Bài giảng toán cao cấp a1 cao đẳng đh công nghiệp TP HCM

Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3.. Phép tính tích phân hàm một biến số Chương 4.. – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc

Trang 1

TOÁN CAO CẤP A1 CAO Đ

PHÂN PH Ố I CH I CH ƯƠ ƯƠ NG TRÌNH NG TRÌNH

S ố ti ế t: 45 -

Chương 1 Hàm số một biến số

Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến số

Chương 3 Phép tính tích phân hàm một biến số

Chương 4 Chuỗi số Chương 5 Đại số tuyến tính

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp

Biên soạ :ThS Đ Đ o o à V V ươ ươ ng ng Nguyên

T i Slide b i giảng Toá A1 CĐ C Đ tại

– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu D f , là tập X

– Miền giá trị (MGT) của f là:

G = y=f x x∈X

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố

– Nếu f x( )1 =f x( )2 ⇒x1= thì f là đơn ánh x2– Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh

– Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh

– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung

– Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

1.1.2 Hàm số hợp

• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện G g⊂D f

Khi đó, hàm số h x( )=(f g x)( )=f g x[ ( )] được gọi là

• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,

Trang 2

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố 1.2 Hàm số lượng giác ngược

• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Ta nói f(x) có giới

hạn là L (hữu hạn) khi x→x0∈ [ ; ]a b, ký hiệu

0

lim ( )

x x f x L

→ = , nếu ∀ε > cho trước ta tìm được 0 δ > 0

sao cho khi 0 < −x x0 < δ thì ( )f x −L < ε

Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)

• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Ta nói f(x) có giới

hạn là L (hữu hạn) khi x→x0∈ [ ; ]a b, ký hiệu

Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)

• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x→ +∞ ,

ký hiệu lim ( )

→+∞ = , nếu ∀ε > cho trước ta tìm 0

được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f x( ) −L < ε

• Tương tự, ký hiệu lim ( )

→−∞ = , nếu ∀ε > 0 cho

trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho khi x < N thì f x( ) −L < ε

Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)

• Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi x →x0, ký hiệu

f x >M

Trang 3

Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x0

với x >x0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x0

với x<x0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu

2lim

3

x x x

x L

= nếu n= ; m

b) L=0 nếu n< ; m c) L = ∞ nếu n> m

3lim 1

2 1

x x

x L

x

β = là VCB khi x→ +∞

Trang 4

• Định nghĩa

Cho α( ), ( )x βx là các VCB khi x→ , x0

0

( )lim( )

x x

x k x

– Đặc biệt, nếu k= , ta nói ( )1 αx và β( )x là các VCB

tương đương, ký hiệu ( )αx ∼β( )x

2

x x

1( ) ( )x 2 x 1( ) ( )x 2x

α α ∼β β 4) Nếu α( )x = β0( ( ))x thì α( )x + β( )x ∼β( )x

x x

Chú ý Nếu u x là VCB khi ( ) x → thì ta có thể thay x0

bởi u x trong 8 công thức trên ( )

• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0

tử hoặc mẫu của phân thức

ln(1 2 sin )lim

sin 1 1 3 tanlim

Trang 5

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố 3.2 Đại lượng vô cùng lớn

1cos 4 3

• Định nghĩa

Cho f x( ), ( )g x là các VCL khi x→x0,

0

( )lim( )

x x

f x k

g x

Khi đó:

– Nếu k= , ta nói ( )0 f x là VCL cấp thấp hơn g x ( )

– Nếu k = ∞, ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn g x ( )

– Nếu 0≠ ≠ ∞, ta nói ( )k f x và g x là các VCL ( )

cùng cấp

– Đặc biệt, nếu k= , ta nói ( )1 f x và g x là các VCL ( )

tương đương Ký hiệu ( ) f x ∼g x( )

cos 1lim

• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó

• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó

Trang 6

2 3, 0

x x

• Nếu hàm số f x không liên tục tại ( ) x thì 0 x được gọi 0

là điểm gián đoạn của f x ( )

• Nếu tồn tại các giới hạn:

nhưng f x( 0−), f x( 0+) và f x không đồng thời bằng ( )0

nhau thì ta nói x là điểm gián đoạn loại một 0

Ngược lại, x là điểm gián đoạn loại hai 0

( ) ( )lim

Nếu f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại ( ) x thì tiếp 0

tuyến tại x của đồ thị 0 y=f x( ) song song với trục Oy

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:

(u±v)′=u′± ; v′ (uv)′=u v′ +uv′;

1( )( )

x y

y x

′ =

′

Trang 7

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố

Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

7) ( )x x

e ′ e

= ; 8) ( )a x ′ a x.lna

= ; 9) ( ) 1

1.3 Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

• Cho hàm số y=f x( ) có phương trình dạng tham số

2 1, 04

y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*)

• Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được F x′+F y y′ ′ x = 0

y x′ = được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn ( )y′ y x

Trang 8

VD 1 Tính vi phân cấp 1 của f x( )=x e2 3x tại x0 = − 1

VD 3 Tính vi phân cấp 1 của hàm số y =2ln(arcsin )x

VD 2 Tính vi phân cấp 1 của y=arctan(x2+ 1)

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 2.2 Vi phân cấp cao

được gọi là vi phân cấp n của hàm y=f x( )

VD 4 Tính vi phân cấp 2 của hàm số y=ln(sin )x

Cho hàm số f x liên tục trong ( ) [ ; ]a b và khả vi trong

( ; )a b Nếu f a( )=f b( ) thì ∃ ∈c ( ; )a b sao cho f c′( )= 0

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 3.1.3 Định lý Cauchy

Cho hai hàm số f x , ( ) g x liên tục trong ( ) [ ; ]a b , khả vi

trong ( ; )a b và g x′( )≠ ∀ ∈0, x ( ; )a b Khi đó, ∃ ∈c ( ; )a b sao cho:

( ) ( ) ( )

.( ) ( ) ( )

Cho hàm số f x liên tục trong ( ) [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b

Khi đó, ∃ ∈c ( ; )a b sao cho:

Trang 9

3.2 Cực trị của hàm số

3.2.1 Hàm số đơn điệu

a) Định nghĩa

Cho hàm số f x liên tục trong trong ( ) ( ; )a b Khi đó:

• f x được gọi là tăng (đồng biến) trong ( ) ( ; )a b nếu

f x tăng hay giảm trong ( ; )a b

• Nếu f x đơn điệu trong ( ) ( ; )a b và liên tục trong ( ; ]a b thì

f x đơn điệu trong ( ) ( ; ]a b (trường hợp khác tương tự)

b) Định lý

Cho hàm số f x khả vi trong trong ( ) ( ; )a b Khi đó:

• Nếu f x′( )> ∀ ∈0, x ( ; )a b thì f x tăng trong ( ) ( ; )a b

• Nếu f x′( )< ∀ ∈0, x ( ; )a b thì f x giảm trong ( ) ( ; )a b

VD 1 Tìm các khoảng đơn điệu của y=ln(x2+ 1)

VD 2 Tìm các khoảng đơn điệu của

2 2

1( )

( 1)

x

f x x

y

=

−

VD 4 Tìm các khoảng đơn điệu của y=e x3−4

• Nếu f(2 )n( )x0 > thì ( )0 f x đạt cực tiểu tại x 0

• Nếu f(2 )n( )x0 < thì ( )0 f x đạt cực đại tại x 0

• Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X⊂ D

b) Phương pháp tìm max – min

Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b

∈ , ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1. Giải phương trình f x′( )= Giả sử có n 0

nghiệm x1, ,x n∈[ ; ]a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b )

• Bước 2. Tính f a( ), ( ), , ( ), ( )f x1 f x n f b

• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã

tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm

VD 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ

của hàm số trước khi làm bước 1

• Có thể đổi biến số t=t x( ) và viết y=f x( )=g t x( ( ))

Gọi T là miền giá trị của hàm t x thì: ( )max ( ) max ( )

x X f x t T g t

∈ = ∈ , min ( ) min ( )

x X f x t T g t

VD 7 Tìm max, min của f x( )= − +x2 5x+ 6

VD 8 Tìm max, min của 2sin 1

sin sin 1

x y

+

=

+ +

Trang 10

Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)

Cho hàm y=f x( ) liên tục trên ( ; )a b ( a b có thể là , ∞)

• Bước 1. Giải phương trình f x′( )= Giả sử có n 0

nghiệm x1, ,x n∈[ ; ]a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b )

• Bước 2. Tính f x( ), , ( )1 f x và hai giới hạn n

Ta có thể lập bảng biến thiên của f x thay cho bước 3 ( )

VD 10 Tìm max, min của

………

2) Nếu min{ ( ), , ( )}f x1 f x n <min{ ,L L1 2} thì

1 ( ; )

=

− trên khoảng (1;+∞ )

§4 CÔNG THỨC TAYLOR

4.1 Công thức khai triển Taylor

a) Khai triển Taylor với phần dư Peano

• Cho hàm f x liên tục trên ( ) [ ; ]a b có đạo hàm đến cấp

n+ trên ( ; )1 a b với x x, 0 ∈( ; )a b ta có:

( ) 0

b) Khai triển Maclaurin

• Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x0= được 0

gọi là khai triển Maclaurin

Vậy:

( ) 0

(0)

!

k n

k n k

VD 1 Khai triển Maclaurin của f x( )=tanx đến x 3

4.2 Các khai triển Maclaurin cần nhớ

• Nếu u x là VCB khi ( ) x → thì ta thay x trong các 0

công thức trên bởi u x ( )

VD 2 Khai triển Maclaurin hàm số

6

x

VD 3 Khai triển Maclaurin của y=ln(1−2 )x2 đến x 6

VD 4 Khai triển Maclaurin của hàm số y=2x đến x 4

VD 5 Cho hàm số f x( )=xcos 2x Tính f(7)(0)

Trang 11

§5 QUY TẮC L’HOSPITAL

VD 1 Tìm giới hạn

2 0

2lim

x x x

Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần

lim x x

Trang 12

Ch Ch ươ ươ ng ng 3 Phép tính tích phân hàm m ộ t bi ế n s ố

VD 1 Tính

2

4

dx I

=

σ =∑ ξ −

§2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

2.1 Định nghĩa. Cho hàm số f x xác định trên ( ) [ ; ]a b

Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

k k k

là tích phân xác định của f x trên đoạn ( ) [ ; ]a b

Ch Ch ươ ươ ng ng 3 Phép tính tích phân hàm m ộ t bi ế n s ố Tính chất

Trang 13

dx I

n

n n

Trang 14

VD 1 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

VD 2 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số

Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình

′

=∫

VD 5 Tính độ dài cung parabol

3.2 Tính độ dài l của đường cong

a) Đường cong có phương trình tổng quát

Cho cung

AB có phương trình y=f x( ),x∈[ ; ]a b thì:

1 [ ( )]2

b AB a

l =∫ + f x′ dx

b) Đường cong có phương trình tham số

Cho cung

AB có phương trình tham số

( ), [ ; ]( )

VD 6 Tính độ dài cung C có phương trình:

2 2

Trang 15

VD 10 Dùng công thức (*) để giải lại VD 9

Chú ý

Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi

( )

y =f x , y = , x0 = và x a = quay xung quanh Oy b

còn được tính theo công thức:

∫ khi b→ +∞ được gọi

là tích phân suy rộng loại 1 của f x trên ( ) [ ;a +∞ )

Ký hiệu:

( ) lim ( )

b b

• Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo

sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó)

• Định nghĩa tương tự:

( ) lim ( ) ;

a a

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân

hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ

• Trường hợp α khác 1:

1 1

x

+∞

α

= ∫

Trang 16

x

+∞

−∞

=+

4.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ

+∞

=+ +

Trang 17

VD 7 Xét sự hội tụ của tích phân

1 1 sin

dx I

∫ khi ε → được gọi là 0

tích phân suy rộng loại 2 của f x trên ( ) [ ; )a b

+ε

=

∫ ∫ (suy rộng tại a , b )

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân

hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ

VD 10 Khảo sát sự hội tụ của

2 1

6

3

1 9

dx I

=∫

VD 13 Tính tích phân

2 2 1

dx I

Trang 18

VD 15 Tích phân suy rộng

1 2 0

1( 1)sin

1sin

Ch Ch ươ ươ ng ng 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ

số hạng tổng quát của chuỗi số

§1 Khái niệm cơ bản về chuỗi số

§2 Chuỗi số dương

§3 Chuỗi số có dấu tùy ý

………

• Tổng n số hạng đầu tiên S n =u1+u2+ + u n được

gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số

Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ

VD 1 Xét sự hội tụ của chuỗi nhân 1

1

n n

q

− chuỗi hội tụ

VD 3 Xét sự hội tụ của chuỗi số

5 4

n

n n

∞

Trang 19

• Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi

nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng

u

∞

=

∑ được gọi là chuỗi số dương nếu u n≥0, ∀ n

Khi u n>0, ∀ thì chuỗi số là dương thực sự n

v

∞

=

∑ phân kỳ

1

1.2n

u k v

→∞ =

• Nếu k= thì 0

1

n n

1 1

2 ( 1).3

n n n

n n

∞ +

=

∑ hội tụ khi α > và phân kỳ khi 1 α ≤ 1

5 1

1

2 3

n

n n

∞

=

++

2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ

2.3.1 Tiêu chuẩn D’Alembert

Cho chuỗi số dương

1

n n

u D u

+

• Nếu D< thì chuỗi hội tụ 1

• Nếu D> thì chuỗi phân kỳ 1

• Nếu D= thì chưa thể kết luận 1

1

1 113

n n

2 1

5 ( !)(2 )!

n

n n

∞

=

Trang 20

2.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy

Cho chuỗi số dương

1

n n

• Nếu C < thì chuỗi hội tụ 1

• Nếu C > thì chuỗi phân kỳ 1

• Nếu C = thì chưa thể kết luận 1

2

1

12

n

∞

=

∑

2.3.3 Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy

Cho hàm số f x liên tục, khơng âm và giảm trên nửa( )

∑ hội tụ ∫ hội tụ.

3 2 1

1ln

n n n

∞

=

§3 CHUỖI SỐ CĨ DẤU TÙY Ý

2 1( 1)

2

n n n n

∞ + +

=

+

−

∑ là các chuỗi đan dấu

3.1 Chuỗi đan dấu

u

∞

=

−

∑ hội tụ Khi đĩ, ta gọi là chuỗi Leibnitz

2 1( 1)2

n n n n

2

( 1)( 1)

n n

∞

=

−+ −

u

∞

=

∑ hội tụ và

1

n n

cos( n)

n

n n

( 1) ( 2)3

n n n n

Trang 21

Ch Ch ươ ươ ng ng 5 Đạ i s ố tuy ế n tính

là đường chéo phụ

2 3

5 8

7 4 2

4 6

7 3

nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng

0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới)

gọi là ma trận đối xứng

0 0

3 1 2

4 4

1 1

Tiêu đề	Bài giảng Toán cao cấp A1 Cao đẳng ĐH Công nghiệp TP HCM
Tác giả	Nguyễn Phú Vinh, Nguyễn Đình Trí
Người hướng dẫn	ThS. Đoà Đoàn Vương Nguyên
Trường học	Trường Đại Học Công Nghiệp TP HCM
Chuyên ngành	Toán cao cấp
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2010
Thành phố	TP HCM

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	897,57 KB