TXĐ của phân thức một biến là tập hợp các giá trị của biến làm cho MS ≠ 0.. Số trị của một phân thức đại số có thể đợc xác định bởi gía trị các chữ có mặt trong phân thức đó khi đó việc
Trang 1Phân thức đại số
A Định nghĩa - tính chất- rút gọn phân thức đại số
Quy đồng mẫu nhiều phân thức
I Kiến thức cần nhớ:
1 Định nghĩa phân thức đại số: Phân thức đại số là biểu thức dạng
B A
( A, B: Đa thức; B ≠ 0)
A: Tử ( Tử thức, tử số); B: Mẫu (Mẫu thức, mẫu số)
Mỗi đa thức là một phân thức có mẫu số bằng 1
2 TXĐ của phân thức một biến là tập hợp các giá trị của biến làm cho MS ≠ 0
Biểu thức nguyên xác định ∀x
Tập xác định của B A((x x,,y y)) là {(x,y)\ B(x,y) ≠ 0}
3 Định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức A
B và C
Dgọi là bằng nhau nếu A.D = B.C
4 B A = 0 ⇔ ≠B A=00
4 Số trị của một phân thức đại số có thể đợc xác định bởi gía trị các chữ có mặt trong phân thức đó (khi đó việc tính số của biểu thức đợc đa về việc thực hiện các phép tính về số hữu tỉ), cũng có thể đợc xác định bởi hệ thức giữa các chữ có mặt trong biểu thức( trong trờng hợp này ta sử dụng phép biến đổi đồng nhất đa về trờng hợp 1.)Chú ý:
- Cần rút gọn phân thức (nếu có thể) trớc khi tính số trị của nó
- Khi tính số trị của PTĐS biết hệ thức liên hệ giữa các chữ có mặt phân thức ấy, ta có thể biến đổi thành phân thức mới chỉ chứa một chữ bằng phơng pháp thế
- Để so sánh số trị của PTĐS hoặc tìm GTNN, GTLN của một PTĐS ta thờng quy về việc so sánh các phân thức có cùng mẫu hoặc cùng tử
5 Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì đợc một phân thức mới bằng phân thức đã cho
- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì đợc một phân thức mới bằng phân thức đã cho
- định nghĩa : Rút gọn phân thức đại số là biến đổi phân thức ấy thành phân thức
mới đơn giản hơn và bằng phân thức đai số đã cho
- Qui tắc: Phân tích tử, mẫu thành nhân tử (nếu cần).
Trang 2Chia tử, mẫu cho nhân tử chung
10 Qui đồng mẫu.
a Định nghĩa: Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đó
thành các phân thức mới lần lợt bằng các phân thức đã cho và có cùng mẫu thức.MTC: Là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dơng thì nhân tử bằng số ở MTC
là BCNN của chúng) với các luỹ thừa có mạt trong các mẫu, mỗi luỹ thừa lấy số mũ cao nhất
b Qui tắc: Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm MTC.
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tơng ứng
II Bài tập:
Rút gọn các phân thức đại số:
a) A =
1
1
35 40 45
20 30 40
+ + + +
+ + + +
a a a
a a a
; b) B =
) 4
1 30 ) (
4
1 4 )(
4
1 2 (
) 4
1 29 ) (
4
1 3 )(
4
1 1 (
4 4
4
4 4
4
+ +
+
+ +
+
c) C =
365
14 13 12 11
10 2 + 2 + 2 + 2 + 2 d) D =
148
15 13 11
9 2 + 2 + 2 + 2
H ớng dẫn
2
1)2 - a2 = (a2 + a +
2
1 )( a2 - a +
2
1)
1 30
4
+ +
+
+ +
+
áp dụng n4 + 4 = [ (n -1)2 + 1][ (n +1)2 + 1]
Tơng tự ta có B1 =
) 4
1 100 ) (
4
1 4 )(
4
1 2 (
) 4
1 99 ) (
4
1 3 )(
4
1 1 (
4 4
4
4 4
4
+ +
+
+ +
+
= 20201 1
C =
365
) 2 12 ( ) 1 12 ( 12 ) 1 12 ( )
2
12
( − 2 + − 2 + 2 + + 2 + + 2
Trang 31 8
2
4
2 4
a
a a
A
b
) (
) (
) (
) ( ) ( ) (
2 2 4 2 2 4 2 2
4
2 2
2
b a c a c b c b
a
b a c a c b c b a
B
− +
− +
−
− +
− +
−
=
c ((314 44)()(754 44)()(1194 44) () (1011034 44))
4 4
4 4
+ +
+ +
+ +
+ +
199
=
D (TSvµ MS cã n ch÷ sè 9)
H íNG DÉN :
a (( 2 11)()( 2 11))
2 2
−
− +
+
−
−
− +
=
a a a
a
a a a
− +
a a
1 1
a a
a + + +
(cã thÓ thay 100 bëi n)
H íNG DÉN :A= a101.B → A: B = a101
* Cho A = 1 + x 4 + x 8 + + x 4k ; B = 1 + x 2 + x 4 + + x 2k TÝnh B A.
H íNG DÉN :
3 3
+ +
víi 23 .
H íNG DÉN :
A = ((22 11)()(222 22 11)()(33 11)()(332 33 11)()(44 11)()(442 44 11) () (10001000 11)()(100010002 10001000 11))
2 2
2 2
+ +
− +
+
− + +
− + +
−
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
Mµ (n +1) - 1 = (n -1) + 1 vµ (n - 1)2 - (n + 1) + 1 = n2 + n + 1
→ A = 1.2.10010013.1000.1001= 3.1001000
2.1001001 < 23
Trang 4Tìm tập xác định và tìm giá trị của biến để mỗi BT sau có giá trị bằng 0
A =
3 2
x
; B = ( 3 ) 2 ( 1 ) 2
) (
+ + +
+
y x
y x
3 10
x C
−
= + − ; ( 2) 2 ( 1) 2
x y D
* Tìm tập xác định, tìm tập tất cả các giá trị của biến để MT ≠ 0
* Tìm giá trị của biến để BT bằng 0 ⇔ Tìm giá trị của biến để TT MT=≠o0
) (
) )(
(
cz by ax
c b a z y x
+ +
+ + +
+
( Có thể mở rộng biểu thức đối với nhiều tỉ số bằng nhau)
H ớng dẫn:
= k → x = ak; y = bk; z = ck thay vào → A = 1
C2: GT→ xb = ya; yc = zb thay vào → đáp số
z y x
+ +
* Chứng minh 4 44 4
79
91 51
79
91 51
H ớng dẫn:
Trang 5* Cho 2001 sè kh¸c 0: a 1 , a 2 a 2001 tho¶ m·n a k 2 = a k -1 a k +1 ( k = 2,2000) TÝnh S 2000 = ∑
=
2001 1
i
a i 2000 : (∑
=
2001 2
i
a i 2000 ) theo a 1 ; a 2001
H íNG DÉN :
a
a =
2000 2 2000 3
a
a = =
2000 2000 2000 2001
a a
→ S20002000 =
2000 1 2000 2
a
2000 2 2000 3
a
a
2000 2000 2000 2001
C¸ch 1: Thay b = - 4a vµo P hoÆc a = - 41 b
C¸ch 2: P =
b a
b a
+
− 2
2
=
b b a
b b a
+ +
− + 4
3 4
+ NÕu b ≠ 0 → P =
2 1
2 1
a b a b
− + =
b a
b a
2 4
2 4 +
− =
b b a
b b a
+ +
− + 4
3 4
= -
b
b
3 = - 3
T¬ng tù, nÕu 3a + b = 0 th× P = -5 khi a ≠ 0; P v« nghÜa khi a = 0
Cho 2a - 3b = 0 TÝnh
b a
b a M
−
+
= 6 6
* Cho: 3a 2 + 3b 2 = 10ab (b > a > 0) TÝnh P = a a+−b b
H íng dÉn:
C1: P2 =
ab b
a
ab b
a
2
2
2 2
2 2
+ +
−
ab b
a
ab b
a
6 3 3
6 3 3
2 2
2 2
+ +
−
ab ab
ab ab
6 10
6 10 +
− = 41
a b
− + = 2
* Cho 4a 2 - b 2 = 3ab TÝnh P a a b b
+
−
= 2
2
(1)
h íng dÉn
Trang 6* Cho ax + by + cz = 0 ; a + b + c = m ≠ 0.
2 2 2
) ((
) ( ) (y z ac x y ab x y bc
cz by ax
− +
− +
−
+ +
H íNG DÉN :
GT → a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2(axby + axcz + bycz ) = 0
→ MT = bcy2 + bcz2 + acx2 + acz2 + abx2 + aby2 - 2( bcyz+ acxz + abxy)
= (aby2 + acx2 + c2z2) + (acx2 + abx2 + b2y2) + (acz2 + aby2 a2x2)
x
2 1
1 3 5 16
M M
* Cho A = 1,0001 01 TÝnh A víi 200 ch÷ sè thËp ph©n
H íNG DÉN :
Quy luËt: 2 3 ; 4 ; 5 1 ; 6 2 ; ; 1999 3
1
1
; 1
x x
x x x x y x y
y x
) ( ) ( ) (
3
a c c b b a
abc c
b a P
− +
− +
−
− + +
=
H íNG DÉN :
=
−
−
− + + +
+
=
) (2
) )(
(
2 2 2
2 2 2
bc ac ab c b
a
MT
bc ac ab c b a c b
a
TT
→
2 2
m c b
x x A
H íNG DÉN :
n
x x
(
) 1 )(
Trang 7A x
→ A= - 2 nếu n chẵn ;A = 2 nếu n lẻ
* Cho
c b a
z c
b a
y k
c b
=
= +
C/M: x a y z x b y z= x−c y+z
− +
= +
H ớNG DẫN :
Sử dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, từ giả thiết ta có:
−
= +
−
=
− +
= +
+
=
− +
= +
−
=
− +
= +
+
= + +
= +
−
=
− +
=
+
+
k c
z y x c b a
z c
b a
y c
b
a
x
k b
z y x c b a
z c
b a
y c
b
a
x
k a
z y x c b a
z c
b a
y c
4 4 4 8
4 4
4 2
4 2 2 4
2 2
= +
+
Cách khác: Từ (a) biểu thị x,y,z theo k,a,b,c rồi suy ra 3 phân thức đều bằng 91k
* Cho x > y > 0 Chứng minh 2 2
2 2
y x
y x y x
y x
+
−
= +
−Dùng định nghĩa
1
1 3
1
2
2
≤ +
−
+ +
≤
x x
x x
H ớNG DẫN :
b) Giá trị lớn nhất
10 6 2
100 6 2
2
2 2
+ +
+ +
=
x x
x x A
H ớNG DẫN :
11 ) 2
3 (
45 1
10 6 2
90 1
2 2
+ +
+
= + + +
=
x x
A= − + với x > 0 ( có thể thay thế 1999 bởi n)
H ớNG DẫN :
1999
1998 1999
1998 1999
1999 1999
2 ( 1999
1999 1999
2 1999 1999
) 1999 2
2 2
2 2
2 2
≥ +
−
=
+ +
−
= +
−
= +
x x
x x x
x x
A
Trang 8) 1999
2 1
( 1999 1999
x x
Pmax⇔ ( 1+x2) min ⇔ x = 0 → Pmax = 1
Vì P(x) > P(x+1)∀ x → không tồn tại P(Min)
* Tìm GTNN
1 2
5
2 4
2 4 + +
+ +
=
x x
x x y
H ớng dẫn:
20
19 10
1 ) 1 (
1 5
20
19
20
1 10
1 ) 1 (
1 5 1 100
1 10
1 10
1 ) 1 (
1 2 )
5 )
1 (
1 1
) 1 (
5 1 1
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
=
−
+
+
+
+ +
+
−
= +
+
−
− + +
=
x
x x
x
x x
x x
x x
Cho phân số sau tối giản với ; 2 2 1; 1522 8 6 ; 3 2
Cách 2: Dùng thuật toán ơclit C/m (TS; MS) = 1
* Chứng minh phân số: 2 87
1
1
n n
n n
+ +
+ + không tối giản ∀ ∈n Z+
H ớNG DẫN :
TS và MS đều chia hết cho n2 + n +1 > 1 (Do n Z∈ +)
n
n Z n
Trang 9* Tìm n∈N để
1
3 2
2
2 1989
1990 1991
+ +
+ + + + +
=
n n
n n n
n n
H ớNG DẫN :
A∈Z ⇔ 23+ 3+1
+
n n
n
∈Z → n≤ 3 vì n >3 thì n2 +n+ 1 > 3n + 4 > 0Xét n∈{0 ; 1 ; 2 ; 3} → ĐS: n∈ { }0 ; 3
2 Tính chất của phép cộng: - Giao hoán.
Trang 10A D
C
B
5 Quy tắc nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau,
các mẫu thức với nhau
.=
6 Tính chất phép nhân:
- Giao hoán
- Kết hợp
- Phân phối đối với phép cộng
7 Định nghĩa phân thức nghịch đảo: Hai phân thức đợc gọi là nghịch đảo của nhau
10 Chú ý: Khi làm tính trên phân thức, ta chỉ việc theo các qui tắc của các phép toán
mà không cần quan tâm đến gía trị của biến Nhng khi làm những bài toán
liên quan đến gía trị của phân thức thì trớc hết phải tìm điều kiện của biến để gía trị của phân thức đợc xác định Nếu tại gía trị của biến mà gía trị của một phân thức đợc xác định thì phân thức ấy và phân thức rút gọn có cùng gía trị
II Bài tập:
* Tính 1 1 22 2 44 34 88 7 8
b a
a b
a
a b
a
a b a b a
A
+
+ +
+ +
+ +
+
−
=
H ớNG DẫN :
Tính từ trái sang phải: ĐS: 1616 1516
b a
a
−
* Tính
) )(
(
1 )
)(
(
1 )
)(
(
1
2 2
2 2
2
2 mn m np n p m mp n np p m n nm mp p p
−
+
−
− +
−
+ +
np m
1 35
12
1 15
8
1 3
4
1
2 2
2
2 − + + − + + − + + − +
=
a a a
a a
a a
a C
H ớNG DẫN :
Trang 11) 9 )(
1 (
4 )
9 )(
1
(
) 1 ( )
1 7
1 5
1 5
1 3
1 3
1 1
1
2
1
) 9 )(
7 (
1 )
7 )(
5 (
1 )
5 )(
3 (
1 )
3 )(
1
(
1
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
a
a a a
a a
a a
) 3 2 (
5 )
2 1 (
3
+
+ +
+ +
=
n n
n
H ớNG DẫN :2
2 2 2
2 2 2
1 1
) 1 (
) 1 (
− +
=
+
+
k k k
k
k k
1 1 ) 1 (
1 1
3
1 2
1 2
−
= +
− + +
− +
−
=
n
n n n
n n D
* Rút gọn
) )(
)(
(
) ( ) ( ) ( 2 2
m p p n n m
m p p n n m m p p n n m
− +
− +
Đặt m - n = a; n - p = b; p - m = c → a + b + c = 0
0
.
) (
.
2
2
= + +
= + + +
+
+
=
c b a
c b a c
b a
c b a c
xy z y
z x
xz y x
− + + +
− +
1
2 2
2
H ớNG DẫN :
áp dụng hằng đẳng thức
a3 + b3 + c3 - 3a.b.c = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 -ac - bc -ac)
và sử dụng phép toán hoán vị vòng quanh đợc G = x2 + y2 + z2- xy - yz - xz
3
2 1 ) (
18
2 1 )(
10
2 1 )(
4
2 1
n n
H
+ + +
+ +
=
H ớNG DẫN :2
n n
n n
n
A
1
2
3
3 2
2 1
1
+ +
− +
n n
n
n n
n n
n
n
A
.
3
2
) 1 ( 1
+
=
Vậy A: B = n
Trang 12* Tính 19941993!
! 3
1
! 2
1 + + +
=
A
H ớNG DẫN :
! 1994
1993
! 5
4
! 4
3 4 ).
2 3 1 (
! 1994
1993
! 4
3
!
3
2 3
1 1
! 1994
1
! 3
1
! 2
1
! 2
np mn mp m n
m
m mn n
m nm
n nm m
3 3
9
3 9 6
3 5 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
+
−
−
+ + +
=
−
+ +
Rút gọn:
108 21
1 54
15
1 18
9
1 3
1 3
1
2 2
2 2
2 − + + + + + + + + + + +
=
a a a
a a
a a a a a A
H ớng dẫn:
) 12 )(
3 (
5 )
12 )(
3 ( 3
15 )
12
1 9
1
3
1 1 1
9 (
1 )
9 )(
6 (
1 )
6 )(
3 (
1 )
3 (
1 )
−
= +
− + + + +
− +
−
−
=
+ +
+ + +
+ + +
+ +
+
−
=
a a a
a a
a a
a a
a
a a a
a a
a a
a a
1
1 1 ) 1 (
1
3 2
1 2 1
1 ) 1 (
1
3
1 2
1
2 2
+
−
= + + + +
<
+ + + +
n n
n n
* Tính
) )(
(
) ( 1
) ( ) (
) )(
(
) ( 1
) ( ) (
) )(
(
) ( 1
) ( ) (
2 2
2
b c a c
b
a c b
b c c a c
a c c
c b a b
a
c b a
a b b c b
c b b
c a b a
c
b a c
c a a b a
b a a A
−
−
− +
−
+ +
−
+ +
−
−
− +
−
+ +
−
+ +
−
−
− +
−
+ +
3 3
3 2
2 3 3
3 2
2 3 3
2 )
)(
( ) (
2 )
)(
( ) (
2
b ab a
b c a c b a
b a
c b a a
ca c
a b c b a c
a c
b a c c
bc b
c a b a c b
c b
a c b B
+ +
−
− +
−
−
− + +
+ +
−
− +
−
−
− + +
+ +
−
− +
−
−
− +
=
H ớNG DẫN :
áp dụng hằng đẳng thức
a3 +b3 + c3 - 3a.b.c = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 - ac - bc - ac) và sử dụng phép toán hoán
vị vòng quanh ta đợc A = B = 2(a+b+c)
Tính:
Trang 13) 2
1 1 ) (
8
1 1
3
1 1
2
n n D
n C
+ + +
) 1 ( 2
+
n n
n n
2
) 1 ( 2
* Cho
1 2
1
5
1 3
1 1
1 ).
1 2 (
1
) 5 2 ( 5
1 )
3 2 ( 3
1 )
1 2 ( 1 1
− + + + +
=
− + +
n n
n n
A
TÝnh A: B
H íNG DÉN :
2
1 1 ( 2
1 ) 2
(
1
k n k n k n
B
n
n n
n
n n
n n
A
2
1
) 1 2
1 3 2
1
3 2 (
1 )
3 2 ( 3
1 1
).
1 2 (
1 )
1 1
) (
3 2 1
1 1
)(
2 1
1 1 (
n
S
+ + + +
− +
+
− +
−
=
H íNG DÉN :
1 1
2 3 ).
3 1 (
1 1
4 1
) (
25
4 1 )(
9
4 1 )(
Trang 14Dù ®o¸n An 2 1
1 2
2
1 1
1 2
1 1 2
1
4
1 3
1 2
1
+
+ +
=
−
− + +
− +
−
H íNG DÉN :
2
1
4
1 2
1 ( 2 2
1
4
1 3
1
4
1 3
1 2
1 1
k
+ + + + +
=
k k
+
+ +
=
2
1
2
1 1
2
2
2 1
1
) 1
3
2 2
− +
− +
=
− + + +
−
=
n n
n n
n
nS
n
n n
S
n
n
H íNG DÉN :
3
2 2
1 ( )
1 1 (
) 1 3
1 )(
1 2
1 ( ) 1 1
(
n
n n
n n
1 1 ( 1
1 (
k
k
k n k
k k n k
n
nS
1 1
1
* Chøng minh:
6 3
)!
3 ( 3
)!
2 (
n
k k
k k
k k
)!
3 ( 3
) 3 3 ( )!
2 ( 3
) 2 (
* Cho ∀n∈N th× 1 11+ 1+2
+ +
=
n n n
A lµ sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn.
H íNG DÉN :)
2 )(
1
(
2 6
3 2
+ +
+ +
* Cho n∈N ; n ≥ 1 Chøng minh: 2 1 1
7
1 5
1 3
1
+ + + + +
=
n
Trang 15H ớNG DẫN :Gọi k là số nguyên lớn nhất sao cho 3k không vợt quá 2n + 1 Chọn mẫu chung là 3k
B1(B1 là tích các số nguyên tố khác 3 không vợt quá 2n + 1 ) → chỉ có một thừa số
phụ duy nhất của phân thức31k không chia hết cho 3, còn mọi thừa số phụ khác đều
chia hết cho 3 → Sau khi qua đồng mẫu ta mẫu chia hết cho 3, tử không chia hết cho
3 → B ∉ Z (đpcm)
* Cho
1998 1997 1996
1 1995
1994 1993
1
9 8 7
1 6 5 4
1 3 2 1
1
+ +
+ +
k
S k k
k k
+ ( 1997 )( 1998 )( 1999 )
1 )
)
1
(
1 ) 1998 ( 1 ) 1998 ( ) 1998 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 (
)
1
(
3 3
2 2
k k
k k
k k
k
k
k k
k k
k
k
− +
+
−
− +
+
− +
−
−
− +
(
1 )
)(
(
1 )
)(
(
1 )
)(
( ) )(
( ) )(
(
2 2
2
y z x z x y z y z x y x y
z x z
z x
y z y
y z
x y
−
−
−
− +
B là đa thức bậc 2 biến x → B -1 là đa thức bậc 2 biến x
Mà B -1 nhận x = a; x = b; x = c là 3 nghiệm phân biệt → B -1 là đa thức 0
)!
1 (
2
! 3 2 2
! 2 1
H ớNG DẫN :chứng minh quy nạp
* Chứng minh:
) 10 )(
1 (
11
) 2 )(
9 (
11 )
1 )(
10 (
11 100
20
2 − +x − + +x − = x− x+ + x− x+ + x− x+
x
H ớNG DẫN :
Trang 162 2 1
1
n
H íNG DÉN :
C1: Dïng quy n¹p
C2:
) 2 )(
1
(
) 1 ( ) 1 ( ) 2 )(
1 (
5 4 3 3 2 1 4 3 2 3
) 2 5 ( 4 3 ) 1 4 ( 3 2 ) 0 3 (
=
+
−
− + + +
− +
− +
=
−
− + +
+ +
− +
− +
−
=
n n
n
n n n n
n n
n n
n n VT
* Chøng minh: ∀x∈N , n ≥ 2 th× n1
3
1 2
1 + + + kh«ng lµ sè nguyªn.
H íNG DÉN :Gäi k lµ sè nguyªn lín nhÊt sao cho 2k ≤ n Chän mÉu chung 2k A1(A1: lµ tÝch c¸c sè
lÎ kh«ng vît qu¸ n) → chØ cã 1 thõa sè cña 2k
1 2
1
) 1 2 (
1
7
1 6
1 5
1 4
1 3
1 2
1
7
1 5
2 2 2 2 2 2 1
2 2
2 2
1
S S S
S
S
n S
HD
n S
=
+ + + + + +
+
=
1
12
1 11
1 10
1
+ + + +
=
1 , 0 01 , 0 1 , 0 100
1 9
1 100 99
1
11 10
1 10
.
9
1
90 , 0 01 , 0
12
1 11
1 11
1 10
1 101 100
1
12 11
1 11
− +
−
= +
+ +
x x
2
12 3 3
2 3
2
− +
+ + thµnh tæng c¸c ph©n thøc cã mÉu lµ c¸c ph©n thøc bËc nhÊt.
H íNG DÉN :Gi¶ sö:
Trang 176 2
12 3
− +
x x x
x x
1 )
(
1 )
(
1
a c c b b
) )(
(
2 )
)(
(
2 )
)(
(
2 1
1
a c c b a c b a c b b a
M a
c c
c c b b a
a c c b b
− +
−
−
=
) )(
)(
(
) ( 2 ) ( 2 ) (
6 3
H ớNG DẫN : Với n >1 thì 1 ( 1 )( 1) ( 1 11)
1
1
−
− +
n
n n
n
x
x x
x x
x x
x x
x x
vậy A=a3 − 3a.
Cách 2: ( 1) 3 ( 1)
x
x x x
2 9 6 2
) 3 ( 2 )
x x
x x
x
C ( 1)( 1 ) ( 1) 7 7 5 14 3 7
3
3 4
=
xy xy b y y a x
x+1 = ; +1 = ; + 1 = Tìm hệ thức giữa a, b, c.
H ớNG DẫN :
c b a x
y y
x x
y y
x y
y x
Từ đó: (a.b - c).c = a2 + b2 – 4, hay hệ thức phải tìm là : a2 + b2+c2 –a.b.c = 4
Trang 182 + +
=
x x
x
H ớNG DẫN : Nếu a = 0→ M = 0
Nếu a ≠ 0→ M ≠ 0
C1:
) 1 )(
1 (
−
= +
x x x
x
x x
x x x
x
2 1 2 1
1 2
2 + + = − + + = + = +
Nên
1 2 1 2
.
2 +
= +
=
a
a a
a a
M
C2: Giả thiết
a a x
x a
x
x a x
x
1
1 1
1 1 1
1
2 2
2
2
+
= + +
→ +
= +
→
= +
−
→
1 2 1
2 1
2 4
2 2
x
x a
a x
x
x
Vậy trong mọi trờng hợp thì
1 2
2 +
1 )
(
660 3 660
3
ì +
ì
=
a a
a a
a a a
a a
a a
1
1 1
−
→
a
a x a x
Thay vào Q và rút gọn đợc =a22 +1
a M
* Cho
n n n n
x x
x y
n n n n
2
1 1
1 2 2 2 2
9 2 1 )