Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)

Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

ĐINH THỊ VÂN

LUẬT TƯƠNG HỖ TRONG TÔ MÀU ĐỒ THỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

ĐINH THỊ VÂN

LUẬT TƯƠNG HỖ TRONG TÔ MÀU ĐỒ THỊ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS.HOÀNG LÊ TRƯỜNG

THÁI NGUYÊN, 2017

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản 6

1.1.1 Đơn đồ thị 6

1.1.2 Các thuật ngữ cơ bản 8

1.1.3 Đường đi, chu trình 8

1.1.4 Tính liên thông 9

1.1.5 Đồ thị đầy đủ 10

1.1.6 Đồ thị vòng 10

1.1.7 Đồ thị cây 12

1.1.8 Đồ thị Petersen 12

1.1.9 Đồ thị hai phần đầy đủ 12

1.2 Tô màu đồ thị 14

1.2.1 Tô màu thực sự 14

1.2.2 Đồ thị phẳng 16

1.2.3 Định lí bốn màu 17

1.2.4 Đồ thị xóa, co rút 17

1.2.5 Mệnh đề 18

1.2.6 Các ví dụ 21

1.2.7 Hệ quả 26

2 Luật tương hỗ của đa thức màu 28 2.1 Định hướng của đồ thị 28

2.2 Đường định hướng 29

2.3 Mệnh đề 30

2.4 Cặp tương thích 31

2.5 Mệnh đề 33

2.6 Định lí 34

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Hoàng LêTrường Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắctới thầy, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ và tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứuluận văn

Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệutrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoaToán - Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy và tạo mọi điềukiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu trong suốt thời gian qua

Tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và tất cảmọi người đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thànhluận văn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017

Tác giả luận văn

Đinh Thị Vân

Danh mục các hình vẽ và bảng biểu

Hình 1.1: 6

Hình 1.2: 6

Hình 1.3: 8

Hình 1.4: 9

Hình 1.5: 10

Hình 1.6: 10

Hình 1.7: 11

Hình 1.8: 12

Hình 1.9: 12

Hình 1.10: 14

Hình 1.11: 15

Hình 1.12: 17

Hình 1.13: 18

Hình 1.14: 19

Hình 1.15: 19

Hình 1.16: 20

Hình 1.17: 20

Hình 1.18: 21

Bảng đa thức màu 25

Hình 2.1: 28

Hình 2.2: 30

Hình 2.3: 31

Hình 2.4: 32

Hình 2.5: 32

Hình 2.6: 32 Hình 2.7: 34 Hình 2.8 35

Mở đầu

Khái niệm lý thuyết đồ thị được nhiều nhà khoa học độc lập nghiêncứu và có nhiều đóng góp trong lĩnh vực toán học ứng dụng Bài toán tômàu cho các đỉnh (hay các cạnh) của một đồ thị để giải toán là phươngpháp khá hay và hấp dẫn của lý thuyết đồ thị Phương pháp này khôngđòi hỏi nhiều về khả năng tính toán mà chủ yếu đòi hỏi sự sáng tạo trongviệc đưa ra mô hình cụ thể và linh hoạt trong cách tư duy không thể ápdụng một cách máy móc được Đó là điểm mạnh cũng như cái khó của bàitoán tô màu

Mong muốn của tác giả luận văn là có thể cung cấp cho người đọcmột cái nhìn tổng quan nhưng cũng khá chi tiết về việc sử dụng tô màunhư một nghệ thuật giải toán, hy vọng nó sẽ giúp ích phần nào cho việcbồi dưỡng học sinh chuyên ở các trường THPT, phát triển tư duy cho họcsinh, mở ra một hướng nghiên cứu mới cho những ai quan tâm

Lý thuyết đồ thị ra đời và phát triển gắn liền với tên tuổi của nhiềunhà toán học nổi tiếng: Euler (Thụy sĩ), với bài toán về 7 cầu ở thành phốK¨onigsberg, K¨onig và Egevasry (Hungari), với phương pháp Hungari giảibài toán phân việc.Về vấn đề tô màu đồ thị có nhiều kết quả lý thuyếtđáng chú ý: Định lý Brooks, Minty về tô màu đỉnh; Định lý K¨onig, Vizing,Shannon về tô màu cạnh, định lý 5 màu của Heawood (1890) và Định lý 4màu của Appel và Haken (1976), đã giải quyết được giả thuyết 4 màu nổitiếng do Guthrie nêu ra lần đầu năm 1852

Ứng dụng lí thuyết đồ thị nói chung và bài toán tô màu đồ thị nói

riêng để giải các bài toán không muẫu mực, các bài toán thường gặp trongthực tế và một vài bài toán trong các kì thi Toán quốc tế.

Với mục tiêu trên, tác giả tiến hành trình bày lại một số kết quảtrong cuốn tài liệu tham khảo [1] và luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Đa thức màu của đồ thị

Chương 2 Luật tương hỗ của đa thức màu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạnchế nên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tác giảrất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn nàyđược hoàn thiện hơn

Tác giả

Đinh Thị Vân

Chương 1

ĐA THỨC MÀU CỦA ĐỒ THỊ

To many, mathematics is a collection of theorems For me, ics is a collection of examples; a theorem is a statement about a collection

mathemat-of axamples and the purpose mathemat-of proving theorems is to classify and explainthe examples

John B Conway

1.1 Các khái niệm cơ bản

Đồ thị và màu sắc của chúng là thứ yêu thích nhất trong bộ môn toánrời rạc Và chúng tôi cũng không chống lại sự cám dỗ đó để xuất phát vớimột trong các ví dụ đẹp nhất

• E ⊆ V2 là tập các cặp không sắp thứ tự gồm hai phần tử của V , đượcgọi là cạnh của đồ thị G Hai đỉnh thuộc một cạnh được gọi là cácđỉnh đầu cuối của cạnh đó.

Chính xác hơn, đây là một định nghĩa đồ thị đơn khi chúng ta loạitrừ sự tồn tại của nhiều cạnh giữa các đỉnh, đặc biệt cạnh mà có điểm đầu

và điểm cuối trùng nhau được gọi là khuyên ví dụ hình 1.1

Hình 1.1: Đồ thị đơn và đồ thị không đơn

Ví dụ 1.1 Hình 1.2 là một biểu diễn đồ họa của đồ thị G sau

• V = {a, b, c, d, e, f, h, g} là tập đỉnh của đồ thị G

• E = {ab, ad, bc, bd, bh, cd, hh, hf, hg} là tập cạnh của đồ thị G

Chúng ta thấy rằng đồ thị G có 8 đỉnh và có 9 cạnh Đỉnh e khôngthuộc bất kì cạnh nào và những đỉnh như vậy được gọi là đỉnh cô lập của

đồ thị G Trong tập cạnh có cạnh đặc biệt hh, mà chúng ta gọi là khuyêncủa đồ thị

a

b

c d

g h

Hình 1.2: Đồ thị G

1.1.2 Các thuật ngữ cơ bản

a) Kề và liên thuộc

Giả sử u và v là hai đỉnh của đồ thị G = (V, E) và e = (u, v) là cạnhcủa đồ thị, khi đó ta nói:

+ u và v kề nhau và e liên thuộc với u và v

+ Các đỉnh u và v gọi là các đỉnh đầu của cạnh e

+Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v

Đỉnh treo là đỉnh có duy nhất một cạnh liên thuộc với nó v hay deg(v) =1

Đỉnh cô lập là đỉnh không có cạnh liên thuộc với nó v hay deg(v) = 0

1.1.3 Đường đi, chu trình

Định nghĩa 1.2 Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là

số nguyên dương, trên đồ thị vô hướng G = (V, E) là dãy

x0 := u, x1, , xn−1, xn := v,trong đó (xi, xi+1) ∈ E, với mọi i = 0, 1, 2, , n − 1 Đường đi nói trên còn

có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cạnh: (x0, x1), (x1, x2), , (xn−1, xn).Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi Đường

đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình.Đường đi hay chu trình được gọi là đơn nếu như không có cạnh nào bị lặplại Từ bây giờ trở đi nếu không nói gì chúng ta chỉ xét các đường đi haychu trình đơn.

Ví dụ 1.2 Xét đồ thị G như trong Ví dụ 1.1 Một số đường đi từ đỉnh ađến đỉnh f là a, b, h, f và a, b, h, g, f Chúng ta thấy có nhiều đường đi từ

a đến f và độ dài là khác nhau Ngay cả khi có cho trước độ dài và và cácđỉnh thì có nhiều đường đi khác nhau Ví dụ hai đường đi có độ dài 4 đi

từ đỉnh d đến đỉnh f là d, a, b, h, f và d, c, b, h, f Đường đi ngắn nhất từđỉnh d đến đỉnh f là 3 với đường đi cụ thể là d, b, h, f Mặt khác chúng tathấy rằng không có đường đi từ a đến e

Chúng ta thấy rằng a, b, c, d, a và a, b, d, a là các chu trình duy nhất

mà xuất phát từ a Tập các chu trình trong đồ thị G là a, b, c, d; a, b, d;

b, c, d và f, h, g Như vậy đồ thị G có ba chu trình độ dài 3 và một chutrình độ dài 4 Xem hình 1.3 một chu trình độ dài 4 được tô bằng màu đỏ

và một chu trình độ dài 3 được tô bằng màu xanh

a

b

c d

g h

Hình 1.3: Đồ thị G

1.1.4 Tính liên thông

Định nghĩa 1.3 Một đồ thị được gọi là liên thông nếu có đường đi giữamọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị

K4 và mỗi đỉnh của nó có bậc đều bằng 3.

a

b

c d

Hình 1.4: Đồ thị đầy đủ K 4

1.1.6 Đồ thị vòng

Định nghĩa 1.5 Đơn đồ thị n đỉnh v1, v2, , vn (n ≥ 3) và n cạnh

(v1, v2), (v2, v3), , (vn−1, vn), (vn, v1)được gọi là đồ thị vòng, ký hiệu là Cn Như vậy, mỗi đỉnh của Cn có bậc

là 2

Ví dụ 1.4 Hình 1.5 là một biểu diễn đồ họa của đồ thị G mà chúng tagọi là đồ thị tam giác

• V = {a, b, c} là tập đỉnh của đồ thị G.

• E = {ab, bc, ca} là tập cạnh của đồ thị G

Chúng ta thấy rằng G là một đơn đồ thị có 3 đỉnh và 3 cạnh Đồ thịtam giác không có đỉnh cô lập và không có khuyên Hai đỉnh bất kì của

đồ thị G luôn liền kề, và bậc của mọi đỉnh trong đồ thị tam giác là 2 Vậy

đồ thị tam giác là đồ thị thị vòng và cũng là đồ đầy đủ

s không liền kề, v và t cũng không liền kề nên G là đồ thị không đầy đủ

s t

Hình 1.6: Đồ thị hình vuông (hay đồ thị C )

k

l m

n o p

q r

Ví dụ 1.7 Hình 1.8 là một biểu diễn đồ họa của đồ thị Petersen nó được

vẽ như một ngũ giác bao ngoài và hình ngôi sao bên trong với số đỉnh là

10 và số cạnh là 15

1.1.9 Đồ thị hai phần đầy đủ

Định nghĩa 1.8 Đồ thị G = (V, E) sao cho V = V1 ∪ V2, V1 ∩ V2 = ∅,

V1 6= ∅, V2 6= ∅ và mỗi cạnh của G được nối một đỉnh trong V1 và một đỉnh

Hình 1.8: Đồ thị Petersen

trong V2 được gọi là đồ thị hai phần Nếu đồ thị hai phần G = (V1∪ V2, E)sao cho với mọi v1 ∈ V1, v2 ∈ V2, (v1, v2) ∈ E thì G được gọi là đồ thị haiphần đầy đủ Nếu |V1| = m, |V2| = n thì đồ thị G được ký hiệu là Km,n.Như vậy, Km,n có mn cạnh, các đỉnh của V1 có bậc n và các đỉnh của V2

có bậc m

Ví dụ 1.8 Hình 1.9 là biểu diễn đồ họa của đồ thị G = (V, E) trong đó

• V = {a, b, c, d, e, f } là tập đỉnh của đồ thị G

• E = {ad, ae, af, bd, be, bf, cd, ce, cf } là tập cạnh của đồ thị G

Ta có tập các đỉnh V của đồ thị G được chia thành hai tập rời nhau

là V1 = {a, b, c} và V2 = {d, e, f } thỏa mãn mỗi cạnh của đồ thị G đượctạo bởi một đỉnh trong V1 với một đỉnh trong V2 và với mọi u ∈ V1, v ∈ V2,(u, v) ∈ E, mặt khác |V1| = 3, |V2| = 3 nên nó được gọi là đồ thị hai phầnđầy đủ K3,3

a

e d

f

b

c

Hình 1.9: Đồ thị hai phần đầy đủ K3,3

c (u) 6= c (v) với mọi uv ∈ E.

Ví dụ 1.9 Cho đồ thị tam giác G như trong Ví dụ 1.4 Với n = 2, cáccách tô màu của đồ thị G lần lượt là

Ví dụ 1.10 Cho đồ thị hình vuông C4 như hình vẽ Với n = 2, các cách

tô màu thực sự của đồ thị G lần lượt là

Hình 1.11: Một cách tô màu thực sự của đồ thị hình vuông

Thuật ngữ "màu" xuất phát từ việc giải thích ý nghĩa tự nhiên củac(v), vì một trong n màu có thể được tô cho đỉnh v Một cách tô màu thực

sự là mỗi đỉnh có màu khác màu của các đỉnh kề với nó Đây là dấu hiệuđầu tiên tại sao các đồ thị đơn thường thỏa mãn: sự tồn tại và số lượngn-màu không ảnh hưởng bởi các cạnh song song, và ở đó không có tô màuthực sự với sự xuất hiện của khuyên

Phần lớn sự nổi tiếng của bài toán tô màu đồ thị xuất phát từ câuhỏi được đặt ra vào năm 1850 bởi Francis Guthric và được trả lời sau 124năm Để dưa ra câu hỏi trong điều kiện hiện tại, chúng ta cần định nghĩasau

1.2.2 Đồ thị phẳng

Định nghĩa 1.10 Đồ thị G được gọi là đồ thị phẳng nếu G được vẽ trongmặt phẳng sao cho các cạnh không cắt nhau ngoại trừ tại các đỉnh

Đồ thị G trong Ví dụ 1.1 là một đồ thị phẳng vì hình 1.2 cho chúng tamột cách vẽ đồ thị G trong mặt phẳng và các cạnh không cắt nhau ngoạitrừ tại các đỉnh Trong khi đó đồ thị K3,3 là đồ thị không phẳng vì một sốcạnh trong đồ thị K3,3 cắt nhau Dưới đây là một phát biểu nổi tiếng củaGuthrie’s, bây giờ là định lí.

1.2.3 Định lí bốn màu

Định lý 1.1 Mỗi đồ thị phẳng được tô thực sự bởi bốn màu

Định lí Bốn màu đầu tiên được đưa ra như một phỏng đoán vào năm

1850 bởi một sinh viên người Anh tên là Francis Guthric và cuối cùng đãđược hai nhà toán học Mỹ là Kenneth Appel và Wolfgang Haken chứngminh vào năm 1976 với sự trợ giúp của máy tính Có nhiều nỗ lực trongchứng minh định lí bốn màu trước chứng minh đầu tiên của Kenneth Appel

và Wolfgang Haken Dưới đây là cách tiếp cận đặc biệt thú vị (nhưng chưathành công) để chứng minh Định lí bốn màu được đưa ra bởi GeorgeBirkhoff

Định nghĩa 1.11 Giá trị của đa thức màu của đồ thị G tại n bằng sốcách tô màu thực sự các đỉnh đồ thị G với n màu Kí hiệu là

Đồ thị co rút G/e là đồ thị nhận được bằng cách đồng nhất hai đỉnh thuộc

e và bỏ đi e Giả sử e = (u, v) với u 6= v Cho f là hàm sao cho f (x) = xvới đỉnh x ∈ V \ {u, v} và f (u) = f (v) = w Khi đó co rút G/e là đồ thịvới tập đỉnh là V0 := (V \ {u, v}) ∪ {w} và tập cạnh E0 thỏa mãn điều kiệnsau Với mọi x ∈ V , f (x) ∈ V0 là kề với cạnh e0 ∈ E0 nếu và chỉ nếu cạnh

e tương ứng là kề với x trong G

Ví dụ 1.11 Cho đồ thị G=(V, E) và một cạnh e = uv ∈ E như hình vẽ.Khi đó việc xóa e và co rút e trong đồ thị G kết quả nhận được là đồ thịG\e và đồ thị G/e như hình 1.12

Một chứng minh rất thú vị của Mệnh đề 1.2 theo đúng nghĩa của nó

là thông qua quan hệ xóa-co rút

Bổ đề 1.1 Nếu G = (V, E) là đồ thị không khuyên thì

tô màu thực sự của G bằng số cách tô màu thực của G\e trừ đi số cách tômàu thực của G\e mà c(u) = c(v) Mặt khác chúng ta có thể đếm tất cảcác màu thực sự của G\e mà gán cùng màu tới u và v Đây chính là màuthực sự của G/e Vậy ta có

XG(n) = XG\e(n) − XG/e(n)

Chúng ta sẽ sử dụng đồ thị C4 như trong Ví dụ 1.5 để minh họa lạicho chứng minh của Bổ đề trên với trường hợp n = 2 và n = 3

Với n = 2, giả sử hai màu là xanh và đỏ Khi đó ta thấy cách tô màucủa đồ thị G như trong hình 1.13 cho ta cách tô màu tương ứng của đồ thịG\e Ta thấy rằng đồ thị G và đồ thị xóa cạnh G\e có hai cách tô màu.Trong khi đó đồ thị co rút G/e không có cách tô màu nào Do đó

t s

Hình 1.13: Đồ thị G, đồ thị xóa cạnh G\e và đồ thị co rút G/e.

Với n = 3, hình 1.14 cho ta thấy một cách tô màu thực sự của đồ thị

G sẽ cho ta một cách tô màu của đồ thị xóa cạnh G\e và một cách tô màuthực sự của đồ thị G/e cho ta cách tô màu thực sự đồ thị G\e Đồ thị G

có 18 cách tô màu thực sự trong khi đó đồ thị G\e có 24 cách tô màu thực

sự và đồ thị G/e có 6 cách tô màu thực sự Vậy

t s

Hình 1.14: Đồ thị G, đồ thị co rút G/e và đồ thị xóa cạnh G\e

Chứng minh của Mệnh đề 1.2 Nếu G có khuyên thì không tồn tại tô màuthực sự Do đó XG(n) = 0

Nếu G không có khuyên, ta chứng minh bằng phương pháp quy nạptrên |E| Với |E| = 0 thì việc tô màu thực sự là tùy ý Do đó XG(n) = n|V |

n cách tô màu Do đó XG(n) = nd−1(n − 1), trong đó d = |V |

Với |E| = k, giả thiết quy nạp rằng XG(n) là đa thức bậc |V | với hệ

số nguyên Khi đó ta cần chứng minh với |E| = k + 1 thì XG(n) cũng là

đa thức bậc |V | với hệ số nguyên Thật vậy, theo Bổ đề 1.1, ta có

XG(n) = XG\e(n) − XG/e(n)

và theo giả thiết quy nạp thì XG\e(n) là đa thức với bậc bằng số đỉnh của

đồ thị G\e và XG/e(n) là đa thức với bậc bằng số đỉnh của đồ thị G/e nên

XG(n) là đa thức bậc |V | với hệ số nguyên Ở đây chúng ta lưu ý số đỉnhcủa đồ thị G\e là |V | và số đỉnh của đồ thị G/e là |V | − 1 

Theo Bổ đề 1.1, ta có.

XG(n) = XG\e(n) − XG/e(n)

= XG1\e1(n) − XG1/e1(n) − (XG2\e2(n) − XG2/e2(n))với G1 = G\e, G2 = G/e Vì đồ thị G2\e2 là đồ thị có duy nhất một cạnh.Giả sử cạnh đó là uv Khi đó ta có n cách tô màu đỉnh u Sau đó đỉnh vchỉ có thể tô bằng n − 1 màu còn lại khác u Do đó XG2\e2(n) = n(n − 1).Còn đồ thị G2/e2 có khuyên nên XG2/e2(n) = 0

Vì đồ thị G1/e1 cũng là đồ thị có duy nhất một cạnh Do đó XG1/e1(n) =n(n − 1)

Vì đồ thị G1\e1 là đồ thị có duy nhất một cạnh và có duy nhất mộtđỉnh cô lập Do đó XG1\e1G(n) = n2(n − 1) Vậy