c Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất... - Hình vẽ sai không chấm - Hình vẽ phải khớp với bài làm mới cho điểm - Trong phần bài toán hình các kết luận phải có đ
Trang 1Đề thi chọn HSG lớp 9 Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề này gồm 06 câu, 01 trang)
Câu 1 (1,5 điểm)
Đơn giản biểu thức: A = 3 9 3 − 11 2
Câu 2 (3 điểm)
Chứng minh rằng:
5 5 5
3 5 5
25
9 25
3 25
1 5
27 5
32
− +
=
−
Câu 3 (3 điểm)
Giải hệ phơng trình:
+
=
−
=
−
2
2
2
8 4
x xy
y xy
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho x và y là các số thực thoả mãn:
( 2 2)3 2 2
x +y + x +y + x+ =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x2 + y2
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
2 1
1 1
1 1
1
2 2
+
+ +
+
Chứng minh rằng (ab + bc + ca )2 + 6a2b2c2 ≤ 3
Câu 6 ( 8 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh là a Trên các cạnh AD và CD lần lợt lấy các điểm
M và N sao cho MBN = 450, BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F
a) Chứng tỏ 4 điểm M, E, F, N cùng nằm trên một đờng tròn
b) MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I Tính BI theo a
c) Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất
Hết
22212
Mã ký hiệu
Đ02T-08-HSG9
Trang 2Câu 1 (1,5 điểm)
A = 3 9 3 − 11 2
= 3 ( 3 − 2 ) 3
= 3 − 2
Câu 2 (3 đ ) Đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với:
( ) ( )
3
2 5
2 5 5 3
5
3 5
5
3 3 1 5
) 3 (
2 − = + − (1)
Đặt 5 3 =a; 5 5 =b
(1) 3
2
2 3
2
b
a a b
a = + −
−
⇔
( 2)3 ( ) ( )
6
1 2
a a a
+ −
−
⇔5(2-a 3 ) = (1+a a– 2 ) 3 (2) do b 5 = 5
Ta có (1+a- a2) = 1+3(a-a2)+3(a-a2)2+3(a-a2)2+(a-a2)3
= 1+3a-3a2+3(a2-2a3+a4)+a3-3a2.a2+3a.a4-a6
= 1+3a-3a2+3a2-6a3+3a4+a3-3a4+3a5-a6
= 1+3a-5a3+3a5-a5.a
= 1+3a-5a3+3.3-3a (do 5 3 =a→a5 = 3)
= 10-5a3 = 5(2-a3)
Vậy (2) đã đợc chứng minh ⇒ đẳng thức đợc chứngminh
Câu 3 (3 điểm)
+
=
−
=
−
2
2
2
8 4
x xy
y xy
Từ (1) ⇒ 8 −y2 ≥ 0 ⇒y2 ≤ 8 ⇒y ≤ 2 2 (3)
Từ (2) ⇒xy≥ 2 ⇒x,y cùng dấu
Dễ thấy (x0,y0) là nghiệm của hệ đã cho,
thì (-x0, -y0) cũng là nghiệm của hệ Vì x, y ≠ 0 (do (2))
Xét x>0, y>0
Từ (2) ta có 2 2 2
2
≥
+
=
x
x
Thật vậy : từ (x− 2)2 ≥ 0 , ∀x
⇔x2 − 2 2x+ 2 ≥ 0
⇔ x2 + 2 ≥ 2 2x
⇔ 2 2 2
2
≥
+
x
x (do x>0) (4) Vậy y≥ 2 2, kết hợp với (3) ⇒y = 2 2
Khi đó xảy ra dấu “=” ở (4) ⇔x= 2
1 đ 0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
Hớng dẫn chấm Đề thi chọn HSG lớp 9
Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán
(1) (2)
Mã ký hiệu
HD02T-08-HSG9
Trang 3Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
(x, y) = ( 2 ; 2 2) (; − 2 ; − 2 2)
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho x và y là các số thực thoả mãn:
( 2 2)3 2 2
x +y + x +y + x+ = (1)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x2 + y2
Từ (1) ( 2 2)3 2 2 2
⇒ + + + = − − −
( 2 ) ( )2
3x 6x 3 2 3 x 1 2 2
= − + + + = − + + ≤ (do )
Vậy S3 + ≤ ⇔S 2 S3 + − ≤S 2 0
(S 1) (S2 2S 2) 0
Chỉ ra S2 + 2S+ 〉 ∀ 2 0, S
Do đó S− ≤ ⇔ ≤ 1 0 S 1
Vậy S đạt giá trị lớn nhất là 1 2 12 1
0 1
y
x y
⇔ + = ⇔ =
Câu 5 (2 điểm)
- Chứng minh 3(x2+y2+z2) ≥ (x+y+z)2 (*)
1
1 1
1 1
1
2 2
+
+ +
+ +a b c
Ta có a2b2+b2c2+c2a2+2a2b2c2 = 1
Sử dụng (*) với ab = x, bc = y, ca = z ta có:
(ab+bc+ca)2 ≤ 3(a2b2+b2c2+c2a2) = 3(1-2a2b2c2)
Vậy (ab+bc+ca)2 + 6a2b2c2 ≤ 3
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c và
2
1
=
a
Câu 6 (8 điểm) a) (2,5 đ)
Ta có EBN = ECN (…)
⇒ tứ giác BCNE nội tiếp (…)
⇒ BCN + BEN = 1800
mà BCN = 900 ⇒ BEN = 900
Tơng tự FBM = FAM = 450
⇒ tứ giác ABFM nội tiếp
⇒ BFM = 900
ta có MEN = MFN = 900
⇒ 4 điểm M, E, F, N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính MN
b) (2,5 đ)
Xét BMN có NE và MF là 2 đờng cao ⇒ H là trực tâm
⇒ BI ⊥ MN
Ta có tứ giác ABFM nội tiếp (c/m trên)⇒ ABM = AFM ( 2 góc cùng
0,5 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ 0.5 đ 0,5 đ
Trang 4chắn cung AM) (1)
Tơng tự tứ giác BEHF nội tiếp ⇒
EFH = EBH ( 2 góc nội tiếp cùng
chắn cung EH) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABM = MBI
Chỉ ra BAM = BIM
⇒ AB = BI = a
c) (3 đ)
Ta có BAM = BIM ⇒ AM =
IM
Tơng tự INB = CNB ⇒CN = IN
Do đó AM + CN = IM + IN
Đặt DM = x và DN = y ⇒ MN = x2 +y2 ⇒ SMDN =
2
xy
Bài toán đa về xác định x và y thỏa mãn:
x + y + x2 +y2 = 2a sao cho x, y lớn nhất
Ta có x+y≥ 2 xy (do x; y > 0)
x2 +y2 ≥ 2xy
) 2 2 ( 2
2
⇒ a x y x y xy xy xy
) 2 2 ( 2 2
+
≤
) 2 2 3 ( 2 ) 2 2
≤
(3 2 2)
2
2 −
≤
= xy a
S MDN
Vậy S MDN =a2(3 − 2 2)⇔x=y=a(2 − 2)
Vậy DM = DN = a(2 − 2) thì MDN có diện tích lớn nhất
Và MaxS MDN =a2(3 − 2 2)
• Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Hình vẽ sai không chấm
- Hình vẽ phải khớp với bài làm mới cho điểm
- Trong phần bài toán hình các kết luận phải có đủ lí do, nếu thiếu thì trừ
điểm tùy theo nội dung
- Thiếu 1 kí tự (dấu góc, dấu cung, …) thì châm trớc, thiếu từ 2 đến 3 kí
tự thì trừ nửa số điểm của câu đó, nếu thiếu nhiều hơn 3 kí tự thì không
chấm câu đó
- Tổng điểm toàn bài là 20 điểm
0,25 đ
0,5 đ 0,5 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,75 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
h E
m
F
C B
n
I