ÔN tập môn DSP TOPIC2

ÔN tập môn DSP TOPIC2 ÔN tập môn DSP TOPIC2 ÔN tập môn DSP TOPIC2 ÔN tập môn DSP TOPIC2 ÔN tập môn DSP TOPIC2 ÔN tập môn DSP TOPIC2 ÔN tập môn DSP TOPIC2 ÔN tập môn DSP TOPIC2 ÔN tập môn DSP TOPIC2 ÔN tập môn DSP TOPIC2

TOPIC 2: TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN

(DISCRETE_TIME SIGNAL)

1 Một số tín hiệu thời gian rời rạc (Some Elementary Discrete-Time Signals)

1.1 Chuỗi xung đơn vị (Unit impulse sequence)

o Ký hiệu : (n)

o Đặc điểm: Xung delta dirac có giá trị bằng 0 tại mọi giá trị, trừ vị trí n = 0 có

giá trị bằng 1

o Phương trình:

o Đồ thị :

1.2 Hàm bước đơn vị (Unit step signal)

o Ký hiệu : u(n)

o Đặc điểm: u(n) có giá trị bằng 1với n  0, bằng 0 ứng với n < 0

o Phương trình:

o Đồ thị :

( )

n n

n

   



0 0

0

1,

0,

n n

n n

n n

    



( )

n

u n

n





  



0 0

0

1,

0,

n n

u n n

n n







1.3 Chuỗi xung chữ nhật (Rectangular sequence)

o Ký hiệu : RN(n)

o Đặc điểm: hàm có giá trị bằng 1 trong khoảng N giá trị từ 0 đến N -1 ; ngoài khoảng đó thì hàm có giá trị bằng 0

o Phương trình:

( )

0,

N

n N

R n

otherwise

  



 

 ( ) ( ) ( )

N

R n u n u nN

1

0

N N

m

R n   n m



 

o Đồ thị :

1.4 Hàm dốc đơn vị (Unit ramp signal)

o Ký hiệu : ur(n)

o Đặc điểm: Giá trị bằng giá trị n khi n0, và bằng 0 khi n < 0

o Phương trình:

o Đồ thị :

1.5 Tín hiệu số mũ thực (Real-valued exponential signal)

o Đặc điểm: Hàm có cơ số mũ là số thực, hàm hội tụ (convergent) khi cơ số < 1

và hàm phân kỳ (divergent) khi cơ số > 1 Hàm luôn có giá trị bằng 1 khi n = 0

o Phương trình:

( ) n, ;

x n a n aR

o Đồ thị :

2 Phân loại tín hiệu rời rạc theo thời gian (Classification of Discrete-Time Signals) 2.1 Dãy hữu hạn (Finite-length sequence)

o Đặc điểm: hàm có giá trị khác 0 trong khoảng thời gian [n1 ; n2] ngoài khoảng này giá trị bằng 0

o Lưu ý : Độc dài của chuỗi có thể tăng lên bằng cách bổ sung các giá trị bằng 0

o Ví dụ: x(n) = n2 – 1; với 3 < n < 8

2.2 Dãy bên trái (Left-sided sequence)

o Đặc điểm: Chuỗi có giá trị khác 0 với n  N1 (bên phải N1); chuỗi bằng 0 khi

n < N1 (bên trái N1)

o Đồ thị :

o Lưu ý: nếu N1  0 (nghĩa là n 0) khi đó chuỗi này được gọi là chuỗi nhân quả (causal sequence)

2.3 Dãy bên phải (Right-sided sequence)

o Đặc điểm: Chuỗi có giá trị bằng 0 với n > N1 (bên phải N1); chuỗi khác 0 khi

n  N1 (bên trái N1)

o Đồ thị :

o Lưu ý: nếu N1  0 (nghĩa là n  0) khi đó chuỗi này được gọi là chuỗi phản

nhân quả (anti_causal sequence)

2.4 Dãy hai phía (Two-sided sequence )

o Đặc điểm: Chuỗi xác định với mọi n

o Đồ thị :

o Lưu ý: Chuỗi gồm dãy bên trái và bên phải

2.5 Tín hiệu năng lượng và công suất (Energy and Power Signal)

o Công thức tính:

 Tổng năng lượng (total energy):

 Công suất trung bình (average power):

o Đặc điểm:

 Tín hiệu năng lượng nếu E là một số hữu hạn và khi đó P = 0

 Tín hiệu công suất nếu P là số hữu hạn và P  

o Lưu ý: Tín hiệu có thể vừa không là năng lượng cũng không là công suất

2.6 Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn (Periodic signals and aperiodic signals)

o Đặc điểm:

 Tín hiệu tuần hoàn: tín hiệu có sự lặp lại với chu kỳ N: x(n + N) = x(n)

 Tín hiệu không tuần hoàn: tín hiệu có chu kỳ lặp lại không xác định nghĩa

là N )

o Lưu ý:

 Tín hiệu dạng sóng sin: x(n) = Asin(2fn +) có f = k/N là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ cơ bản là N

 Tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu công suất và được tính trong 1 chu kỳ

2.7 Tín hiệu chẵn, lẻ (Symmetric (even) and antisymmetric (odd) signals)

o Đặc điểm

 Tín hiệu chẵn: có tính đối xứng qua trục tung: x(n) = x(-n)

 Tín hiệu lẻ: bất đối xứng ( đối xứng qua gốc tọa độ): x(n) = -x(-n)

o Công thức tính

 Tín hiệu chẵn: xe(n) = [x(n) + x(-n) ] / 2

 Tín hiệu lẻ: xo(n) = [x(n) - x(-n) ] / 2

o Đồ thị

o Lưu ý: Một tín hiệu có thể không chẵn không lẻ và ta có thể phân tích thành 2 tín hiệu gồm 1 chẵn và 1 lẻ: x(n) = xe(n) + xo(n)

o Ví dụ: cho tín hiệu x(n) = {2, 3,4 ,5, 6}

Ta dễ dàng phân tích thành tín hiệu chẵn và lẻ

x(n) = xe (n) + xo (n)

Xe (n) = { 4, 4, 4, 4, 4}

Xo (n) = {-2, -1, 0, 1, 2}

3 Các thao tác đơn giản của tín hiệu (Simple Manipulations of Discrete-Time Signals) 3.1 Phép dịch theo thời gian (Time-shifting operation)

o Đặc điểm:

 Dịch trái: đồ thị được dịch sang trái một khoảng N (N > 0) được gọi là tín hiệu đến sớm (Advance)

 Dịch phải: đồ thị được dịch sang phải một khoảng N (N > 0) được gọi là tín hiệu đến trễ (delaying)

o Biểu thức: x(n)  x(n +N) : dịch trái ; x(n)  x(n - N) : dịch phải

o Ký hiệu:

o Ví dụ:

3.2 Phép gập (đảo) theo thời gian (Time-reversal (folding) operation)

o Đặc điểm: đồ thị bên trái chuyển sang phải và ngược lại

o Biểu thức: x(n)  x(-n)

o Ví dụ:

o Ký hiệu:

Time-delay là (TD) : TDk [ x (n )] = x (n - k) ;

Folding là (FD): FD[x(n)] = x(-n)

 Gập của tín hiệu trễ: nghĩa là tín hiệu được làm trễ k đơn vị rồi gập qua gốc tọa độ, ký hiệu là FD{TDk[x(n)]} = FD[x(n - k)] = x(-n - k)

 Trễ của tín hiệu gập: nghĩa là tín hiệu được gập qua gốc tọa độ trước, rồi mới làm trễ k đơn vị, ký hiệu là TDk{FD[x(n)]} =TDk[x(-n)] =x(-n+k)

o Lưu ý:

 Dấu của n and k trong biểu thức x(n - k) and x(-n + k) là khác nhau

 Dịch sang phải k đơn vị của x(n) and x(-n) là phép delay

3.3 Phép cộng tín hiệu Addition operation

o Phương trình:

x(n) = x1(n) + x2(n); tổng quát

o Sơ đồ khối

o Ví dụ :

3.4 Phép nhân hệ số hằng (A constant multiplier)

o Phương trình:

x(n) = Ax1(n) : tín hiệu được khuếch đại A lần

o Sơ đồ khối

3.5 Phép nhân (điều chế) tín hiệu (A signal multiplier)

o Phương trình

x(n) = x1(n).x2(n); tổng quát

2

1

n

n n

x n x n x n





2

1

n

n n

x n x n x n





o Sơ đồ khối

o Ví dụ :

3.6 Phép nhân tỷ lệ với hệ số D (Decimation by a factor D)

o Phương trình:

o Đặc điểm: Tín hiệu được co lại D lần

o Ví dụ:

3.7 Phép chia (nội suy) với hệ số I (Interpolation by a factor I)

o Phương trình:

o Đặc điểm: chuỗi xác định tại bội số của I, đồ thị dãn ra I lần

4 Phân loại hệ thống rời rạc theo thời gian (Classification of Discrete-Time Systems) 4.1 Hệ thống tĩnh và động (Static versus dynamic systems)

o Đặc điểm

 Hệ thống tĩnh: còn gọi là hệ thống không nhớ (memoryless) nghĩa là giá trị

tại ngõ ra tại thời điểm hiện tại n chỉ phụ thuộc vào ngõ vào cũng tại thời điểm n mà thôi

d

x n x Dn

( ), 0, , 2 ( )

0, otherwise

p

n



 



 Hệ thống động: còn gọi là hệ thống có nhớ (memory) đây là hệ thống có

ngõ ra tại thời điểm n còn phụ thuộc vào trạng thái ngõ vào trước đó như n-1; n-2; n -k

o Ví dụ

Hệ tĩnh:

Hệ động:

4.2 Hệ thống biên thiên và bất biến (Time-invariant versus time-variant systems)

o Đặc điểm

 Hệ thống bất biến: khi ngõ vào dịch 1 khoảng thời gian n0 thì ngõ ra cũng dịch theo đúng khoảng thời gian đó n0

 Hệ thống biến thiên: giá trị ngõ ra thay đổi khi ngõ vào dịch chuyển 1 khoảng giá trị no

o Ví dụ

4.3 Hệ thống tuyến tính và phi tuyến (Linear versus nonlinear systems)

o Đặc điểm

 Hệ thống tuyến tính: khi hệ thống thể hiện phép toán đồng nhân và phép toán cộng đại số (homogeneity and additivity)

[ ] [ ]

y n  x n

y n x n n

( ) ( )

x n k   y n k 

[ ( )] [ ( )]

[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]

T x n x n T x n T x n 1 1 2 2 1 1 2 2

[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]

T a x n a x n a T x n a T x n

 Hệ thống phi tuyến: hệ thống không thỏa tính đồng nhất và phép cộng

o Ví dụ

 The linear systems:

 The non-linear systems:

4.4 Hệ thống nhân quả và phản nhân quả (Causal versus noncausal systems)

o Đặc điểm

 Hệ thống nhân quả: Hệ thống có ngõ ra tại mẫu thứ n0 chỉ phụ thuộc vào trạng thái ngõ vào tại những giá trị trước đó (n  n0 : hiện tại & quá khứ) và không hề phụ thuộc vào giá trị sau đó (n > no : trong tương lai)

 Hệ thống phản nhân quả: hệ thống có ngõ ra tại mẫu thứ no phụ thuộc vào trạng thái tương lai của ngõ vào (n>n0)

o Ví dụ

 Hệ thống nhân quả: y[n] = x[n] -3x[n-1]

 Hệ thống phản nhân quả: y[n] = -2x[n+1] cos(n)

o Lưu ý

Muốn nhận diện một hệ thống nhân quả một cách nhanh chóng ta hãy nhìn vào phương trình ngõ vào kiểm tra xem có n, n-1, n – 2, …, n – k hay không và không tồn tại thành phần n+1, n+ 2, … n + k

4.5 Hệ thống ổn định và bất ổn (Stable versus unstable systems)

o Đặc điểm

 Hệ thống ổn định: Nếu mọi giá trị ngõ vào bị chặn thì ngõ ra cũng bị chặn

if ( )x n M  , then ( )y n   P

 Hệ thống động: Nếu mọi giá trị ngõ vào bị chặn thì ngõ ra không bị chặn

if ( )x n M  , then ( )y n  

o Ví dụ

Hệ thống ổn định:  2

[ ] [ ]

y n  x n vì khi x[n]  B < thì y[n]  B 2 <

Hệ thống động: y n[ ]log10x n[ ] vì x n  0 y n log10x n   

5 Kết nối hệ thống (Interconnection of Discrete-Time Systems)

5.1 Nối liên tầng (cascade connection)

o Đặc điểm: Ngõ ra tầng trước được nối đến đầu vào tầng sau (nối liên tiếp)

o Sơ đồ:

2

3

o Phương trình: T = T1 T2

5.2 Nối song song (paralle connection)

o Đặc điểm: ngõ vào lần lược cho qua các tầng sau đó hợp lại rồi xuất ra

o Sơ đồ

o Phương trình: T = T1 + T2

6 Phép tích chập (The Convolution Sum)

6.1 Thiết lập biểu thưc toán

o Cho tín hiệu ngõ vào x(n) ta có thể viết lại theo dạng xung delta

o Ví dụ: A finite-duration sequence x(n) = {2, -2, 0, 3,1}, we can be written as

x(n) = 2(n+1) – 2(n) + 3(n-2) + (n-3)

o Đáp ứng của hệ thống bất biến theo thời gian (The response of the LTI system) với chuỗi xung đơn vị được ký hiệu là h(n) và khi đó h(n) được gọi là

đáp ứng xung đơn vị cảu hệ thống tuyến tính (the impulse response of a

linear time invariant system)

Xét hệ thống vào - ra

h(n) : Hàm đáp ứng xung đơn vị của hệ LTI Khi đó ngõ ra của hệ thống (The response of the system) là y(n) được tính:

Phép toán tính giá trị y(n) được gọi là tổng chập (convolution sum)

6.2 Cách tính tổng chập

Để tính tổng chấp ta thực hiện theo các bước sau:

1 Folding Fold h(k) about k=0 to obtain h(-k)

2 Shifting Shift h(-k) by n 0 to the right (left) if n 0 is positive (negative), to obtain h(n 0 -k)

3 Multiplication Multiply x(k) by h(n 0 -k) to obtain the product sequence

4 Summation Sum all the values of the product sequence to obtain the value of

the output at time n=n 0

Sau đó lặp lại các bước từ bước 2 đến bước 4 ứng với −∞ < n < ∞

(Step 2 through 4 must be repeated, for all possible time shifts)

6.3 Ví dụ

for the impulse response of a linear time invariant system h(n) = {1,2,1,-1} and input signal is x(n) = {1,2,3,1} Determine the response of the system to the input signal

 the output at n = 0

 the output at n = 1

 the output at n = -1

Similarly, the output at n= 2, -2, 3, -3,

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Biểu diễn tín hiệu theo các dạng hàm dirac (n)

Hướng dẫn: vị trí mũi tên là tại đó n=0 ứng với (n), kế bên phải ứng với n =1 là (n-1), tiếp nữa là (n-2) , ., (n-k) Còn bên trái mũi tên là n= -1 ứng với (n+1), tiếp sau là

(n+2), , (n+ k)

EX: resolution of the below discrete_time signal into a sum of unit sample sequences

x(n) = {3,1,0, -2,0, 2}

x(n) can be written as

a) x(n) = 3(n+2) + (n+1) - 2(n-1) + 2(n-3)

b) x(n) = 3(n-2) + (n-1) - 2(n+1) + 2(n+3)

c) x(n) = 3(n) + (n-1) - 2(n-3) + 2(n-4)

d) x(n) = 3(n+3) + (n+1) - 2(n-2) + 2(n-3)

Dạng 2: Xác định loại của hệ thống

Hướng dẫn: kiểm tra xem hệ thống thuộc dạng nào sau đây

(1) Static or dynamic: tĩnh thì chỉ có n, động thì có n, n-1, n-2 (2) Linear or nonlinear: T[a x n1 1( )a x n2 2( )]a T x n1 [ ( )]1 a T x n2 [ ( )]2 (3) Time invariant or time varying: bất biến thì vào dịch thì ra cũng dịch (4) Causal or noncausal: nhân quả thì chỉ có n, hoặc (n-1), (n-2), ,(n-k) (5) Stable or unstable: ổn định thì giá trị của nó là hữu hạn: B < 

EX1: This is how the system

y(n) = cos[x(n) + 1]

a) Static, nonlinear, time invariant, causal, stable

b) Dynamic, linear, time variant, noncausal, unstable

c) Static, nonlinear, time invariant, causal, unstable

d) Dynamic, linear, time invariant, noncausal, satble

Giải thích

Static: chỉ có thành phần n (hệ thống không nhớ)

Nonlinear: tính chất hàm lượng giác: cos(x1+x2)  cos(x1) + cos(x2)

Time invariant : x(n-k) => y(n-k) = cos[x(n-k) +1]

Causal : chỉ phụ thuộc vào n

Stable : hàm cos chỉ có giá trị hữu hạn [-1; 1] < 

EX2: This is how the system

0

N

k

y n h k x n k



a) Static, nonlinear, time invariant, causal, stable

b) Dynamic, linear, time variant, noncausal, unstable

c) Static, nonlinear, time invariant, causal, stable

d) Dynamic, linear, time invariant, noncausal, satble

Giải thích

Xuất hiện n-1 => dynamic; noncausal

Do k thuộc [0,N] => hữu hạn => stable

Hàm tổng  => linear

Do h(k) không dịch nên khi x dịch, y(n) thay đổi => variant

Dạng 3: Xác định giá trị của ngõ ra khi ngõ vào x(n) qua các hệ thống như delay, advance, folding, multiplication,scaling

Hướng dẫn: Dựa vào hàm delaying: dịch x(n) sang phải k đơn vị; hàm advance dịch x(n) sang trái k đơn vị; folding thì bên gập qua trục tung (n=0) khi đó phần bên trái qua bên phải, phải qua bên trái Hoặc thế trực tiếp vào biểu thức rồi tính

EX: A discrete-time signal is shown below

x(n) = { , 0, -2, 1, 0, 3,1, 0, }

Determine x(-n+1) ? y(n)

a) { ,0, 1, 3, 0, 1, -2, 0, }

b) { ,0, 3, 1, 0, -2, 1, 0, }

c) { ,0, 1, 3, 0, 1, -2, 0, }

d) { ,0, 1, 3, 0, 1, -2, 0, }

Giải thích:

Gập x(n) sau đó dịch phải 1 đơn vị

Hoặc tính theo biểu thức

y(2) = x(-1) = -2; y(3) = x(-2) = 0; y(1) = x(0) = 1; y(0) = x(1) = 0;

y(-1) = x(2) = 3; y(-2) = x(3) = 1; y(-3) = x(4) = 0

Dạng 4: Cho giá trị x(n) và hàm h(n) xác định tổng chập y(n), được ký hiệu là

y(n) = x(n) * h(n) Hướng dẫn:

Áp dụng công thức tổng chập:

k

y n LTI x n x k h n k x n h n



Nhớ các dạng sau:

khi hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI system) có đáp ứng xung h(n)

(impulse response) thì ngõ ra gọi là linear convolution sum và được tính

y(n) = x(n) * (n) = x(n) y(n - k) = x(n) * (n - k) = x(n – k) EX: for x(n) = { 2, -1, 3,-4} Determine y(n) = x(n) * (n - 2)

a) y(n) = {0, 2, -1, 3, -4, 0}

b) y(n) = {0, 2, -1, 3, -4, 0}

c) y(n) = {0, 2, -1, 3, -4, 0}

d) y(n) = {0, 2, -1, 3, -4, 0}

giải thích

y(n) = x(n) * (n - 2) = x(n-2) : tín hiệu x(n) được dịch phải 2 đơn vị

EX: for x(n) = {2,1,-2,0,1} is input signal of LTI sytem has impulse response h(n)= {1,1,2,-1} Determine response y(n) of this system

a) y(n) = {2, 3, 3, -2, -4, 3, 2, -1}

b) y(n) = {2, 3, 3, -2, -4, 3, 2, -1}

c) y(n) = {2, 1, -2, -1, -2, 3, 0, -1}

d) y(n) = {2, -4, 3, 2, -1, 2 -2}

Hướng dẫn

Cách 1:dùng theo 4 bước :

đảo, dịch, nhân, cộng  y(n) Cách 2: áp dụng công thức tính tổng chập

Ta nhận thấy:

y(-2) = x(k).h(-2-k) ; tổng thành phần mẫu của x và h đều bằng -2

y(-1) = x(k).h(-1-k) ; tổng thành phần mẫu của x và h đều bằng -1

y(0) = x(k).h(-k) ; tổng thành phần mẫu của x và h đều bằng 0

y(1) = x(k).h(1-k) : tổng thành phần mẫu của x và h đều bằng 1

y(n0) = x(k).h(n0 - k): tổng thành phần mẫu của x và h đều bằng n0

N -2 -1 0 1 2

N h(n) x(n) 2 1 -2 0 1

-1 1 2 1 -2 0 1

0 1 2 1 -2 0 1

1 2 4 2 -4 0 2

2 -1 -2 -1 2 0 -1

Y(n) 2 3 3 -2 -4 3 2 -1

N -3 -2 -1 0 1 2 3 4