Thiết kế bộ lọc nhiễu wavelet và ứng dụng vào DSP

Morlet ñặt ra vấn ñề ñối với biến ñổi Fourier nhanh STFT Short Time Fourier Transform, ñó là tăng cường ñộ phân giải thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng ñộ ph

TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

THIẾT KẾ BỘ LỌC NHIỄU WAVELET

Lời cam ñoan

Tôi cam ñoan ñây là Luận văn nghiên cứu của tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng ñược công

bố trong bất kỳ Luận văn nào khác Các số liệu mô phỏng ñược chú thích, trích dẫn tham khảo từ bài báo, tài liệu gốc cụ thể

Học viên thực hiện

Nguyễn Việt Dũng

Mục lục

Trang phụ bìa ………

Lời cam ñoan ………

Mục lục ………

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt ………

Danh mục các bảng ………

Danh mục các hình vẽ, ñồ thị ………

Mở ñầu ……… 0

Chương 1: Tổng quan ……….……… 1

1.1 Giới thiệu ……….……… 1

1.1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số ……… 3

1.1.2 ðộ phân giải thời gian và tần số ……… 3

1.2 Nội dung luận văn ………… ……… 4

Chương 2: Lý thuyết Wavelet ……… 6

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet ……….……… 6

2.2 Biến ñổi Fourier và biến ñổi Wavelet ……….……… 9

2.2.1 Biến ñổi Fourier …….…….….…….……… 9

2.2.2 Khái niệm biến ñổi Wavelet ……… 12

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến ñổi Wavelet và biến ñổi Fourier …… 14

2.2.4 Sự khác biệt giữa biến ñổi Wavelet và biến ñổi Fourier ……… 14

2.3 Biến ñổi Wavelet liên tục ….……….………… 16

2.3.1 ðịnh nghĩa ……… 16

2.3.2 ðặc ñiểm của CWT ……… 17

2.3.2.1 Tính tuy ến tính ……… 19

2.3.2.2 Tính d ịch (translation) ……….… 19

2.3.2.3 Tính t ỷ lệ (scaling) ……… 19

2.3.2.4 Tính b ảo toàn năng lượng ……… 19

2.3.2.5 Tính ñịnh vị (localization) ……… 20

2.3.3 Ví dụ Wavelet Morlet ……… 20

2.4 Biến ñổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform) ……… 21

2.4.1 ðịnh nghĩa DWT ……… 21

2.4.2 Tính chất biến ñổi DWT ……… 22

2.4.3 Ví dụ Wavelet Haar ……… … 23

2.5 Biến ñổi Wavelet rời rạc và băng lọc (filter bank) ……… …… 24

2.5.1 Phân tích ña phân giải (Multiresolution Analysis) ………… … 25

2.5.2 Phân tích ña phân giải sử dụng băng lọc ……… … 26

2.5.3 Biểu diễn ma trận DWT ……… 31

2.5.4 Phân loại Wavelet ……….… … 34

2.5.4.1 ðặc ñiểm của băng lọc Wavelet trực giao (orthogonal wavelet filter banks)……….……… 34

2.5.4.2 ðặc ñiểm của băng lọc Wavelet song trực giao (biorthogonal wavelet filter banks) ….……… 34

2.6 Phân tích gói Wavelet ……… 35

2.6.1 Nguyên tử gói (Wavelet Packets Atoms) ……… 36

2.6.2 Phân tích ña phân giải và gói Wavelet ……….… … 38

2.6.3 Lựa chọn phân tích tối ưu ……… 38

2.7 Các họ Wavelet ……… … 39

2.8 Ứng dụng của Wavelet ……… 41

Chương 3: Khử nhiễu tín hiệu bằng phương pháp Wavelet trên DSP …… 43

3.1 Nhiễu ……… … 43

3.1.1 Khái niệm ……… ……….……… … 44

3.1.2 Phân loại nhiễu và các ñặc trưng của nhiễu ……… 45

3.2 Giới thiệu về khử nhiễu tín hiệu ……… … 54

3.3 Sự co ngắn Wavelet (Wavelet Shrinkage) ……… … 55

3.3.1 Khái niệm khử nhiễu ……… 57

3.3.2 Quy trình khử nhiễu ……… 57

3.3.3 Phân tích ….……… ……… … 57

3.3.4 Lấy ngưỡng ……… … 58

3.3.2.1 L ấy ngưỡng Wavelet ….……… 58

3.3.2.2 Xác ñịnh ngưỡng ……… … 62

3.3.5 Khôi phục ……….………… … 63

3.4 ðề xuất mô hình khử nhiễu bằng DSP ……… … 63

3.4.1 Giới thiệu về DSP ……… 63

3.4.2 Ứng dụng khử nhiễu bằng DSP sử dụng băng lọc Wavelet và lấy ngưỡng ……… 69

3.4.2.1 Biến ñổi Wavelet rời rạc ……… 69

3.4.2.2 Các băng lọc Wavelet và khôi phục hoàn hảo ……… 71

3.4.2.3 Thực hiện băng lọc Wavelet ……… 73

3.4.2.4 Mô hình khử nhiễu bằng DSP dùng băng lọc Wavelet và kĩ thuật lấy ngưỡng ……… 75

3.5 Giới thiệu chương trình mô phỏng khử nhiễu tín hiệu ……… … 77

3.5.1 Nguyên tắc mô phỏng ……… … 77

3.5.2 Giao diện chính của chương trình mô phỏng ……… … 80

3.5.3 Kết quả mô phỏng ……… 83

3.5.4 Nhận xét kết quả khử nhiễu thu ñược ……… … 87

Chương 4: Kết luận và ñề xuất hướng nghiên cứu phát triển ………… 88

4.1 Kết luận chung ……… ……… … 88

4.2 ðề xuất hướng nghiên cứu phát triển ……… … 89

Tài liệu tham khảo ……….………

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt

AWGN : Additive White Gaussian Noise

CMF : Conjugate Mirror Filters

CWT : Continuous wavelet transform

DCT : Discrete Cosine Transform

DFT : Discrete Fourier Transform

DWT : Discrete Wavelet Transform

EMI : Electromagnetic interference

ICA : Independent Component Analysis

MRA : Multiresolution Analysis

OFDM : Orthogonal Frequency Division Multiplexing

SNR : Signal-to-Noise Ratio

STFT : Short Time Fourier Transform

SURE : Stein's Unbiased Risk Estimate

WaveShrink : Wavelet Shrinkage

Danh mục các bảngBảng 2.1 : Tổng kết tính chất của một số Wavelet ……… 41 Bảng 3.1 : Hệ số Wavelet Daubechies (p=2,3) ……… 70

Danh mục các hình vẽ, ñồ thị

Hình 2.1 : Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và ñộ phân giải trên mặt phẳng tần

Hình 2.2 : ðộ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu

diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số ……… 12

Hình 2.4 : Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên

mặt phẳng thời gian - tần số ……… 15

Hình 2.5 : Các hàm cơ sở wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và

sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số ….……… 15

Hình 2.8 : Không gian và các không gian con trong ña phân giải Không

gian L2 biểu diễn toàn bộ không gian V j biểu diễn một không gian con, Wj biểu diễn chi tiết ………

2

5 Hình 2.9 : Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con ……

(a) Quá trình phân tích (b) Quá trình tổng hợp

27

28

Hình 2.13 : So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian- tần số của Wavelet

và gói Wavelet ………

36

Hình 2.15 : Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d)

Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat ………

40

Hình 3.1 : (a) Nhiễu trắng, (b) tự tương quan của nhiễu trắng, (c) phổ năng

lượng của nhiễu trắng 46

Hình 3.2 : (a) Tín hiệu nhiễu hồng và (b) phổ biên ñộ của nó 48

Hình 3.3 : (a) Tín hiệu nhiễu nâu và (b) phổ biên ñộ của nó 48

Hình 3.4 : Thời gian và tần số của : (a) Xung lý tưởng, (b) và (c) các xung với ñộ rộng hẹp 49

Hình 3.5 : Mô tả của sự biến ñổi của ñáp ứng xung của hệ thống không tuyến tính với sự tăng dần biên ñộ của xung 50

Hình 3.6 : (a) Xung hỗn tạp và nhạc từ máy hát ghi âm (b) dạng sóng thông thường của xung hỗn tạp máy thu âm 50

Hình 3.7 : Phương pháp khử nhiễu Wavelet Shrinkage 56

Hình 3.8 : a: Tín hiệu bị nhiễu trong miền thời gian

b: Tín hiệu trong miền Wavelet 59

Hình 3.9 : Biểu diễn các hàm lấy ngưỡng (shrinkage function) 61

Hình 3.10 : Quá trình phát triển của DSP TI 64

Hình 3.11 : Cấu trúc CPU của TMS320C67xx 65

Hình 3.12 : Biến ñổi Wavelet rời rạc 69

Hình 3.13 : Phân tách Wavelet hai mức 71

Hình 3.14 : Khôi phục Wavelet hai mức 72

Hình 3.15 : Cấu trúc phân tích gói Wavelet 72

Hình 3.16 : Cấu trúc phân tích hình chóp 73

Hình 3.17 : Thuật toán băng lọc theo dạng ma trận 74

Hình 3.18 : Khôi phục theo dạng ma trận 74

Hình 3.19 : Khôi phục theo dạng ma trận rút gọn 75

Hình 3.20 : Mô hình khử nhiễu bằng DSP ứng dụng lấy ngưỡng băng lọc Wavelet 76 Hình 3.21 : Giao diện chính của chương trình mô phỏng 80

Hình 3.22 : Tín hiệu ECG ñầu vào 81

Hình 3.23 : Tín hiệu ECG gốc và nhiễu cộng 81

Hình 3.24 : Giao diện chọn họ Wavelet, mức phân tích, phương pháp lấy ngưỡng và luật lấy ngưỡng

82 Hình 3.25 : (a), (b), (c), (d) Kết quả mô phỏng 1, 2, 3, 4 83

Mở ựầu

Như ta ựã biết, nhiễu là một dạng tắn hiệu không mong muốn gây ra sai lạc trong quá trình truyền thông tin Và nhiễu ựặc biệt nguy hiểm với các thông tin quan trọng như quân sự, y họcẦ Do ựó khử nhiễu tắn hiệu luôn là vấn ựề cần quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới

Trong những năm gần ựây, biến ựổi Wavelet ựang nổi lên như là những công cụ rất mạnh trong kỹ thuật xử lý tắn hiệu, ựặc biệt trong lĩnh vực xử lý tắn hiệu y sinh,

xử lý ảnh và xử lý âm thanh đó là do hiệu quả của kỹ thuật này ựối với phép xử lý tắn hiệu không dừng và do tắnh bền vững với nhiễu

Không chỉ ở các nước phát triển mà ở một số nước ựang phát triển gần chúng ta

như Trung Quốc, Thái Lan, ấn độ, phép biến ựổi Wavelet ựang ựược nghiên cứu

rất nghiêm túc Trong khuôn khổ luận này, em xin phép ựược giới thiệu những vấn

ựề cơ bản của khử nhiễu dựa trên phép biến ựổi Wavelet và ứng dụng vào DSP với

vắ dụ ựiển hình trong kỹ thuật khử nhiễu tắn hiệu ựiện tim (ECG) Nghiên cứu chỉ ra tầm quan trọng của việc lựa chọn Wavelet phù hợp cho tắn hiệu ựầu vào và khả năng ứng dụng trên DSP Và nghiên cứu cũng chứng tỏ hiệu quả khử nhiễu tắn hiệu phụ thuộc vào ba yếu tố: các kỹ thuật lấy ngưỡng, loại Wavelet ựược sử dụng trong khử nhiễu, và sự ựồng bộ hoá giữa Wavelet ựược chọn lựa với tắn hiệu ựầu vào Các kết quả thử nghiệm trên tắn hiệu ECG sử dụng các dạng khác nhau của Wavelet như

là Haar, Daubechies, Symlet và Coiflet

Trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, em mong nhận ựược nhiều ý kiến ựóng góp của thầy cô giáo, các bạn ựể luận văn ựược hoàn thiện và phát triển mang tắnh thực tế hơn nữa

Qua lời mở ựầu, em xin ựược trân trọng gửi lời cảm ơn TS Nguyễn Hữu Trung

và tập thể các thầy cô giáo khoa điện tử - Viễn thông, trường đại học Bách Khoa

Hà Nội ựã tận tình giúp ựỡ, hướng dẫn và tạo ựiều kiện cho em hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn

lý tín hiệu bao trùm tất cả các lĩnh vực ứng dụng từ phân tích dữ liệu ñến nén tín hiệu Một trong những công cụ mới và rất mạnh trong lĩnh vực xử lý tín hiệu ñó là phép biến ñổi Wavelet

Mặc dù lý thuyết về biến ñổi Wavelet hiện ñại chính thức ñược phát triển khoảng hai mươi năm gần ñây, tuy nhiên nguồn gốc ý tưởng về biến ñổi Wavelet ñã xuất hiện từ trước ñó rất lâu Nguồn gốc của lý thuyết Wavelet hiện ñại bắt nguồn

từ cuối những năm 1970 và 1980 Ban ñầu J Morlet ñặt ra vấn ñề ñối với biến ñổi

Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform), ñó là tăng cường ñộ phân giải

thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng ñộ phân giải tần số cho các thành phần tần số thấp hơn Tuy nhiên với biến ñổi STFT, ñộ phân giải thời gian và ñộ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất ñịnh Heisenberg, khi ñộ phân giải tần số ñạt ñược tốt thì phải hy sinh ñộ phân giải thời gian và ngược lại

muốn có ñộ phân giải thời gian tốt thì ñộ phân giải tần số sẽ kém ñi ðể giải quyết vấn ñề này, J.Morlet ñã ñưa ra ý tưởng về các hàm biến ñổi: xây dựng hàm cửa sổ sóng cosin và áp cửa sổ này lên trục thời gian ñể thu ñược hàm tần số cao hơn, hay trải hàm này ra ñể thu ñược hàm tần số thấp hơn ðể theo dõi toàn bộ thay ñổi của tín hiệu theo thời gian, các hàm này ñược dịch theo thời gian

Phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng tuyệt vời: tín hiệu ñược khai triển trên

một tập hợp của các hàm ñược giãn hay nén (hàm Wavelet mẹ _mother Wavelet)

Trong ñó a là tỷ lệ (scale), ñây là yếu tố quan trọng cho phép thay ñổi ñộ phân giải

thời gian và ñộ phân giải tần số khi phân tích tín hiệu Quy trình phân tích wavelet

là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, ñược gọi là Wavelet phân tích (analyzing

dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân tích tần số ñược

thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ

Hiện nay biến ñổi Wavelet là vấn ñề ñang ñược nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu Biến ñổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,

âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, dự báo

ñộng ñất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân

từng phần (partial differential equation)

Lý thuyết Wavelet ñược ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật xử lý tín hiệu mà ở ñây là khử nhiễu tín hiệu kể từ khi nghiên cứu về Wavelet ñầu tiên ñược công bố chính thức vào cuối những năm 1980 Không chỉ vậy lý thuyết Wavelet còn ñược dùng ñể khử nhiễu tín hiệu trong y sinh rất phổ biến Tạp chí ñầu tiên về Wavelet trong kỹ thuật y sinh ñược phát hành vào tháng ba năm 1995, công bố những nghiên cứu về tín hiệu EMG, EEG, và ECG,…cho thấy ưu thế ứng dụng của Wavelet trong những lĩnh vực mà các công cụ phân tích truyền thống không thể áp dụng tốt Nhờ

kỹ thuật này mà độ chính xác, độ tin cậy của các hệ chẩn đốn ứng dụng trí tuệ nhân tạo ngày càng được nâng cao

1.1 Các cơng cụ phân tích thời gian-tần số

Phân tích thời gian-tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier Các phương pháp phân tích thời gian-tần số phổ biến nhất hiện nay là biến đổi STFT và biến đổi Wavelet

Biến đổi STFT khắc phục được những hạn chế của biến đổi Fourier Tín hiệu ƒ(t) ban đầu được nhân với hàm cửa sổw(t−τ), sau đĩ thực hiện biến đổi Fourier truyền thống Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ: cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại Một ví dụ điển hình của hàm cửa sổ Gaussian được đưa ra bởi Gabor 1946

Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng sự dịch (shift) và tỷ lệ (scale) (giãn ra hay co

vào) của hàm nguyên mẫu đầu tiên ψ( )t Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp

1.2 ðộ phân giải thời gian và tần số

Trong bất kỳ ứng dụng xử lý tín hiệu nào, độ phân giải thời gian-tần số là một vấn đề quan trọng cần quan tâm Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu một mức định vị cao theo thời gian trong khi các phương pháp miền tần số yêu cầu mức định

vị cao theo tần số ðiều đĩ dẫn đến vấn đề thoả hiệp giữa độ phân giải thời gian và

độ phân giải tần số

Khái niệm về sự định vị của hàm cơ bản thường dựa trên cơ sở một diện tích bao phủ nào đĩ trong mặt phẳng thời gian-tần số của hàm đĩ Diện tích cơ bản trong

mặt phẳng được gọi là ‘ơ ngĩi’ (tile) Trong trường hợp lý tưởng, ơ ngĩi là một cửa

sổ hình chữ nhật nhỏ tập trung trong mặt phẳng thời gian-tần số

ðể tập trung ô ngói trong mặt phẳng thời gian-tần số, các biến ñổi sử dụng cho biểu diễn thời gian-tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và lấy

tỷ lệ Rõ ràng dịch theo thời gian bởi τ dẫn ñến sự dịch ô ngói theo τ qua trục thời gian Tương tự như vậy, nhân với jw S t

e dẫn ñến dịch ô ngói bởi wS Ngoài ra, cần chú ỷ rằng hình dạng của ô ngói không hoàn toàn là hình chữ nhật lý tưởng hay không có kích thước hẹp vô hạn Hình dạng thực của ô ngói ñược xác ñịnh bởi hàm

cơ sở ñược sử dụng cho khai triển

Giả thiết tín hiệu f( )t tập trung quanh t0 với phổ tần số F(ω) tập trung quanh ω0,

2 2 0

0

2

2

11

(1.3) với E là năng lượng của tín hiệu ðộ phân giải thời gian và tần số liên hệ theo nguyên lý bất ñịnh Heisenberg Nguyên lý này thiết lập một giới hạn cho ñộ phân giải thời gian và tần số ñược biểu diễn bởi tích ∆t∆ω Nếu f( )t phân rã nhanh hơn

2∆ ≥

∆t ω (1.4)

2 Nội dung luận văn

Trong luận văn này, phân tích Wavelet ñược sử dụng ñể khử nhiễu tín hiệu và ứng dụng trên DSP Mục tiêu thứ nhất của luận văn là giới thiệu và trình bày chi tiết

về lý thuyết Wavelet, ñưa ra các ñặc ñiểm chi tiết của Wavelet và ứng dụng của Wavelet Mục tiêu thứ hai là ứng dụng lý thuyết về Wavelet vào một ứng dụng cụ thể: Khử nhiễu tín hiệu và ứng dụng trên DSP, ñưa ra các phương pháp khử nhiễu trên cơ sở Wavelet, nhấn mạnh khử nhiễu bằng cách lấy ngưỡng Wavelet

Dựa trên những yêu cầu ñặt ra với ñề tài Thiết kế bộ lọc nhiễu Wavelet và ứng

dụng trên DSP, luận văn của em ñược cấu trúc như sau:

Chương 1: Tổng quan Giới thiệu chung một số khái niệm trong luận văn, trình bày mục ñích, nội dung và những yêu cầu ñặt ra trong luận văn

Chương 2: Lý thuyết Wavelet Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet, những ñặc ñiểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau Giới thiệu những ưu ñiểm và ứng dụng của Wavelet, ñặc biệt là ứng dụng khử nhiễu tín hiệu

Chương 3: Khử nhiễu tín hiệu bằng phương pháp Wavelet trên DSP: Trình bày khái niệm chung và các loại nhiễu Qua ñó nêu ra các phương pháp ñể khử nhiễu tín hiệu và tập trung vào phương pháp lấy ngưỡng trong khử nhiễu tín hiệu Xây dựng

mô hình khử nhiễu dùng Wavelet ñể ứng dụng trên DSP và mô phỏng trên Matlab

Chương 4: Kết luận và ñề xuất hướng nghiên cứu phát triển Nêu ra nhận xét về phương pháp khử nhiễu dùng Wavelet: kĩ thuật, kết quả ñánh giá Qua ñó ñề xuất hướng phát triển cho ñề tài về sau

42

Chương 2:

Lý thuyết Wavelet

s ố khác nhau, sau ñó nghiên cứu mỗi thành phần ñó với ñộ phân giải tương ứng với

Ch ương ba trình bày về sự hình thành của biến ñổi Wavelet, so sánh biến ñổi

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet

Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ Các hàm Wavelet thoả mãn các yêu cầu về mặt toán học ñược sử dụng ñể biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác.Ý tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng ñã tồn tại từ ñầu thế kỉ 18 khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau ñể biểu diễn một hàm khác Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ ñược sử dụng ñể phân tích dữ liệu theo một cách ñặc biệt Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ

lệ khác nhau hoặc các ñộ phân giải khác nhau Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ

lớn, chúng ta sẽ nhận ñược các ñặc ñiểm chung Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu với một cửa sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra những ñặc ñiểm chi tiết hơn Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, ñược gọi là

Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet) Phân tích thời gian ñược thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong

khi phân tích tần số ñược thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet

mẹ Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể ñược biểu diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính toán dữ liệu có thể ñược thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng Và nếu như chọn ñược Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng

nào ñó, chúng ta thu ñược dữ liệu ñược biểu diễn rời rạc Mã hoá rời rạc (sparse

coding) làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu

Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học,

kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,

âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals,

turbulence , dự báo ñộng ñất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation)

Lịch sử hình thành Wavelet

Trong lịch sử toán học, trong một thời gian dài nhiều ý tưởng về biến ñổi Wavelet ñã ñược giới thiệu, ñưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích Wavelet Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet ñược thực hiện vào những năm 1930, tuy nhiên

ở thời ñiểm ñó, các nỗ lực riêng biệt ñã không ñưa ra ñược một lý thuyết chặt chẽ, thống nhất

Trước 1930

Trước 1930, một nhánh chính của toán học nghiên cứu về Wavelet ban ñầu với

Joseph Fourier (1807) và lý thuyết của ông về giải tích tần số (frequency analysis),

hiện nay thường ñược nhắc ñến với biến ñổi Fourier (FT)

∑∞

=

++

a (2.1) với các hệ số a0, ak, bk:

)(

1

dx kx x

f

Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy Fourier,

và các hệ thống trực giao, các nhà toán học dần ñi từ khái niệm giải tích tần số tới

khái niệm giải tích tỷ lệ (scale analysis) Ý tưởng cơ bản là xây dựng một hàm gốc,

dịch và thay ñổi tỷ lệ hàm này, áp dụng chúng với cùng tín hiệu ñể thu ñược một xấp xỉ mới của tín hiệu ñó Người ta nhận ra rằng, dạng phân tích tỷ lệ ít nhạy cảm với nhiễu vì phân tích tỷ lệ tính sự biến ñổi trung bình của tín hiệu ở các tỷ lệ khác nhau Khái niệm Wavelet xuất hiện ñầu tiên trong phụ lục của lý thuyết của A Haar (1909) Wavelet Haar triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn Và Wavelet Haar không khả vi liên tục, ñiều này làm hạn chế các ứng dụng của Wavelet Haar

Paley, và Stein thực hiện yêu cầu tính toán năng lượng của hàm f (x):

Năng lượng= ∫ f ( x )2dx (2.3)

Các nhà nghiên cứu ñã tìm ra một hàm có thể thay ñổi theo tỷ lệ và có thể bảo toàn năng lượng khi tính toán năng lượng hàm David Marr ñã ñưa ra với thuật toán hiệu quả cho xử lý ảnh số sử dụng Wavelet

1960-1980

Từ năm 1960 ñến 1980, các nhà toàn học Guido Weiss và Ronald R.Coifman ñã

nghiên cứu các phần tử ñơn giản nhất của không gian hàm, gọi là atom (nguyên tử),

với mục ñích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc tập hợp

“assembly rules” cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm sử dụng các

chung Wavelets trong lĩnh vực vật lý lượng tử Hai nhà nghiên cứu này ñã ñưa ra một cách quan niệm Wavelet dựa trên cơ sở vật lý

2.2 Biến ñổi Fourier và biến ñổi Wavelet

2.2.1 Biến ñổi Fourier

Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp J.Fourier ñã chứng minh rằng một hàm tuần hoàn bất kỳ có thể biễu diễn như là một tổng xác ñịnh của các hàm mũ phức Nhiều năm sau, Fourier ñã khám phá tính chất ñặc biệt của các hàm, ñầu tiên ý tưởng của ông ñã ñược tổng quát hoá với các hàm không tuần hoàn, và sau ñó cho các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn rời rạc theo thời gian Sau ñó tổng kết này trở thành một công cụ hoàn toàn phù hợp cho các tính toán máy tính Năm 1965, một thuật

toán mới ñược gọi là biến ñổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier Transform) ñược

phát triển và biến ñổi FT (Fourier Transform) trở thành một công cụ phổ biến

ðịnh nghĩa FT:

dt e t f w F

iwt jwt

)()

(

)()

(

(2.4)

Thông tin ñược chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích phân từ -∝ tới +∝ Do ñó biến ñổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay ñổi

theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary) ðiều ñó có nghĩa là biến

ñổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần số nào ñó, tuy nhiên thông tin này ñộc lập với thời ñiểm xuất hiện thành phần phổ ñó

Do vậy biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính ñược gọi là biến ñổi Fourier nhanh

STFT (Short Time Fourier Transform) ñược ñưa ra Trong biến ñổi STFT, tín hiệu

ñược chia thành các ñoạn ñủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên từng ñoạn ñược phân chia có

thể coi là dừng (stationary) Với mục ñích này, hàm cửa sổ ñược lựa chọn ðộ rộng

của cửa sổ phải bằng với ñoạn tín hiệu mà giả thiết về sự dừng của tín hiệu là phù hợp ðịnh nghĩa STFT:

= ∫ − −

t

jwt

dt e l t w t f w

l

(2.5) với w là hàm cửa sổ

Một ñặc ñiểm quan trọng của biến ñổi STFT là ñộ rộng của cửa sổ ñược sử dụng Cửa sổ càng hẹp thì ñộ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng ñộ phân giải tần số kém hơn và ngược lại

Hình 2.1 Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và ñộ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời gian

Vấn ñề với biến ñổi STFT là sự chính xác của ñộ phân giải thời gian và tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất ñịnh Heisenberg Các phương trình cơ bản không thể ñưa

ra biểu diễn thời gian-tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không thể biết ñược các thành phần phổ tồn tại ở khoảng thời gian nào, và không thể biết chắc chắn khoảng thời nào trong ñó dải tần số chắc chắn tồn tại

Do vậy, vấn ñề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ phụ thuộc ứng dụng Nếu như các thành phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy sinh ñộ phân giải tần số và do vậy có ñộ phân giải thời gian tốt Tuy nhiên, trong trường hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa sổ phù hợp

là khó khăn

Mặc dù vấn ñề ñộ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật lý (nguyên lý bất ñịnh Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến ñổi nào, tuy nhiên người ta có thể khắc phục vấn ñề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử

dụng phép tính gần ñúng luân phiên ñược gọi là biến ñổi Wavelet (WT_Wavelet

Transform) Biến ñổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những ñộ phân giải khác nhau Trong biến ñổi Wavelet mỗi thành phần phổ không ñược phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến ñổi STFT

Hình 2.2 ðộ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số

Biến ñổi WT ñược xây dựng ñể ñưa ra ñộ phân giải thời gian tốt và ñộ phân giải tần

số kém hơn ở tần số cao; ñộ phân giải tần số tốt và ñộ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp Phép tính gần ñúng này có ý nghĩa ñặc biệt khi tín hiệu gốc có các thành phần tần số cao với khoảng thời gian tồn tại ngắn và các thành phần tần số thấp với khoảng thời gian tồn tại dài, ñó là trường hợp của hầu hết các tín hiệu y

sinh: tín hiệu ñiện não ñồ EEG (electroencephalogram), ñiện cơ ñồ EMG (electromyogram), và ñiện tâm ñồ ECG (electrocardiogram)

2.2.2 Khái niệm biến ñổi Wavelet

Biến ñổi Wavelet liên tục (CWT) ñược ñịnh nghĩa (Daubechies92):

1 , ( ) (3.7)

là hàm cửa sổ còn ñược gọi là Wavelet mẹ (mother wavelet), a là tỷ lệ và b là

khoảng dịch, ψ*(t) là liên hợp phức của hàm Wavelet ψ(t) Thuật ngữ Wavelet nghĩa là sóng nhỏ Hàm Wavelet gốc là nguyên mẫu ñầu tiên ñể tạo nên các hàm cửa sổ

Thuật ngữ dịch (translation) liên quan với vị trí của cửa sổ, như là cửa sổ ñược

dịch chuyển trên tín hiệu Thuật ngữ này rõ ràng tương ứng với thông tin thời gian

trong miền khai triển (transform domain) Tuy nhiên, chúng ta không có tham số

tần số như trong biến ñổi STFT Thay thế cho tham số tần số, chúng ta có khái niệm

tỷ lệ, là phép toán mở rộng hoặc nén tín hiệu Các tỷ lệ nhỏ tương ứng với mở rộng hay giãn các tín hiệu và các tỷ lệ lớn tương ứng ñể nén tín hiệu Việc lấy tỷ lệ Wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra ñặc ñiểm chính xác của tín hiệu Các Wavelet có tỷ lệ bé có khả năng trích ñược phần biến thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh), còn khi tỷ lệ lớn trích ñược phần biến thiên chậm, tần số thấp (phần thô) của tín hiệu

Thuật toán CWT có thể ñược mô tả như sau – xem hình 2.3:

1 Chọn Wavelet và so sánh với phần ñầu của tín hiệu nguyên bản

2. Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức ñộ tương quan giữa wavelet và phần của tín

hiệu Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc vào hình dạng của Wavelet ñã chọn

3 Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho ñến khi bao phủ toàn

bộ tín hiệu

4 Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 ñến bước 3

Hình 2.3 Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.6)

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến ñổi Wavelet và biến ñổi Fourier

Biến ñổi Fourier nhanh (FFT) và biến ñổi Wavelet rời rạc (DWT) ñều là phép toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các ñoạn log2n ñộ dài thay ñổi, ñiền ñầy và biến ñổi chúng thành các vectơ dữ liệu với ñộ dài 2n

ðặc ñiểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến ñổi FFT và DWT là tương tự nhau Ma trận biến ñổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị của ma trận nguyên gốc Và kết quả là, cả hai biến ñổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm

cơ sở ñó là sin và cosin Với biến ñổi wavelet, miền mới này bao gồm các hàm cơ

sở phức tạp hơn ñược gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet)

Cả hai biến ñổi còn có những ñiểm tương ñồng khác, các hàm cơ sở ñược phân

bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu ñồ tỷ lệ có thể ñược sử dụng

ñể phân biệt các tần số và tính phân bố công suất

2.2.4 Sự khác biệt giữa biến ñổi Wavelet và biến ñổi Fourier

ðiểm khác biệt ñáng chú ý nhất giữa hai dạng biến ñổi Wavelet và Fourier là các hàm Wavelet riêng ñược khu biệt trong không gian, trong khi các hàm sin và cosin của biến ñổi Fourier thì không ðặc ñiểm khu biệt, cùng với sự khu biệt các wavelet theo tần số, làm cho các hàm và các phép toán sử dụng Wavelet ñược rải

rác ra “sparse” khi biến ñổi sang miền Wavelet Sự rải rác này, dẫn ñến một số ứng

dụng hữu ích như là nén dữ liệu, tách các ñiểm ñặc trưng của ảnh, và khử nhiễu Một phương pháp ñể xem xét sự khác biệt về ñộ phân giải thời gian-tần số giữa biến ñổi Fourier và biến ñổi Wavelet là xem sự hội tụ hàm cơ sở trên mặt phẳng thời gian-tần số Vì một cửa sổ duy nhất ñược sử dụng với mọi tần số trong FT, ñộ phân giải của phân tích là giống nhau ở mọi khu vực trên mặt phẳng thời gian-tần

số

Hình 2.4 Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số

Một ưu ñiểm của biến ñổi Wavelet là các cửa sổ có thể thay ñổi ðể tách các ñiểm gián ñoạn của tín hiệu, người ta có các hàm cơ sở rất ngắn và cùng thời ñiểm ñó ñể

có ñược các phân tích tần số chi tiết người ta cần các hàm cơ sở rất dài

Hình 2.5 Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số

Một ñiểm cần ghi nhớ rằng các biến ñổi Wavelet không chỉ gồm một tập hợp ñơn của các hàm cơ sở như biến ñổi Fourier với hàm sin và cosin Thay vào ñó, các biến ñổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng Do vậy, phân tích Wavelet ñưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn so với các phương pháp thời gian- tần số truyền thống như biến ñổi Fourier

2.3 Biến ñổi Wavelet liên tục

2.3.1 ðịnh nghĩa

Biến ñổi Wavelet liên tục (CWT) ñược ñịnh nghĩa:

W(a,b)=∫−+∞∞ f(t)ψ* ,b(t)dt (2.8)

với a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ*a,b(t) là liên hợp

phức của hàm wavelet ψa,b(t) Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet ψ ,b(t)có thể thu ñược từ Wavelet cơ bản:

1 , ( ) (2.9) với a, b là các số thực (a ≠ 0), ψ ,b(t)là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung bình bằng

không: ∫∞

∞

−

= 0 )

( dt t

ψ Hàm Wavelet ψ ,b(t)có dạng bất biến trong không gian L2(R)

của các hàm tích phân bình phương vì có hệ số chuẩn hoá 2

a

dadb t b a W C t

ψ

(2.10) trong ñó Cψ phải thoả mãn ñiều kiện:

=+∫∞ <+∞

∞

−

ωω

ωψ

C

2

)(

(2.11)

với ψ(ω)là biến ñổi Fourier của hàm Wavelet ψ ,b(t) Cψ là hằng số phụ thuộc vào hàm Wavelet ψ ,b(t) Cψ là hữu hạn chỉ khi hàm ψ(0)=0hay ñiều kiện tương ñương:

+∞∫

∞

−

= 0)

( dt t

ψ (2.12)

ðể chắc chắn rằng các hàm Wavelet phân rã nhanh chóng tới không và do vậy chúng ñược khu biệt rõ ràng trong miền thời gian, hàm Wavelet cần thoả mãn ñiều kiện:

Một chuỗi Wavelet có ñược nhờ gián ñoạn hoá CWT Sự gián ñoạn hoá CWT ñược thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ Tốc ñộ lấy mẫu có thể thay ñổi theo sự thay ñổi tỷ lệ với ñiều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist Tiêu chuẩn Nyquist: tốc ñộ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu nguyên bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu Do vậy, khi tỷ lệ cao lên (tần số thấp ñi) tốc ñộ lấy mẫu có thể giảm như vậy số lượng phép tính giảm

2.3.2 ðặc ñiểm của CWT

Các ñặc ñiểm quan trọng nhất của Wavelet là các ñiều kiện thừa nhận

(admisibility condition) và các ñiều kiện ñiều chỉnh (regularity condition) và các

ñặc ñiểm này dẫn ñến tên gọi Wavelet (sóng nhỏ) Người ta chứng minh rằng tích phân bình phương các hàm ψ(t) thoả mãn ñiều kiện admissibility:

(2.14)

có thể ñược sử dụng ñể phân tích ban ñầu và sau ñó khôi phục lại tín hiệu mà không tổn hao thông tin Trong biểu thức (3.14) hàm Ψ(ω) là biến ñổi Fourier của ψ(t) ðiều kiện admissibility chỉ ra rằng biến ñổi Fourier của hàm ψ(t)triệt tiêu ở f = 0

( ) 0

0

2

=Ψ

= ω

ω (2.15)

điểm không ở tần số bằng 0 cũng có nghĩa rằng giá trị trung bình của Wavelet trong miền thời gian phải bằng 0:

∫Ψ( )t dt=0 (2.16)

và do vậy phải có dạng dao ựộng Nói cách khác, ψ(t)phải là dạng sóng

Người ta sử dụng các ựiều kiện thêm (additional condition) của các hàm Wavelet ựể

làm cho biến ựổi Wavelet giảm nhanh chóng cùng với sự giảm tỷ lệ a đó là ựiều

kiện ựiều chỉnh (regularity condition) và ựiều kiện này yêu cầu hàm Wavelet phải trơn và tập trung trong cả miền thời thời gian và tần số Regularity là một khái niệm

phức tạp và chúng ta sẽ giải thắch ựiều kiện này sử dụng khái niệm momen triệt tiêu

n O dt a

t p

t f

1)0,(

++

+

2

2 2 1

1 0

!

0

!2

0

!1

00

f a

M

f a M

f a M f a

a

(2.19)

Từ ựiều kiện admissibility có momen M0 = 0 do vậy số hạng ựầu tiên bên vế phải là bằng 0 Nếu chúng ta tìm ựược cách làm cho các momen khác và momen Mn cũng bằng 0, thì các hệ số biến ựổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như an + 2 cho tắn hiệu trơn Ặ(t) đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ Nếu Wavelet có momen triệt tiêu N, thì bậc xấp xỉ cho biến ựổi Wavelet cũng là N Trên thực tế,

nghiên cứu thực nghiệm ñưa ra nhận ñịnh rằng số momen yêu cầu phụ thuộc lớn vào ứng dụng

2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượng

Biến ñổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như công thức Parseval của biến ñổi Fourier

ðịnh lý: Nếu hàm f(t)∈L2(R)và có biến ñổi Wavelet liên tục là Wf(a,b) thì:

1

a

dadb b

a C

dt t f

ψ

(2.23)

2.3.2.5 Tính ñịnh vị (localization)

Biến ñổi Wavelet liên tục có tính ñịnh vị tốt, ñặc biệt là với những thay ñổi ñột ngột trong miền thời gian ở tần số cao (hay tỷ lệ thấp), ñây là một ưu ñiểm so với các phép biến ñổi truyền thống

πψ

( ) ( )2/ 2

2

πω

ψ rất nhỏ nên vẫn ñược xem là một hàm của Wavelet

Hình 2.6 Biểu diễn Wavelet Morlet

2.4 Biến ñổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform)

Vì những hàm Wavelet ψ ,b( )ω ñược ñịnh nghĩa ñối với mọi ñiểm trong không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet ψ ,b( )ω rất dư thừa Do vậy, ñể giảm bớt sự dư thừa ñó biến ñổi Wavelet rời rạc (DWT) ñược giới thiệu Biến ñổi DWT dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể ñược thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT ñược xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc ñược phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng ñược thực hiện trong lĩnh vực

mã hóa tín hiệu tiếng nói còn ñược gọi là mã hoá băng con (sub-band coding) Năm

1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con ñược phát triển ñược gọi là

mã hoá hình chóp (pyramidal coding) và dẫn ñến sơ ñồ phân tích ña phân giải

(MRA)

Trong biến ñổi Wavelet liên tục, tín hiệu ñược phân tích sử dụng một tập hợp hàm

cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b) Trong DWT, biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu ñược nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số Tín hiệu ñược phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau

k

j n n f k

j C b a

C , , ψ , (2.25) với ψj,klà Wavelet rời rạc ñược ñịnh nghĩa:

n n j k j ( j n k)

j

j k

1)

Các tham số a, b ñược xác ñịnh: a = 2j, b = 2j k

Biến ñổi DWT có thể biến ñổi ngược nếu như tập hợp tương ứng của các mẫu xác ñịnh một khung Wavelet:

≤∑ ( ) ≤

b

f B b

a f f

A

,

2 2

2

,,ψ (2.27)

với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn của khung (framebounds)

Biến ñổi ngược ñược xác ñịnh như sau:

j C

2.4.2 Tính chất biến ñổi DWT

Wavelet ñược xác ñịnh bởi một số xác ñịnh các hệ số khác không M Số hệ số

này ñại diện cho số momen triệt tiêu (vanishing moments) ñược xác ñịnh như sau:

Nếu ψ( )x là khả vi M lần và phân rã ñủ nhanh, thì M-1 mômen Wavelet ñầu tiên triệt tiêu, nghĩa là:

( )= ∑ ( ) (− − + ) ( − )

k

k

k x k

k h k

h

n

h 2 0 (2.35)

Như vậy, có thể kết luận rằng mọi tính chất của Wavelet ñược quyết ñịnh bởi dãy

0

10

0

12/

1

,

1

2/10

Hình 2.7 Wavelet Haar

2.5 Biến ñổi Wavelet rời rạc và băng lọc (filter bank)

2.5.1 Phân tích ña phân giải (Multiresolution Analysis)

ðịnh nghĩa: Không gian L2 = L2(R) là không gian của các tín hiệu tương tự Phân tích ña phân giải MRA của L2 là một họ các không gian con V j ⊂ L2( )R :

Như vậy họ {φ(t− ,k)k∈Z} tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian tham chiếu V0 Các không gian V j lồng vào nhau Không gian L2(R) ñóng kín tập hợp mọi V j

Hình 2.8 Không gian và các không gian con trong ña phân giải Không gian L 2 biểu diễn toàn bộ không gian V biểu diễn một không gian con, W j j biểu diễn chi tiết

Hàm tỷ lệ φ( )t :

Hàm φ( )t trong ñịnh nghĩa ña phân giải MRA ñược gọi là hàm tỷ lệ (scaling

Họ {ψj,k :k∈Z} tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho W n

Theo ñịnh nghĩa ña phân giải, ta có phương trình tỷ lệ:

ðặt không gian W là phần bù của j V j với V j+1, V j+1 =V j ⊕Wj Các hàm ψj,k là một cơ sở trực chuẩn của W j

Với các tín hiệu thực tế có dải thông giới hạn, có một tỷ số j = J cho các hệ số wavelet w j,klà ñủ nhỏ Do ñó có thể viết hàm f J ∈V J thành ( )=∑ ( )

2 1 -

0 j0

= 1

0

, 0 , 0 ,

j k

w ψ φ (2.43)

với j0 là ñộ phân giải nhỏ nhất ñược chọn trong phân tích

Vì ψ∈W0 ⊂V1, và ψ(2t−k) là một cơ sở trực chuẩn của V1, ψ có thể ñược viết thành:

ñược gọi là phương trình Wavelet

Các hệ số ( )h k và ( )g k từ các phương trình tỷ lệ và phương trình Wavelet tương ứng với các bộ lọc thông thấp (xấp xỉ) và thông cao (chi tiết) Những bộ lọc này ñược sử dụng trong thuật toán Mallat

2.5.2 Phân tích ña phân giải sử dụng băng lọc

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu các bộ lọc ñược sử dụng phổ biến Wavelet có thể ñược thực hiện bởi các bộ lọc lặp ñi lặp lại với tỷ lệ thay ñổi ðộ phân giải của tín hiệu là tiêu chuẩn ñể ñánh giá lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu ðộ phân giải của tín hiệu ñược xác ñịnh bởi các quá trình lọc, và tỷ lệ ñược xác ñịnh bởi sự phân

chia (upsampling) và nội suy (downsampling) còn gọi là quá trình lấy mẫu con (subsampling)

Biến ñổi Wavelet rời rạc ñược tính toán bởi quá trình lọc thông thấp và thông cao liên tiếp của tín hiệu rời rạc theo thời gian, ñược gọi là thuật toán Mallat hay sự

phân tích cây Mallat (Mallat-tree decomposition) Ý nghĩa quan trọng của thuật

toán Mallat là thuật toán này ñã kết nối sự ña phân giải liên tục theo thời gian với các bộ lọc rời rạc

3 Tiếp tục chia phần xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết như bước (1)

4 Lặp lại bước (2) và (3) cho ñến khi ñạt ñược kết quả thoả mãn

H

H

H G

G

G H

Hình 2.9 Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con

(a) Quá trình phân tích (b) Quá trình tổng hợp

Trong hình vẽ 2.9, tín hiệu ñược ñược biểu thị bởi dãy x[n], với n là số nguyên

Bộ lọc thông cao ñược biểu thị bởi G, trong khi bộ lọc thông thấp ñược biểu thị bởi

H Ở mỗi mức, bộ lọc thông cao G ñưa ra thông tin chi tiết d[n], trong khi bộ lọc thông thấp H kết hợp với hàm tỷ lệ ñưa ra các xấp xỉ thô a[n]

Ở mỗi mức phân tích, các bộ lọc nửa dải (half band filter) ñưa ra các tín hiệu kéo dài duy nhất nửa băng tần Các bộ lọc này làm tăng ñộ phân giải tần số lên gấp ñôi vì tính bất ñịnh của tần số ñược giảm ñi một nửa Theo luật Nyquist nếu như tín hiệu nguyên bản có tần số góc cao nhất ω rad/s yêu cầu tần số góc lấy mẫu là 2ω rad/s, vậy khi tần số góc cao nhất là ω/2 rad/s thì tần số góc lấy mẫu sẽ là ω rad/s,

do vậy loại bỏ một nửa số mẫu cần lấy mà không gây ra sự mất mát thông tin Việc lấy mẫu con với hệ số chia 2 làm giảm một nửa ñộ phân giải thời gian vì toàn bộ tín hiệu bây giờ ñược biểu diễn trên chỉ một nửa số lượng mẫu

Như vậy, ñộ phân giải thời gian ñạt ñược tốt ở các tần số cao, trong khi ñộ phân giải tần số lại trở nên tốt hơn ở các tần số thấp Quá trình lọc và phân chia là liên tiếp nhau cho ñến khi ñạt ñược mức yêu cầu Số lượng tối ña các mức phụ thuộc vào ñộ dài của tín hiệu Biến ñổi Wavelet rời rạc của tín hiệu thu ñược nhờ sự xâu

chuỗi (concatenating) các hệ số a[n] và d[n], bắt ñầu từ mức cuối cùng của quá

trình phân tích

Hình 2.9b biểu diễn quá trình khôi phục tín hiệu nguyên bản từ các hệ số Wavelet

Về cơ bản, quá trình khôi phục là sự ñảo ngược của của quá trình phân tích Các hệ

số xấp xỉ và các hệ số chi tiết ở mọi mức ñược nội suy bởi hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp thông thấp và thông cao và sau ñó ñược gộp vào với nhau Quá trình tiếp tục cho ñến ñạt ñược cùng số mức thu ñược trong quá trình phân tích tín hiệu nguyên bản

Phương pháp tốt nhất ñể mô tả quy trình trên cũng như ñưa ra một quy trình hiệu quả ñể xác ñịnh các hệ số wavelet là biểu diễn phép toán của các bộ lọc

Trở lại hai biểu thức (2.41) và (2.44) trong phần trước, dãy l2 {h( )k ,k∈Z}và

( )

{g k ,k∈Z} là các bộ lọc gương vuông góc (quadrature mirror filters) trong xử lý

tín hiệu Mỗi liên hệ giữa g và h:

k g k

h (2.46)

Với dãy f ={ }f n ñại diện cho tín hiệu rời rạc cần ñược phân tích và các toán tử H

và G ñược xác ñịnh bởi các biểu thức:

Các biểu thức (2.47), (2.48) biễu diễn phép lọc tín hiệu qua các bộ lọc số h(k), g(k)

tương ứng với các phép toán tích chập với ñáp ứng xung của các bộ lọc Hệ số 2k ñại diện cho phép phân chia (downsampling) Các toán tử H và G tương ứng với bước trong phân tích wavelet

Như vậy biến ñổi wavelet rời rạc có thể tóm tắt như sau (hình 2.10):

c − 1 = , − 1 = (2.50)

Hình 2.10 Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử

Quy trình khôi phục tín hiệu cũng tương tự như phân tích Tín hiệu ở mọi mức ñược

nội suy (upsampled) với hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp ký hiệu G,H (thông cao

và thông thấp tương ứng), sau ñó ñược cộng với nhau Các toán tử G,H ñược xác ñịnh như sau:

( )H G d( ),C ( )H c( ) 0

D j = j j = n (2.54)

Dj, C ñược gọi là các chi tiết và xấp xỉ