Giới hạn một phía... Liên hệ giữa VCB và giới hạn Định lí.. Ứng dụng tìm giới hạn... Tính liên tục của các hàm sơ cấp.. Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên các khoảng mà hàm số đó xác định.
Trang 1PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
GIẢI TÍCH I BÀI 2
(§6, §7, §8)
§6 Giới hạn hàm số
Đặt vấn đề
a)
1
lim 2x ?
0
1 lim ?
x x c) lim 1 ?
I Định nghĩa
ĐN1. x0 là điểm tụ của X (U x ( ) \o x o ) X , > 0
ĐN2. f(x) xác định trên X, x0 là điểm tụ của X Ta bảo
0
lim
x x f x a (x n ) X, x n x0, x n x0 f(x n ) a
ĐN3. f(x) xác định trên X, x0 là điểm tụ của X Ta bảo
0
lim
x x
f x a > 0 bé tuỳ ý, ( ) > 0: 0 < |x x0| < ( ) |f(x) a| <
Chú ý ĐN2 ĐN3
2
lim 3 2
0
1 lim cos
II Tính chất và phép toán
1) Tính chất
x x f x a x x f x b a = b
0
lim
0
c) f(x) = c
0
lim
x x f x c
d) f(x) h(x) g(x),
0 0
0
lim
x x h x a
0
lim
x x f x a , |f(x)| c,
0 0 \ 0
x U x x a c
0
lim
x x f x a , a > p f(x) > p,
0 0 \ 0
2 Phép toán
0
lim
x x
x x f x a x x g x b
0
0
lim
x x
g x b , (b 0)
Trang 23 Khử dạng vô định
0
; ; 0 ; ; 1 ; 0 ; 0
0
sin
x
x
1 lim 1
x
x
Ví dụ 1
0
4 2 lim
x
x
2
x lim 2 tan
4
Ví dụ 3
2 1
1
2 lim
1
x x
x
2 cot 0
lim cos x
1 2
e )
III Giới hạn hàm hợp, một phía, vô cực
0
0
lim
0
lim
0
lim
x x
f u x a
2 Giới hạn một phía
Định nghĩa 4
0
lim
x x
f x a > 0 bé tuỳ ý, ( ) > 0: 0 < x x0 < ( ) |f(x) a| <
Định nghĩa 5
0
lim
x x
f x b > 0 bé tuỳ ý, ( ) > 0: 0 < x0 x < ( ) |f(x) b| <
Mối liên hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn
0
lim
0 0
3 Giới hạn ở vô cực và giới hạn vô cực
lim
x f x a (x n) có
lim n
lim
x f x a > 0 bé tuỳ ý, N( ) > 0: |x| > N( ) |f(x) a| <
Chú ý ĐN6 ĐN7
Ví dụ 1
2
5 4
4 lim
x 2x
x
x
1 1 1
lim x
x
lim sin sin 1
lim cos 1 cos 1
2
2 lim os
x
x , (
2
e )
Trang 3PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
lim
x f x (x n) có
lim n
Định nghĩa 9
0
lim
x x f x N > 0 lớn tuỳ ý, (N) > 0: |x x0| < (N) |f(x)| > N
§7 Vô cùng bé, vô cùng lớn
Đặt vấn đề
I Vô cùng bé
I Định nghĩa (x) là VCB, x x0
0
2 Tính chất
a) (x) là VCB, x x0, c = const c (x) là VCB khi x x0
b) i (x), 1, i n là VCB khi x x0
1
n i i
x là VCB khi x x0
c) (x) là VCB khi x x0, f(x) bị chặn trong
0
U (x0) (x)f(x) là VCB, x x0
3 Liên hệ giữa VCB và giới hạn
Định lí.
0
lim ( )
x x f x L f(x) L là VCB khi x x0 (hay f(x) = L + (x), (x) là VCB)
4 So sánh VCB Giả sử (x), (x) là các VCB khi x x0
0
x x
x x
0
lim
x x
x a
0
x x
x x
Ví dụ 1 a) sinx x, e x 1 x, ln(1 + x) x, (1 + x) 1 x khi x 0
b) Cho
1
ex
Chứng minh rằng x x khi x 0
c) Cho
1 2
1 2 x,
Chứng minh rằng x x khi x 0
5 Ứng dụng tìm giới hạn
a) (x) x , (x) x , x x0
2 0
1 tan lim
sin
x x
0
1 3 1 4 1 lim
x
Trang 4b) (x) là VCB cấp cao hơn (x) khi x x0 (x) + (x) (x)
Ví dụ 4
3
x 0
sin lim x x
x
c) (x), (x) là các VCB khi x x0;
1
m
k k
x x , 1(x) là VCB có cấp thấp nhất;
1
n
k k
x x , 1(x) là VCB có cấp thấp nhất
1 1
x x
Ví dụ 5 a)
0
sin tan lim
x
b) 1)
2
0
ln(1 4 ) lim
2 3 tan
x
2
0
ln(1 3 ) lim
2sin
x
3)
3 2
0
( 1) lim
2
x x
x e
3 3
0
( 1) lim
3
x x
x e
II Vô cùng lớn
1 Định nghĩa f(x) xác định
0
U (x0) (có thể trừ x0), f(x) là VCL khi x x0
0
lim
x x f x
không bị chặn
2 Liên hệ giữa VCB và VCL
a) f(x) là VCB, x x0 và f(x) 0
1
f x là VCL khi x x0
b) f(x) là VCL, x x0
1
f x là VCB khi x x0
a) A(x) là VCL cấp cao hơn VCL B(x), x x0
0
lim
x x
A x
B x
b) A(x), B(x) là các VCL cùng cấp, x x0
0
lim
x x
A x
a
B x 0
c) A(x), B(x) là các VCL tương đương, x x0
0
x x
A x
4 Ứng dụng tìm giới hạn
Trang 5PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
a) Cho các VCL tương đương A(x) A x , B(x) B x ,
x x0
b) Cho A(x), B(x) là các VCL khi x x0;
1
m
k k
A x A x , A1(x) là VCL có cấp cao nhất;
1
n
k k
B x B x , B1(x) là VCL có cấp cao nhất
1 1
A x
A x
Ví dụ 7
lim
2009
x
Ví dụ 8. Tính giới hạn
cot( 2 1)
1
lim (2 ) x
1 2
cot(1 2)
1
lim (2 ) x
1 2
e )
c)
0
(1 4 )ln(1 2 )
lim
2
x x
x
0
(1 9 )ln(1 3 ) lim
x x
x
( )x ln(1 1)sin1
x x và 2
1 (x)
( )x ln(1 ax ) 2 và (x)( 1 x2 1), (a=-0,5)
3)
3
0
1 t anx 1 sinx lim
ln(1 )
1
4)
§ 8 HÀM SỐ LIÊN TỤC
Đặt vấn đề
I Hàm liên tục
1 Định nghĩa. f(x) liên tục tại x0 +) f(x) xác định trên
0
U (x0)
+)
0
0
lim ( ) ( )
0
f(x) liên tục trái tại x0 +) f(x) xác định trên
0
U (x0) {x < x0}
Trang 6+)
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
Tương tự ta có ĐN liên tục phải
Định nghĩa. f(x) liên tục trên (a ; b) f(x) liên tục tại x (a ; b)
f(x) liên tục trên [a ; b] f(x) liên tục trong (a ; b), liên tục trái tại b và liên tục phải tại a
1
1 1
1 sin
x
y
liên tục tại x = 1 ( a )
b) Tìm a để
1 1
1 sin
x
y
liên tục tại x = 1 ( a )
sin arccot , 0
y
liên tục tại x = 0 (a = 0)
b) Tìm a để
cos arctan , 0 sinln sinln , 0
y
liên tục tại x = 0 (a = 0)
2 Tính liên tục của các hàm sơ cấp. Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên các khoảng mà hàm số đó xác định
3 Phép toán Cho f(x), g(x) liên tục tại x0 f(x) g(x) liên tục tại x0, f(x)g(x) liên tục tại x0 và
f x
g x liên tục tại x0 nếu g(x0) 0
4 Ý nghĩa f(x) liên tục trên [a ; b] đồ thị là đường liền nét
5 Tính chất
Định lí 1 (Weierstrass 1) f(x) liên tục trên [a ; b] f(x) bị chặn trên [a ; b]
Định lí 2 (Weierstrass 2) f(x) liên tục trên [a ; b] f(x) đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trên [a ; b]
Trang 7PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
;
max
a b
f , N =
;
min
a b
f ,
[m ; M] c [a ; b]: f(c) =
Hệ quả f(x) liên tục trên [a ; b], f(a)f(b) < 0 c (a ; b): f(c) = 0
6 Điểm gián đoạn
0
U (x0), gián đoạn tại x0 f(x) không liên tục tại x0
f(x) xác định
0
U (x0)\{x0} thì ta bảo f(x) gián đoạn tại x0
0
lim
x x
0
lim
x x
f x
Các điểm gián đoạn còn lại được gọi là điểm gián đoạn loại 2
Ví dụ 4 f x sin x
x
1
x
a)
1
1 ( )
1 2
x x
f x (x = 1, loại 2; x = 0, loại 1)
b)
1
1 ( )
1 3
x x
f x (x = 1, loại 2; x = 0, loại 1)
a) x = 0 ;
cot
1 ( )
2 3 x
tan
1 , ( )
x f x (loại 1)
II Hàm số liên tục đều
Định nghĩa. f(x) liên tục đều trên X > 0 bé tuỳ ý ( ) > 0, x1, x2 X,
|x1 x2| < ( ) |f(x1) f(x2)| <
1 , (0 ; 1]
x
x
Định lí (Cantor) f(x) liên tục trong [a ; b] f(x) liên tục đều trong [a ; b]
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!