Tài liệu ôn thi chuyên toán môn số học

bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên, bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên, bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên, bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên, bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên, bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên,

Trang 1

Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu

1

BÀI TẬP SỐ HỌC

1 Ba số nguyên a b c, , thoả mãn điều kiện a b c  chia hết cho 3 Chứng minh rằng

a b c b a c c a b chia hết cho 6

2 Cho 3 số nguyên a, b, c sao cho a + b + c = 0 và chia hết cho 9 Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số a, b, c chia hết cho 3

3

a) Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kì luôn có thể chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3

b) Chứng minh rằng trong 17 số tự nhiên bất kì có thể chọn được 9 số có tổng chia hết cho 9

4 Tìm số có 4 chữ số sao cho

5 Tìm các chữ số a, b, c khác 0 sao cho

6 Tìm tất cả các số có hai chữ số sao cho

7 Tìm tất cả các số có sáu chữ số thỏa

8 Cho là các số nguyên dương Tìm giá trị nhỏ nhất của

9 Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n Ví dụ S(134) = 1+ 4 + 3 = 8 Tìm n biết:

a) b)

10 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho chia hết cho

11 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 55n1 55n 1 là một số nguyên tố

12 Cho m n,  2 thỏa 2 2

1

m n  chia hết cho m n 1 Chứng minh rằng m n 1 không là số nguyên tố

13 Cho a,b là các số tự nhiên sao cho cũng là một số tự nhiên Gọi d là ước chung lớn nhất của a và b Chứng minh rằng

Trang 2

2

14 Cho a b c, , là ba số nguyên dương thỏa 1 1 1

a b c Gọi d là ước chung lớn nhất của

ba số đó Chứng minh rằng d b a(  ) là số chính phương

15 Cho n là số tự nhiên không chia hết cho 2 và 3 Chứng minh rằng  k thì

k1n   chia hết cho k n 1 k2  k 1

16 Tìm số nguyên tố p sao cho 2p 1 và 4p 1 cũng là số nguyên tố

17 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng số 2p1 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

18

19 Cho a,b là hai số nguyên dương thỏa mãn 4a2  1 chia hết cho 4ab1 Chứng minh rằng a b

20 Tìm các số nguyên tố p q, thỏa mãn hệ thức  3

p q  p q

21 Cho số nguyên n 1 bất kì Chứng minh rằng n5 n4  1 không là số nguyên tố

22 Tìm tất cả các số nguyên a b, sao cho a4  4b4 là số nguyên tố

23 Cho x y, là hai số tự nhiên thỏa 3x2 x 4y2y Chứng minh x y là số chính phương

24 Cho n là số nguyên lớn hơn 6 Chứng minh rằng nếu n1 và n1 đều là số nguyên tố thì n n2 2  16 chia hết cho 720 Hỏi có chiều ngược lại không ?

25 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau

3(xy yz zx  ) 4  xyz

2

xy yz zx xyz   

(x y ) 3x y  1 z

x y y z z x   xyz

29 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau

Trang 3

3

1 16

x y   y

30 Chứng minh rằng với mọi n > 2 thì luôn tồn tại bộ số phân biệt sao cho

31 Tìm 3 số tự nhiên, trong đó tích hai số trừ đi 1 thì chia hết cho số còn lại

32 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng các ước dương của p4 là một số chính phương

33 Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y thỏa phương trình

34 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho là một số chính phương

35 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho có đúng 3 ước nguyên tố khác nhau

36 Cho số tự nhiên với các ước thỏa

Chứng minh rằng : không lớn hơn Tìm khi

37 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho và

38

a) Tìm sao cho với mọi thì là một số chính phương b) Chứng minh rằng với mọi d thì tập luôn tồn tại hai số

sao cho không phải là số chính phương

39 Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho tồn tại n số nguyên liên tiếp mà tổng của chúng là một số chính phương

40 Chứng minh rằng nếu là một số chính phương với thì

là tổng của hai số chính phương

41 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng chia hết cho 43

Trang 4

4

42 Giả sử là số nguyên tố với số nguyên dương thì là lũy thừa của

3

43 Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a  c thỏa a a22 b22







Chứng minh rằng a2 b2 c2 không thể là một số nguyên tố

44 Cho p, q, r là các số nguyên tố và n là số tự nhiên thỏap nq n r2

Chứng minh rằng n = 1

45 Chứng minh rằng nếu abc là một số nguyên tố thì b2  4ac không phải là một số chính phương

46 Chứng minh rằng nếu 3x 4 ,3y y 4x là các số chính phương thì x y, đều chia hết cho 7

47 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 20 2 1 14 2 1

1 3 n n 9 n n

n

A        là số nguyên tố

48 Tìm tất cả các cặp số nguyên a, b sao cho là một số chính phương

49 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho hệ phương trình

có nghiệm nguyên

50 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 22 1

1

n n A

n n

 



  là một số nguyên

51 Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho x2  8y và y2  8x là các số chính phương

52

a) Cho các số nguyên x, y Chứng minh rằng nếu x2y2 chia hết cho 3 thì x và y cùng chia hết cho 3

b) Cho các số nguyên a, b Chứng minh rằng nếu a24ab5b2chia hết cho 3 thì a và

b đều chia hết cho 3

c) Cho các số nguyên dương a, b Giả sử các số a2 ,b b2a đều là bình phương của một số nguyên thì a và b đều chia hết cho 3

Trang 5

5

53 Cho các số tự nhiên a, b, c thỏa: a2 ,b b2 ,c c2a đều là bình phương của một số

tự nhiên

a) Chỉ ra một bộ số thỏa đề bài

b) Giả sử trong 3 số a2 ,b b2 ,c c2a có một số chia hết cho 3 Chứng minh rằng:

   

P a b b c c a   chia hết cho 27

54 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5x28y2 20412

55 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng các ước dương của p4 là một số chính phương

56 Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa: 5x y44y1

57 Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa ab = cd Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số

58 Cho các số nguyên dương a, b thỏa 2a2 a 3b2b a) Tìm a, b biết a và b là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Chứng minh a – b và 2a + 2b + 1 là các số chính phương

59 Tìm tất cả các số nguyên dương m, n sao cho 2

2m  7n 4

60 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho T 2n 3n 4n là số chính phương

61 Giải phương trình trong tập các số nguyên dương: x 1y z xyz 2

62 Cho các số nguyên a, b, c thỏa a b c  chia hết cho 6 và a2b2c2 chia hết cho

36 Đặt A a 3 b3 c3

a) Chứng minh rằng A chia hết cho 8

b) A có chia hết cho 27 không? Tại sao?

63 Xét tập S là tập các số tự nhiên có thể biểu diễn dưới dạng 12m 5n , trong đó m, n

là các số nguyên dương

a) Chứng minh rằng 19  S b) Tìm phần tử nhỏ nhất của S

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	657,9 KB