Ly thuyet toan lop 12

Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức fxdx ban đầu về toàn bộ biểu thức gudu đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữ

A HÀM SỐ

I SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số y f x  

+) f ' x  0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy

+) f ' x  0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy

Quy tắc:

+) Tính f ' x , giải phương trình   f ' x 0 tìm nghiệm

+) Lập bảng xét dấu f ' x  

+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bài toán 2: Tìm m để hàm số y f x, m   đơn điệu trên khoảng (a,b)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng a, b thì  f ' x   0 x a, b

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng a, b thì  f ' x   0 x a, b

xc

xc

*) Tìm m để hàm số bậc 3 y ax 3bx2cx d đơn điệu trên R

+) Tính y ' 3ax 22bx c là tam thức bậc 2 có biệt thức 

+) tìm các điểm tới hạn của hàm số (tại đó y ' 0 hoặc y ' không xác định)

+) lập bảng xét dấu y ' dựa vào bảng xét dấu và kết luận

+) giải phương trình f ' x 0 tìm nghiệm

+) thay nghiệm vừa tìm vào f " x và kiểm tra từ đó suy kết luận. 

Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3

Cho hàm số: y ax 3bx2cx d có đạo hàm y ' 3ax 22bx c

1 Để hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt   0

2 Để hàm số có không cực đại, cực tiểu  y ' 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép   0

3 Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu

+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B

+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: ymx n y ' Ax B     Phần dư trong phép chia này là y Ax B chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu

Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

 hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu

2 hàm số có 3 cực trị khi ab 0 (a và b trái dấu)

3 Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và A Oy , A 0;c , B x , y ,C x , y , H 0; y    B B  C C  B

+) Tam giác ABC luôn cân tại A

+) B, C đối xứng nhau qua Oy và xB x , yC ByC yH

+) Để tam giác ABC vuông tại A: AB.AC 0  

+) Tam giác ABC đều: AB BC

+) Tam giác ABC có diện tích S: B C A B

+) A, B, C là các điểm cực trị

A 0;c , B b,c b ,C  b;c b

+) Tam giác ABC vuông tại A khi b 1

+) Tam giác ABC đều khi b33

+) Tam giác ABC có A 120 0 khi b 31

3

+) Tam giác ABC có diện tích S khi 0 2

b 1 1



 

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x   xác định trên D.

+) M là GTLN của hàm số trên D nếu:  

*) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x 0 tìm nghiệm trên D

y

x

AB=AC= b 4 +b AH=b 2 HB=HC= b

b 2

C

H A

O

- Lập BBT cho hàm số trên D.

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN

*) Quy tắc riêng: (Dùng cho a; b ) Cho hàm số  y f x   xác định và liên tục trên a; b 

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x 0 tìm nghiệm trên a, b 

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x1 2a, b

- Tính 4 giá trị f a , f b , f x ,f x So sánh chúng và kết luận.      1 2

3 Chú ý:

1 GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn

2 Hàm số liên tục trên đoạn a, b thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này.

3 Nếu hàm sồ f x đồng biến trên   a, b thì  max f x f b , min f x   f a 

4 Nếu hàm sồ f x nghịch biến trên   a, b thì  max f x  f a , min f x    f b 

5 Cho phương trình f x m với y f x   là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm

Dmin f x m max f x

IV TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

xlim y b

   hoặc xlim y b   

2 Dấu hiệu:

+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng

+) Hàm phân thức mà bậc của tử  bậc của mẫu có TCN

+) Hàm căn thức dạng: y  , y  bt, y bt  có TCN (Dùng liên hợp)

+) Hàm y a , 0 a 1 x     có TCN y 0

+) Hàm số y log x, 0 a 1 a     có TCĐ x 0

3 Cách tìm:

+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử

+) TCN: Tính 2 giới hạn: xlim y  hoặc xlim y  

x O

y

x O

y

x O

x O

y

x O

c

 

  

 +) Đạo hàm:

ad bcy

cx d







- Nếu ad bc 0  hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4

- Nếu ad bc 0  hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x d

VI SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Phương pháp:

Cho 2 hàm số y f x , y g x      có đồ thị lần lượt là (C) và (C’)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x  g x 

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’)

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m 0(phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng m f x  

+) Lập BBT cho hàm số y f x  

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x, m  0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x x 0 là 1 nghiệm của phương trình

+) Phân tích:      

 

0 0

- Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R  hàm

số không có cực trị  y ' 0 hoặc vô nghiệm

+) Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị

y F x, m cắt trục hoành tại 3 điểm phân

biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và

y F x, m cắt trục hoành tại 2 điểm phân

biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và

Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng:

*) Các câu hỏi thường gặp:

1 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt   1 có 2 nghiệm phân biệt khác d

c



2 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C)   1 có 2 nghiệm phân biệt

+) Tam giác ABC vuông

+) Tam giác ABC có diện tích S0

BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax4bx2  (1)c 0

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t 1 t2

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t 1t2

3 Bài toán: Tìm m để (C): y ax 4bx2c 1  cắt (Ox) tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng

- Đặt t x , t 0 2    Phương trình: at2bt c 0  (2)

- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t , t t1 2 1t2thỏa mãn t2 9t1

- Kết hợp t2 9t1 vơi định lý vi – ét tìm được m

VII TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x ; y thuộc đồ thị hàm số: 0 0

Cho hàm số  C : y f x   và điểm M x ; y 0 0   C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

- Tính đạo hàm f ' x Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là   f ' x 0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y f ' x x x     0y0

Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M x ; y là tiếp điểm Khi đó  0 0 x thỏa mãn: 0 f ' x 0 k(*)

- Giải (*) tìm x Suy ra 0 y0 f x 0

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x   0y0

Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số  C : y f x   và điểm A a; b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua  

A

- Gọi   là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó   : y k x a   b(*)

- Để   là tiếp tuyến của (C)      

4 Cho hàm số bậc 3: y ax 3bx2cx d, a 0   

+) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

+) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

1 Định nghĩa luỹ thừa

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

 Căn bậc n của a là số b sao cho bn  a

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:

n abna bn ;

n n n

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì na  nb

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a n b

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

II HÀM SỐ LŨY THỪA

1) Hàm số luỹ thừa y x

 ( là hằng số)

1 với x 0 nếu n chẵn

x với x 0 nếu n lẻ

n x

n 

n 1 n

 Logarit thập phân: lg b log b log b  10

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b log b e (với

n1

log a

1log c  log c ( 0)



IV HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

1) Hàm số mũ y a x (a > 0, a  1)

 Tập xác định: D = R

 Tập giá trị: T = (0; +)

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

x

1lim(1 x) lim 1 e

  a 

1log x

x ln a

ulog u

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a  1: f (x) g(x)

b , rồi đặt ẩn phụ

f (x)atb

 Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1)

 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:

 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) f (v)  u v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

VI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Phương trình logarit cơ bản

Với a > 0, a  1: b

alog x b  x a

2 Một số phương pháp giải phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a  1: a a

f (x) g(x)log f (x) log g(x)

c) Đặt ẩn phụ

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:

 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1: log c b log a b

VIII BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

 Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

a 1

f (x) g(x) 0log f (x) log g(x)

a

log A

0 (A 1)(B 1) 0log B     

1) Bài toán lãi suất

a) Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng Tính cả vốn lẫn

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.

Từ công thức (*) T = a(1 + r)n ta tính được các đại lượng khác như sau:





b) Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng) Biết lãi suất hàng tháng là m% Hỏi

sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền?

Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m)

Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là:

a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] = a [(1+m) -1] 2

[(1+m)-1] =

2a

[(1+m) -1]

m Cuối tháng thứ II, người đó có số tiền là:

T2= a 2

[(1+m) -1]

2a

[(1+m) -1]

2a

[(1+m) -1]

Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là Tn:

2) Bài toán tăng dân số

3) Bài toán chất phóng xạ

n n

T m a

4) Các bài toán khác liên quan

C NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

I ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH

1 Khái niệm nguyên hàm

 Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:

dx cot(ax b) Csin (ax b)  a  

+Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số f u(x) u (x)dx F[u(x)] C  '  

( F(u) là một nguyên hàm của f(u) )

Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về toàn

bộ biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữa biểu thức và đạo hàm với nó ví dụ như:

- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau :

+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:

,

f (u(x)).u (x).dx



+ Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng :

f(x) chứa biểu thức a2 x2 Đặt x = |a|sint (- t

+Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức

u(x).v '(x)dx u(x).v(x)  v(x).u '(x)dx

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng f (x).g(x)dx trong các trường hợp sau:

-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số mũ-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số logarit-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số đa thức-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm lôgarit

-f(x) là hàm mũ.g(x) là hàm lôgarit-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm mũCách giải : - Dùng công thức (*)

- Dùng sơ đồ (thường dùng để làm trắc nghiệm)

Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

xP(x)e dx

 P(x) cosx dx P(x)sinx dx P(x) lnx dx

IV TÍCH PHÂN

1 Khái niệm tích phân

 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

b a

f (x)dx

 b

 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:

b a

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

b a

vdu

 dễ tính hơn

b a

udv



V ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH

1) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]

– Trục hoành

– Hai đường thẳng x = a, x = b

là:

b a

2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]

– Hai đường thẳng x = a, x = b

là:

b a

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])– Hai đường thẳng x = c, x = d

VS(x)dx

 Thể tích của khối tròn xoay:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)

sinh ra khi quay quanh trục Ox:

b 2 a

Vg (y)dy

z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

 Hai số phức bằng nhau: a bi a’ b’i a a ' (a, b, a ',b ' R)

 a bi a’ b’i  a a’ b b’ i   a bi   a’ b’i a a’ b b’ i 

 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

 u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u u ' biểu diễn z + z’ và u u '  biểu diễn z – z’

4 Nhân hai số phức :

 a bi a ' b 'i     aa’ – bb’ ab’ ba’ i 

 k(a bi) ka kbi (k R)   

8 Căn bậc hai của số phức:

 z x yi  là căn bậc hai của số phức w a bi   z2 w 

 w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0

 w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau

 Hai căn bậc hai của a > 0 là  a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là  a.i

9 Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0)

2

B 4AC

     0: (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 B

E ĐA DIỆN, NÓN, TRỤ CẦU

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện (H) Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ

tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H)

2) Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H) được gọi là khối đa diện (H).

3) Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và

miền ngoài của (H) Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của (H).Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó

4) Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.

a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là

một phép biến hình trong không gian

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai

điểm tùy ý

c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành

đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia

e) Một số phép dời hình trong không gian :

- Phép dời hình tịnh tiến theo vector v, là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho MM ' v  

- Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm

M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H)

- Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến điếm M khác O thành điểm

M’ sao cho O là trung điểm của MM’

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H)

- Phép đối xứng qua đường thẳng d, là phép biến hình mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M

không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’ Phép đối xứng qua đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d