Bổ túc toán 1

Các tính chất của quan hệ Phản xạ reflexive: nêu aRa là đúng với VaeS Đôi xứng symmetric: nêu aRb thì bRa Bắc câu transitive: nêu aRb và bRc thì aRc Vi du: ¢ Lkhéng la quan hé phan

Chương 1: 4 wT

Bo tuc toan

Noi dung:

° lập hợp

¢ Quan hé

° Phép chứng minh quy nạp

° Đồ thị và cây

Tập hợp (Set)

Ví dụ:

¢ D = {Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat, Sun}

°Ò - Tập các đối tượng rời rạc

¢ Khong trung lap

Dinh nghia:

° Tập hợp là tập các đôi tượng không

co sự lặp lại

Ky hiệu tập hợp

Liệt kê phân tử:

° D={1,2,3}

Đặc tả tính chất đặc trưng:

°® D={x| x là một ngày trong tuân}

Một số dạng tập hợp đặc biệt

Tập rỗng:

° Ký hiệu: @ hoặc { }

Tập hợp con:

° Ký hiệu: A c B (Ngược lại: A # B)

° 1,2,4}C(1,2,3,4,5)

° 2,4,6} {1,2,3,4,5)

Một số dạng tập hợp đặc biệt

Tập hợp bằng nhau:

- Ký hiệu: A = B (Ngược lại: A z B )

° 41,2}={2,1} nhưng {1,2,3} {2, 1)

Tập lũy thừa:

- Ký hiệu: 2^

°® A={1,2,3}thi 2^ ={@, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, (3, 1}, (1, 2, 3} }

Các phép toán trên tập hợp

Phan bu (complement):

*A={x|xێ A}

Phep hop (Union):

°® AUB=(x|X€A hoặc x€B }

Phép giao (intersection):

° AfnB={x|xcAvàxcCB)

Các phép toán trên tập hợp

Phép trừ (difference):

°® A\B={x|x€Anhưng x £ B }

Tích Đêcác:

° AxXB-=((ab)|acAvàbcB)}

Các phép toán trên tập hợp

Vi du: cho A = {1, 2} va B = {2, 3}

*AUB={1,2,3}

“ANB={2}

> A\B={1}

* AxB={ (1,2 ), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}

© 24={ 0, {1}, {2}, (1, 234

aA

Quan hé

S2

R(AxB)=a

“O

mién xac dinh (domain) x mién gia tri (range)

Quan hệ

Ví dụ: cho S = {0, 1, 2, 3}

°„ Quan hệ “thứ tự nhỏ hơn:

L={(0, 1), (0, 2), (9, 3), (1, 2), (1, 3), 2, 3))

° Quan hé ‘bang’

E = 4 (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) }

* Quan hé ‘chan lẻ'

P={(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (5, 1))

10

Các tính chất của quan hệ

Phản xạ (reflexive): nêu aRa là đúng với

VaeS

Đôi xứng (symmetric): nêu aRb thì bRa

Bắc câu (transitive): nêu aRb và bRc thì

aRc

Vi du:

¢ Lkhéng la quan hé phan xa hay déi xteng

° Evà P mang tính phản xạ, đôi xứng và bắc câu

Quan hệ tương đương

Quan hệ tương đương = Quan hệ phản xạ,

đôi xứng và bác câu

Vi du:

¢ Eva P la quan hệ tương đương

° L không là quan hệ tương đương

12

Lớp tương đương

Nếu R là quan hệ tương đương trên S thì R

phân hoạch Š thành các lớp tương đương

kh6ng rong va roi nhau: S=S, US, vu

Tinh chat:

° S15,= 2

° Nêu a, b cùng thuộc S, thì aRb đúng

- Nêuac S,vàb e S thì aRb sai

Ví dụ: P có 2 lớp tương đương {0, 2} va {1, 3} °°

Bao đóng của quan hệ

P-closure = quan hệ nhỏ nhất thỏa các tính

chat trong P

Bao đóng bắc câu R::

° Nếu (a,b) € R thi (a,b) €R*

° Nếu (a,b) € R* va (b,c) € R thi (a,c) € R*

° Không còn gi thêm trong R*

Bao đóng phan xa va bac cau R*:

Bao đóng của quan hệ

Vi du: R ={ (1, 2), (2, 2), (2, 3) } trén S = {1, 2, 3}

° R*=({(1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3) f

15

Nguyên lý quy nạp

Bước 1 (cơ sở quy nạp): chứng minh P(0)

Bước 2 (giả thiết quy nạp): giả sử P(n-1)

Bước 3 (quy nạp): P(n - 1) = P(n), Yn > 1

.2 _ n(n+])(2n +])

Ví dụ: chứng minh di 7 6

16

Đồ thị (Graph)

Đồ thị G = (V, E)

°Ò V: tập các đỉnh (nút)

° E: tập các cạnh nôi giữa 2 nút

Ví dụ: đô thị G = (V, E)

° V={1,2,3.4.5)} © @< )

¢ E={(n, m)|n+m = 4 hoặc n+m = 7}

17

Đồ thị có hướng (Directed graph)

°Ò V: tập các đỉnh (nút)

°ÒỒ E: tập các cung có hướng V > w

Ví dụ: đô thị G = (V, E)

° V={1,2,3,4}

° E={lJ11])

18

Cây (Trees)

Cây: là đô thị có hướng

° 1 nút gốc

°- Nút trung gian (nút trong)

¢ Nut la: không dẫn ra nút con

°Ò _ Thứ tự duyệt trên cây: trái phải

19

Cây (Trees)

Ví dụ: cây minh họa câu trúc cú pháp câu “An là

sinh viên giỏi

Câu đơn

Danh từ Tinh tu

20