tổng hợp lý thuyết toán lớp 9

, , ,x b y c a c by ax + Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình + Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm + Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đườ

2 2

Lý thuyết Toán 9

ÔN TẬP KT CHƯƠNG I ĐẠI SỐ

LÝ THUYẾT Điều kiện có nghĩa của một số biểu

B A B

B A B a

A

.

.

B A m B A B A

B A m B

(

) (

B A

B A m B A B A

B A m B

(

) (

B A m B A B A

B A m B

B A m B A B A

B A m B

- Đồng biến trên R khi a > 0

- Nghịch biến trên R khi a < 0

c Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Bước 1 Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = ta được điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành

Bước 2 Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b

d Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0) Khi đó

Lý thuyết Toán 9

e Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)

*Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong

đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đườngthẳng y = ax + b và có tung độ dương

*Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng

y = ax +b

f Một số phương trình đường thẳng

- Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0

- Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là

0 0

1

x  y 

2.1 Cụng thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó

- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức

+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(a  0hoặc b 0 )

+ Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c

+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm

+ Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c Nếu a 0  ;b 0thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất:

b

c x b

) 1 (

, , ,x b y c

a

c by ax

+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình

+ Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm

+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:

-Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)

-Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d')

*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất

*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm

*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm

Hệ phư ơng trình tương đương:

Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:

Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp thế :

a) Quy tắc thế :

+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vàophương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn)

GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880

Lý thuyết Toán 9

+ Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phươngtrình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ởbước 1)

 Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp cộng đại số :

Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ

Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ

Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhânvới số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quyđồng hệ số)

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG.

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

A Kiến thức cơn bản

1 Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox

- Góc  tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

-15 -10 -5 5 10 15

T

A y=ax+b y=ax

Trường hợp a > 0

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

- từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)

- dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn

2 Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Lý thuyết Toán 9

- dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt 1 ẩn

- giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

A Kiến thức cơ bản

1 Quy tắc cộng đại số: gồm 2 bước

- Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới

- Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia)

2 Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

- Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn kia là thành”

- Nghĩa là:

+ nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau

+ đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau

+ cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn

+ thay vào tính nốt ẩn còn lại

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A Kiến thức cơ bản

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo 3 bước sau :

- bước 1 : lập hpt (bao gồm các công việc sau)

+ chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn)

+ biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

+ lập hpt biểu thị tương quan giữa các đại lượng

- bước 2 : giải hpt vừa lập đc ở bước 1

- bước 3 : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ra ban đầu

HÀM SỐ y ax a 2  0 ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax a 2  0

A Kiến thức cơ bản

1 Tính chất hàm số y ax a 2  0

a) Tính chất:

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0

Lý thuyết Toán 9

0 0

0

x x

+ nếu   0 thì pt vô nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn

- Quy đồng mẫu thức cả 2 vế của pt, rồi khử mẫu

- Giải pt vừa nhận được

- Kết luận: so sỏnh nghiệm tỡm được với đk xỏc định của pt

3 Phương trỡnh tớch.

- dạng tổng quỏt: A B x  x 0  - cỏch giải:      

 

0 0

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

- Đồ thị:

Đồ thị là một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0)

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành

5 Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm

phân biệt:

a

b x

2 1

2 2

a

b x

' ' 1

' ' 2

Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm:

Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm nào thích hợp

với bài toán và kết luận

B các dạng bài tập

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán: Rút gọn biểu thức A

 Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bớc sau:

- Quy đồng mẫu thức (nếu có)

- Đa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)

- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia

- Cộng trừ các số hạng đồng dạng

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.

 Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu thức

- Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết.

a a

.

3 2 1 3

2 1 2 2

3

2 2

2 1

2 3

3 2 2 1

a b

a b

2 1 1

- Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu

A > C và C > B  A > B

- Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng

Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi t ơng đơng để dẫn đến

điều vô lí khi đó ta kết luận A > B

- Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết.

- Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp.

- Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ.

Dạng 5: bài toán liên quan tới phơng trình bậc hai

Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0) (a0))

a

b x

2 1

2 2

2

2 1





+ Nếu  < 0 : Phơng trình vô nghiệm

- Phơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn

Ta có ' = b'2 - ac với b = 2b'+ Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a

b x

' ' 1

' ' 2







+ Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm kép

GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880

A = B

Lý thuyết Toỏn 9

a

b x x

' 2 1





+ Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm

- Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et.

Nếu x1, x2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) thì:

a b x

x

2 1

2 1

.

Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0) ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ).

 Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng

a Trờng hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m

Giả sử a = 0  m = m0 ta có:

(*) trở thành phơng trình bậc nhất ax + c = 0 (**)+ Nếu b  0 với m = m0: (**) có một nghiệm x = -c/b

2 1

2 2

2

2 1





 Nếu  < 0 : Phơng trình vô nghiệm

+ Tính ' = b'2 - ac với b = 2b'

Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a

b x

' ' 1

' ' 2







 Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm kép:

a

b x x

' 2 1





 Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm

- Ghi tóm tắt phần biện luận trên

Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai

ax 2 + bx + c = 0) ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.

 Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm:

1 Hoặc a = 0, b  0

2 Hoặc a  0,   0 hoặc '  0Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2

Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai

ax 2 + bx + c = 0) ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt.

 Điều kiện có hai nghiệm phân biệt 







 0 0

'

a

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai

ax 2 + bx + c = 0) ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.

 Điều kiện có một nghiệm:







 0 0

b a

'

a

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0)

( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.

 Điều kiện có nghiệm kép: 







 0 0

'

a

Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0)

( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.

 Điều kiện có một nghiệm: 







 0 0

'

a

Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0)

( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.

 Điều kiện có một nghiệm: 





 0 0

b a

'

a

Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0) (

a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.

 Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:

a c

'

a c P

Bài toán 10 :Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0)

(a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng.

 Điều kiện có hai nghiệm dơng:

a S

a c

'

a S

a c P

Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0)

( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.

 Điều kiện có hai nghiệm âm:

a S

a c

'

a S

a c P

Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0) ( a,

b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.

 Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:

P < 0 hoặc a và c trái dấu

Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0) (*) (

a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x 1

Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0) ( a,

b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn các điều kiện:

) 1 (

2 1

2 1

P a c x x

S a b x

x x

a

b x

x

Thay x1, x2 vào (2)  mChọn các giá trị của m thoả mãn (*)

1

1

Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P của chúng.

 Ta có u và v là nghiệm của phơng trình:

x2 - Sx + P = 0 (*)(Điều kiện S2 - 4P  0)Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u và v cần tìm

Nội dung 6:

giải phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ

GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880

x 1 , x 2

2 nghiệm dơng 2 cặp nghiệm đối nhau4 nghiệm

Bài toán 2: Giải phơng trình ( 2 12) ( 1) 0

 Đặt

x

x  1= t  x2 - tx + 1 = 0Suy ra t2 = (





x x

Thay vào phơng trình ta có:

A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào

 Đặt

x

x  1 = t  x2 - tx - 1 = 0Suy ra t2 = (





x x

Thay vào phơng trình ta có:

A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào

x

x  1 = t giải tìm x

Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao

 Dùng các phép biến đổi đa phơng trình bậc cao về dạng:

+ Phơng trình tích+ Phơng trình bậc hai

a

c by ax

 Các phơng pháp giải:

+ Phơng pháp đồ thị+ Phơng pháp cộng+ Phơng pháp thế+ Phơng pháp đặt ẩn phụ

) 2 ( 0

) ( )

( )

x g x f x g x

g x f

Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp  nghiệm của (1)

Bài toán 2: Giải phơng trình dạng f(x)  h(x) g(x)

0 )

(

0 )

(

x g x h x f

Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x

Nội dung 8:

giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán: Giải phơng trình dạng f(x) g(x)

( 0 ) (

x g x f x g

Xét f(x) < 0  - f(x) = g(x)

 Phơng pháp 3: Với g(x)  0 ta có f(x) =  g(x)

Nội dung 9:

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)

 Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.

- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:

các bài toán liên quan đến hàm số

* Điểm thuộc đờng - đờng đi qua một điểm

Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(xA ;y A ) Hỏi (C) có đi qua A không?

 Đồ thị (C) đi qua A(xA;yA) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng phơng trình của(C)

A(C)  yA = f(xA)

Dó đó tính f(xA)Nếu f(xA) = yA thì (C) đi qua A

Nếu f(xA)  yA thì (C) không đi qua A

* sự tơng giao của hai đồ thị

Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số

y = f(x) và y = g(x) Hãy khảo sát sự tơng giao của hai đồ thị

 Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phơng trình hoành độ điểm chung:

f(x) = g(x) (*)

- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung

- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau

- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung

- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung

- Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA

- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phơng trình của (D)

Bài toán 2: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA ;y A ); B(x B ;y B )  Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b

GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880

b ax

y

B B

A A

Giải hệ ta tìm đợc a và b suy ra phơng trình của (D)

Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với

đ-ờng cong (C): y = f(x)

 Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b

Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:

f(x) = kx + b (*)Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện này ta tìm đ ợc b và suy raphơng trình của (D)

Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA ;y A ) k và tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)

 Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b

Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:

f(x) = kx + b (*)Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép

Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**)

b c

h

H

B

C A