Bài toán phân loại các nhóm phản xạ hữu hạn

Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra các kiếnthức quan trọng về nhóm phản xạ hữu hạn như: các hệ nghiệm, tính liênhợp của các hệ nghiệm, sự sinh bởi các phép phản xạ, miền cơ bản...Chương 2 đi

Nguyễn Thị Thanh Mai

BÀI TOÁN PHÂN LOẠI

CÁC NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - Năm 2017

KHOA TOÁN

————oOo————

Nguyễn Thị Thanh Mai

BÀI TOÁN PHÂN LOẠI

CÁC NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Chu Gia Vượng

Hà Nội - Năm 2017

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngcảm ơn tới các thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, cácthầy cô trong tổ bộ môn Đại số cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy

đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi

để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Nguyễn Chu Gia Vượng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tìnhgiúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản Khóaluận không thể tránh khỏi những sai sót Vì vậy, em rất mong nhận đượcnhững ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Mai

Khóa luận tốt nghiệp "Bài toán phân loại các nhóm phản xạ hữuhạn" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu của bản thân cùngvới sự giúp đỡ tận tình của TS Nguyễn Chu Gia Vượng.

Tôi xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kếtquả của các tác giả khác

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Mai

LỜI NÓI ĐẦU 1

1.1 Giới thiệu chương 2

1.2 Phép phản xạ 2

1.3 Nhóm phản xạ hữu hạn và một số ví dụ 3

1.3.1 Định nghĩa 3

1.3.2 Nhóm nhị diện 3

1.3.3 Nhóm đối xứng 5

1.3.4 Một số nhóm phản xạ hữu hạn khác 6

1.4 Nghiệm 8

1.5 Các hệ nghiệm dương và hệ nghiệm đơn của một hệ nghiệm 11 1.6 Tính liên hợp của các hệ nghiệm dương và hệ nghiệm đơn 16 1.7 Sự sinh bởi các phép phản xạ đơn 18

1.8 Hàm độ dài và biểu diễn thu gọn 20

1.9 Các điều kiện xóa và tráo 23

1.10 Tính truyền dẫn đơn và phần tử dài nhất 26

1.11 Các phần tử sinh và các quan hệ 27

1.12 Nhóm con parabolic và các phần tử đại diện nhỏ nhất của các lớp kề 29

1.13 Lưới các nhóm con parabolic 32

1.14 Miền cơ bản 32

1.15 Mỗi phép phản xạ trong W đều có dạng sα với α ∈ Φ 36

2 PHÂN LOẠI CÁC NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN 37 2.1 Giới thiệu chương 37

2.2 Các phép đẳng cấu của các nhóm phản xạ hữu hạn 37

2.3 Các thành phần bất khả quy 39

2.4 Dạng song tuyến tính liên kết với đồ thị Coxeter 39

2.5 Một số đồ thị xác định dương 41

2.6 Một số đồ thị nửa xác định dương 45

2.7 Đồ thị con 47

2.8 Phân loại các đồ thị loại dương 50

2.9 Các nhóm tinh thể 52

2.10 Các hệ nghiệm tinh thể và các nhóm Weyl 53

2.11 Xây dựng hệ nghiệm 56

2.12 Cấp của W 60

2.13 Các nhóm Weyl đặc biệt 61

2.14 Nhóm loại H3 và H4 63

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết nhóm là một nhánh cơ bản của đại số nghiên cứu các tínhchất của nhóm - một cấu trúc đại số cơ bản Đây là một lý thuyết đượchình thành từ cuối thế kỷ 19 và hiện nay vẫn là chủ đề nghiên cứu củaToán học

Trong Khóa luận này chúng ta tìm hiểu về các nhóm phản xạ hữuhạn - một lớp nhóm có nhiều ứng dụng trong các hướng nghiên cứukhác nhau của Toán học Cụ thể hơn, chúng ta quan tâm đến "Bàitoán phân loại các nhóm phản xạ hữu hạn" Khóa luận được hìnhthành dựa vào việc tìm hiểu tài liệu "James E Humphreys, Reflectiongroups and Coxeter groups, Cambridge University Press 1990" Ngoài

ra, tôi cũng tham khảo một số tài liệu khác (xem mục tài liệu thamkhảo) Công cụ chính để phân loại các nhóm xạ hữu hạn là phân loạicác hệ nghiệm và các dạng đồ thị Coxeter tương ứng

Luận văn gồm hai chương

Chương 1 trình bày khái niệm nhóm phản xạ hữu hạn và đưa ra một

số ví dụ cụ thể để minh họa Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra các kiếnthức quan trọng về nhóm phản xạ hữu hạn như: các hệ nghiệm, tính liênhợp của các hệ nghiệm, sự sinh bởi các phép phản xạ, miền cơ bản Chương 2 đi vào nội dung chính của Khóa luận là phân loại các nhómphản xạ hữu hạn Phân loại các nhóm phản xạ hữu hạn được thực hiệndựa vào việc phân loại các đồ thị Coxeter Kết quả quan trọng nhấttrong phần này là phân loại các đồ thị Coxeter liên thông loại dương.Trong chương này, chúng tôi cũng xây dựng được các hệ nghiệm tinhthể, không tinh thể tương ứng với các nhóm phản xạ và tính toán cấpcủa chúng

NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN

Trong Chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các nhóm hữu hạn đượcsinh bởi các phép phản xạ trong không gian Ơclít Công cụ chính đểnghiên cứu các nhóm này là các vectơ trực giao với siêu phẳng phản xạ

Từ bây giờ ta kí hiệu V là một không gian vectơ Ơclít V

Định nghĩa 1.2.1 Cho (V, h, i) là một không gian vectơ Ơclít Với

0 6= α ∈ V, kí hiệu Lα là đường thẳng Rα và Hα là siêu phẳng trực giaovới α Khi đó V = Lα ⊕ Hα Định nghĩa sα là phép phản xạ qua siêuphẳng Hα và song song với đường thẳng Lα

Một số tính chất cơ bản sau được trực tiếp suy ra từ định nghĩa.

Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa về nhóm phản xạ hữuhạn Đây là định nghĩa quan trọng xuyên suốt nội dung của chương này.Lưu ý rằng, các kí hiệu dùng trong mục này sẽ tương ứng với sự phânloại các nhóm phản xạ theo dạng được tìm hiểu ở Chương 2

1.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.3.1 Gọi O(V) là nhóm các phép biến đổi trực giao của

V Một nhóm con của O(V) được gọi là một nhóm phản xạ nếu nó cómột tập sinh gồm các phép phản xạ Hơn nữa, nếu nhóm này hữu hạnthì nó được gọi là nhóm phản xạ hữu hạn

1.3.2 Nhóm nhị diện

Định nghĩa 1.3.2 [1] Cho Pm, m ≥ 3 là đa giác đều m cạnh, tâm tạigốc tọa độ Tập các phép biến đổi trực giao của mặt phẳng bảo toàn Pmlập thành một nhóm, gọi là nhóm nhị diện Kí hiệu là Dm

Về sau nhóm nhị diện Dm tương ứng với một nhóm phản xạ loại

I2(m)

Tính chất 1.3.1 Nhóm Dm có cấp bằng 2m, gồm m phép quay (quayquanh tâm của Pm một góc có hướng bằng 2πmk với k = 0, m − 1) và mphép phản xạ qua các "đường chéo" Ở đây, đường chéo là đường thẳng

đi qua hai đỉnh hoặc trung điểm hai cạnh đối diện nếu m chẵn và làđường thẳng đi qua một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện nếu m lẻ.Mệnh đề 1.3.1 Nhóm Dm là một nhóm phản xạ hữu hạn

Chứng minh Phép quay góc 2πm có thể thu được từ tích của hai phépphản xạ qua hai đường chéo liền kề tạo một góc θ = mπ Mà 2πm là phần

tử sinh của các phép quay nên mọi phép quay khác đều phân tích đượcthành tích của hai phép phản xạ Hơn nữa, nhóm Dm được sinh bởi cácphần tử phản xạ Do đó Dm là một nhóm phản xạ hữu hạn

Ví dụ 1.3.1 Ta tìm hiểu nhóm D4 trong không gian R2 Chọn các siêuphẳng phản xạ là các đường thẳng Hα, Hβ sao cho (H\α, Hβ) = θ = π4(như hình vẽ) Lấy hai vectơ đơn vị trực giao với Hα, Hβ lần lượt là α =(sin θ, − cos θ), β = (0, 1) sao cho \(α, β) = π − θ Do vậy hα, βi = − cos θ.Đồng nhất đường thẳng Hβ với trục hoành Khi đó ta có ma trận biểudiễn của sαsβ trong hệ cơ sở chính tắc của R2 là:

cos 2θ sin 2θsin 2θ − cos 2θ

!

Do đó sαsβ là một phép quay góc 2θ = π2 ngược chiều kim đồng hồ

α

Hα

Hβθ

1.3.3 Nhóm đối xứng

Định nghĩa 1.3.3 [1] Giả sử T là một tập hợp khác rỗng, S(T ) là tậptất cả các song ánh trên T Khi đó S(T ) cùng với phép hợp thành cácánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp T Mỗinhóm con của S(T ) được gọi là một nhóm các phép chuyển vị trên T Đặc biệt, nếu T = {1, 2, , n} thì nhóm S(T ) được kí hiệu đơn giản lànhóm Sn và được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử

Mệnh đề 1.3.2 Nhóm Sn đẳng cấu với với một nhóm con phản xạ hữuhạn của nhóm O(n, R) - nhóm các ma trận trực giao cấp n

Chứng minh Xét không gian Ơclít V = Rn với cơ sở trực chuẩn là

ε1, ε2, , εn Ta nhúng Sn vào O(n, R) = O(V) bằng cách đồng nhấtmỗi σ ∈ Sn với toán tử trực giao duy nhất của V, gửi cơ sở trực

chuẩn ε1, ε2, , εn lên cơ sở trực chuẩn εσ(1), εσ(2), , εσ(n) Ta thấy,phép chuyển vị (i, j) đồng nhất mỗi phần tử σ với một phép phản xạcủa Rn Cụ thể:

• Vectơ εi− εj được gửi lên vectơ −(εi − εj)

• Cố định các vectơ thuộc không gian trực giao với vectơ εi− εj Đây

là một không gian gồm tất cả các vectơ trong Rn có thành phầnthứ i và thứ j giống nhau

Mặt khác, ta biết rằng Sn được sinh bởi các phép chuyển vị dạng (i, i+1)với 1 ≤ i ≤ n − 1 Do đó Sn là một nhóm phản xạ hữu hạn

Nhận xét 1.3.1

Khi Sn tác động lên Rn trong cách vừa mô tả, nó cố định mọi vectơcủa đường thẳng sinh bởi ε1 + · · · + εn và làm ổn định siêu phẳng trựcgiao với ε1+ · · · + εn, siêu phẳng gồm các vectơ mà tổng tọa độ trong cơ

sở trực chuẩn bằng 0 Như vậy, Sn có thể được nhúng vào O(n − 1, R)như một nhóm phản xạ Vì thế, về sau nhóm đối xứng Sn tương ứng vớimột nhóm phản xạ dạng An−1, n ≥ 2 thay vì dạng An

1.3.4 Một số nhóm phản xạ hữu hạn khác

Trước tiên, ta nhắc lại khái niệm tích nửa trực tiếp Cho A, B là hainhóm và ánh xạ ϕ : B −→ AutA là một đồng cấu nhóm (AutA là nhómcác tự đẳng cấu nhóm của A) Tích nửa trực tiếp A o

ϕ :B −→ AutA

b 7−→ (a 7−→ bab−1),xác định mối quan hệ giữa B và A

a Nhóm phản xạ dạng Bn, n ≥ 2

Nhóm phản xạ dạng Bn được xây dựng theo cách sau Xét khônggian Ơclít V = Rn Ta vẫn đồng nhất Sn với một nhóm con của O(V)bằng cách hoán vị các vectơ của cơ sở trực chuẩn ε1, ε2, , εn của Vnhư trong Mệnh đề 1.3.2 Với mỗi 1 ≤ i ≤ n ta xây dựng phép phản xạcủa V xác định bởi:

W (Bn) là nhóm con của nhóm O(n, R) sinh bởi Sn và (Z/2Z)n Khi đó,

ta có W ∼= (Z/2Z)no Sn Nói riêng, cấp của W bằng 2nn!

b Nhóm phản xạ dạng Dn, n ≥ 4

Xét không gian Ơclít V = Rn Ta vẫn đồng nhất Sn với một nhóm concủa O(V) bằng cách hoán vị các vectơ của cơ sở trực chuẩn ε1, ε2, , εncủa V như trong Mệnh đề 1.3.2 Xét nhóm (Z/2Z)n−1 đẳng cấu với nhóm

con A của nhóm (Z/2Z)n Khi đó

Ta thấy mỗi phép phản xạ sα trong W xác định một siêu phẳng phản

xạ Hα và một đường thẳng Lα trực giao với nó Kết quả sau chỉ ra rằng

W được xác định bởi tập hợp {Lα, sα ∈ W }

Mệnh đề 1.4.1 Với ϕ ∈ O(V) và α là một vectơ khác 0 của V, ta có

ϕsαϕ−1 = sϕα Đặc biệt với mọi w ∈ W và sα ∈ W thì swα ∈ W

Hiển nhiên, nếu w ∈ W và sα ∈ W thì swα ∈ W

Vậy W hoán vị các đường thẳng Lα, trong đó sα chạy trên tập cácphép phản xạ chứa trong W thông qua ω(Lα) = Lωα Nhóm W chỉ xácđịnh đường thẳng Lα, không xác định vectơ α Tuy nhiên, nếu chúng tachọn các cặp vectơ đơn vị nằm trong tất cả các đường đó thì tập cácvectơ thu được sẽ ổn định dưới tác động của W Ví dụ, nhóm nhị diện

D4 bảo toàn tập 8 vectơ trong R2 là:

±(1, 0), ±(1, 1), ±(0, 1), ±(−1, 1)

Định nghĩa 1.4.1 Một hệ nghiệm trong không gian Ơclít V là một tậphợp Φ khác rỗng gồm một số hữu hạn các vectơ khác 0 thỏa mãn haiđiều kiện:

R1) Φ ∩ Lα={α, −α} với mỗi α ∈ Φ,

R2) sαΦ = Φ với mỗi α ∈ Φ

Với một hệ nghiệm Φ, chúng ta định nghĩa nhóm phản xạ W liên kếtvới nó là nhóm con của O(V) sinh bởi tất cả các phép phản xạ sα, α ∈ Φ.Khi Φ hữu hạn thì W cũng hữu hạn Chúng ta sẽ chứng minh khẳngđịnh này ở Mệnh đề 1.4.2 sau đây.

Mệnh đề 1.4.2 Cho Φ là một hệ nghiệm và W là nhóm phản xạ liênkết với nó Khi đó W là một nhóm phản xạ hữu hạn

Chứng minh Do W = hsα, α ∈ Φi và sαΦ = Φ nên mỗi w ∈ W làm

ổn định Φ Mà Φ hữu hạn nên mỗi w ∈ W định nghĩa một hoán vị

fw ∈ SΦ-nhóm đối xứng trên Φ Khi đó, ta có một đồng cấu nhóm

F : W −→ SΦ

w 7−→ fw,trong đó

fw : Φ −→ Φ

α 7−→ wα

Giả sử w ∈ ker F Suy ra ta có wβ = β với mọi β ∈ Φ Mặt khác vớimọi α ∈ Φ thì sα cố định mọi vectơ của không gian hΦi⊥ Mà sα là một

tập sinh của nhóm W nên với mỗi w ∈ W cũng cố định mọi vectơ củakhông gian hΦi⊥ Như vậy w cố định mọi vectơ của không gian V Do

đó ta có w = 1, hay ker F = {1} Từ đó suy ra F là đơn cấu Hơn nữa,

SΦ là nhóm hữu hạn nên W cũng hữu hạn Vậy W là một nhóm phản

xạ hữu hạn

một hệ nghiệm

a Thứ tự toàn phần trên một không gian vectơ

Định nghĩa 1.5.1 Một thứ tự toàn phần trên không gian vectơ V làmột quan hệ hai ngôi (kí hiệu <) thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với λ, µ ∈ V bất kỳ ta có hoặc λ < µ hoặc λ = µ hoặc µ < λ

(ii) Nếu λ < µ, µ < ν thì λ < ν

(iii) Với mọi λ, µ, ν ∈ V mà µ < ν thì λ + µ < λ + ν

(iv) Nếu µ < ν, 0 6= c ∈ R thì cµ < cν nếu c > 0 và cν < cµ nếu c < 0.Một vectơ λ ∈ V gọi là dương nếu 0 < λ và âm nếu λ < 0

i=1aiλi < Pn

i=1biλi

nếu ak < bk với k là chỉ số nhỏ nhất của i để ai 6= bi

Ví dụ 1.5.1 Xét V = R4 với cơ sở chính tắc ε1, , εn và biểu diễn

u = ε1 + 2ε2 − ε3 + 3ε4,

v = ε1 + 3ε2 + ε3 + 3ε4.Khi đó với k = 2 thì ak = 2 < 3 = bk Do đó ta có u < v

b Hệ các nghiệm dương và hệ các nghiệm đơn

Định nghĩa 1.5.2 (Hệ các nghiệm dương) Một tập con Π của hệ nghiệm

Φ được gọi là hệ các nghiệm dương nếu nó có dạng:

Π = {α ∈ Φ|0 < α}

Trong đó < là một thứ tự toàn phần nào đó trên V

Nhận xét 1.5.1

• Ta thấy hệ các nghiệm dương Π như vậy luôn tồn tại

• Kí hiệu −Π là tập các vectơ đối của các vectơ trong Π Dễ thấy

Φ = Π t (−Π) Ta gọi −Π là hệ các nghiệm âm

Định nghĩa 1.5.3 (Hệ các nghiệm đơn) Cho Φ là một hệ nghiệm trong

V Ta gọi ∆ là hệ các nghiệm đơn và mỗi phần tử của ∆ là một nghiệmđơn nếu ∆ thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) ∆ là một cơ sở của không gian vectơ RΦ-không gian vectơ con của

V sinh bởi Φ

(ii) Mỗi phần tử của Φ là một tổ hợp tuyến tính của ∆ với các hệ sốcùng dấu (cùng không âm hoặc cùng không dương)

Về sau ta sẽ chỉ ra rằng hệ các nghiệm đơn ∆ luôn tồn tại

Mệnh đề 1.5.1 Cho α, β là hai nghiệm không tỷ lệ của một hệ nghiệmnào đó Ta có

(i) Nếu hα, βi > 0 thì α − β là một nghiệm.

(ii) Nếu hα, βi < 0 thì α + β là một nghiệm

Chứng minh mệnh đề này không khó nhưng khá dài nên chúng tôikhông đưa vào đây Bạn đọc quan tâm có thể tìm thấy chứng minh trong[9, chương VI,§1]

Ví dụ 1.5.2 (Nhóm A1) Xét V = R và Φ = {α, −α} trong đó α ∈ R+nào đó Với quan hệ thứ tự toàn phần quen thuộc trên R thì ta có hệnghiệm dương Π = {α} và tập ∆ = {α} là một hệ nghiệm đơn

α

−α

Nhóm A1

Ví dụ 1.5.3 (Nhóm A2) Xét V = R2 và Φ = {α, β, α+β, −α, −β, −(α+β)} trong đó {α, β} là một cơ sở của R2 thỏa mãn \(α, β) = 2π3 và kαk =kβk Với quan hệ thứ tự toàn phần trên R2 cho bởi cơ sở trên thì ta có

hệ nghiệm dương Π = {α, β, α + β} và tập ∆ = {α, β} là hệ nghiệm đơn

α + β

αβ

−β

−(α + β)

−α

Nhóm A2Kết quả sau đây sẽ chỉ ra mối quan hệ giữa các hệ nghiệm dương và

hệ nghiệm đơn

Định lí 1.5.1 Cho Φ là một hệ nghiệm

(i) Nếu ∆ là một hệ nghiệm đơn trong Φ thì có một hệ nghiệm dươngduy nhất Π chứa ∆

(ii) Đảo lại, một hệ nghiệm dương Π chứa duy nhất một hệ nghiệm đơn

∆ Nói riêng, tồn tại các hệ nghiệm đơn

Chứng minh (i) Tính duy nhất Giả sử hệ nghiệm dương Π chứa hệnghiệm đơn ∆ Khi đó các nghiệm là tổ hợp tuyến tính không âm của ∆phải nằm trong Π (các nghiệm là tổ hợp tuyến tính không dương của ∆không nằm trong Π) Do đó Π chính là tập hợp duy nhất có các nghiệm

có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính với các hệ số không âm của

∆

Sự tồn tại Một hệ nghiệm dương như vậy tồn tại Vì ∆ là một cơ sởcủa RΦ, nói riêng nó là hệ độc lập tuyến tính Bổ sung ∆ thành một cơ

sở sắp thứ tự của V và xét thứ tự từ điển tương ứng với cơ sở này Gọi

Π là tập các phần tử dương của Φ đối với thứ tự này Hiển nhiên ta có

Sự tồn tại Ta chọn một tập con nhỏ nhất ∆ ⊂ Π với tính chất: mỗinghiệm trong Π là một tổ hợp tuyến tính không âm của ∆ Do Π hữuhạn nên một tập con như vậy tồn tại Theo Bổ đề 1.5.1 sau đây thì ∆

là một hệ độc lập tuyến tính Do đó ∆ là một hệ nghiệm đơn

Bổ đề 1.5.2 Với mọi α, β ∈ ∆ và α 6= β ta có hα, βi ≤ 0

Chứng minh Giả sử hα, βi > 0 với α, β ∈ ∆ Ta có sαβ = β − cα với

c = 2hβ, αi

hα, αi > 0 Vì sαβ ∈ Φ nên sαβ ∈ Π hoặc −sαβ ∈ Π.

Giả sử sαβ ∈ Π Ta có sαβ = P cγγ (γ ∈ ∆, cγ ≥ 0)

• Nếu cβ < 1 ta có β − cα = sαβ = cββ +P

γ6=βcγγ Từ đó suy ra(1 − cβ)β = cα +P

γ6=βcγγ hay (1 − cβ)β là một tổ hợp tuyến tínhkhông âm của ∆ trên β Do 1 − cβ > 0 nên ta có β = 1−c1

β(cα +P

γ6=βcγγ) Do vậy, tập ∆\{β} là tập con của Π có tính chất tương

tự như ∆ Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của ∆

• Nếu cβ ≥ 1 ta có β − cα = sαβ = cββ +P

γ6=βcγγ Từ đó suy ra(cβ − 1)β + cα +P

γ6=βcγγ = 0 Vế trái là tổ hợp tuyến tính không

âm của ∆ với ít nhất một hệ số dương (c > 0) nên theo định nghĩacủa thứ tự toàn phần tổ hợp này không thể bằng 0 Do đó mâuthuẫn

Giả sử −sαβ ∈ Π Chứng minh tương tự như trên ta cũng chỉ ra đượcmâu thuẫn Do đó điều giả sử sai

Vậy ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.5.2 Chứng minh trên đây đã chỉ ra rằng bất đẳng thứctrong Bổ đề 1.5.2 là đúng cho một hệ nghiệm đơn bất kỳ Đây là mộttính chất hình học Tính chất hình học này đóng một vai trò quan trọngtrong việc phân loại nhóm phản xạ loại dương mà chúng ta sẽ tìm hiểu

Tính chất 1.6.1 Cho ∆ là một hệ nghiệm đơn bất kỳ và Π là hệ nghiệmdương xác định bởi ∆ Khi đó với mọi w ∈ W thì w∆ là hệ nghiệm đơnvới hệ nghiệm dương tương ứng là wΠ.

Để hiểu rõ quan hệ giữa Π và wΠ, ta xét trường hợp đặc biệt w =

sα(α ∈ ∆) Kết quả sau sẽ chỉ ra rằng Π và sαΠ chỉ khác nhau bởi mộtnghiệm

Mệnh đề 1.6.1 Cho ∆ là một hệ nghiệm đơn chứa trong hệ nghiệmdương Π Nếu α ∈ ∆ thì sα(Π\{α}) = Π\{α}

Chứng minh Xét một nghiệm β ∈ Π, β 6= α Vì ∆ là cơ sở của khônggian vectơ RΦ và RΠ ⊂ RΦ nên ta có thể biểu diễn

β = s2αβ = sα(sαβ) = sαα = −α /∈ Π (mâu thuẫn)

Vậy sαβ 6= α Suy ra sα(Π\{α}) ⊂ Π\{α} Rõ ràng ánh xạ sα :Π\{α} −→ Π\{α} là một đơn ánh Mà Π\{α} là tập hữu hạn nên

sα là một song ánh Do đó sα(Π\{α}) = Π\{α}

Định lí 1.6.1 Hai hệ nghiệm dương (tương ứng hệ nghiệm đơn) bất kỳtrong Φ là liên hợp dưới tác động của W

Chứng minh Giả sử Π và Π0 là hai hệ nghiệm dương Như vậy, mỗi

hệ chứa đúng một nửa các nghiệm Chứng minh bằng quy nạp theo

r = Card(Π ∩ −Π0)

Nếu r = 0 thì Π = Π0 Khi đó khẳng định là tầm thường

Nếu r > 0 thì rõ ràng hệ nghiệm đơn ∆ trong Π không thể hoàntoàn nằm trong Π0 Chọn α ∈ ∆ với α ∈ −Π0 Từ mệnh đề 1.6.1 ta cóCard(sαΠ ∩ −Π0) = r − 1 Sử dụng giả thiết quy nạp cho hai hệ nghiệmdương sαΠ và Π0, tồn tại phần tử w0 ∈ W sao cho w0(sαΠ) = Π0 Nghĩa

là, wΠ = Π0 với w = w0sα

Trong mục này, ta cố định một hệ nghiệm đơn ∆ và hệ nghiệm dươngtương ứng Π trong hệ nghiệm Φ (Định lí 1.6.1 chỉ ra rằng không có sựkhác biệt lớn khi chúng ta chọn ∆) Mục tiêu tiếp theo của chúng ta

là chứng minh W được sinh bởi các phép phản xạ đơn, nói cách khác

W = hsα, α ∈ ∆i

Định nghĩa 1.7.1 (Độ cao của nghiệm) Giả sử β ∈ Φ, ta viết β =P

α∈∆cαα Khi đó ta gọi đại lượng P

α∈∆cα là độ cao của β và kí hiệu

Định lí 1.7.1 Tập các phép phản xạ đơn sα(α ∈ ∆) là một tập sinhcủa W

Chứng minh Đặt W0 = hsα, α ∈ ∆i Ta cần chứng minh W0 = W Tathực hiện chứng minh theo các bước sau:

Bước 1 Lấy β ∈ Π Ta có W0β ∩ Π 6= ∅ (vì nó chứa ít nhất mộtphần tử β) Ta chọn từ tập này một phần tử γ với độ cao nhỏ nhất cóthể Ta sẽ chứng minh γ ∈ ∆ Đặt γ = P

α∈∆cαα Ta có 0 ≤ hγ, γi =P

α∈∆cαhγ, αi Do đó hγ, αi > 0 với ít nhất một α ∈ ∆ nào đó Ta đichứng minh γ = α Giả sử γ 6= α Theo Mệnh đề 1.6.1 ta có sαγ ∈ Π

Vì sαγ thu được từ γ bằng cách trừ đi một bội dương của α nên ta cóht(sαγ) < ht(γ) Vì sα ∈ W0 nên sαγ ∈ W0β và do đó sαγ ∈ W0β ∩ Π.Điều này trái với cách chọn của γ Do đó điều giả sử sai Vậy γ = α và

γ ∈ ∆

Bước 2 Ta đi chứng minh W0∆ = Φ

Theo bước 1 quỹ đạo dưới W0 của bất kì một nghiệm dương β đều cắt

∆ Do đó Π ⊂ W0∆ Mặt khác, nếu β là nghiệm âm thì −β ∈ Π Do đó

−β = wα với w ∈ W0 và α ∈ ∆ nào đó Suy ra β = wsαα (wsα ∈ W0)

Do đó −Π ⊂ W0∆ Vậy W0∆ = Φ

Bước 3 Nhắc lại rằng W sinh bởi các phép phản xạ sβ với β ∈ Φ Theobước (2) với β bất kỳ ta có β = wα với w ∈ W0 và α ∈ ∆ nào đó Do

đó theo Mệnh đề 1.4.1 thì sβ = swα = wsαw−1 ∈ W0 Suy ra W ⊂ W0.Hơn nữa, hiển nhiên có W0 ⊂ W Do vậy W = W0

Lưu ý rằng chứng minh trên thiết lập kết quả sau đây

Hệ quả 1.7.1 Với mọi β ∈ Φ tồn tại w ∈ W sao cho wβ ∈ ∆

Một hệ quả phụ hữu ích của chứng minh trên là đã chỉ ra rằng thực

tế một nghiệm bất kỳ đều nằm trong một hệ nghiệm đơn nào đó

1.8 Hàm độ dài và biểu diễn thu gọn

Cố định một hệ nghiệm đơn ∆ Ta biết W = hsα|α ∈ ∆i Để hiểu rõhơn W , ta sẽ đi tìm hiểu các phân tích của mỗi w ∈ W thành tích củacác phép phản xạ đơn, tức là w = s1 sr(si = sαi, αi ∈ ∆)

Định nghĩa 1.8.1 (Hàm độ dài) Độ dài của một w bất kỳ thuộc nhóm

W là số nguyên dương r nhỏ nhất sao cho w phân tích được thành tíchcủa một dãy gồm r phép phản xạ đơn, tức là

w = s1 sr(si = sαi, αi ∈ ∆)

và kí hiệu là l(w) Quy ước l(1) = 0

Từ định nghĩa trên ta rút ra nhận xét: l(w) = 1 khi và chỉ khi w = sαvới α ∈ ∆ nào đó

Định nghĩa 1.8.2 Kí hiệu si = sαi với αi ∈ ∆ là các phép phản xạđơn Nếu w ∈ W có biểu diễn w = s1 sr thỏa mãn l(w) = r thì biểudiễn này được gọi là biểu diễn thu gọn của w

Mệnh đề 1.8.1 [9] Với mọi w, w0 ∈ W Ta có

l(ww0) ≤ l(w) + l(w0), (1.4)

|l(w) − l(w0)| ≤ l(ww0) (1.6)Chứng minh Giả sử, ta có biểu diễn thu gọn của w, w0 lần lượt là

s1 sp và s01 s0q Khi đó, ta có l(w) = p, l(w0) = q Vì ww0 =

s1 sps01 s0q nên ta có l(ww0) ≤ p + q = l(w) + l(w0)

Vì w−1 = s−1p s−11 nên ta có l(w−1) ≤ p = l(w) Thay w bởi w−1 cho

ta bất đẳng thức ngược lại là l(w) ≤ l(w−1) Do vậy ta có l(w−1) = l(w)

Thay w bởi ww0−1 trong 1.4 và 1.5 ta được

l(w) − l(w0) ≤ l(ww0−1), (1.7)l(w0w−1) = l(ww0−1) (1.8)Thay w bởi w0 trong 1.7 ta được l(w0) − l(w) ≤ l(w0w−1) Sử dụng 1.8

ta có l(w0) − l(w) ≤ l(ww0−1) Do vậy |l(w0) − l(w)| ≤ l(ww0−1)

Hệ quả 1.8.1 [9] Cho w, w0 ∈ W và w = s1 sp, w0 = s01 s0q Nếu

s1 sps01 s0q là biểu diễn thu gọn của ww0 thì s1 sp, s01 s0q lầnlượt là biểu diễn thu gọn của w, w0

Chứng minh Theo giả thiết ta có l(w) ≤ p, l(w0) ≤ q và l(ww0) =

p + q Mặt khác, theo 1.4 ta có l(ww0) ≤ l(w) + l(w0) ≤ p + q Do đól(w) = p, l(w0) = q

Cố định hệ nghiệm đơn ∆ và hệ nghiệm dương Π tương ứng Tađặt Π(w) := {α ∈ Π|wα ∈ (−Π)} = Π ∩ w−1(−Π), kí hiệu n(w) :=CardΠ(w) = Card(Π ∩ w−1(−Π))

Thay w bởi sαw vào biểu thức trên và sử dụng tính chất sα = s−1α tađược n(sαw) = n(w−1sα)

Bổ đề 1.8.1 Cho α ∈ ∆, w ∈ W Ta có:

(a) Nếu wα > 0 thì n(wsα) = n(w) + 1.

(b) Nếu wα < 0 thì n(wsα) = n(w) − 1

(c) Nếu w−1α > 0 thì n(sαw) = n(w) + 1

(d) Nếu w−1α < 0 thì n(sαw) = n(w) − 1

Chứng minh Giả sử wα > 0 Khi đó α /∈ Π(w) Mặt khác ta có

wsα(α) = −wα < 0 nên α ∈ Π(wsα) Hơn nữa

• n(w−1sα) = n(w−1) − 1 ⇔ n(sαw) = n(w) − 1.

Từ bổ đề ta dễ dàng suy ra được kết quả sau đây

Hệ quả 1.8.2 Nếu w ∈ W, w = s1 sr với (si, i = 1, r là phép phản

xạ đơn) thì n(w) ≤ r Đặc biệt n(w) ≤ l(w)

Kết quả quan trọng sau đây cho thấy tích của các phép phản xạ đơn

có thể thu gọn lại nếu nó chưa thực sự gọn

a Điều kiện xóa

Định lí 1.9.1 Cố định một hệ nghiệm đơn ∆ Cho w = s1 sr (si =

sαicó thể lặp lại) là biểu diễn bất kỳ thành tích của các phép phản xạđơn Giả sử n(w) < r Khi đó tồn tại các chỉ số 1 ≤ i < j ≤ r thỏa mãni) αi = (si+1 sj−1)αj,

ii) si+1si+2 sj = sisi+1 sj−1,

iii) w = s1 .sbi .sbj sr (ở đây dấu ˆ là kí hiệu sự bỏ đi)

Chứng minh (i) Giả sử n(w) < 0 Đặt w1 = s1 sr−1, w2 = s1 sr−2, ,

wr = s1 Giả sử (s1 sj−1)αj > 0 với mọi j Áp dụng phần (a) của Bổ

đề 1.8.1 suy ra

n(s1s2) = n(s1) + 1 = 2n(s1s2s3) = n(s1s2) + 1 = 3

:n(s1 sr) = = r (mâu thuẫn)

Vậy tồn tại j ≤ r sao cho (s1 sj−1)αj < 0.

Mặt khác αj > 0 nên tồn tại i < j sao cho si(si+1 sj−1)αj < 0 trongkhi (si+1 sj−1)αj > 0 Vậy nghiệm dương (si+1 sj−1)αj được gửithành nghiệm âm bởi si Theo Mệnh đề 1.6.1 ta có (si+1 sj−1)αj = αi.(ii) Đặt α = αj, w0 = si+1 sj−1 Theo (i) ta có w0α = αi Theo Mệnh

đề 1.4.1 ta có w0sαw0−1 = sw0 α = si nghĩa là

(si+1 sj−1)sj(sj−1 si+1) = si (1.9)Nhân vào bên phải cả hai vế của 1.9 với tích si+1 sj−1 ta được đồngnhất thức

si+1si+2 sj = sisi+1 sj−1 (1.10)(iii) Nhân vào bên phải cả hai vế của 1.10 với tích sj ta được đồng nhấtthức

si+1si+2 sj−1 = sisi+1 sj.Thay vào biểu thức ban đầu của w ta được

w = s1 .sbi .sbj sr

Hệ quả 1.9.1 Với mỗi w ∈ W ta có n(w) = l(w)

Chứng minh Từ Hệ quả 1.8.2 ta có n(w) ≤ l(w) Giả sử n(w) <l(w) = r Với w ∈ W ta có w = s1 sr Áp dụng phần (iii) của định

lý 1.9.1, ta viết lại sự biểu diễn w thành tích của r − 2 phép phản xạđơn Điều này trái với giả thiết l(w) = r Do đó điều giả sử sai Vậyn(w) = l(w)

Nhận xét 1.9.1 l(w) bằng số các nghiệm dương được gửi lên nghiệm

âm bởi w

Ví dụ 1.9.1 Xét W = Sn = W (An−1) và Φ = {εi− εj; i 6= j; i, j = 1, n}trong đó εi, i = 1, n là cơ sở chính tắc của Rn = V.

Như vậy l(w) bằng số các nghịch thế của hoán vị w

Khẳng định (iii) của định lý 1.9.1 còn được gọi là điều kiện xóa.Nhận xét 1.9.2 Cho trước một biểu diễn không thu gọn w = s1 sr.Khi đó tồn tại chỉ số i, j thỏa mãn 1 ≤ i < j ≤ r sao cho w =

s1 .sbi .sbj sr Vậy bằng cách bỏ đi các cặp thừa số liên tiếp nhưvậy ta sẽ thu được một biểu diễn thu gọn của w

Mệnh đề 1.9.1 Cho biểu diễn thu gọn w = s1 sr(si = sαi), xét rnghiệm

βi := srsr−1 si+1(αi) với i = 1, r − 1 và βr := αr

Khi đó các βi rời nhau và Π(w) = {β1, , βr}

Chứng minh Với mọi β ∈ Π(w) Ta có β > 0 mà wβ < 0 nên tồntại chỉ số i ≤ r sao cho (si+1 sr)β > 0 trong khi si(si+1 sr)β < 0(nếu i = r thì si+1 sr được hiểu như phần tử 1) Vậy nghiệm dương(si+1 sr)β được gửi thành một nghiệm âm bởi si Theo Mệnh đề 1.6.1

ta có (si+1 sr)β = αi Do đó β = βi nên Π(w) ⊂ {β1, , βr} VìCard Π(w) = r nên các βi rời nhau và Π(w) = {β1, , βr}

b Điều kiện tráo

Định lí 1.9.2 Cho w = s1 sr (không nhất thiết thu gọn) với (si, i =

1, r là các phép phản xạ đơn) Giả sử l(ws) < l(w) với một phép phản

xạ đơn s = sα nào đó Khi đó tồn tại chỉ số 1 ≤ i ≤ r sao cho ws =

s1 .sbi sr và w = s1 .sbi srs Nói riêng w có một biểu diễn thugọn kết thúc bởi nhân tử s khi và chỉ khi l(ws) < l(w)

Chứng minh Từ l(ws) < l(w) ta có wα < 0 (theo Hệ quả 1.9.1 và

bổ đề 1.8.1) Lặp lại chứng minh của Định lí 1.9.1 cho biểu diễn ws =

s1 srs và coi j = r + 1 như trong phần (i) thì kết luận của phần (iii)trở thành

ws = s1 .sbi sr

Từ đó ta có biểu diễn w = s1 .sbi srs

Định lý 1.6.1 cho thấy rằng W tác động lên tập các hệ nghiệm dương(cũng như các hệ nghiệm đơn) Kết quả sau chỉ ra rằng tác động này làmột truyền dẫn đơn

Định lí 1.10.1 Cho ∆ là một hệ nghiệm đơn, Π là hệ nghiệm dươngtương ứng và w ∈ W Các điều kiện sau là tương đương

Nhận xét 1.10.1 (i) Cố định một hệ nghiệm dương Π (đối với quan

hệ <1) Theo định nghĩa thì −Π cũng là một hệ nghiệm dương (đối vớiquan hệ <2), trong đó λ <2 µ ⇔ µ <1 λ Theo tính truyền dẫn, tồntại w0 ∈ W để gửi Π đến −Π Ta có l(w0) = n(w0) = Card(Π) Vậy

w0 có độ dài lớn nhất có thể Hơn nữa do tác động là truyền dẫn đơnnên phần tử w0 như vậy là duy nhất Từ đó suy ra với mọi w 6= w0 thìl(w) < l(w0) Theo tính duy nhất của w0 ta có w−10 = w0

(ii) Sử dụng Bổ đề 1.8.1 ta có w0 là phần tử duy nhất của W thỏamãn tinh chất l(w0sα) < l(w0) với mọi α ∈ ∆

(iii) Cho trước một biểu diễn thu gọn w = s1 sr chúng ta có thểnhân lần lượt vào bên phải bởi một phép phản xạ đơn sao cho độ dàităng lên 1, cho tới khi điều này không thể thực hiện được nữa Phần tửcuối cùng nhận được phải là w0 (theo (i)) Vậy w0 = ww0 và l(w0) =l(w) + l(w0) với w ∈ W nào đó Áp dụng tính chất l(w) = l(w−1) ta cóthể mô tả lại kết luận trên như sau

l(w0w) = l(w0) − l(w) với mọi w ∈ W

Định lí 1.11.1 Cố định một hệ nghiệm đơn ∆ trong Π Với mọi α, β ∈

∆, gọi m(α, β) là cấp của sαsβ Khi đó W được cho bởi tập sinh S :={sα, α ∈ ∆} với các quan hệ cơ bản (sαsβ)m(α,β) = 1 và s2α = 1

Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng một quan hệ

s1 sr = 1(si = sαivới mọi αi ∈ ∆) (1.11)bất kỳ trong W đều được sinh ra từ các quan hệ cơ bản Do det(si) = −1nên r phải chẵn Ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo r.+ Nếu r = 2, xét quan hệ s1s2 = 1 dẫn đến s1 = s−12 = s2 Do đó

(1.11) trở thành s21 = 1, là một quan hệ cơ bản (quan hệ này từ nay trở

đi sẽ được sử dụng ngầm bất cứ khi nào cần viết lại biểu thức) Sử dụngquan hệ này ta viết lại (1.11) thành

si+1 srs1 si = 1 (1.12)+ Giả sử r = 2q, q > 1 Áp dụng điều kiện xóa ở định lý 1.9.1 chophần tử

si+1 sj bởi si sj−1 trong (1.11) ta được

s1 si(si sj−1)sj+1 sr = s1 .sbi .sbj sr = 1 (1.15)+ Trường hợp 2: (1.14) chứa r phép phản xạ đơn Khi đó i = 1, j = q + 1

và (1.13) trở thành

s2 sq+1 = s1 sq (1.16)Thay i = 1, j = q + 1 vào (1.12) và sử dụng quan hệ ban đầu thu được

từ (1.11) suy ra

s2 srs1 = 1 (1.17)

Lặp lại các bước chứng minh trên ta được

Ta có điều phải chứng minh

Một nhóm bất kỳ (hữu hạn hoặc vô hạn) có biểu diễn tương tự nhưvậy được gọi là nhóm Coxeter Cặp (W, S) thì được gọi là hệ Coxeter.Quan hệ m(α, α) = 1 phải thỏa mãn với mọi α Tuy nhiên quan hệ(sαsβ)m(α,β) = 1 có thể được bỏ qua để cho phép tích sαsβ có cấp vô hạn.Chúng ta sẽ đi nghiên cứu chi tiết các nhóm này ở chương sau

nhỏ nhất của các lớp kề

Phần tiếp theo của chương này ta sẽ đi quan sát tỉ mỉ hơn về cấutrúc nhóm con của W , trong sự liên kết với các đặc tính hình học khác

nhau dưới tác động của W trên V Cụ thể, ta sẽ quan sát tỉ mỉ hơn vềcác nhóm con của W sinh bởi các tập của các phép phản xạ đơn.

Cố định một hệ nghiệm đơn ∆ và hệ nghiệm dương Π tương ứng Vớimỗi I ⊂ S := {sα|α ∈ ∆} ta đặt:

WI := hsα|sα ∈ Ii,

∆I := {α ∈ ∆|sα ∈ I},

ΦI := Φ ∩ R∆I, (R∆I = VI)

Ta có W∅ = {1}, WS = W Thay ∆ bởi hệ nghiệm đơn w∆ sẽ khiến cho

WI trở thành wWIw−1 Tất cả nhóm con của W thu được bằng cáchtrên được gọi là nhóm con parabolic

Ví dụ 1.12.1 Xét hệ nghiệm A2 như trong ví dụ 1.5.3 Ta có W ∼= S3.Chọn ∆ = {α, β}, I = {sα} Khi đó

∆I = {α}, WI = {1, sα}, VI = Rα

ΦI = Φ ∩ R∆I = {α, −α}

= hệ các nghiệm trong R(= Rα)

Mệnh đề 1.12.1 Với các kí hiệu như trên ta có:

(a) ΦI là một hệ nghiệm trong V (tương ứng VI), với hệ đơn ∆I vànhóm phản xạ tương ứng WI (tương ứng WI hạn chế trên VI).(b) Coi WI như một nhóm phản xạ với hàm độ dài lI liên kết với hệnghiệm đơn ∆I Ta có l = lI trên WI

(c) Đặt WI := {w ∈ W |l(ws) > l(w), ∀s ∈ I} Với mọi w ∈ W tồn tạiduy nhất u ∈ WI, v ∈ WI sao cho w = uv Độ dài của chúng thỏamãn l(w) = l(u) + l(v) Khi đó u là phần tử duy nhất có độ dài nhỏnhất trong lớp kề wWI

Chứng minh (a) Rõ ràng WI làm ổn định VI và điều kiện (R1), (R2)trong định nghĩa 1.4.1 thỏa mãn bởi ΦI (xem như một tập con của Vhoặc VI) Cũng rõ ràng ∆I là một hệ nghiệm đơn Vì thế nhóm WI (tácđộng trên V hoặc VI) là nhóm phản xạ tương ứng.

(b) Theo Hệ quả 1.9.1 ta có l(ω) là số các nghiệm dương gửi đến cácnghiệm âm bởi w, tương tự như vậy với lI (các nghiệm dương tương ứngvới Φ+∩ ΦI) Giả sử α ∈ Φ+\ΦI Khi đó trong biểu diễn của α chứa một

số nghiệm đơn γ /∈ ∆I Do vậy với mọi β ∈ ∆I biểu diễn của sβα chứa

γ với hệ số tương ứng dương Do đó sβα > 0 Từ đó với mọi w ∈ WI ta

có wα > 0 Vậy các nghiệm trong Φ+ trở thành các nghiệm âm dưới tácđộng của w ∈ WI trùng với các nghiệm trong Φ+I trở thành các nghiệm

âm dưới tác động của w Điều này nghĩa là l(w) = lI(w)

(c) Giả sử w ∈ W Chọn một phần tử đại diện u ∈ wWI có độ dài ngắnnhất có thể và ta biểu diễn w = uv với v ∈ WI Vì us ∈ wWI với mọi

s ∈ I nên rõ ràng u ∈ WI Xét các biểu diễn thu gọn: u = s1 sq (si ∈S) và v = s01 s0r (theo (b) ta có thể giả sử s0i ∈ I) Khi đó ta cól(w) ≤ l(u) + l(v) = q + r Nếu bất đẳng thức là chặt thì theo 1.9.1 vàđiều kiện xóa ta có thể bỏ đi nhân tử si hoặc s0i trong u, v mà không làmthay đổi w Nhưng việc loại bỏ nhân tử trong u sẽ tạo ra phần tử đạidiện trong wWI có độ dài nhỏ hơn u (trái với cách chọn u ban đầu) Nhưvậy, ta loại bỏ hai nhân tử s0i, s0j trong biểu diễn của v mà không làmthay đổi v (trái với tính thu gọn của v) Do đó, ta có l(w) = l(u) + l(v)

Ta có w thuộc lớp wWI Chúng ta cần chỉ ra rằng mỗi phần tử củalớp này đều có thể viết dưới dạng uv với l(w) = l(u) + l(v), trong đó cốđịnh u là phần tử đại diện nhỏ nhất của lớp kề wWI (tức u ∈ WI) Tathấy u là duy nhất Thật vậy, giả sử tồn tại u0 6= u, u0 ∈ WI nằm trong

wWI Ta có biểu diễn u0 = uv với l(v) = r > 0, v = s1 sr (si ∈ I).Khi đó ta có u0sr = s1 sr−1, suy ra l(u0sr) < l(u0) (mâu thuẫn với