Boi duong 8

Định nghĩa nghịêm của phơng trình: Nghịêm của phơng trình là gía trị của biến mà tại đó gía trị của hai vế bằng nhau.. Số nghiệm của phơng trình: Một phơng trình có thể có một nghịêm, ha

tr êng THCS lª th¸nh t«ng

1 Định nghĩa phơng trình một ẩn: Là phơng trình có dạng A(x) = B(x) trong

đó vế trái Ax) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x

2 Định nghĩa nghịêm của phơng trình: Nghịêm của phơng trình là gía trị của

biến mà tại đó gía trị của hai vế bằng nhau

Chú ý: Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phơng trình

Ph-ơng trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó

- Nghịêm kép: Hai nghiệm bằng nhau gọi là nghiệm kép.

- Nghiệm bội k: k nghiệm bằng nhau gọi là nghiệm bội k.

Số nghiệm của phơng trình: Một phơng trình có thể có một nghịêm, hai nghiệm,

ba nghiệm,…nhng cũng có thể không có nghiệm nào Phơng trình không cónghiệm nào gọi là phơng trình vô nghiệm

- Tập hợp tất cả các nghiệm của một phơng trình gọi là tập nghiệm của phơngtrình đó và thờng kí hiệu bởi S

3 Giải phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phơng

a Qui tắc chuyển vế: Trong một phơng trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ

vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó

b Qui tắc nhân với một số(qui tắc nhân): Trong một phơng trình, ta có thể

nhân cả hai vế với cùng một số khác 0

.Cũng có thể phát biểu qui tắc nhân nh sau: Trong một phơng trình, ta có thểchia cả hai vế với cùng một số khác 0

7 Định nghĩa phơng trình hệ quả: phơng trình (2) gọi là hệ quả của phơng

trình (1) khi mọi nghiệm của phơng trình (1) đều là nghiệm của phơng trình (2)

8 Định nghĩa phép biến đổi hệ quả : là phép biến đổi từ một phơng trình

thành một phơng trình hệ quả của nó

9 Các phép biến đổi hệ quả:

a Nhân cả hai vế của phơng trình với cùng một đa thức của ẩn ta đợc phơng

trình hệ quả của phơng trình đã cho

b Bình phơng (hay nâng cả hai vế lên luỹ thừa bậc chẵn) ta đợc phơng trình hệquả của phơng trình đã cho

Không có gía trị nào của x để gía trị của hai vế trong mỗi phơng trình bằng nhau

Chứng minh các phơng trình sau có vô số nghiệm

1 (x + 2) 2 = x (x + 4) + 4

2 y 2 - 2y = (y - 1) 2 - 1

H ớng dẫn:

Hai vÕ cã gÝa trÞ b»ng nhau t¹i mäi gÝa trÞ cña biÕn.

(1) ⇔ x = 90

*Giải phơng trình: a 2 x + b = a (x + b) (1)

H ớng dẫn:

a) (2) ⇔x = 1 nên để hai phơng trình tơng đơng thì phơng trình (1) phảicónghiệm duy nhất là x = 1

Để x = 1 là nghiệm của phơng trình (1) thì a = 3

Khi a = 3 thì (1)⇔(3 + x) (3 + 1) + (x - 3) (3 - 1) = 12

phơng trình này có nghiệm duy nhất

Vậy, hai phơng trình tơng đơng khi và chỉ khi a = 3

• Nếu + + ≠ 0 ( hay ab + ac + bc ≠ 0) thì phơng trình (1) có một nghiệm x =

• Nếu + + = 0 (hay a + b + c = 0) thì phơng trình (1) nghịêm đúng với mọi x

• Nếu + + ≠ 0 (hay a + b + c ≠ 0) thì phơng trình (1) có một nghiệm là x = a + b + c

Với điều kiện a; b; c đôi một không đối nhau ta có:

(1) ⇔ (- 1) + (- 1) + (- 1)

= 3 -

- C¸ch 1: §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch råi gi¶i:

A(x) B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0

- C¸ch 2: §Æt Èn phô

- C¸ch 3: NhËn xÐt gÝa trÞ hai vÕ

B BµI TËP Gi¶i ph¬ng tr×nh: x (3x - 7) = (1)

H íng dÉn:

(1) ⇔(x2 - 4)2 + 16x2 = 16x2 + 8x + 1

S = {1; 3}

*Giải phơng trình: (y 2 - 1993) 2 - 7972y - 1 = 0 (1)

H ớng dẫn:

Thêm 4x2 vào hai vế ta đợc (x2 + 2)2 = (2x + 6)2

Phơng trình vô nghiệm

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x 2 - y) 2 = 4xy + 1 (1)

H íng dÉn:

(1) ⇔ x3 - x2 + 6x2 - 6x + 9x - 9 = 0

(x - 1) (x + 1) (x - 2) = 0

S = {± 1; 2}

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3 + x 2 + x + 1 = 0 (1)

H íng dÉn:

H íng dÉn:

(1) ⇔ (x + 7(2x + 3) (2x - 3) = 0

S = {- 7; - 1,5; 1,5}

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: 8x 3 = (4x + 1) 3 - (2x + 1) 3 (1)

H íng dÉn:

§Æt x2 = y ta cã (1) ⇔y2 - 7y + 12 = 0

⇔y = 3 hoÆc y = 4

S = {± 2; ± }

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 4 - 10x 2 + 17 = 0 (1)

H íng dÉn:

* Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2 + 26y 2 - 10xy + 14x - 76y + 59 = 0 (1)

H íng dÉn:

C¸ch 1: Chia hai vÕ cho x2 ≠ 0 §Æt3x + 4

x= y(1) ⇔y2 - 5y + 4 = 0 ⇔ y = 1 hoÆc y = 4

*Giải phơng trình: x 3 + 3ax 2 + 3 (a 2 - bc)x + a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = 0 (1)

H ớng dẫn:

1 Chú ý khi giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu: ĐKXĐ

2 ĐKXĐ của phơng trình là gía trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phơng trình

Bớc 4: Kết luận: Trong các gía trị của ẩn tìm đợc ở bớc 3, các gía trị thoả mãn

ĐKXĐ chính là các nghiệm của phơng trình đã cho

H íng dÉn:

§KX§: x ∈ R

MTC: x4 + 4 = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)

Giải và biện luận phơng trình:

Phơng trình (2) nghiệm đúng với mọi x

Phơng trình (1) nghiệm đúng với mọi x ≠ ± 3

Nếu a ≠ - 3 thì (2) ⇔ x =

gía trị này là nghiệm của (1) khi và chỉ khi

3 2 3 3 2

a

a a

ĐKXĐ: x ≠ 4m; x ≠m; x ≠4

Qui đồng, khử mẫu ta đợc (11m + 4) x = 4m (16 - m) (2)

Nếu m = thì phơng trình (2) vô nghiệm, từ đó phơng trình (1) vô nghiệm Nếu m ≠ thì (2) ⇔ x =

gía trị này là nghiệm của (1) khi và chỉ khi

m m

m m

m m m

Qui đồng, khử mẫu ta đợc 2ax = 3a + 2

Để phơng trình (1) có nghiệm nguyên duy nhất thì a ≠ 0

2 Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất:

Nhị thức bậc nhất ax + b (a ≠ 0) cùng dấu với a khi x > - b/a

Nhị thức bậc nhất ax + b (a ≠ 0) khác dấu với a khi x < - b/a

3 Tính chất gía trị tuyệt đối:

A B+ ≤ A+ B Dấu "=" xảy ra khi AB ≥ 0.

A− B ≤ −A B Dấu "=" xảy ra khi AB ≥ 0.

A ≥ với mọi A Dấu "=" xảy ra khi A = 0.

A ≥ A với mọi A Dấu "=" xảy ra khi A ≥ 0.

A ≥- A với mọi A Dấu "=" xảy ra khi A ≤ 0.

4.Cách giải phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối:

b bài tập

C¸ch 1: (1) ⇔ 2 3 1

2 3 1

x x

 + − =

 + − = −

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+ = 1 x x( + 1) (1)

H íng dÉn:

XÐt c¸c kho¶ng: x < - a; - a≤ x < 2a; x ≥ 2a

Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x = - 7a; a

* Cách 2:

Do x ∈ Z nên cả hai số hạng ở vận tốc của phơng trình đã cho đều là các số tự nhiên,

⇒ một trong hai số hạng bằng 0, còn số hạng kia bằng 1.

B

ớc 1 : Lập phơng trình

Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

Biểu diễn các đại lợng cha biết qua ẩn và các đại lợng đã biết

Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng

B

ớc 2 : Giải phơng trình

Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình, nghiệm nào thoả mãn

điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kêt luận

Chú ý: * Chọn ẩn là khâu mấu chốt trong bớc lập phơng trình, bớc này có nhiều khó

khăn, cần thực hiện nh sau:

- Đọc đề, tóm tắt đề, những số liệu nào đã biết, những số liệu nào cha biết

- Có thể chọn bất kì số liệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, thông thờng căn cứvào điều đòi hỏi của bài toán để chọn ẩn, chú ý chọn ẩn để đợc cách giải đơn giảnnhất

- Chú ý xác định đơn vị, điều kiện cho ẩn

* Các số liệu biểu thị theo ẩn phải có đơn vị

* Để biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn và lập phơng trình cần nắm đợc cáccông thức

b bài tập

Cho số tự nhiên có 5 chữ số, nếu viết thêm chữ số 1 vào sau số đó ta đợc số A có

6 chữ số Nếu viết thêm chữ số 1 vào trớc số đó ta đợc số B có 6 chữ số Biết A = 3B Tìm số đã cho.

H

ớng dẫn:

Gọi số phải` tìm là x = abcde

Theo bài ra ta có: abcde1 = 3 1abcde

Vậy 5 số phải tìm là (- 2; - 1; 0; 1; 2) hoặc (10; 11; 12; 13; 14)

Tổng 4 số bằng 45 Nếu lấy số thứ nhất cộng với 2; số thứ hai trừ đi 2; số thứ ba nhân với 2; số thứ ba chia cho 2 thì đợc 4 kết quả bàng nhau Tìm 4 số ban đầu

Trả lời: Bốn số ban đầu là 8; 12; 5; 20

* Tìm một số biết rằng nếu bỏ đi chữ số đầu tiên thì số đó giảm 58 lần.

Trả lời: Không tồn tại số thoả mãn bài toán

* Tìm số có hai chữ số nếu chia số đó cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng băng nửa tổng các chữ số của nó.

( ) 26 ( ) 81 ( ) 144

Gọi quãng đờng còn lại là x km ĐK: x > 0

Vận tốc ngời đó đi trên 700 m = 0,7 km đoạn đờng đầu trong thời gian 12 phút = 0,2giờ là 0,7 : 0,2 = 3,5 (km/h)

Do đổi vận tốc, thời gian đi hết ít hơn thời gian dự định là 40 + 5 = 45 phút = h

Trả lời: Vận tốc trung bình của ô tô là 48 km/h

Một chuyển động từ A, qua B, đến C biết vận tốc chuyển động trên đoạn đờng

AB là 24 km/h, vận tốc chuyển động trên đoạn đờng BC là 32 km/h, vận tốc chuyển động trung bình trên đoạn AC là 27 km/h, hiệu độ dài hai đoạn đờng AB

và BC là 6 km Tính quãng đờng AB.

Trả lời: Quãng đờng AB là 30 km

Một ngời đi từ A đến B mất 2 giờ, khi trở về mất 3 giờ Ngày hôm sau ngời đó lại đi từ A đến B với vận tốc bằng vận tốc trung bình của hôm đầu, sau khi đi đ-

ợc 2 giờ còn cách B 4 km Tính quãng đờng AB

H ớng dẫn:

Gọi quãng đờng AB là x km(ĐK: x > 4) Ta có vận tốc trung bình của hôm đầu làkm/h.

Theo bài ra ta có phơng trình: 2 + 4 = x⇔ x = 20 (Thoả mãn ĐK của ẩn)

Trả lời: Quãng đờng AB là 20 km

Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Đi đợc 15 phút ngời đó gặp một ô tô đi từ B đến với vận tốc 50 km/h Ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở về B và gặp ngời đi xe máy cách B 20 km Tính quãng đờng AB.

H

ớng dẫn:

Gọi C; D lần lợt nơi hai xe gặp nhau lần 1 và lần 2 Gọi quãng đờng CD là x km (ĐK:

x > 0)

Quãng đờng AC dài 40 15/60 = 10 km

Thời gian xe máy đi từ C đến D là x/ 40 km/h A C D BTrong thời gian này, ô tô đI các quãng đờng CA, AD và nghỉ 15 phút

Theo bài ra ta có phơng trình: = +

⇔ x = 130 (Thoả mãn ĐK của ẩn)

Trả lời: Quãng đờng AB dài 10 + 130 + 20 = 160 km

Một xe đạp, một xe máy, một ô tô khởi hành lần lợt từ 6h, 7h, 8h với vận tốc lần lợt là 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h Hỏi đến mấy giờ thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

Gọi quãng đờng AB là x km (ĐK: x > 0)

⇒ A đI đợc 2x km, B đi đợc km Đến lúc gặp nhau, A đi đợc km, B đi đợc km trongthời gian lần lợt là h, h

Theo bài ra ta có phơng trình: - =

⇔ x = 2,4 (Thoả mãn ĐK của ẩn)

Trả lời: Khoảng cách giữa hai nhà là 2,4 km

Một chiếc mô tô và một chiếc ô tô đi từ A đến B, mô tô đi với vận tốc 62 km/h, ô tô đi với vận tốc 55 km/h Để hai xe cùng đến đích một lúc, ngời ta đã tính toán cho ô tô chạy trớc một thời gian, nhng vì lí do đặc biệt, khi chạy đợc 2/3 quãng đ- ờng AB xe ô tô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h Vì vậy khi còn cách B 124

km thì mô tô đã đuổi kịp ô tô Tính quãng đờng AB.

H

ớng dẫn:

Gọi quãng đờng AB là x km là x (ĐK: x > 124)

Thời gian mô tô dự định đi là h, thời gian ô tô dự định đI là h

Thời gian ô tô dự định đi trớc là - (h)

Theo bài ra ta có phơng trình: + - = +

⇔ x = 514 (Thoả mãn ĐK của ẩn)

Trả lời: Quãng đờng AB là 514 km

Một ô tô dự định đi quãng đờng AB dài 60 km trong một thời gian nhất định Ô tô đi nửa quãng đờng với vận tốc hơn vận tốc dự định 10 km/h và đI nửa quãng

đờng sau với vận tốc kém vận tốc dự định 6 km/h Biết ô tô đến đúng thời gian đã

định Tính thời gian ô tô dự định đi.

Thời gian ô tô dự định đi là 60 : 30 = 2 (h)

Trả lời: Thời gian ô tô dự định đi là 2 (h)

Cách 2: Gọi thời gian ô tô dự định đi là x (h)

Hai tay đua chạy với vận tốc không đổi trên vòng tròn của một đờng đua Khi

họ chạy ngợc chiều nhau thì cứ sau 10 giây họ lại gặp nhau một lần, khi họ chạy cùng chiều thì cứ sau 170 giây họ lại gặp nhau một lần Tính vận tốc của mỗi ng-

ời biết chiều dài đờng chạy là 170m

H

ớng dẫn:

Gọi vận tốc ngời chạy chậm là x (m/s) (ĐK: x > 0)

Trong 10 giây, ngời chạy chậm chạy đợc 10x (m), ngời chạy nhanh chạy đợc 170 10x (m) Vì nếu chạy cùng chiều thì cứ sau 10 giây họ lại gặp nhau mà 170 : 10 = 17nên theo bài ra ta có phơng trình: 17 (170 - 10x - 10x) = 170

H ớng dẫn:

Gọi thời gian cánh bèo trôi trên đoạn sông ấy là x h (ĐK: x > 5)

vận tốc dòng nớc hay vận tốc cánh bèo trôi là x /3 (km/h)

Theo bài ra ta có phơng trình: = ( - ): 2

⇔ x = 35 (Thoả mãn ĐK của ẩn)

Trả lời: Cánh bèo trôi trên đoạn sông ấy mất 35 giờ

* Một ngời đi từ A đến B rồi quay về A mất 3h 41' Đoạn dờng AB gồm một

đoạn lên dốc, một đoạn đờng bằng và một đoạn xuống dốc Biết AB = 9km, vận tốc lên dốc là 4km/h, vận tốc xuống dốc là 6km/h và vận tốc trên doạn đờng bằng

là 5km/h.

Hỏi đoạn đờng bằng dài bao nhiêu?

H ớng dẫn:

Gọi chiều dài đoạn đờng bằng là x km (ĐK: 0 < x < 9)

Ngời đó phải đi hai lần đoạn đờng 9 - x k m với vận tốc 5 km/h

Theo bài ra ta có phơng trình: ++ = 3

⇔ x = 4 (Thoả mãn ĐK của ẩn)

Trả lời: Đoạn đờng AB dài 4km

* Lúc đi dọc đờng ray tàu điện, một ngời để ý thấy cứ 12 phút thì có một chuyến tàu vợt qua và cứ trong 4 phút lại có một chuyến tàu gặp ngời đó theo chiều ng-

ợc lại Hỏi các chuyến tàu rời trạm đầu mối cách nhau bao lâu

H ớng dẫn:

Gỉa sử các chuyến tàu rời trạm đầu mối cách nhau x phút (ĐK: 4 < x < 12)

⇒ chuyến tàu đến lúc vợt qua A đã chạy trong 12 - x phút trên quãng đờng A đi trong

12 phút ⇒ tàu đi trong (12 - x) : 12 phút quãng đờng A đi trong 1 phút.

Chiều ngợc lại, trong x - 4 phút, tàu chạy quãng đờng A đi trong 4 phút

⇒ quãng đờng A đi trong 1 phút tàu sẽ đi trong (x - 4) : 4 phút

Theo bài ra ta có phơng trình: (12 - x) : 12 = (x - 4) : 4

⇔x = 6 (Thoả mãn ĐK của ẩn)

Trả lời: Các chuyến tàu rời trạm đầu mối cách nhau 6 phút

* Trên quãng đờng AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngợc lại, các

xe này chuyển đông với vận tốc nh nhau và không đổi trong thời gian chuyển

động.

Một du khách đi từ A đến B nhận thấy cứ lại có một xe buýt đi từ B về phía mình, Hỏi

cứ bao nhiêu phút lại có một xe buýt đi từ A vợt qua ngời đó.

Trả lời: Cứ bao nhiêu phút lại có một xe buýt đi từ A vợt qua ngời đó

* Có bao nhiêu vị trí trên mặt đồng hồ chạy đúng mà kim giờ và kim phút trùng nhau?

H

ớng dẫn:

Gọi số giờ kể từ 0 h đến lúc hai kim gặp nhau là x (ĐK: x > 0)

Trong thời gian đó, kim giờ quay đợc x vạch chia giờ, kim phút quay đợc 12x vạchchia giờ, kim phút chạy nhiều hơn kim giờ 12 vạch chia

Vậy, mỗi đội phải sửa 0,1 810 + 9 = 90m

Trả lời: Có 810 : 90 = 9 đội tham gia sửa đờng

Cách 2: Gọi số đội là x Do đoạn đờng đợc chia hết nên đội cuối nhận 10x (m), chiềudài đoạn đờng phải sửa là 10x2 (m)

ớng dẫn:

Gọi thời gian để vòi 1 chảy đầy bể là x (h) (ĐK: x > 3)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy đợc 1/x bể, cả 2 vòi chảy đợc 1 : = 3/10 bể , vòi 2 chảy đợc

-= bể

Theo bài ra ta có phơng trình: + 2 =

⇔ x = 5 (Thoả mãn ĐK của ẩn)

Trả lời: Thời gian để vòi 1, vòi 2 chảy đầy bể lần lợt là 5h, 10h

Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào một bể và một vòi nớc chảy ra ở lng chừng bể Khi bể cạn, nếu mở cả 2 vòi thì sau 2h 42' bể sẽ đầy nớc Còn nếu đóng vòi chảy

ra, mở vòi chảy vào thì sau 1h 30' bể sẽ đầy Biết vòi chảy vào chảy mạnh gấp

đôI vòi chảy ra.

a, Tính thời gian nớc chảy vào bể từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra.

b, Nếu bể cao 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra dến đáy bể là bao nhiêu?

H ớng dẫn:

a, Gọi thời gian cần tìm là x h (ĐK: x < 1,5)

Trong 1h, vòi chảy vào chảy đợc 1: 1,5 = 2/3 bể, vòi chảy ra chảy đợc 1/3 bể

Trong x giờ đầu, vòi 1 chảy đợc 2x/3 bể

Trong 2h 40' - x = 2,7 - x giờ còn lại, 2 vòi chảy đợc 1/3 (2,7 - x) bể

H ớng dẫn:

Gọi số chuyến ô tô lớn chở là x (ĐK: 0 < x < 14)

thì ô tô nhỏ chở 14 - x chuyến

Theo bài ra ta có phơng trình: + = 1

⇔ x = 4 (Thoả mãn ĐK của ẩn)

Trả lời: Xe lớn chở 4 chuyến, xe nhỏ chở 10 chuyến

* Có ba cánh đồng cỏ nh nhau, mọc đều nh nhau ảtên toàn bộ ba cánh đồng Biết rằng 9 con bò ăn hết số cỏ có sẵn và số cỏ mọc thêm trên cánh đồng 1 trong

2 tuần, 6 con bò ăn hết số cỏ có sẵn và số cỏ mọc thêm của cánh đồng 2 trong 4 tuần.

a, Tính xem trên mỗi cánh đồng, số cỏ mọc thêm trong một tuần bằng mấy phần số cỏ mọc sẵn lúc đầu.

b, Bao nhiêu con bò ăn hết số cỏ có sẵn và số cỏ mọc thêm trên cánh đồng 3 trong 6 tuần?

H ớng dẫn:

a, Giả sử mỗi tuần cỏ mọc thêm x lần số cỏ có sẵn

⇒ 9 con bò ăn trong 2 tuần hết 1 + 2x số cỏ có sẵn

⇒ 1 con bò ăn trong 1 tuần hết (1 + 2x) : (2.9) số cỏ có sẵn.(1)

6 con bò ăn trong 4 tuần hết 1 + 4x số cỏ có sẵn

⇒ 1 con bò ăn trong 1 tuần hết (1 + 4x) : (4.6) số cỏ có sẵn (2)

Từ (1) và (2) ta có phơng trình: =

⇔ x = 1/4 (Thoả mãn ĐK của ẩn)

b, Gọi số bò là x (con) (ĐK: x ∈ N; x < 6)

Ta có phơng trình: =

⇔ x = 5 ( Thoả mãn điều kiện của x)

Trả lời: a, Trên mỗi cánh đồng, số cỏ mọc thêm trong một tuần bằng 1/4 số cỏ mọcsẵn lúc đầu

b, 5 con bò ăn hết số cỏ có sẵn và số cỏ mọc thêm trên cánh đồng 3 trong 6 tuần

mục lục