Điểm M có hình chiếu M' cố định trên đường thẳng cố định d ⇒ Quỹ tích M là đường thẳng vuông góc d tại M'.. Điểm M cách đều hai điểm cố định A, B ⇒ Quỹ tích các điểm M là đường trung trự
Trang 1Vấn đề 4 QUỸ TÍCH ĐIỂM Phần I QUỸ TÍCH VÀ ĐƯỜNG THẲNG:
I Các dạng toán:
1 Điểm M cách đường thẳng d cố định một khoảng h không đổi ⇒ Quỹ tích M là hai đường thẳng song song và cách d một khoảng h.
Ví dụ 1 Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính CD Từ một điểm A di động trên tia
đối của tia DC, kẻ một tia AI là tiếp tuyến của (O) Trên tia AI lấy điểm M sao cho AM = AO Tìm quỹ tích các điểm M
Lưu ý: Nếu bài toán có thêm ràng buộc, thì quỹ tích M có thể chỉ là một trong hai
đường thẳng kể trên.
Ví dụ 2 Hai điểm D, E di động trên hai cạnh AB, AC của ∆ABC sao cho AD = CE
Tìm quỹ tích trung điểm M của DE
2 Điểm M có hình chiếu M' cố định trên đường thẳng cố định d ⇒ Quỹ tích M là đường thẳng vuông góc d tại M'.
Ví dụ 3 Cho một điểm P cố định trong một đường tròn (O) cố định Gọi Q là một
điểm di động trên (O) Một đường thẳng qua O vuông góc với PQ cắt tiếp tuyến tại Q của (O) ở điểm M Tìm quỹ tích các điểm M
3 Điểm M cách đều hai điểm cố định A, B ⇒ Quỹ tích các điểm M là đường trung trực của đoạn AB.
Ví dụ 4 Cho hình chữ nhật ABCD Một góc vuông xAy quay quanh A có hai cạnh
cắt CB, CD lần lượt tại E, F Dựng hình chữ nhật AENF Tìm quỹ tích tâm M của hình chữ nhật này
II Bài tập:
Bài 1 Cho đường thẳng d cố định và hai điểm cố định A, B trên đường thẳng này
Hai đường tròn (O1; R1), (O2; R2) thay đổi nhưng luôn có tỉ số 1
2
R
R không đổi Đường tròn (O1) luôn tiếp xúc d tại A; đường tròn (O2) luôn tiếp xúc d tại B và chúng cùng phía đối với đường thẳng d Tìm quỹ tích các giao điểm của hai tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn đó
Bài 2 Cho ba đường thẳng song song d1, d2, d3 cố định; ∆ABC cố định và ∆A'B'C' di
động sao cho A, A' ∈ d1; B, B' ∈ d2; C, C' ∈ d3 và ba đoạn AA', BB', CC' song song cùng chiều Tìm quỹ tích trọng tâm M của ∆A'B'C'
Trang 2Bài 3 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Dựng hai đường tròn bán kính
bằng nhau: một đường qua A, B và đường tròn kia qua B, C Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai M của hai đường tròn ấy
Phần II QUỸ TÍCH VÀ ĐƯỜNG TRÒN
I Các dạng toán:
1 Điểm M cách điểm cố định O một khoảng không đổi R ⇒ Quỹ tích là (O; R).
Ví dụ 5 Cho đường tròn (O; R), A là điểm cố định nằm ngoài (O), B là điểm di động
trên (O) và M là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho MA 1
MB = 2 Tìm quỹ tích các điểm M
2 Điểm M nhìn đoạn cố định AB dưới góc không đổi α ⇒ Quỹ tích là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.
Ví dụ 6 Cho đường tròn cố định (O; R) và dây cố định BC; A là điểm chạy trên cung
BC lớn Tìm quỹ tích các tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ABC
* Đặc biệt: Nếu α = 90 0 thì quỹ tích là đường tròn đường kính AB.
Ví dụ 7 Cho đường tròn cố định (O; R) và dây cố định AB; M là điểm chạy trên
cung lớn AB Gọi H là hình chiếu của A trên tia phân giác Mx của góc AMB Tìm quỹ tích các điểm H
3 Phương pháp tứ giác nội tiếp:
Để tìm quỹ tích các điểm M, ta có thể chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp (ở
đó A, B, C cố định) ⇒ Quỹ tích M là đường tròn (ABC)
Ví dụ 8 Cho ∆ABC đều Tìm quỹ tích các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A bằng tổng các khoảng cách từ M đến B và C
4 Điểm M chia đoạn cố định AB theo tỉ số k không đổi (tức là: MA k
MB = ; k ≠ 1) ⇒
Quỹ tích là đường tròn đường kính CD, với C, D là hai điểm chia trong và chia ngoài đoạn AB theo cùng tỉ số k (đường tròn Apollonius).
Ví dụ 9 Cho ba điểm A, C, B theo thứ tự đó trên một đường thẳng Tìm quỹ tích các
điểm M nhìn các đoạn CA, CB dưới những góc bằng nhau Từ đó suy ra quỹ tích các trọng tâm của ∆AMB
II Bài tập:
Bài 4 Cho điểm M chạy trên đường tròn cố định (O; R) A là điểm cố định sao cho
OA = 2R Kẻ phân giác OD của ∆OAM Tìm quỹ tích các điểm D
Bài 5 Cho ∆ABC cân tại A ( µA 2= α) nội tiếp đường tròn (O; R) cố định Một điểm
M di động trên cung AB không chứa điểm C Trên tia CM lấy điểm N sao cho CN =
AM Tìm quỹ tích các điểm N
Bài 6 Cho điểm A cố định trên đường tròn cố định (O; R), B là điểm di động trên
(O) Dựng hình bình hành OACB Tìm tập hợp các trọng tâm G của ∆ABC
Bài 7 Cho ∆ABC cân tại A cố định; đường thẳng d quay quanh A không cắt cạnh
BC Trên d lấy điểm M sao cho tổng khảng cách từ M đến B và C nhỏ nhất Tìm quỹ tích các điểm M
Trang 3Bài 8 Cho đoạn thẳng cố định AB = 6 cm M là điểm chuyển động sao cho MA 1
MB =2 Tìm quỹ tích các điểm M