Lý thuyết và bài tập giải tích 1 (ĐHBK TP.HCM)

Cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân Giúp người đọc dễ hiểu lý thuyết, nắm vững các kĩ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật

Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa

Bộ môn Toán Ứng dụng

.

Bài Giảng Giải Tích 1

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp

E-mail: dangvvinh@hcmut.edu.vn

Website: www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh

Ngày 8 tháng 9 năm 2013

Mục tiêu môn học

• Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân

• Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể

• Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật

Tài liệu tham khảo

1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân, Phép tính vi phân hàm một biến NXBGD, 2005

2) Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Bài tập toán cao cấp 1

3) Đỗ Công Khanh Giải tích một biến NXB Đại học quốc gia

Mục lục

1.1 Giới hạn dãy số 3

1.2 Hàm số 8

1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα 8

1.2.2 Hàm lượng giác 9

1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit 10

1.2.4 Hàm y = ln x 11

1.2.5 Hàm Hyperbolic 12

1.2.6 Các hàm lượng giác ngược 12

1.2.7 Hàm Hợp 13

1.2.8 Hàm ngược 13

1.2.9 Hàm tham số hóa 14

1.3 Giới hạn hàm số 15

1.3.1 Định nghĩa 15

1.3.2 Các giới hạn cơ bản 16

1.3.3 Vô cùng bé 17

1.3.4 Vô cùng lớn 20

1.4 Hàm số liên tục 23

2 Đạo hàm và vi phân 25 2.1 Đạo hàm 25

2.1.1 Định nghĩa và tính chất 25

2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa 28

2.1.3 Đạo hàm cấp cao 29

2.2 Vi phân 31

2.3 Định lý giá trị trung bình 33

2.4 Công thức H’Lopital 33

2.5 Công thức taylor 37

2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị 43

2.6.1 Tiệm cận 43

2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị 44

2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn 46

2.6.4 Khảo sát hàm số 47

2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất 50

Chương 1

Giới hạn và liên tục

1.1 Giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.1 (Dãy số đơn điệu)

Dãy số (xn) gọi làtăngnếu xn≤ xn+1, ∀n ∈ N

Dãy số (xn) gọi làgiảm nếu xn≥ xn+1, ∀n ∈ N

Bỏ dấu "=" trong đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt)

Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là đơn điệu

Ví dụ 1.1 Xét tính đơn điệu của dãy số (xn) : xn= n + 1

n + 2.Xét xn+1− xn= (n + 1) + 1

(n + 1) + 2−

n + 1

n + 2 =

(n + 2)2− (n + 1)(n + 3)(n + 3)(n + 2) =

1(n + 3)(n + 2) > 0, ∀n ∈ N.

=⇒ xn+1 > xn suy ra (xn) là dãy tăng

Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn)

Dãy (xn) gọi làbị chặn trên nếu ∃M : xn≤ M, ∀n

Dãy (xn) gọi làbị chặn dưới nếu ∃m : xn≥ m, ∀n

Dãy (xn) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới

Dãy (xn) bị chặn khi và chỉ khi (|xn|) bị chặn trên

Ví dụ 1.2 Xét tính bị chặn của dãy số (xn) : xn= n

n + 1.

Ta có 0 < n

n + 1 < 1, ∀n ∈ N Suy ra (xn) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới do đó bị chặn.

Định nghĩa 1.3 (Dãy con)

Cho dãy (xn) Dãy con của (xn) là một dãy (xn k)k mà các phần tử của nó được lấy tùy ý từ (xn) theo thứ

là dãy con các chỉ số lẻ của xn

Định nghĩa 1.4 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim

n→+∞un= a hay un−n→+∞−−−−→ a được định nghĩa

∀ε > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ |un− a| < ε

Ta nói dãy (un) hội tụ về a

Nếu (un) không hội tụ thì ta nói (un) phần kỳ

1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Định nghĩa 1.5 ( dãy số dần ra vô cùng) Ký hiệu lim

n→+∞un = +∞ hay un −n→+∞−−−−→ +∞ được địnhnghĩa

∀A > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ un> A

Ta nói dãy (un) hội tụ về a

Nếu (un) không hội tụ thì ta nói (un) phần kỳ

Tượng tự cho giới hạn dần ra −∞

Tính chấtCho xn−→ a, yn−→ b; a, b ∈ R ta cói) lim

4 Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ

Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

n

là dãytăng và bị chặn trên do đó hội tụ Ký hiệu

lim

n→∞



1 + 1n

n

= ea, ∀a

1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

I = lim

n→∞

4q

n

vuuut

= 20 = 1

1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

≤

√n

n + 1 = 0 nên limn→∞

√

n sin n!

n + 1

.Bài này dạng vô định +∞0 Ta làm như sau:

 2n3+ 3n

4n2− 2n

 n n2+2

= 2n3+ 3n4n2− 2n

n

√4n2− 2n

! n2 n2+2

Giả sử xn→ a Từ giả thiết ta có

1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1n(n + 1).

Ta có xn=



1 −12

+ 1

2 −

13

+ 1

3−

14

+ · · · + 1

1(2n − 1).(2n + 1)

1.2 HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

* Hàm số giảm trên khoảng (−∞, 0) và (0, +∞)

* Hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0)

0

y = 1x

1.2 HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

iv) sin2x = 1 − cos 2x

2v) sinπ2 = 0; sin(kπ) = 0, k ∈ Z

1.2 HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

iv) tan 0 = 0, tan(π2) không xác định

1.2 HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

x

bx =

ab

1.2 HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

sin → i sinh cos → cosh, tan → i tanh, cot → −i cot

ii) cosh2x − sinh2x = 1iii) cosh2x + sinh2x = cosh 2x

1.2 HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Tập này có thể có nhiều hơn một phần tử hoặc là tập rỗng

Nếu f−1(y) luôn có đúng 1 phần tử với mọi y ∈ Y thì f−1 là một ánh xạ gọi là ánh xạ ngược của hàm số

1.2 HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Đường cong (C) được xác đinh bởi hàm trên gọi là đường cong tham số, hay hàm trên gọi là tham số hóacủa đường cong (C)

y − 1 hay f

−1(x) = x + 1

x − 1.b) y = f (x) = √3

a) f (x) = ln(x3+ 1), x > −1

b) f (x + 1) = e2x+ 1

1.3 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Ví dụ 1.10 Chứng minh giới hạn lim

x→+∞sin x không tồn tại

lim

x→ x+0

= a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 <x − x0 < δ −→ |f (x) − a| < ε)Giới hạn trái: x < x0 và giới hạn phải:x > x0

1.3 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

x→0

sinh xln(x + 1) = 1

(e) lim

x→0

ln(x + 1)sinh x = 1(f) lim

x→0

x

ex− 1 = 12) Bốn hàm khác

(1+t)1−1 t (1+t)1−1 t

=

1 3 1 5

x→0(cosh x)cot x2 = lim

x→0(1 + (cosh x − 1))tan x21 = lim

x→0(1 + (cosh x − 1))cosh x−11

cosh x−1 x2 x2 tan x2 = e1.12 1=√e

1.3 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

iv) Thương 2 VCB chưa chắc là VCB

Định nghĩa 1.11 (cấp vô cùng bé) Cho f (x), g(x) là 2 VCB khi x → x0 và lim

x→x 0

f (x)g(x) = ki) Nếu k = 0 thì ta nói f (x) có bậc VCB cao hơn g(x), ta viết f (x) = o(g(x))

ii) Nếu k hữu hạn khác 0 thì ta nói f (x) và g(x) là 2VCB cùng cấp

iii) Nếu k = 1 thì ta nói f (x) và g(x) là 2 VCB tương đương: f (x) ∼ g(x)

iv) Nếu f (x) (x − x0)k thì ta nói f (x) là VCB bậc k

1.3 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1

√ 1+6x−1 6x

.1

2 = 1.

1

1 2

1

2 = 1Suy ra e3x− 1 và√1 + 6x − 1 tương đương

ii) Tổng f1(x) + g1(x) gọi là dạngtriệt tiêunếu f (x) có bậc VCBthấp hơn f (x) + g(x)

Nếukhông phải dạng triệt tiêuthì

f (x) + g(x) ∼ tổng bậc thấp nhất.iii)

lim

x→x 0

f (x)g(x) = limx→x 0

f1(x)

g1(x)

Chú ý:

• Sau khi thay tương đương cộng lại mà mất đi bậc thấp nhất thì là dạng triệt tiêu

• Thay VCB tương đương dạng tổng thì cần kiểm tra tổng không phải dạng triệt tiêu

• Không thay tương đương cho hàm hợp

1.3 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Vì tan x và sin x đều bậc nhất Khi thay tương đương mất đi bậc nhất do đó là dạng triệt tiêu

Không bao giờ tương đương ra không Ta làm lại như sau:

f (x) = tan x − sin x = tan x(1 − cos x) ∼ x.x

2

2 =

x3

2 .g) f (x) =√1 + 2x + 2x2− 1 − x

Ví dụ 1.16 Tìm α, β sao cho f (x) ∼ α(x − x0)β khi x → x0

−x

x = −1.

1.3 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

x→0(1 + 3 tan 2x)sin 3x1 = lim

x→0esin 3x1 ln(1+3 tan 2x)= lim

x→0e3 tan 2xsin 3x = lim

Vì cos x−−−→ 1 6= 0 nên áp dụng công thức ex→0 cos x− 1 ∼ cos x làsai

Bài này không phải dạng vô định nên suy ra ngay kết quả

1 x2 − 1 + 1 − cos1x

π 2

= 3

π.Chú ý 1

x

x→+∞

−−−−→ 0 nên ta áp dụng công thức cho 1

x.arctan x → π2 là hằng số nên được thế số ngay từ đầu

1

x − 1

... x21< /sup> = lim

x→0 (1 + (cosh x − 1) )cosh x? ?1< /small>1< /sup>

cosh x? ?1 x2 x2 tan x2 = e1. 1< /sup>2 1< /small>=√e... class="text_page_counter">Trang 19

1. 3 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1

√ 1+ 6x? ?1 6x

.1< /sup>

2 = 1. ...

? ?1 1−x + = limx→0

0

0) = limx→2

12 x − 12 12x2− 16 =

2 .12 − 12 12.22−