghịch biến trên (   ; 2) và

Vẽ phác hoạ bảng biến thiên và kết luận rằng : hàm số đồng biến trên các khoãng   1 0;  và 1;  ,

nghịch biến trên các khoảng   ; 1 và   0 1;

Câu 51

Hướng dẫn giải

Hàm số trùng phương không bao giờ nghịch biến được trên  nên ta loại C và D

Đễ hàm số nghịch biến thì đồ thị có hình dạng bên phãi hướng xuống

Suy ra hệ số a 0

Hướng dẫn giải

Nếu a b 0 thì y cx d  Đễ y đồng biến trên  khi c0

Nếu a0, ta có y' ax2  bx c

3 2 Hàm số luôn đồng biến trên 

Hướng dẫn giải

Tập xác định D  1 1; 

Hướng dẫn giải

Tập xác định D 0 2; 

Ta được x   3 0;  là khoảng nghịch biến của hàm số đã cho

Từ đây nhận xét được đáp án B, C sai

Tương tự, lập luận như trên Đáp án D cûng sai