Nghiên cứu ứng dụng vật liệu dẻo trong thiết kế cụm dẫn động trục chính máy công cụ điều khiển số CNC

Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, chỉ giới hạn nghiên cứu đặc tính tĩnh học ứng suất tương đương, chuyển vị, khối lượng vỏ hộp, mô dul đàn hồi, đặc tính động lực học tần số dao đ

bộ giáo dục và đào tạo

Trường đại học bách khoa hà nội

Ngô minh tuấn

Nghiên cứu ứng dụng vật liệu dẻo trong thiết kế cụm dẫn động trục chính

máy công cụ điều khiển số cnc

luận văn thạc sĩ khoa học

người hướng dẫn: ts bùi quý lực

LỜI CAM ĐOAN

thiết kế cụm dẫn động trục chính máy công cụ điều khiển số CNC” là do tôi tự thực

hiện Nội dung của luận văn là do tôi tự thực hiện, không sao chép từ bất kỳ tài liệu nào Các số liệu và kết quả trong luận văn là hoàn toàn trung thực Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm với nội dung của luận văn này

HỌC VIÊN

NGÔ MINH TUẤN

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU 4

1.1 Kết cấu cụm trục chính 4

1.1.1 Cụm trục chính dẫn động bằng đai 4

1.1.2 Cụm trục chính dẫn động bằng bánh răng 5

1.1.3 Cụm trục chính dẫn động trực tiếp 6

1.1.4 Cụm trục chính được dẫn động tích hợp 6

1.2 Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn 7

1.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 7

1.2.2 Các bước thực hiện bài toán phần tử hữu hạn 18

1.2.3 Các bài toán cơ học ứng dụng phần tử hữu hạn 23

1.2.3.1 Bài toán tĩnh học 23

1.2.3.2 Bài toán động lực học 25

1.2.4 Các mô hình toán học của phương pháp phần tử hữu hạn 28

1.2.5 Tổng quan về mô hình cấu trúc 29

1.2.6 Giới thiệu một số phần mềm tính FEM 35

CHƯƠNG II: XÂY DỰNG MÔ HÌNH KHẢO SÁT 39

2.1 Mô hình khảo sát 39

2.1.1 Vỏ hộp trục chính máy phay VMC65 39

2.1.2 Vỏ hộp cụm trục chính sử dụng vật liệu PC 40

2.2 Các giả thiết và điều kiện đầu vào của bài toán 42

CHƯƠNG III: PHÂN TÍCH TĨNH HỌC, ĐỘNG LỰC HỌC KẾT

CẤU VỎ HỘP TRỤC CHÍNH MÁY PHAY VMC65 44

3.1 Thiết lập mô hình và phân tích tĩnh học với phần mềm CATIA 44

3.1.1 Các bước tiến hành 44

3.1.2 Mô hình sử dụng gang 48

3.1.3 Sử dụng vật liệu PC 50

3.1.4 So sánh và kết luận 52

3.2 Phân tích động lực học 53

3.2.1 Các bước tiến hành 53

3.2.2 Sử dụng vật liệu gang đúc 56

3.2.3 Sử dụng vật liệu PC 63

3.2.4 So sánh và kết luận 69

KẾT LUẬN 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

bn

σ : Giới hạn ứng suất nén của vật liệu

bu

σ : Giới hạn ứng suất uốn của vật liệu

ψ : Mô dul đàn hồi của vật liệu

C : Hệ số chống rung của vật liệu

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Bảng 2.1: Các đặc điểm thông thường của một số vật liệu 40

Bảng 3.1: Kết quả phân tích tĩnh học vỏ hộp trục chính khi dùng hai loại vật liệu là gang đúc và PC 52

Bảng 3.2 Tần số dao động riêng của vỏ hộp khi dùng gang 56

Bảng 3.3 Giá trị ứng suất tương đương lớn nhất và chuyển vị lớn nhất của vỏ hộp khi dùng vật liệu gang 59

Bảng 3.4 Tần số dao động riêng của vỏ hộp dùng vật liệu PC 63

Bảng 3.5 Giá trị ứng suất tương đương lớn nhất và chuyển vị lớn nhất của vỏ hộp khi dùng vật liệu PC 65

Hình 1.1 Trục chính máy công cụ CNC 4

Hình 1.2: Cụm trục chính dẫn động bằng đai răng 5

Hình 1.3: Cụm trục chính dẫn động bằng bánh răng 6

Hình 1.4: Cụm trục chính tích hợp 7

Hình 1.5 Quá trình phân chia các miền và nội suy các hàm quan hệ 8

Hình 1.6 Trạng thái ứng suất và biến dạng của phân tố diện tích phẳng trong hệ xoy 11

Hình 1.7 Quan hệ giữa các phần tử theo hai phương 15

Hình 1.8: Biến dạng ở phần tử tam giác 17

Hình 1.9 Các kiểu phần tử 19

Hình 1.10 Các dạng bài toán 23

Hình 2.1 Sơ đồ lắp ráp cụm trục chính máy phay VMC65 39

Hình 2.2 Vỏ hộp trục chính máy phay VMC65 40

Hình 2.3 Sơ đồ phân tích lực tác dụng lên vỏ hộp 43

Hình 3.1 Khai báo trọng lượng 47

Hình 3.2 Khai báo ngoại lực tác dụng lên mô hình 47

Hình 3.3 Mô hình phần tử (sử dụng gang) 49

Hình 3.4 Mô hình ứng suất tương đương (sử dụng gang) 49

Hình 3.5 Mô hình tenxơ ứng suất chính (sử dụng gang) 50

Hình 3.6 Mô hình chuyển vị (sử dụng gang) 50

Hình 3.7 Mô hình phần tử (sử dụng PC) 51

Hình 3.8 Mô hình ứng suất tương đương (sử dụng PC) 51

Hình 3.9 Mô hình tenxo ứng suất chính (sử dụng PC) 51

Hình 3.10 Mô hình chuyển vị (sử dụng PC) 52

Hình 3.11 So sánh các đặc tính tĩnh học của vỏ hộp làm bằng hai loại vật liệu là gang đúc và PC 53

Hình 3.12 Biểu đồng so sánh tần số dao động riêng của hai mô hình 69

Hình 3.13 Chuyển vị lớn nhất trong vỏ hộp 71

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự cạnh tranh quốc tế trong lĩnh vực sản suất máy công cụ yêu cầu sự linh hoạt, chất lương cao, phản ứng nhanh với nhu cầu thị trường và chi phí thấp Vì vậy các quy trình và máy được thiết kế với cấu trúc mô-đun Một hộp trục chính có thể như một mô-đun của máy công cụ Yếu tố quan trọng nhất ảnh hưởng đến độ chính xác gia công chính là độ chính xác của máy công cụ, điều đó là do hệ số đàn hồi và

độ cứng của kết cấu máy Việc chọn vật liệu cho kết cấu máy công cụ là một yếu tố quan trọng trong việc xác định hiệu suất cuối cùng của máy, với nhiều chỉ tiêu được xét đến như độ ổn định dao động theo thời gian, độ chính xác, độ cứng cứng vững, tính đồng nhất, dễ gia công và giá thành….Mặc dù có nhiều vật liệu có cấu trúc sẵn, nhưng cho đến nay chỉ có một số loại vật liệu được chọn để xây dựng kết cấu máy chính xác Gang đúc là vật liệu thông dụng nhất được sử dụng trong công nghiệp máy công cụ trong nhiều năm với giá thành thấp và khả năng chống va đập có thể chấp nhận được, nhưng nó ít được ứng dụng trong thiết kế máy công cụ có độ chính xác cao Vì vậy việc nghiên cứu ứng dụng vật liệu mới trong thiết kế, chế tạo máy công cụ có độ chính xác cao đang dành được sự quan tâm lớn

Trên thế giới, việc nghiên cứu ứng dụng vật liệu PC trong thiết kế máy công

cụ có độ chính xác cao đã được phát triển mạnh mẽ và có những nội dung đa dạng phong phú, đề cập đến nhiều vấn đề lớn Điển hình là một số nghiên cứu sau:

- Năm 2005, trong hội nghị lần thứ 13 về công nghệ cơ khí và vật liệu tổ chức tại Phần Lan, hai nhà nghiên cứu G Vrtanoski và V Dukovski của trường đại học Skopje thuộc nước cộng hòa Macedonia đã công bố công trình: “thiết kế cụm trục chính máy tiện sử dụng Polymer concrete”

- Năm 2008, trong tạp chí khoa học của Trung Quốc, hai nhà nghiên cứu XU Ping và YU Ying-hua của trường đại học kỹ thuật Liaoning, Fuxin, Trung Quốc đã nghiên cứu vấn đề: “Ứng dụng vật liệu PC trong thiết kế thân máy tiện CNC” Tuy nhiên tại Việt Nam việc nghiên cứu ứng dụng vật liệu mới trong thiết

kế máy công cụ chưa được thực sự quan tâm Hiện nay, công nghiệp sản xuất

máy công cụ CNC đang trong giai đoạn đầu phát triển tại Việt Nam Do đó việc nghiên cứu ứng dụng vật liệu mới nhằm nâng cao độ chính xác của máy cần được chú trọng

Với mục đích chính là nghiên cứu khả năng sử dụng vật liệu Polymer concrete

công nghiệp sản xuất máy công cụ nên tác giả đã chọn đề tài: “Nghiên cứu ứng

dụng vật liệu dẻo trong thiết kế cụm dẫn động trục chính máy công cụ điều khiển

số CNC”

2 Mục đích nghiên cứu của luận văn, đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, chỉ giới hạn nghiên cứu đặc tính tĩnh học (ứng suất tương đương, chuyển vị, khối lượng vỏ hộp, mô dul đàn hồi), đặc tính động lực học (tần số dao động riêng, ứng suất tương đương, chuyển vị, thời gian ổn định dao động) của vỏ hộp cụm dẫn động trục chính máy phay CNC dùng truyền dẫn đai răng với hai loại vật liệu khác nhau

Từ những kết quả nghiên cứu đánh giá khả năng ứng dụng polymer concrete trong thiết kế vỏ hộp cụm dẫn động trục chính máy phay CNC Đồng thời đưa ra những kiến nghị về cải tiến kết cấu vỏ hộp khi dùng PC

Để giải quyết các mục tiêu của luận văn, các vấn đề sau sẽ được đề cập và nghiên cứu trong từng chương tương ứng trong luận văn:

Chương I: Tổng quan cơ sở lý thuyết ứng dụng trong nghiên cứu

Chương II: Xây dựng mô hình khảo sát

Chương III: Phân tích tĩnh học, động lực học kết cấu vỏ hộp trục chính

máy phay VMC65 Kết luận của luận văn

Hướng phát triển của đề tài

Tuy nhiên, mặc dù có cố gắng nhiều trong việc xây dựng ý tưởng mô hình nhưng nội dung của luận văn còn nhiều thiếu sót và còn nhiều những điểm mới cần được đề xuất và trao đổi, thảo luận thêm Tác giả rất mong và trân trọng mọi sự đóng góp, phê bình của các thầy giáo và đồng nghiệp đối với luận văn

3 Lời cảm ơn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Viện sau Đại học Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Viện Cơ khí trường đại học Bách khoa Hà Nội, Khoa cơ khí trường đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên đã hết sức tạo điều khiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo trong Hội đồng bảo vệ luận văn Thạc sỹ

đã góp ý, chỉnh sửa và phê duyệt đề cương để luận văn của em được hoàn thành với nội dung tốt nhất

Đặc biệt, tác giả xin trân trọng cảm ơn TS Bùi Quý Lực đã tận tình hướng dẫn

em trong suốt quá trình xây dựng ý tưởng mô hình và hoàn thành nội dung luận văn Xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các cộng tác viên đã giúp đỡ, thảo luận và đề xuất những giải pháp tốt nhất trong quá trình viết luận văn

Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên về tinh thần

và vật chất cho bản thân trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

HỌC VIÊN

Ngô Minh Tuấn

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỨNG DỤNG

TRONG NGHIÊN CỨU

1.1 Kết cấu cụm trục chính

Trục chính máy công cụ đóng vai trò quan trọng trong các quá trình gia công,

nó tạo ra tốc độ cắt cho dao và là một phần của chuỗi truyền lực giữa máy công cụ

và dụng cụ hoặc chi tiết Tùy theo loại máy mà trục chính có những đặc tính khác nhau Đối với máy tiện, trục chính mang chi tiết và tạo ra tốc độ cắt Trục chính trên máy phay hay khoan mang dao quay và tạo ra tốc độ cắt

Trên hình 1.1 thể hiện cấu tạo của một trục chính máy phay CNC Trục chính

là một phần của cụm trục chính máy Một cụm trục chính bao gồm vỏ hộp trục chính, trục chính, hệ thống đỡ, hệ dẫn động, làm mát Cụm trục chính của máy công

cụ là đối tượng mà các nhà chế tạo đã và đang tập trung nghiên cứu

Một cụm trục chính thông thường sử dụng một trong bốn dạng dẫn động: dẫn động sử dụng truyền dẫn đai, dẫn động sử dụng truyền dẫn bánh răng, dẫn động trực tiếp và dẫn động tích hợp

Hình 1.1 Trục chính máy công cụ CNC 1.1.1 Cụm trục chính dẫn động bằng đai

Cụm Trục chính loại này bao gồm một động cơ bên ngoài vỏ hộp thông qua

bộ truyền đai răng hoặc đai thang truyền chuyển động cho trục chính (hình 1.2)

Loại này được sử dụng khá phổ biến trong các máy công cụ vì chi phí thấp và hiệu suất truyền dẫn cao Hiệu suất của trục chính dẫn động đai, về mặt truyền công suất động cơ đến trục chính, đạt khoảng 95% Như vậy nó kém hiệu quả hơn so với cụm trục chính truyền động trực tiếp (gần 100%) nhưng lại tốt hơn loại sử dụng truyền động bánh răng (bé hơn 90%) Trục chính dẫn động đai có thể đạt tốc độ quay 15.000 vg/ph và truyền mô men xoắn tốt ở tốc độ thấp (1000 vg/ph) tùy thuộc vào loại đai và tỉ số truyền Cụm trục chính dùng truyền dẫn đai có tính linh hoạt cao, kết cấu đơn giản, dễ chế tạo, có thể tạo dải tốc độ rộng và phù hợp với các yêu cầu khác nhau về mô men xoắn

Loại truyền động này có nhược điểm chính là:

- Bị giãn nở nhiệt đáng kể so với các truyền động khác

- Gây nhiều tiếng ồn hơn do sự chuyển động của đai

- Độ kéo căng của đai gây nên một lực hướng kính lên trục, gây nên tải trên các ổ đỡ

273.0 000

Spindle

Motor spindle

Cụm trục chính loại này bao gồm một động cơ nằm ngoài vỏ hộp, thông qua một hay nhiều bộ truyền bánh răng truyền tốc độ và mô men xoắn cho chục chính

Cụm trục chính dẫn động bằng bộ truyền bánh răng có thể đạt mô men xoắn cao ở

số vòng quay thấp và chúng có nhiều dải cấp tốc độ Tuy nhiên các bộ truyền bánh răng có thể gây ra rung động, tạo ảnh hưởng xấu lên độ bóng bề mặt chi tiết gia công Hơn nữa, hiệu suất của chúng kém hơn các dạng khác khi chúng chuyển đổi công suất danh nghĩa của động cơ thành công suất cắt của dao Cụm trục chính dẫn động bánh răng không phù hợp cho các trường hợp gia công cao tốc mặc dù rất thích hợp cho các trường hợp yêu cầu công suất cắt lớn

Hình 1.3: Cụm trục chính dẫn động bằng bánh răng

1.1.3 Cụm trục chính dẫn động trực tiếp

Các trục chính dẫn động trực tiếp sử dụng một động cơ được nối trực tiếp với trục chính, truyền tốc độ và mô men xoắn cho trục chính Cụm trục chính loại này đạt hiệt suất truyền công suất từ động cơ đến dụng cụ cắt đạt gần 100% Chúng có thể làm việc ở tốc độ quay cao nhưng mô men xoắn thấp Vì không có xích truyền động nên không thể tăng mô men xoắn một cách cơ học để đáp lại sự giảm tốc độ động cơ Tuy nhiên cụm trục chính loại này thì mọi rung động của động cơ sẽ truyền trực tiếp lên trục chính gây ra sai số trong quá trình gia cộng

1.1.4 Cụm trục chính được dẫn động tích hợp

Ở loại trục chính này, động cơ có thể là động cơ điện đồng bộ hoặc không đồng bộ được tích hợp vào kết cấu trục chính giữa các ổ đỡ trước và sau như hình 3 Bằng cách này, rung động và tiếng ồn được giảm thiểu và công việc có thể được

thực hiện ở các tốc độ quay cao, từ 15.000 vg/ph Do đó trục chính loại này rất phổ biến ở các máy công cụ gia công cao tốc Kiểm soát sự truyền nhiệt bên trong trục chính và giãn nở nhiệt là yếu tố then chốt để đạt được hiệu suất truyền dẫn tốt cho loại truyền động này Do động cơ lắp bên trong thân trục chính nên hệ thống tản nhiệt có vai trò vô cùng quan trọng Cụm trục chính loại này có giá thành cao, do có các hệ thống phụ cho làm mát và giám sát cũng như yêu cầu độ chính xác cực kỳ cao trong lắp ráp

Các xu hướng mới nhất về trục chính máy công cụ hiện nay bao gồm sử một loạt các ổ bi có độ chính xác cao như các ổ đũa con lăn trụ làm bằng silicon nitride,

và một loạt hợp kim thép cho hiệu suất cao hơn bình thường Xu hướng mới của các trục hính kết hợp những vấn đề sau đây:

-Các hệ thống bôi trơn mới

-Các ổ đỡ hỗ trợ và các thiết bị cho truyền động vít me

-Đai ốc hãm cho các trục chính hiệu suất

- Các giải pháp kỹ thuật để đo lường chính xác và giám sát trục chính

Hình 1.4: Cụm trục chính tích hợp

Như vậy cụm trục chính sử dụng truyền dẫn bằng đai răng có nhiều ưu điểm, nên nó đang được sử dụng rộng rãi ở Việt Nam và trên thế giới Do đó trong nghiên cứu này tập trung nghiên cứu các đặc tính của vỏ hộp cụm trục chính sử dụng truyền dẫn đai răng

1.2 Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn

1.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element Method) là một phương pháp số, dùng để giải các bài toán cơ học Tư tưởng của phương pháp này là chia

phần tử ra thành một tập hợp hữu hạn các miền con liền nhau nhưng không liên kết hoàn toàn với nhau trên khắp từng mặt biên của chúng Trường chuyển vị, ứng suất, biến dạng được xác định trong từng miền con Mỗi miền con được gọi là một phần

tử hữu hạn Dạng phần tử có thể là thanh, thanh dầm, tấm, vỏ, khối Các phần tử được kết nối với nhau thông qua các nút, nút được đánh số theo thứ tự từ 1 đến n (n

số nút của phần tử)

Là phương pháp cho độ chính xác cao và kiểm tra kết quả rất thuận tiện Ngày nay duới sự trợ giúp của máy vi tính nên phương pháp này đã và đang được ứng dụng mạnh mẽ

Phương pháp này xây dựng công thức dựa trên cơ sở hai phương pháp:

phương pháp biến phân (phương pháp Rayleigh–Ritz) và phương pháp weighted residuals (phương pháp Galerkin) Các phương trình cơ bản đều được suy ra từ các

phương trình cân bằng tĩnh học bởi các giá trị đặc trưng của điều kiện biên

Quá trình xây dựng các phương trình cân bằng của phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên phương pháp Galerkin:

u

b x a x f x

u

L

) ( )

(

) ( )

(

Trước hết ta chia đoạn [a,b] thành n miền con (hình 1.5) Các miền con này

được gọi là các phần tử trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)

Hình 1.5 Quá trình phân chia các miền và nội suy các hàm quan hệ

Giả thiết rằng, ta có thể tính toán xấp xỉ ucủa chuyển vị u thông qua phương trình các miền nhỏ có dạng là các đoạn thẳng trong miền con

) ( )

1

_

x N u x

i i

) 1 2

1 1

)

(

2

) ) 1 2

2 1

1 )

(

1

e e e

e e

e

e e

e

e e

e e

e e e

e e

e

h x x

x x x x

x x N

h

h x x

x x x x

x x N

ξξ

N - giá trị của hàm quan hệ tại nút ie (ie = 1e, 2e)

ξ – là gia số của 1 điểm tuỳ ý trên phần tử đang xét, ξ = x – xe = x – x1e(h(e)≥ ξ ≥ 0)

h(e) - chiều dài của phần tử đang xét, h(e) = x1e - xe = x2e – x1e

Các hàm quan hệ thường được sử dụng là hàm bậc nhất hoặc hàm bậc hai Nói chung, hàm bậc hai cho lời giải tốt hơn hàm bậc nhất

Phương pháp Galerkin đưa ra cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn thông qua hàm trọng số wi(x) bằng với hàm quan hệ Ni(x)

Trong FEM, toàn bộ các phương trình đại số có các ẩn số là u(x) tại nút ui và các

vi phân du/dx, (dx/di)i được suy ra từ phương trình tích phân trên thông qua các điều kiện biên tại các nút Dưới sự trợ giúp của máy tính thì việc giải các phương trình trên tại tất cả các nút để từ đó đưa ra giá trị của ui và dx/di là rất nhanh và dễ dàng

Biến dạng phẳng (hai chiều) trong FEM

Nhìn chung, giá trị biến dạng được xác định nhờ giải các phương trình vi phân riêng thông qua phương trình cân bằng quan hệ ứng suất - biến dạng hoặc các phương trình liên kết (quan hệ biến dạng - chuyển vị) và các phương trình quan hệ thông qua các điều kiện biên Các lời giải chính xác chỉ có thể nhận được trong các

(1.3)

(1.4) (1.5)

bài toán kết cấu tĩnh và nói chung không thể nhận được lời giải trong các kết cấu kín Để khắc phục các khó khăn này, phương pháp FEM đã đưa ra cách giải bằng phương pháp số hoá rất mạnh cho lời giải gần đúng nhận được với biến dạng nhận được rất đa dạng Phương pháp FEM giả thiết phân tích chi tiết thành các miền có hình dạng và kích thước khác nhau (phần tử), các phương trình gần đúng khác nhau tạo lập bởi các phương trình đại số và số hoá quá trình tính toán các biến dạng Các phần tử có dạng: đoạn thẳng (có một kích thước); tam giác và chữ nhật (hai kích thước); khối tứ diện, khối hộp và khối lăng trụ (có 3 kích thước)

Phương pháp FEM trong phân tích biến dạng phẳng

Bước 1: Phân tích đối tượng thành các phần tử

Bước 2: Xác định kiểu phần tử hoặc các hàm quan hệ, xác định gần đúng hàm quan hệ chuyển vị và biến dạng trong các phần tử

Bước 3: Xác định ma trận độ cứng, xây dựng mối quan hệ giữa lực và chuyển

Bước 6: Giải phương trình quan hệ (bước 5)

Bước 7: Xác định giá trị ứng suất và biến dạng

Khảo sát mối quan hệ của ứng suất, biến dạng và chuyển vị trong biến dạng phẳng

a Phương trình cân bằng

Xét sự cân bằng của của một phân tố diện tích chữ nhật trong một vật thể trên

hệ toạ độ vuông góc với biến dạng Phân tố chịu tác dụng của hai lực F→x và F→y lần lượt theo hai phương x và y, phương trình cân bằng biến dạng của phân tố (1.5):

∂ +

∂

∂

= +

∂

∂ +

x xy x

F y x

F y x

στ

τσ

Hình 1.6 Trạng thái ứng suất và biến dạng của phân tố diện tích phẳng trong hệ xoy

εx - biến dạng pháp tuyến theo phương x

εy - biến dạng pháp tuyến theo phương y

γxy - biến dạng góc trên mặt phẳng x-y

u, v - chuyển vị theo hai phương của trục x và y

c Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng

Theo định luật hook ta xây dựng được công thức quan hệ như sau:

(1.6)

(1.7)

+

− +

=

+

− +

=

zx zx

zx

yz yz

yz

xy xy

xy

z z

y y

x x

E G

E G

E G

G e E

G e E

G e E

γνγ

τ

γνγ

τ

γνγ

τ

εν

ν

νσ

εν

ν

νσ

εν

ν

νσ

ν ν ν

1 2

1 2

1 2

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

yz yz

xy xy

x y z z

z x y y

z y x x

σσνσε

σσνσε

x y y

y x x

E G

E E

γνγ

τ

νεενσ

νεενσ

1 2 1

1

2 2

x y y

y x x

E G

E

E

τντ

γ

νσσε

νσσε

) 1 ( 2

) (

1

) (

− +

=

+

−

− +

=

XY XY

XY

Y X

X

Y X X

v

E G

v v

v v

E

v v

v v

E

γγ

τ

εε

σ

εεσ

) 1 ( 2

).

1 ( )

2 1 )(

1

(

) 1 ( ) 2 1 )(

y x

y

y x X

E

v G

v v

E

v

v v

E v

τ

τ

γ

σσ

ε

σσε

) 1 ( 2

1 1

) 1 ( 1

E E

1 '

v v

1 '

Ứng suất phẳng Biến dạng phẳng Ứng suất phẳng Biến dạng phẳng

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Thay vào trên ta có:

xy

x y y

y x x

E G

E E

γνγ

τ

ενενσ

ενενσ

' 1 2

'

' 1

'

' '

1

'

2 2

x y

y

y x

x

E G

E

E

τντ

γ

σνσε

σνσε

'

) ' 1 ( 2

) ' ( '

1

) ' ( '

1

Trong đó:

' ) ' 1 ( 2

' )

1

(

E v

E

+

= +

=

d Điều kiện biên

Khó khăn chủ yếu gặp phải khi giải các phương trình vi phân là không xác định được các hằng số trong phương trình Để khử bỏ các khó khăn trên, ta phải đặt các điều kiện giới hạn của ứng suất hoặc chuyển vị trên biên của bề mặt vật bị biến dạng Các điều kiện đó được gọi là điều kiện biên

Các kiểu điều kiện biên:

- Điều kiện biên là các tải trọng đặt trên bề mặt

- Điều kiện biên là các chuyển vị

Xét một phần của một vật bị biến dạng, trong đó ứng suất đã được xác định bởi Sσ và bề mặt chính, Chuyển vị được xác định bởi Su Tổng hợp bề mặt của vật

bị biến dạng được xác định bởi S = Sσ + Su

Chú ý: ta không thể đặt đồng thời cả hai điều kiện của ứng suất và chuyển vị

trên một phần bề mặt của vật bị biến dạng

(1.14)

(1.15)

- Điều kiện biên tải trọng do Sσ xác định bởi phương trình:

t - là hình chiếu của lực t* trên hai trục x và y

Phương trình điều kiện cân bằng của bề mặt:

ασατ

ατασ

sin cos

sin cos

*

*

y xy

y

xy x

x

t = 0, *

y

t = 0

Hình 1.7 Quan hệ giữa các phần tử theo hai phương

- Điều kiện biên về chuyển vị Su xác định bởi phương trình:

Trong đó: u,v - là hình chiếu chuyển vị u của Su lên hai phương x và y Điều kiện biên được sử dụng nhiều nhất là các chuyển vị, tại ngàm và gối thì chuyển vị: u

δW = δU

Trong đó: δW - công khả dĩ của ngoại lực

δU - năng lượng đàn hồi khả dĩ trên một chuyển vị khả dĩ

- Xét một vật thể đàn hồi bị liên kết và chịu lực tác dụng:

+ Phần bị liên kết Ak (điều kiện biên): các chuyển vị đã biết u

+ Phần chịu lực As: các lực bề mặt (ứng suất, lực) đã biết P, bên trong vật (trọng lực, lực hút) ρfm đã biết nhưng chuyển vị u chưa biết

+ Nếu một vật di chuyển khả dĩ δu làm nó di chuyển và biến dạng nhỏ Nếu chuyển vị này có δu = 0 trên Ak còn trên As và bên trong vật thì δu # 0 thì:

dA u p udV f

s

A

T V

Tδεσ

δU =∫

→ dV f udV p u dA

s A T

V

T mA V

T

∫

∫

Nguyên lý trong biến dạng phẳng

Nguyên lý di chuyển khả dĩ sử dụng trong việc nghiên cứu biến dạng phẳng thông qua biểu thức:

0

.

− +

dxdy t v F u F dy dx t

S

y x

D

y x

D

xy xy y y x x

t

t

σ

δδ

δδ

δγτδεσδε

σ

trong đó:

D - tất cả các miền của vật bị biến dạng phẳng

Sσ- tất cả các phần của bề mặt vật của vật bị biến dạng (S = Sσ U Su)

(1.22)

(1.23)

f1 Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vi [B]

Xét vật biến dạng có phần tử ở dạng tam giác (hình vẽ) để từ đó suy ra biểu thức quan hệ giữa biến dạng - chuyển vị trong biến dạng phẳng:

Hình 1.8: Biến dạng ở phần tử tam giác

Ma trận quan hệ giữa chuyển vị của cả phần tử và chuyển vị của các nút trên phần tử:

[ ]{ }( )

3 3 2 2 1 1

) ( 3

) 2

) 1

) 3 )

( 2 )

( 1

0 0

0

0 0

e e e e e e

e e

e e

e e

e e

e e

e

v u v u v u

N N

N

N N

e e

e e

e e

e e

e e

e e

e e

e e

e e

e e

e e

e e

xy y x

v u v u v u

y

N x

N y

N x

N y

N x N

y

N y

N y

N

x

N x

N x

N

y

u x v y v x u

3 3 2 2 1 1

) ( 3 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1

) ( 3 )

( 2 )

( 1

) ( 3 )

( 2 )

( 1

00

0

00

0

δ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδδ

δ

δδ

δδ

δ

δ

δδ

δδ

δ

δ

δδδδδδδ

3 3 2 2 1

1

3 2

1

3 2

1

0

0 0

0 0

0

e

e e e e e e

e e e e e e

e e

e

e e

e

B

v u v u v u

b c b c b

c

c c

c

b b

Trong đó các giá trị xác địng như sau:

( ) ( )

.

2

1

) (

.

2

1

)

(

2

1

2 3 1

3 2 1

2 3 3 2 ) ( 1

e e e e

e e e e

e e e e e e

x x c

y y b

y x y x a

( ) ( )

2 1

) (

2 1

)

( 2 1

3 1 2

1 3 2

3 1 1 3 ) 2

e e e e

e e e e

e e e e e e

x x c

y y b

y x y x a

( ) ( )

.

2

1

) (

.

2

1

)

( 2

1

1 2 3

2 1 3

1 2 2 1 ) ( 3

e e e e

e e e e

e e e e e e

x x c

y y b

y x y x a

=

+ +

=

+ +

=

y c x b a

N

y c x b a

N

y c x b a

N

e e e

e

e

e e

e

e

e

e e e

e

e

.

.

.

3 3 3

)

3

2 2 2

)

2

1 1 1

Z Y

X

B D D

v v

v v

εεεσ

0 1 '

0 ' 1 ' 1

1.2.2 Các bước thực hiện bài toán phần tử hữu hạn

Bước 1: Rời rạc hóa miền khảo sát tạo lưới phần tử

Bước này sẽ chia miền khảo sát thành các phần tử có kích thước hữu hạn sao

(1.26)

(1.27)

cho không có lỗ hổng cũng như các phần tử không phủ lên nhau Tùy biên dạng của kết cấu khảo sát mà có thể dùng một dạng phần tử hoặc nhiều dạng phần tử

Có nhiều dạng phần tử có thể sử dụng trong một bài toán Chẳng hạn như bài toán phẳng có thể là các phần tử tam giác, các phần tử chữ nhật…Đặc biệt là trong một bài toán có thể sử dụng nhiều loại phần tử

Hiện nay việc lựa chọn dạng phần tử và số nút của phần tử thường thực hiện

do thói quen và kinh nghiệm của người thiết kế bởi vì:

- nếu dùng các phần tử có độ chính xác cao (nhiều nút) và dùng nhiều loại phần tử thì độ chính xác của kết quả càng cao nhưng khi ấy mức độ tính toán sẽ tăng lên gấp nhiều lần

- Các phần tử này thuộc loại khác nhau nếu như miền rời rạc hóa là một đường, một bề mặt hay một khối

Tuy nhiên trong một số phần mềm hiện nay đã sử dụng phương pháp chia lưới tự động như ansys, Mechanical Desktop, Catia…Các chương trình đã sử dụng các giải thuật chia lưới tối ưu tự động đã giảm nhẹ công sức của các nhà thiết kế nghiên cứu

Bước 2: Chọn hàm nội suy

Bước này chỉ ra các nút của phần tử và chọn hàm nội suy để mô tả sự biến đổi của các ẩn số trên toàn bộ phần tử Thông thường chọn các hàm nội suy là các đa thức đại số vì chúng dễ đạo hàm và tích phân Bậc của đa thức được chọn phụ thuộc vào số điểm nút của phần tử, sai số yêu cầu, đặc điểm và số ẩn của một nút

Bước 3: Xác định đặc trưng của phần tử

Khi chọn một mẫu các phần tử hữu hạn (tức là khi đã chọn rõ loại phần tử, số nút và hàm nội suy), đã sẵn sang để xác định phương trình ma trận biểu diễn các điểm của phần tử Ta thực hiện một xấp xỉ một số lượng hữu hạn các biến số

{ }u n

N

Tức là phải xác định hàm đó tại các điểm định trước theo đa thức N

Bước 4: Ghép nối các phương trình phần tử, thu được phương trình toàn hệ

Thực chất của phương pháp phần tử hữu hạn là chuyển các phương trình vi phân liên tục theo ẩn u về phương trình đại số (dưới dạng ma trận) theo các giá trị của u cần tìm ở các nút phần tử { }u n , tức có dạng:

[ ]c.{ } { }u = f

Với:

[ ]c : Ma trận độ cứng phần tử

{ }u n : Vec tơ các giá trị cần tìm u tại nút phần tử

{ }f : Véc tơ thành phần ngoại lực đã biết

Phương trình trên là phương trình của một phần tử

Hệ phương trình viết cho cả hệ có dạng:

[ ]C.{ } { }U n = F

Với:

[ ]C : Ma trận độ cứng cả kết cấu

{ }U n : Vec tơ ẩn của cả kết cấu

{ }F : Véc tơ thành phần ngoại lực của cả kết cấu

Bước 5: giải hệ phương trình kết cấu

Thông thường ma trận [ ]C là ma trận đối xứng và nó được giải bằng các phương pháp Gauss, Cholesky, lặp đơn…

Bước 6: Tính toán các ẩn khác

Đối với các bài toán công nghệ chế tạo máy thường yêu cầu tính toán các ẩn ứng suất, biến dạng… Khi giải phương trình toàn hệ mới chỉ giải ra được chuyển vị, phải dựa vào các quan hệ khác để tính toán ra các ẩn yêu cầu

Thuật toán giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn

- Điều kiện biên

- Sửa đổi lại hệ thống phương trình

1.2.3 Các bài toán cơ học ứng dụng phần tử hữu hạn

1.2.3.1 Bài toán tĩnh học

Dưới tác dụng của tải trọng làm cho độ bền của các chi tiết máy bị ảnh hưởng, khi tải trọng tác dụng vượt quá giới hạn cho phép dẫn đến ứng suất phát sinh σ, chuyển vị (chuyển vị góc θ và chuyển vị dài f) lớn hơn giá trị cho phép ([σ], [θ], [f]) chi tiết bị phá huỷ Tuỳ theo đặc tính của các dạng tải trọng tác dụng mà các chi tiết máy có thể có các dạng hỏng khác nhau Trong các bài toán sức bền khi chịu tải trọng tĩnh các chi tiết máy xảy ra các dạng bài toán sau:

- Bài toán kéo (nén):

- Bài toán trọng uốn:

- Bài toán chịu lực phức tạp:

- Bài toán hệ thanh chịu lực:

Hình 1.10 Các dạng bài toán

Khảo sát mô hình sau:

Khi tải trọng tác dụng vào vật thể, khiến vật thể bị biến dạng và nội lực cân bằng với ngoại lực Các ẩn số của bài toán được hình thành từ đây Các bài toán

cơ học thường có dạng phương trình vi phân và phải thoả mãn 3 điều kiện dàng buộc sau:

+ Điều kiện vật liệu (định luật Hooke…)

F (1.28) Thực tế khó có phương pháp nào thoả mãn đồng thời cả 3 điều kiện ràng buộc trên Phương pháp phần tử hữu hạn láy chuyển vị làm gốc đáp ứng chính xác đáp

ứng Điều kiện vật liệu, Tính tương thích và thoả mãn đối với ràng buộc Điều kiện cân bằng lực Phương pháp này thoả mãn chính xác các điều kiện biên về chuyển

vị Ẩn số của phương pháp này là chuyển vị (phương pháp này thường hay dùng nhất) Còn phương pháp phần tử hữu hạn lấy ứng suất làm gốc thì đáp ứng chính

xác Điều kiện vật liệu, Điều kiện cân bằng lực và thoả mãn tương đối với ràng buộc Tính tương thích Ẩn số của phương pháp này là lực và moment

- Các phương pháp giải quyết bài toán:

Để giải quyết bài toán sức bền vật liệu có một số phương pháp sau:

- Phương pháp mặt cắt: đơn giản, dễ thực hiện nhưng cho độ chính xác

không cao với những bài toán phức tạp

- Phương pháp sử dụng các phương trình vi phân: phức tạp, độ chính xác

tương đối cao nhưng việc xác định kết quả của bài toán tại các điểm khác nhau trên chi tiết là rất khó khăn và phức tạp

- Phương pháp phần tử hữu hạn: là phương pháp cho độ chính xác cao và

kiểm tra kết quả rất thuận tiện Ngày nay duới sự trợ giúp của máy vi tính nên phương pháp này đã và đang được ứng dụng mạnh mẽ

Để giải bài toán sức bền theo phương pháp PTHH có hai phương pháp để xây dựng thuật toán:

+ Dựa vào lý thuyết của phương pháp lực khó tự động hoá

+ Dựa vào lý thuyết của phương pháp chuyển vị dễ tự động hoá nên được sử dụng phổ biến trong các phần mềm để giải quyết bài toán tổng quát

1.2.3.2 Bài toán động lực học

a, Phương trình vi phân dao động

Khảo sát vật rắn có khối lượng phân bố, chia miền khảo sát thành n phần tử Xét phần tử hữu hạn thứ e Thế năng toàn phần:

i n

i

T i

T T

dV u U

T

V

T 2

tử sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng và vận tốc của nó được xác định bằng cách đạo hàm hai vế của phương trình 1.31:

{ }n

u& =< > & (1.32) Thay (1.32) vào (1.30), được:

n T

T n

U M U u

m u t

n e T n e e

2

1 2

=

=∑ ∑ (1.35) Thế năng của cả vật thể:

F U U C

.

dV N N l A

1 2 6

2 1

0 0

0 0

N N

N N

N

Trong đó N1, N2 được xác định như trên, thu được kết quả:

0 2 0 1

1 0 2 0

0 1 0 2 6

1

3 2

1

0 0

0

0 0

0

N N

N

N N

Chú ý:

12

.

; 6

A dA

0 2 0 1 0 1

1 0 2 0 1 0

0 1 0 2 0 1

1 0 1 0 2 0

0 1 0 1 0 2

2 1

4 3

2 1

0 0

0 0

0 0

0 0

N N

N N

N N

N N

m ê ρ T ξ (1.40)

c, Dao động tự do

Phương trình vi phân dao động có dạng:

F U C

U

M &&+ = (1.41) Khi không có ngoại lực tác dụng, F=0

0 U + U C =

M && (1.42) Trong đó M, C là các ma trận khối lượng và độ cứng, là các ma trận vuông cấp

n có các phần tử là hằng số Nghiệm của phương trình này được cho dưới dạng:

t A

u= sinω

Thay vào phương trình (1.42), có: C.A=ω2.M.A hay C.−ω2.M =0 (1.43) Giải hệ (1.43) thu được các tần số riêng và dạng dao động riêng ứng với tần

số riêng

1.2.4 Các mô hình toán học của phương pháp phần tử hữu hạn

a, Phương trình mô tả chuyển vị

y

u x v y v x u

xy y x

∂

∂

∂

∂γ

∂

∂ε

∂

∂ε

εx - biến dạng pháp tuyến theo phương x

εy - biến dạng pháp tuyến theo phương y

γxy - biến dạng góc trên mặt phẳng x-y

u, v - chuyển vị theo hai phương của trục x và y

b, Phương trình mô tả lực nút

{ } { } { }e e e

K

q = δ (1.45) Trong đó :

{ }K e : Ma trận độ cứng

{ }q e : Nội lực tại nút

{ }δ e : Biến dạng tại nút

c, Phương trình vi phân đường đàn hồi

y’’ =

J E

M

.

−

(1.46)Trong đó :

M : Mô men

E : Môdul đàn hồi

J : Mô men quán tính

1.2.5 Tổng quan về mô hình cấu trúc

a, Tổng quan về xây dựng mô hình

+ Mô hình hóa cấu trúc

Cung cấp cho chúng ta nhiều công cụ cho việc mô hình hóa cấu trúc Một mô hình có thể được xây dựng bằng cách kết hợp nhiều phương pháp khác nhau

Mục đích chính của việc tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn là mô phỏng sự ứng xử của vật liệu trong thực tế thông qua mô hình toán học Mô hình này bao gồm các nút, phần tử, vật liệu, các hằng số hình học, các điều kiện biên và các đặc trưng khác

“Mô hình hình học” chỉ có nghĩa là xây dựng về mặt hình học

+ Các bước chính trong việc mô hình hóa

- Xác định mục tiêu: bao gồm dạng bài toán, loại phần tử và lưới chia

- Thiết lập mặt phẳng làm việc

- Tạo các đối tượng hình học thông qua các lệnh hình học và phép toán của phần mềm

- Xác định hệ trục tọa độ thích hợp

- Xây đựng mô hình theo cách tiếp cận từ dưới lên

- Sử dụng các phép toán Boolean để kết hợp các đối tượng hình học

- Xác định các đặc trưng phần tử

- Xác định mật độ lưới chia thích hợp

- Xây dựng nút và phần tử thông qua công cụ tạo lưới

- Thêm các đặc trưng: các phần tử tiếp xúc, ràng buộc giữa các bậc tự do,…

+ So sánh giữa mô hình hóa thông qua các đối tượng hình học với phát sinh phần tử trực tiếp

Trong mô hình hóa cấu trúc thông qua các đối tượng hình học, ta mô phỏng các biên hình học của bài toán, xác lập các kích thước và hình dạng phần tử và sau

đó sử dụng các công cụ sinh lưới tự động của phần mềm để phát sinh nút và phần

tử Ngược lại, khi phát sinh trực tiếp, ta phải xác định trước vị trí của từng nút, kích thước, hình dạng và liên kết của từng phần tử trước khi xây dựng mô hình Dù các công cụ phát sinh phát sinh tự động nhưng phát sinh theo kiểu này đòi hỏi chúng ta phải theo sát cách đánh số nút của lưới chia Việc này đặc biệt khó khăn và dễ phát sinh lỗi khi xây dựng các bài toán lớn có dạng hình học phức tạp Do đó mô hình hóa cấu trúc thông qua các đối tượng hình học thường được ưa thích hơn Tuy nhiên trong một số trường hợp đặc biệt, việc phát sinh trực tiếp lại tỏ ra hữu hiệu hơn Trong một bài toán, chúng ta cũng có thể sử dụng cả hai phương pháp cho việc tạo

mô hình phần tử hữu hạn Một số thuận lợi và bất lợi khi sử dụng 2 phương pháp này được liệt kê như sau:

-Mô hình hóa thông qua các đối tượng hình học

- Đặc biệt thích hợp cho các bài toán lớn với dạng hình học phức tạp, nhất là các bài toán 3 chiều

- Rất ít đối tượng cần quản lý

- Cho phép sử dụng các lệnh về hình học (kéo, xoay) không thể thực hiện với nút và phần tử

- Cung cấp các đối tượng hình học cơ bản và các phép toán Boolean cho việc xây dựng mô hình theo trình tự từ trên xuống

- Dễ dàng hiệu chỉnh, thích nghi cho từng loại bài toán

- Đôi khi đòi hỏi nhiều thời gian tính toán

- Không thích hợp lắm cho các bài toán đơn giản, nhỏ

- Trong một số trường hợp chương trình không thể tạo ra được lưới phần tử hữu hạn

- Phát sinh phần tử trực tiếp

- Thích hợp cho các bài toán đơn giản, nhỏ

- Dễ dàng quản lý các đối tượng phần tử hữu hạn

- Thường tiêu tốn nhiều thời gian, khối lượng công việc nhiều

- Không mềm dẻo trong việc chia lưới

- Không thuận lợi trong việc tối ưu hóa

+ Chọn mô hình (1D, 2D, 3D…)

-Một bài toán thực tế có thể mô hình hóa bằng nhiều đối tượng hình học 1D, 2D hay 3D nhưng phải đảm bảo sự tương thích giữa các bậc tự do của bài toán Chẳng hạn để mô hình một kết cấu vỏ với các sườn gia cường ta có thể sử dụng phần tử vỏ 3D kết hợp với các phần tử dầm 3D Việc lựa chọn mô hình và phần tử

là yếu tố quyết định ảnh hưởng đến sự chính xác của kết quả nhận được

- Các mô hình đường có thể biểu diễn các phần tử dầm 2D, 3D hay phần tử ống cũng như phần tử vỏ đối xứng trục

- Các mô hình hai chiều có thể sử dụng để mô phỏng các kết cấu phẳng (ứng suất phẳng) hay dài vô hạn (biến dạng phẳng) hoặc kết cấu ba chiều đối xứng trục

- Các mô hình vỏ 3 chiều được sử dụng cho các cấu trúc vỏ mỏng trong không gian 3 chiều

- Các mô hình khối 3 chiều được sử dụng cho các cấu trúc khối trong không gian không đối xứng trục hay có mặt cắt thay đổi

+ Chọn bậc phần tử

Các phần tử phẳng và khối trong thư viện các phần tử của phần mềm được phân làm 2 loại cơ bản: loại tuyến tính (có hay không có các hàm dạng phụ) và loại bậc 2

Phần tử bậc 1

Trong tính toán, các phần tử tuyến tính với hàm dạng phụ thường cho kết quả chấp nhận được với thời gian tính toán tương đối hợp lý nếu chúng ta tránh sử dụng chúng ở những vùng đặc biệt (vùng có biến dạng, ứng suất lớn) Trong tính toán phi tuyến, thông thường một lưới mịn các phần tử bậc 1 sẽ cho kết quả tốt hơn với thời gian tính toán ngắn hơn so với một lưới tương đương thô hơn sử dụng các phần tử bậc 2

Đối với các cấu trúc vỏ cong, ta phải lựa chọn quyết định phần tử loại nào (bậc nhất hay bậc 2) sẽ được sử dụng là rất quan trọng Trong tính toán thực hành, việc

sử dụng các phần tử phẳng cho phần lớn các bài toán sẽ thu được kết quả chính xác với thời gian tính toán là tối thiểu Mật độ lưới chia khi đó phải đủ mịn để biểu diễn chính xác bề mặt cong Thông thường, ta không nên sử dụng phần tử vỏ phẳng để

mô hình một cung với góc ở tâm quá 150 Với phần tử vỏ nón, giới hạn này là 100

(hay 50 cho các vùng gần trục Y)

Phần tử bậc 2

Với các bài toán tính toán tuyến tính sử dụng các hàm dạng suy biến, các phần

tử bậc 2 thường cho kết quả tốt hơn với thời gian tính toán ngắn hơn so với các phần tử tuyến tính Một số đặc trưng riêng của các phần tử bậc hai cần lưu ý khi sử dụng được trình bày sau đây:

- Các tải trọng phân bố được đưa về nút không tuân theo trực giác thông thường như đối với phần tử tuyến tính

- Nếu nhiệt độ được định nghĩa tại nút giữa của phần tử vượt ra khỏi phạm vi nhiệt độ giới hạn bởi 2 nút biên, nó sẽ được định nghĩa lại bằng cách nội suy từ nhiệt độ ở 2 nút này

- Khi tính toán động, do khối lượng đặt tại nút giữa luôn lớn hơn tại các nút góc, nên thường ta có thể chỉ định bậc tự do chủ tại các nút giữa nhằm giảm khối lượng tính toán

- Khi tính toán động trong các bài toán truyền sóng, do khối lượng phân bố không đều, thường không nên sử dụng các phần tử có nút giữa

- Không được sử dụng các phần tử tiếp xúc cho các cạnh với các phần tử có nút giữa

- Khi ràng buộc các bậc tự do trên một cạnh (hay mặt) của phần tử cần lưu ý rằng tất cả các nút (kể cả nút giữa) phải được ràng buộc

- Nút góc của một phần tử chỉ nên nối với nút gốc của phần tử khác Các phần

tử kề nhau nên được nối chung nút giữa

- Các phần tử có chung nút giữa nên có cạnh chung thẳng trừ khi mô tả các đường hay bề mặt cong

- Vị trí nút giữa nên định vị chính xác tại điểm giữa cạnh Trong trường hợp bắt buộc nào đó, vị trí này nên được giới hạn trong khoảng L/10 từ vị trí điểm giữa cạnh (L là khoảng cách 2 nút góc) Trường hợp ngoại lệ với vị trí nút giữa gặp trong các bài toán cơ học rạn nứt

- Nút giữa định vị chính xác tại vị trí L/4 trên đường thẳng nối 2 nút góc sẽ cho ta phần tử suy biến với bậc suy biến 0.5 Đặc tính này thường được sử dụng trong các phần tử tam giác và đặc biệt hữu dụng cho việc mô phỏng đỉnh vết nứt

- Nếu ta không chỉ định vị trí nút giữa, chương trình sẽ tự động đặt nút này tại điểm giữa trên đường thẳng nối liền hai nút góc Trong trường hợp này, bậc tự do xoay của nút sẽ được nội suy tuyến tính theo 2 nút góc

- Các phần tử kết nối với nhau nên có chung số nút trên cạnh chung Do đó khi kết nối các phần tử khác nhau (có số nút trên một cạnh khác nhau) ta nên loại bỏ nút giữa của một phần tử

- Cạnh có nút giữa bị loại bỏ khi đó sẽ là cạnh thẳng và phần tử khi đó sẽ trở nên cứng hơn Ta chỉ nên sử dụng phần tử loại này tại các biên chuyển tiếp, không nên sử dụng chúng thay cho các phần tử tuyến tính với các hàm nội suy phụ

- Do số điểm lấy tích phân của các phần tử bậc 2 không nhiều hơn các phần tử bậc nhất, ta có xu hướng sử dụng các phần tử bậc nhất trong tính toán phi tuyến

- Chương trình sử dụng duy nhất các nút góc cho việc biểu diễn mặt cắt và đường khuất Các lệnh xuất ứng suất nút và hậu xử lý cũng chỉ có cho các nút góc