Bai giang Elip

- Give the normal equation of ellipse and students find the way to prove the normal equation of ellipse in the text book.. - Problem 1,2,4 help students to know "How to build different

Ellipse

Softwares needed for this lesson: Powerpoint, Sketchpad

Subject: Mathematics

 Short Description:

- Give the definiton of ellipse.

- Give the normal equation of ellipse and students find the way

to prove the normal equation of ellipse in the text book

- Problem 1,2,4 help students to know "How to build different ellipses ?”

- Problem 3 helps students to expand ellipse equation.

Objectives of Lesson:        At the end of lesson, students can get to

know the definition of elipse and the normal equation of ellipse.

 Methods of teaching and activities: Simulation and use of ICT

 How ICT is used : Simulation and tutorial 

Objectives of ICT use : use of simulation to visualize a concept

Classroom management: Devide students into groups

Teacher’s activities Student’s activities

-Presentation and hyperlink to present the 

movement of planets orbiting around the sun -Look at Screen

-Give questions, definition  and normal equation 

     - Give problems 

     - Give the guideline to students to build up 

the model of elipse in the problems

     - Give questions 

- Practice on computer to draw the   figures

-Answer and explain 

    - Feedback 

-Assessment

    -Give  homeworks 

    -Distribute the handouts 

Step-by-step:

Nguyen Van Hien

Le Qui Don High School, Quang Tri, Vietnam

Constructing an Ellipse

M

N

F 2

F 1

A C B

The locus of these two points is 

an ellipse.

Construct the two intersection 

points of the circles.

Construct another circle with 

center F2 and radius CB.

Construct a circle with center 

F1 and radius AC.

Given segments AB and two point F1,F2 . 

The moving point C is on the segments AB 

 Given two fixed points F1,F2 in 

the plane so that F1F2 = 2c >0  

and a positive number  a > c .

an Ellipse. 

 Points F1, F2 called the focuses. 

 F1F2 = 2c is called focal length. 

 When M is on the Ellipse, then MF1 and MF2  are called focal radius of M. 

Normal equation

 Let us choose the square coordinate systems 

Oxy so that: F1(-c,0) , F2( c, 0). 

4

2

-2

-4

M

P

Q

       (1) with b2 2 2 = a2-c2.  

a + b =

 Ellipse (E) cut x-axis at D(-a,0) and E(a,0), DE is called  the major axis . The major axis then is of length 2a

 Ellipse (E) cut y-axis at P(0,b) and Q(0,-b),PQ is called  the minor of the Ellipse . The minor axis  is of length 2b

  Equation (1) is called the normal 

equation of Ellipse. 

 The equation of the ellipse then can be written as

 2) If  we choose the square system of  coordinates 

Oxy so that  F1(0,-c), F2 (0, c). In this case the focuses 

is on the y-axis. then  Equation  of  Ellipse (E)  is:      

2 2

2 2 1

x y

b + a =

 1) If   M(x,y) on ellipse (E) then we have:

     MF1+MF2 =2a 

     MF12–MF22= 4cx 

2cx

a

MF1–MF2 =



cx a

a

+

a

a

−

Problem 1

 Given a point A and a circle (B; R) with the centre B and radius 

R so that 0 < AB <R. 

   The moving point C is on the circle. M is the intersection point of  the segment BC and the perpendicular bisector of AC

    Find the locus of  the point M

M

B A

C

Hint:

 M is on the segment BC  , MA = MC 

 ⇒   MA+MB=MC+MB = BC = R  

 Hence it follows that the locus of  C  

    is the ellipse (E) : 

Problem 2

 Given a circle with the diameter AB = 2R. The moving point M  

is  on the circle. N is the foot of perpendicular line through M to 

AB. Point  C on MN so that: NC = kMN  (0<k<1)

     Find the locus of C

6

4

2

-2

-4

-6

M

C

Hint:

  Let us choose the square coordinate system of 

Oxy so that A (-R, 0), B(R, 0). 

 The point M is on the circle     xM2 + yM2 = R 2

⇒

⇒

 xC = xM ,yC= kyM 

( )

R + kR =

2 2

2

)

1

k

x C + C =

⇒

2 2

2 2 1 ( )

R + kR =

Problem 3

 Find the equation of the Ellipse (E) passing  through point A(1,-1) with the focuses  

F1(-3,1) and  F2 (1,1)

 then 2a = MF1+MF2 =     

a = 2, 

⇒

1

 2c = F1F2 = 4      c = 2  , b⇒ 2 = a 2 – c 2 = 4,  

  The equation of the Ellipse (E) is       

Hint:

  B(-1,1) is the midpoint of F1F2 and   

F1F2 // Ox

equation is

Problem 4

 In the plane Oxy, given two concentric circles (C) and (C’) with 

centre O and the radii are a, b (a > b).

 A moving ray Ot cutting (C) and (C’) at M and N respectively. 

 From M construct a parallel line to the Ox axis. From N construct 

a parallel line to the Oy axis

 Denote that the intersection of two constructed lines is E. 

 Find the locus of E. 

1 cos

2

2

2

=

+

b

y a

x E E

) 0

( ≤α ≤ π

Hint:

2

-2

-4

E M

O N

1 2

2

2

2

=

+

b

y a

x E E

, cos α

a x

xE = M = yE = yN = b sin α

 Given a point A and a circle (B;R) with the centre B and radius R 

so that 0 < AB < R. Find the locus  of the centre of the circles 

passing through the point A and tangent to the circle (B)

 b) Given A(4, 0) , B( - 4, 0) and R = 10. Find the equation of the  locus

Solution:

 a) M is the centre of the Circle (M)  ,which  

passes through point A and contact with the 

j

M

B N

1

25 9

x y

+ =

    Then M lie on the segment BN and we have 

BN = R , MA = MN  

    MA+MB = MN+MB = NB = R = constant. Its 

follows that:

   The locus is the Ellipse with the focuses A, B 

and sum of focal radius is R

 b) If A (4, 0), B (- 4, 0)   and R = 10 

    Equation of the locus is 

2c = AB = 8     c = 4, R = 10  a = 5,

 b 2 = a 2 – c 2 = 25 - 16 = 9

1. The ladder is leaning against a brick wall and has a bucket 

resting on one of its rungs. Slowly, the ladder starts to slide  down the wall. What path does the bucket trace?

M

B

A

3.    Discuss and draw the graph of 

16x 2 +9y 2 -32x+36y-92=0

2.    Give a circle (A) in the circle (B) Find the locus  of the centre 

of the circles contact with the circles (A) and (B)

17