Các bài tập dạng tứ diện và hình hộp

Trong tứ diện vuông, góc tam diện một đỉnh là ba góc vuông OA, OB, OC đôi một vuông góc 2, Tính chất Cho tứ diện O.ABC là tứ diện vuông tại đỉnh O, H là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống

3 Lịch sử vấn đề và phát hiện vấn đề

Sau thời gian học tập ở trường đại học Hồng Đức, tôi nhận thấy hình học sơ cấp là một môn học khó đa dạng và rất phức tạp Đặc biệt

là ứng dụng của chúng Chính vì vậy, tôi đã quyết định chọn đề tài

“Các khối đa diện đặc biệt trong không gian” với mục đích nêu trên.

4 Đối tượng nghiên cứu và nội dung nghiên cứu

Hình học sơ cấp

5 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nhiên cứu sau:

- Tham khảo tài liệu có sẵn

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp khát quát hóa

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

NỘI DUNG

CHƯƠNG I: TỨ DIỆN

I, Tứ diện vuông

1, Khái niệm

Tứ diện vuông O.ABC là tứ diện có ba mặt OAB, OBC, OAC là

ba tam giác vuông Trong tứ diện vuông, góc tam diện một đỉnh

là ba góc vuông (OA, OB, OC đôi một vuông góc)

2, Tính chất

Cho tứ diện O.ABC là tứ diện vuông tại đỉnh O, H là chân

đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt phẳng đáy:

- Các cạnh đối của tứ diện vuông vuông góc với nhau

- Chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy trùng với trực tâm mặt đáy

- Nghịch đảo của bình phương độ dài đường cao tứ diện bằng tổng các nghịch đảo bình phương các cạnh bên của

tứ diện

- Tổng bình phương cos các góc tạo bởi đường cao của tứ diện và các cạnh bên bằng 1

- Tổng bình phương cos các góc tạo bởi mặt phẳng bên và

mặt phẳng đáy bằng 1 Gọi a b g, , là các góc hợp bởi giữa mặt phẳng đáy (ABC) và các mặt phẳng bên thì

cos + cos + cos = 1.α β γ

- Bình phương diện tích mặt đáy bằng tổng bình phương

diện tích các mặt bên

S ∆ABC = S OAB + S OAC + S OBC

3, Ví dụ

1, Cho tứ diện vuông O.ABC vuông tại O

BH

Vậy h là trực tâm của tam giác ABC.

• Chứng minh ngược lại: H là trực tâm tam giác ABC chứng minh OH ^

(1) Tương tự như trên ta được (OBH) ^

2, Cho tứ diện vuông O.ABC vuông góc tại O Gọi a b g, , là các góc hợp bởi giữa mặt phẳng đáy (ABC) và các mặt phẳng bên chứng minh rằng:

OH

(đpcm)

3, Cho tứ diện vuông O.ABC vuông tại O Chứng minh rằng:

Vẽ CH^

AB Áp dụng định lý 3 đường vuông góc cho OH^

AB Ta có:

1.2

Vậy suy ra:

2tan ˆ b tanB c tanC2 ˆ 2 ˆ

Cho A.BCD là tứ diện trực tâm (AB ^

CD, AC ^

BD, AD

^

BC)

- Các đường cao của tứ diện đồng quy

- Mỗi đường cao của tứ diện đi qua trực tâm của mặt đáy tương ứng

- Các đoạn nối trung điểm các cạnh đối bằng nhau

- Tổng bình phương các cạnh đối bằng nhau

- Các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối đồng quy

- Trung điểm của các cạnh và các chân đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện nằm trên một mặt cầu

- Tổng bình phương các cạnh đối bằng nhau

+ CD = AC + BD = AD + BC

AB

- Với mọi điểm M nằm trong tứ diện ta có:

MA.S BCD + MB.SACD + MC.SABD 9V≥

với V là thể tích của tứ diện (dấu “=” xảy ra kh M trùng với trực tâm của tứ diện)

3, Ví dụ

1, Chứng minh rằng trong một tứ diện nếu có hai cặp cạnh

đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc

2, Chứng minh rằng một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu và chỉ

nếu hình chiếu của mỗi đỉnh lên mặt đối diện là trực tâm của mặt đó

Thuận:

Cho tứ diện trực tâm A.BCD Gọi A’, B’, C’, D’ là hình chiếu của

A, B, C, D lên các mặt đối diện Ta chứng minh A’ là trực tâm của BCD rồi suy ra ba kết quả còn lại

. (2)

Từ (1) (2) ta có (BCD) ^ AA '

.Vậy A’ là hình chiếu của A lên (BCD)

Đối với các điểm B, C, D hoàn toàn tương tự

B' D'

3, Chứng minh một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu và chỉ nếu tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi

đối khác vuông góc nhau, chẳng hạn như BC ^

AD thì tađược:

Cho tứ diện A.BCD sao cho các cạnh thõa mãn (3)

Ta chứng minh tứ diện ấy là tứ diện trực tâm

Vẽ đường cao BI trong tam giác BCD, đường cao AJ trong tam giác ACD

Vẫn gọi M là trung điểm BC ta có:

Nếu như ta sử dụng (2) ta sẽ được BC^

AD Như vậy cũng đủ

để kết luận A.BCD là tứ diện trực tâm

4, Chứng minh một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu và chỉ nếu

các đường cao của nó đồng quy

Giải

Thuận:

Cho A.BCD là tứ diện trực giao, AA’, BB’, CC’, DD’ là các

đường cao của tứ diện Để chứng minh chúng đồng quy ta chứng minh chúng cắt nhau từng đôi một Chẳng hạn ta chứng minh AA’ và BB’ cắt nhau

Giao điểm H của 4 đường cao trong tứ diện gọi là trực tâm của

tứ diện

Đảo:

Cho tứ diện A.BCD có 4 đường cao là AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy Ta chứng minh tứ diện ấy là tứ diện trực tâm

Xét 2 đường cao AA’ và BB’, cắt nhau ở H Ta có:

Suy ra điều cần chứng minh

5, Chứng minh trong một tứ diện trực tâm, các điểm chính

giữa của các cạnh và chân các đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện đều nằm trên một mặt cầu

Giải

Gọi M, N, P, Q, S lần lượt là điểm chính giữa của AB, BC, CD,

AC, BD Sẽ thấy rằng MP, NQ, RS cắt nhau tại trung diểm mỗi đoạn Gọi điểm này là điểm O, đó chính là trọng tâm của tứ diện

Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Gọi KL là đoạn vuông góc chung của BC và AD

Gọi EF là đoạn vuông góc chung của AC và BD

Ta chứng minh 6 điểm I, J, K, L, E, F cùng nằm trên một mặt cầu tâm O nói trên.

Nói cách khác K, J, F thuộc mặt cầu (O)

Chứng minh tương tự cho L,E, I

III, Tứ diện đều

1, Khái niệm

Tứ diện đều là tứ diện có 6 cạnh bằng nhau, do đó có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau

2, Tính chất

- Các mặt là các tam giác đều bằng nhau

- Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 60o

- Các mặt bên nghiêng đều với đáy

- Chân đường cao hạ từ một đỉnh bất kì trùng với trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp cảu mặt đó

- Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp và tâm của

tứ diện trùng nhau

- Đường cao của tứ diện bằng

63

a

- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

6 = 4

a R

và bán kính

mặt cầu nội tiếp tứ diệ là

6.12

a

- Các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau

- Đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện bất

kì là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng chứa hai cạnh ấy

- Khoảng cách giữa hai cạnh đối diện bất kì bằng

22

a

- Hình hộp ngoại tiếp tứ diện đều A.BCD cạnh a là hình lập

phương có cạnh bằng

2.2

a

3, Ví dụ

1, Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a

a, Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau

b, Tính chiều cao, thể tích, bán kính hình cầu ngoại tiếp của

tứ diện ấy

Giải

a, Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.Gọi I là trung điểm của cạnh CD Ta có:

Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện A.BCD tâm O nằm trên AH và đường trung trực của AB vẽ trong (ABH).

Tứ giác BHOJ nội tiếp, ta có

2, Cho tứ diện A.BCD đều cạnh a.

a, Gọi M là 1 điểm nằm trong tứ diện, x, y, z, t lần lượt là

khoảng cách từ M đến (BCD), (CAD), (DAB), (ABC) Chứng minh x+y+z+t không đổi Tính tổng số đó

b, Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện A.BCD

Giải

a, Nối M với 4 đỉnh của tứ diện Tứ diện A.BCD bị chia thành 4

tứ diện nhỏ đỉnh M đáy là các mặt của tứ diện và độ dài các đường cao chính là x, y, z, t

Gọi h là chiều cao của tứ diện đều Ta có:

MBCD MCDA MDAB MABC

3, Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a, chiều cao AH, I là trung điểm

của AH

a, Chứng minh rằng I.BCD là 1 tam diện vuông

b, Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện I.BCD

V r

4, a,Cho ABC đều cạnh a Một đường thẳng tuỳ ý qua tâm O

của tam giác cắt BC,CA,AB lần lượt tại M, N, P Chứng minh:

b, Cho tứ diện đều S.ABC Qua đường cao SH của tứ diện ta

kẻ một mặt phẳng cắt các mặt bên theo những đường thẳng tạo với mặt đáy của tứ diện các góc α β γ, ,

Chứng minh:

Ta có

2 2

* Bốn mặt là các tam giác bằng nhau

* Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn

* Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện bằng 180

* Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau

* Tất cả các mặt của tứ diện tương đương nhau

* Bốn đường cao của tứ diện có độ dài bằng nhau

* Tâm hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau và trùng với trọng tâm của tứ diện

* Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật

* Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau

* Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là

đường vuông góc chung của hai cạnh đó

a, Cho tứ diện vuông OABC, vuông tại O Gọi M, N, P lần lượt

là trung điểm của AB, BC, và CA Chứng tỏ O.MNP là một tứ diện gần đều

b, Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh ACB’D’

Nên OM=PN.

Tương tự ta có ON=PM; OP=MN

b, Chứng minh A.CB’D’ là gần đều

hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau nên AC=B’D’.Tương tự CB’=AD’ và AB’=CD’

2, Chứng minh rằng nếu bốn mặt của một tứ diện có diện tích

bằng nhau thì bốn mặt ấy bằng nhau

Giải

Cho tứ diện A.BCD có bốn mặt diện tích bằng nhau Ta chứng minh các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một

Trong tam giác CAB và tam giác DAB ta kẻ đường cao CH và

DK Do diện tích của 2 tam giác này bằng nhau nên CH=DK Gọi OI là đoạn vuông góc chung của AB và CD và (P) là mặt phẳng qua OI và vuông góc với AB Gọi C’, D’ là hình chiếu của

C, D xuống (P) Do CH và DK song song với (P) nên:

3, Chứng minh điều kiện cần và đủ để một tứ diện gần đều là:

Các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối là đoạn vuông góc chung của các cạnh đó

Giải

Thuận:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB,CD Do hai tam giác

CAB và DBA bằng nhau nên: CI=DI

Vậy tam giác ICD cân ở I nên : IJ ^

CD

Tương tự như vậy ta có IJ ^

ABĐối với các cặp cạnh khác ta cũng làm như trên

Vậy A.BCD là tứ diện gần đều.

4, Cho tứ diện A.BCD là tứ diện gần đều với: AB=CD=a;

AC=BD=b; BC=AD=c Hãy tính góc tạo nên bởi mỗi một cặp cạnh đối

Giải

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Ta biết rằng IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Gọi E là trung điểm của AC Ta có:

2 2

2s

V, Tứ diện có tích độ dài hai cạnh đối bằng nhau

Ví dụ 1, Cho tứ diện A.BCD chứng minh các tính chất sau đây là tương đương:

1, Các đường nối đỉnh với tâm đường nội tiếp mặt đối diện đồng quy

2, Tứ diện A.BCD thõa mãn: AB.CD=AC.BD=AD.BC

3, Các phân giác của 2 mặt tứ diện có chung một cạnh thì 2 chân đường phân giác hạ xuống cạnh chung này sẽ trùng nhau

Hay AC.BD =AD.BC.

Lập luận tương tự cho các đường phân giác khác suy ra tích độ dài các cặp cạnh đối bằng nhau

2)=>3) Tức là nếu AC.BD =AD.BC =AB.CD thì phân giác của hai mặt đối diện vẽ trên cạnh chung có chân trùng nhau;

3)=>1) Từ điều kiện c) suy ra hai đường nối đỉnh và tâm

đường tròn nội tiếp mặt đối diện cắt nhau.

Rõ ràng các đường nối đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện đôi một cắt nhau vì chúng không đồng phẳng nên

Cũng không thể tại một đỉnh nào đó có ba góc phẳng vuông,

vì khi đó theo tính chất của tứ diện vuông, mặt đối diện của đỉnh được chọn là tam giác nhọn

Như vậy tại một đỉnh chẳng hạn đỉnh A

Việc chọn góc vuông ở mặt ACD hoặc tại C hoặc

tại D Khi đó: DC^ AC DC, ^ AB⇒DC^ ( ABC) ⇒DC^ BC

Như vậy dạng duy nhất của tứ diện có bốn mặt vuông là

tứ diện có một mặt là tam giác vuông và hình chiếu của

đỉnh thứ tư trùng với đỉnh góc nhọn của tam giác vuông

được chọn

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

thang vuông, vuông tại A và D, độ dài AB bằng 2 lần độ dài

CD, CD=AD, SA^ (ABCD), SA=AB

a, Chứng minh các tam giác SDC, SCB vuông

b, Lấy E là trung điểm của SB Dựng giao điểm F của mặt phẳng (ADE) với cạnh SC

c, Chứng minh rằng

(SDC) (^ SAD) (, SBC) (^ ADE),AF^ (SBC);

d, Tính góc tạo bởi (ADE) và (ABCD)

e, Cho AB=a, tính diện tích thiết diện AEFD

0

902

CI = AD⇒ ACB=

Từ đó suy ra S.ABC là tứ diện có 4 mặt vuông

a, Suy từ các tứ diện SADC và SABC là những tứ diện với bốn mặt vuông.

b, Do (SAB)^ AD, suy ra AD^ SB Tam giác SAB cân, AE là trung tuyến vậy AE^ SB, từ đó suy ra SB^ (ADE) EF là đường thẳng trung tuyến của (ADE) và (SBC) nên EF đi qua giao điểm K của BC và AD

c, Do DC^ (SAD), suy ra (SCD) chứa Dc phải vuông góc với mặt phẳng (SAD)

d, Ta có AE^ AD, AD^ AD suy ra góc giữa (ADE) và (ABCD) bằng góc

và các đường cao SC, KE của nó, đồng thời cũng là đường

trung tuyến của chúng bằng nhau và

23

KF

KE =

Vì FH//AE nên theo định lý Talet:

22.6

- Với hình lập phương cạnh a: d =a 3

- Thể tích hình hộp: V S h =

(với S là diện tích đáy, h là chiều cao

hạ từ 1 đỉnh tới mặt đối diện)

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a và

điểm K thuộc cạnh CC’ sao cho

23

là (AIKJ)

3 ABCD.A'B'C'D'

3 A.BDIJ 1 BJID 1 2

Gọi a là cạnh đáy lăng trụ.

Trong tam giác vuông DAI có:AI AD = cot α = a cot α

Trong tam giác vuông ABA’:

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng a Góc

giữa đường chéo AC’ và đáy là

0

60

Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ

Trong tam giác vuông ABC’: AB =AC’.sinβ =d.sin ;β

Trong tam giác vuông ABC

khi = 30 32

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp

Giải

a) Ta có

0

112

a OB

4

a

A N

xq ABB A

MỤC LỤC