Những bài toán tích phân, và áp dụng tính diện tích, thể tích và các bài toán liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNVŨ THỊ THÚY NHỮNG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2016... TRƯỜNG ĐẠI H

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ THÚY

NHỮNG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

VÀ ÁP DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ THÚY

NHỮNG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

VÀ ÁP DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI - 2016

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn - người đã tận tình hướng dẫn để

em có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia

Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2016

Học viên

Vũ Thị Thúy

Mục lục

1.1 Định nghĩa và tính chất 3

1.1.1 Nguyên hàm 3

1.1.2 Tích phân 3

1.2 Các phương pháp tính nguyên hàm và tích phân 4

1.2.1 Sử dụng các nguyên hàm cơ bản 4

1.2.2 Phương pháp đổi biến số 7

1.2.3 Tích phân từng phần 18

Chương 2 Diện tích hình phẳng và thể tích vật thể 29 2.1 Diện tích hình phẳng 29

2.1.1 Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành 29 2.1.2 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 41

2.2 Thể tích của vật thể tròn xoay 45

2.2.1 Vật thể được tạo ra bằng cách quay một hình phẳng quanh trục hoành 45

2.2.2 Vật thể được tạo ra bằng cách quay một hình phẳng quanh trục tung 48

2.2.3 Khối cầu, khối trụ, khối nón, khối nón cụt 50

Chương 3 Các bài toán liên quan 53 3.1 Một số ứng dụng của tích phân trong sinh học và kinh tế 53

3.1.1 Bài toán cơ chế hoạt động của trái tim con người 53

3.1.2 Bài toán về sinh lý tim mạch 54

3.1.3 Thặng dư tiêu dùng 55

3.2 Một số ứng dụng của tích phân trong vật lý 573.2.1 Công 573.2.2 Lực thủy tĩnh 59

Lời mở đầu

Bài toán tích phân, áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tíchvật thể tròn xoay trong chương trình Giải Tích 12 là một trong những dạngtoán cơ bản, thực tế và quen thuộc Tuy nhiên các em học sinh thường chưa

có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những lời giảisai, chưa chính xác Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sailầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhấtquán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật toán chung cũng nhưtránh được những sai lầm khi giải các bài toán có liên quan Khắc phục đượckhó khăn và sửa chữa được các sai lầm đó là rất cần thiết, giúp cho quá trìnhgiải toán được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao Đồng thời phát triển tưduy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các mônhọc khác Xuất phát từ thực tế trên, tôi tổng hợp một một số phương pháptính tích phân cơ bản, áp dụng tính diện tích hình phẳng và thể tích vật trònxoay, và một số bài toán liên quan

Với sáng kiến“Phân loại các bài tập tích phân, ứng dụng tích phân - ChươngIII - Giải tích 12 nâng cao” tôi chủ yếu đi vào khai thác một số bài toán vềứng dụng của tính phân để diện tích và thể tích trong chương trình Giải tíchTHPT lớp 12 - nâng cao và các bài toán trong các đề thi đại học trong nhữngnăm gần đây nhằm tìm ra hướng giải quyết cho bài toán một cách chính xác,lôgíc và khoa học Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm xây dựng, hệ thốnglại các dạng tích phân thường gặp, áp dụng tính diện tích, thể tích cho họcsinh cũng như đồng nghiệp giáo viên có cái nhìn toàn diện hơn về ứng dụngcủa tích phân trong hình học tránh nhầm lẫn và nhanh chóng giải quyết bàitoán Trên cơ sở đó học sinh có thể tự tìm tòi phát hiện các vướng mắc, cáccách giải hay trong nhiều bài toán khác

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

Chương 1: Những bài toán thường gặp

Chương 2: Diện tích hình phẳng và thể tích vật thể

Chương 3: Các bài toán liên quan.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mongnhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2016

Học viên

Vũ Thị Thúy

Chương 1

Những bài toán thường gặp

1.1.1 Nguyên hàm

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f (x) xác định trên K Hàm số F (x) được gọi

là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F0(x) = f (x) với mọi x thuộc K

f (x)dx = F (x)

b

a = F (b) − F (a)

Tính chất 1.1.5

Việc tính nguyên hàm của một hàm số là không hề đơn giản chút nào Dovậy mà ở đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đường lối, được dẫn dắt từđạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hai hàm Đó là phương pháp sử dụngcác nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính Tích phântừng phần.

√ 2

I =

e3x+13



1

−1 3

Z 1 0

(x + 1 − 1)2(x + 1)3 dx

Z 1 0

h(x + 1)2(x + 1)3 − 2 x + 1

(x + 1)3 +

1(x + 1)3

i

dx

=

Z 1 0



dx

=

Z 1 0

d (x + 1)

x + 1 − 2

Z 1 0

d (x + 1)(x + 1)2 +

Z 1 0

d (x + 1)(x + 1)3

1

0 − 12

1(x + 1)2

1

0 = ln 2 − 5

8.b) Áp dụng nguyên hàm của các hàm sơ cấp ta có

Z 3 1

h x − 1(1 +√

x) +

ln (1 +√

x)(1 +√

x)

1

2√x

i

dx

=

Z 3 1

h √

x − 1
+ ln (1 +

√x)(1 +√

x) 2√x

i

dx

=

Z 3 1

√

x − 1
dx +

Z 3 1

=

h23

1

0 = 1

8.

Cách 2: Ta có

x(x + 1)3 =

(x + 1) − 1(x + 1)3 =

1(x + 1)2 − 1

(x + 1)3.

Do đó

I =

Z 1 0

h 1(x + 1)2 − 1

1(x + 1)2

i

Lời giải Đặt x − 1 = t, suy ra x = t + 1 và khi x = −1 thì t = −2 và khi

1

t2



x2(x − 1)2(x + 2)dx.

Lời giải Đặt x − 1 = t suy ra x = t + 1, dx = dt và khi x = 2 thì t = 1; x = 3thì t = 2 Do đó

I =

Z 3

2

x2(x − 1)2(x + 2)dx =

Z 2 1

(t + 1)2

t2(t + 3)dt =

Z 2 1

= (A + C) t

2+ (3A + B) t + 3B

t2(t + 3) .Đồng nhất hệ số hai tử số

t + 3

t2 +

49

1

t + 3.

Do đó

Z 2 1

t2 + 2t + 1

t2(t + 3) dt =

Z 2 1

19

2 1

t2 + 2t + 1

t2(t + 3) =

13

3t2 + 6t + 3

t3+ 3t2



= 13

h3t2+ 6t

t3 + 3t2



+ 19

t2 − t2 − 9

t2(t + 3)

i

= 13

3t2 + 6t

t3 + 3t2



+ 19

h3t2+ 6t

t3 + 3t2



+ 19

t + 3t

− 3t



Ví dụ 1.2.15 Tính tích phân sau

I =

Z 3 2

1x(x2 − 1)dxLời giải Cách 1: Ta có

f (x) = 1

x(x2− 1) =

1x(x − 1)(x + 1)

 1

x − 1



+ 12

 1

x + 1



.Vậy

I =

Z 3 2

1

x (x2 − 1)dx =

Z 3 2

12

3 2

2xdx

x2 − 1 −

Z 3 2

= 5

2ln 2 −

3

2ln 3.

u · dv = uv ... Dovậy mà đưa phương pháp có tính đường lối, dẫn dắt từđạo hàm hàm hợp đạo hàm hai hàm Đó phương pháp sử dụngcác nguyên hàm bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính Tích phântừng phần.