Biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng SU(2) biến dạng (LV01751)

Trong luận văn này tôi nghiên cứu biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng lượng tử, biểu diễn khả quy và bất khả quy của nhóm Lie, nhóm đối xứng SU2q, SU2p,q.. Mục đích nghiên cứu Nghi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS - TS Nguyễn Thị Hà Loan về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn của cô trong suốt quá trình học tập đến hoàn thành luận văn này Chính sự quan tâm tận tình chỉ bảo của cô đã tạo động lực và cho em thêm niềm tin, sự cố gắng để thực hiện luận văn này và mong muốn có sự phát triển tiếp theo

Em xin chân trọng cảm ơn ban chủ nhiêm khoa, các thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy, quan tâm chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn sát cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Học viên

Trần Thị Ánh Tuyết

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu riêng của tôi

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất

Những vấn đề trình bày trong luận văn là sự tìm hiểu của riêng tôi và không trùng lặp với luận văn khác

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Học viên

Trần Thị Ánh Tuyết

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Những đóng góp mới của đề tài 2

CHƯƠNG 1 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM 3

1.1 Biểu diễn của nhóm [3] 3

1.2 Biểu diễn khả quy của nhóm [3] 5

1.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm [3] 7

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 13

CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) 14

2.1 Biểu diễn của nhóm SU(2) [5, 6] 14

2.1.1 Nhóm SU(2) 14

2.1.2 Biểu diễn của nhóm SU(2) 15

2.2 Biểu diễn khả quy của nhóm SU(2) [5, 6] 16

2.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2) [5, 6] 18

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 21

CHƯƠNG 3 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) BIẾN DẠNG 22

3.1 Biểu diễn của nhóm SU(2)q [4] 22

3.1.1 Nhóm SU(2)q 22

3.1.2 Biểu diễn nhóm SU(2)q 22

3.1.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2)q 24

3.2 Biểu diễn của nhóm SUp,q(2) [4] 26

3.2.1 Nhóm SUp,q(2) 26

3.2.2 Biểu diễn của nhóm SUp,q(2) 27

3.2.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SUp,q(2) 28

KẾT LUẬN CHUNG 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

Sau sự phát triển của mẫu quark và lý thuyết Gauge không abelian của tương tác mạnh và tương tác điện yếu sự hiểu biết của nhóm Lie đã trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt cơ bản Nhóm Lie ngày càng trở thành công cụ chủ yếu của vật lý lí thuyết hiện đại như giải tính phức, phương trình vi phân riêng, lí thuyết nhóm vô hạn…

Nhóm lượng tử là sự mở rộng của nhóm Lie đã xâm nhập vào nhiều lĩnh vực của vật lý Phát minh của Macfarlane và Biedenham về sự thực hiện, đại

số lượng tử SUq(2) trong thuật ngữ q dao động tử điều hòa đã làm nảy sinh việc áp dụng đối xứng lượng tử trong các vấn đề hiện thực của vật lý Nhìn vào lịch sử vật lý ta thấy rằng các nhà vật lý đã nhiều lần biến dạng (deform) các quy luật vật lý cơ bản Lý thuyết mới (đã biến dạng) là tổng quát hơn và chứa lý thuyết ban đầu như là một trường hợp giới hạn khi tham số biến dạng tiến đến một giá trị đặc biệt Nhóm lượng tử và nhóm đối xứng lượng tử đưa

lý thuyết thoát khỏi phạm vi các nhóm cổ điển, điều này đã dẫn đến nhiều

2

thống kê mới với các hạt được đoán nhận: thống kê phân số (hạt anyon), thống kê q- biến dạng (hạt quon), thống kê para (parafermion, paraboson ….) Nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử đưa đến một phát triển mới trong lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết các hạt cơ bản, vũ trụ học

Trong luận văn này tôi nghiên cứu biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng lượng tử, biểu diễn khả quy và bất khả quy của nhóm Lie, nhóm đối xứng SU(2)q, SU(2)p,q

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về biểu diễn bất khả quy của một số nhóm đối xứng lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng lượng tử SU(2), SU(2)q, SU(2)p,q

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về lý thuyết biểu diễn nhóm

Nghiên cứu về biểu diễn khả quy và bất khả quy của một số nhóm đối xứng lượng tử

Nghiên cứu biểu diễn khả quy và bất khả quy của nhóm đối xứng lượng

tử SU(2)q , SU(2)p,q

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu của VLLT - VLT

Các phương pháp của nhóm đối xứng lượng tử

6 Những đóng góp mới của đề tài

Nghiên cứu và viết tổng quan về các biểu diễn khả quy và bất khả quy

của nhóm Lie, nhóm đối xứng SU(2)q, SU(2)p,q

Cung cấp tài liệu tham khảo về một số biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng lượng tử

3

CHƯƠNG 1 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM 1.1 Biểu diễn của nhóm [3]

Cho một biểu diễn T của nhóm G trong một không gian tuyến tính L nào

đó nghĩa là ứng với mỗi phần tử g của nhóm G ta làm tương ứng toán tử T(g) trong không gian L sao cho

   1 2  1 2

T g T g T g g (1.1) Thứ nguyên của không gian L gọi là thứ nguyên của biểu diễn Một nhóm có thể có biểu diễn hữu hạn chiều cũng như biểu diễn vô hạn chiều

Ví dụ 1:

Xét nhóm tịnh tiến không gian dọc theo trục z thì một phần tử của nó là

tg phép tịnh tiến một chiều

Gọi L là không gian một chiều

T là toán tử nhân với ikz

1 2

1 2 1 2

ikz ikz

Xét nghiệm G bao gồm các phần tử g G là tập hợp các phép quay và quay gương của không gian mà không làm thay đổi giá trị của trường U nghĩa

là U(gr)  U(r) lúc ấy trường phải có một tính chất đối xứng nào đó và G là nhóm quay

Biểu diễn nhóm G trong không gian LE: ứng với một phần tử g làm tương ứng với một toán tử T g Toán tử T g trong không gian LE Muốn cho T g

là biểu diễn của G thì nó phải thỏa mãn:

Biểu diễn T của nhóm G tác dụng trong không gian L gọi là khả quy ( hay không tối giản ) nếu trong L tồn tại một không gian con L1 không vô vị bất biến đối với tất cả các toán tử T(g)

T(g) x1 = y1 x y1, 1L1 (1.13) Nếu trong L không tồn tại L1 nhƣ trên thì T(g) đƣợc gọi là biểu diễn tối giản ( biểu diễn bất khả quy) và đƣợc ký hiệu T(g)

Nếu T là biểu diễn khả quy của nhóm G tác dụng trong không gian L

L1 là không gian con thực sự của L

Trong L1 xây dựng biểu diễn T1(g) mà T1(g) x1 = T(g) x1 và thảo mãn với mọi x1

thuộc L1 là biểu diễn của G tác dụng trong không gian L1, T(g) là biểu diễn của

G tác dụng trong không gian L ( T(g) là cảm ứng trong không gian L1 cho T1(g))

Nếu T(g) là Unita thì T1(g) cũng là Unita

Nếu trong L1 tồn tại không gian con không vô vị thì T1(g) là biểu diễn khả quy

Cho T là biểu diễn khả quy Unita của nhóm G trong không gian L và

L1 là không gian con bất biến thì phần phụ trực giao với L1 là không gian con

L2 cũng bất biến

Không gian L: L = L1 + L2 +… (1.14) Gọi x là vec tơ của L1

Gọi y là vec tơ của L2

Gọi X là vec tơ của L

T(g) cảm ứng trong L1 cho T1(g)

T(g) cảm ứng trong L2 cho T2(g)

Nếu X = x + y thì T(g)X = T1(g)x + T2(g)y (1.15)

6

Biểu diễn T(g) tách thành hai biểu diễn T1(g), T2(g) và T = T1 + T2

Xét trong L1 và L2 có tồn tại không gian con bất biến đối với T1, T2 không,

nếu tồn tại, tiếp tục tách không gian Cứ tiếp tục nhƣ vậy tất cả các biểu diễn

là bất khả quy

L = L1 + L2 + + Ln (1.16)

T(g) = T1(g) + + T n (g) (1.17)

Có thể có nhiều không gian con biến đổi theo cùng một biểu diễn, mỗi biểu

diễn T có thể tham gia vào biểu diễn T một số lần gọi là:

T 1 tham gia vào T n1 lần

T 2 tham gia vào T n2 lần

T tham gia vào T n lần thì ta nói rằng có  không gian con biến đổi theo T

Mọi biểu diễn khả quy có thứ nguyên hữu hạn và unita thì tách ra đƣợc

thành các biểu diễn bất khả quy unita và từ các biểu diễn ấy có thể hợp thành

các biểu diễn khả quy

L = L1 + L2 + (1.18)

     1

2

0 0

T T

7

Ta thấy rằng không gian biểu diễn khả quy là biểu diễn của nhóm tác dụng trong không gian L còn có thể tách thành các không gian con

1.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm [3]

Biểu diễn T (g) tác động trong không gian L là bất khả quy nếu không tồn tại một không gian con thực sự L1 không vô vị, bất biến đối với tất cả các toán tử T thì T đƣợc gọi là bất khả quy của nhóm G

Nếu biểu diễn T (g) của nhóm G là bất khả quy thì mọi toán tử tuyến tính A giao hoán với T (g) sẽ bằng bội số của đơn vị

A là toán tử tuyến tính thì A E (1.22)  là một số

T (g)x và x đều là trị riêng của A ứng với trị riêng 

suy ra A là bội số của toán tử đơn vị

A E Hàm sinh bởi biểu diễn :

Cho nhóm G, T là biểu diễn của G tác dụng trong không gian L Trong

L chọn một hệ véc tơ cơ sở e e1, 2 e s Hệ véc tơ cơ sở xác định thì phần tử ma trận của toán tử Tˆ cũng xác định

8

Mỗi phần tử ma trận là một hàm trên nhóm Có s2

hàm trên nhóm, những hàm ấy là hàm sinh ra bởi biểu diễn Từ hệ thức

S2 hàm trên nhóm tuân theo biểu thức (1.27)

Tích vô hướng của hàm trên nhóm:

Giả sử có hai hàm nhóm trên nhóm  (g), (g), g   G , G là nhóm hữu hạn

Tích vô hướng của hai hàm trên nhóm được thể hiện:

N : số phần tử của nhóm

Nếu tích của hai hàm trên nhóm bằng 0 thì hai hàm trên nhóm trực giao

* Biểu diễn tối giản  có thứ nguyên s thì sinh ra s2 hàm trên nhóm (g), (i, k 1 )

   trực giao với nhau

 , , , ,

1 ,

A giao hoán với  (g)

 (g) A  A  g (1.31)

g A A g

Ta đi chứng minh:

Gọi s1 là thứ nguyên của không gian L1

Gọi s2 là thứ nguyên của không gian L2

Trường hợp s1 > s2

Nếu giá trị M của toán tử A là không gian con của L1M L1

Ta có thể chứng minh được M là một không gian con bất biến đối với  1

  1g x1   1g Ax2 A   g2 x2

     M

Suy ra M1 bất biến và thứ nguyên của M phải nhỏ hơn thứ nguyên của L1    1

là tối giản trong L1 có nghĩa là không tồn tại không gian con không vô vị mà

M là không gian con cũng bất biến đối với  1 , suy ra M chỉ chứa véc tơ 0 tức

là x1 0 có nghĩa là A = 0

Trường hợp s1 = s2

A phải dị thường (có nghĩa là không tồn tại A-1

) Nếu A không dị thường thì   1   2   1   2 1

  1  

h

 : véc tơ trong không gian L1

B: thuộc không gian L1

  2  1

2

  : véc tơ trường L2

Ta thấy rằng không gian biểu diễn bất khả quy là không thể tách được nữa

hay là không gian tối giản

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1 tôi đã nghiên cứu, trình bày về lý thuyết biểu diễn nhóm, biểu diễn khả quy và biểu diễn bất khả quy của nhóm đồng thời đã chứng minh được rằng mọi biểu diễn khả quy có thứ nguyên hữu hạn và unita thì có thể tách ra được thành các biểu diễn bất khả quy unita và từ các biểu diễn ấy có thể hợp thành biểu diễn khả quy

14

CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) 2.1 Biểu diễn của nhóm SU(2) [5, 6]

2.1.1 Nhóm SU(2)

Tập hợp các ma trận (2x2) hai unita, có định thức bằng một và thỏa mãn

các tích chất của nhóm tạo thành một nhóm đối xứng SU(2)

1 0

0 1

I

i I

i I

2.1.2 Biểu diễn của nhóm SU(2)

Giả sử có các toán tử Boson ai (i = 1,2) thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

10 2

0 2

a i

0 1 2

2.2 Biểu diễn khả quy của nhóm SU(2) [5, 6]

Trong biểu diễn dao động thì các vi tử của nhóm đối xứng SU(2) có dạng:

18

3  1 1 2 2 1 2

1

, 2

2.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2) [5, 6]

Để đƣa ra biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2), ta xét từ không gian biểu diễn (2.9) tìm ra các không gian con bất khả quy

Xét toán tử Casimir:

2 2 2

1 2 3

CJ J J Đặt

 1 21

Theo định nghĩa của Ni thì từ (2.25) ta có

 1 2

1 2

j n n (2.27)

Ta thấy j là một số nguyên hoặc bán nguyên, không âm

Để xác định các véc tơ riêng của không gian con của không gian Hilbert (1.26), biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2) ta nhận xét rằng biểu diễn này đƣợc xác định bởi hai giá trị riêng (do không gian chung đƣợc xác định bởi hai số n1, n2) Ta nhận xét rằng toán tử J3 giao hoán với J tức là nó có giá trị

Vậy biểu diễn bất khả quy của SU(2) trong không gian các véc tơ cơ sở (2.12)

có thể đặc trƣng bởi j và m liên hệ với n1 , n2 nhƣ sau :

J  N N (2.39)

Nên :

J3 j m, m j m, (2.40) Nên đặt :

1 iJ 2 1 2

22

CHƯƠNG 3 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) BIẾN DẠNG

3.1 Biểu diễn của nhóm SU(2)q [4]

  1 1

x x q

q q x

về đại số SU(2) thông thường

3.1.2 Biểu diễn nhóm SU(2)q

Để tìm biểu diễn nhóm SU(2)q ta xây dựng dao động tử điều hòa biến dạng q chúng ta có hệ thức giao hoán của toán tử sinh, hủy dao động tử như sau:

3.1.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2)q

Biểu diễn bất khả quy của đại số lƣợng tử SUq(2) có thể thu đƣợc tử trạng thái (3.11) với n1 = (j+m) và n2 = (j-m) Từ đó không gian con với các véc tơ cơ sở của biểu diễn bất khả quy là:

Nhƣ vậy, với mọi giá trị j xác định thì m có 2j + 1 giá trị nhƣ sau:

m = j, j-1, ……, -j+1, -j các toán tử a a i, ii 1, 2 tác dụng trong không gian con này nhƣ sau:

25

Đại số lƣợng tử SU(2)q là một biến dạng q của đại số SU(2) đƣợc xây dựng bởi ba toán tử liên hợp J1, J2, J3 biểu diễn theo các toán tử hủy và sinh dao động nhƣ sau:

, 2 ,

, ,

27

Đại số này được xem như sự biến dạng của đại số SU(2) được đặc trưng bởi hai thông số biến dạng p, q Trong trường hợp giới hạn p = q thì

 x pq  x q và đại số (3.32) trở về đại số biến dạng một tham số (3.4) và (3.5)

3.2.2 Biểu diễn của nhóm SUp,q(2)

Ta xét những toán tử a1, a2 và liên hợp của chúng a a1, 2 được định nghĩa

, ,

pq qp

1 1 2

i pq

i pq

a n

3.2.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SUp,q(2)

Bây giờ chúng ta sẽ tìm biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2)pq bằng phương pháp Schwinger tổng quát

30

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

Trong chương 3 này chúng ta nghiên cứu đại số biến dạng hai tham số SU(2) bằng cách xây dựng dao động biến dạng hai tham số Tìm biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2) biến dạng hai tham số

Trong trường hợp giới hạn p = q đại số này trở về đại số biến dạng một tham số SU(2)q Trong trường hợp đặc biệt p q,  1 thì đại số biến dạng hai tham số SUp,q(2) chính là đại số SU(2) thông thường Biến dạng hai loại thông số tổng quát hơn một loại thông số và bản chất của hai loại thông số là khác nhau

3 Đưa ra biểu diễn dao động SU(2)q, SUp,q(2) biến dạng, biểu diễn này rất hữu ích trong việc áp dụng phương pháp nhóm đối xứng lượng tử vào nghiên cứu hạng cơ bản

Đây là mục đích nghiên cứu của luận văn, lý thuyết biến dạng là tổng quát và lý thuyết chưa biến dạng là trường hợp riêng của nó

4 Nghiên cứu tiếp của đè tài là áp dụng phương pháp nhóm đối xứng lượng tử để nghiên cứu hạt cơ bản

32

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu Tiếng Việt

[1] Nguyễn Xuân Hãn, Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB Đại học quốc

gia Hà Nội

[2] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân, Cơ sở lý thuyết của vật lí lượng tử,

NXB Đại học quốc gia Hà Nội (2003)

[3] Nguyễn Hoàng Phương, Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý học lượng

tử, NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội (2002)

Tài liệu Tiếng Anh

[4] Dung Le Viet, Loan Nguyen Thi Ha, The p, q-Deformed harmonic

physics, Vol 4, No 2, June 1994, pp 85-89

[5] Loan Nguyen Thi Ha, Deformed oscillators and their Statistics,

Communications in physics, Vol 6, No 2, June 1996 pp 18-22

[6] Chang Z.& Hong Yan (1991), “ Hq (4) and SUq(2) quantum group symmetries in diatomic molecules “, Phý.Rev A43(11), pp.6043-6052

[7] Nguyen Thi Ha Loan, colomlogy ò deformed algebra SU(2), com.in.phys,

vol.No.March (1997)pp 56-59

[8] N.T.H.LOAN, N.H.HA, BRST charge operator for Generalized Deforsned SU(2) algebra, com.in phys No 1 March 2008 pp.23-26