06 bài tập HÌNH học 10

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng:

Trang 1

HÌNH HỌC

BÀI TẬP TOÁN 10

ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC

Trang 3

Bài 1 Các định nghĩa _1_

Bài 2 Tổng và hiệu của hai vectơ _2_

Bài 3 Tích của vectơ với một số _5_

Bài 4 Hệ trục toạ độ _8_

ễN TẬP CHƯƠNG I _10_

II - Tích vô h-ớng của hai vectơ và ứng dụng

đến 180o

_12_

Bài 2 Tích vô h-ớng của hai vectơ _14_

Bài 3 Các hệ thức l-ợng trong tam giác và giải tam giác _16_

ễN TẬP CHƯƠNG II _18_

III - Ph-ơng pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 1 Ph-ơng trình đ-ờng thẳng _22_

Bài 2 Ph-ơng trình đ-ờng tròn _33_

Bài 3 Ph-ơng trình đ-ờng Elíp _40_

Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ FB: www.facebook.com/ VanLuc168

Trang 4

và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?

Câu 2 Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

Câu 5 Cho hai véc tơ a b, 

Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a b   a b

Trang 5

2

www.facebook.com/ VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com

§2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ

Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ

Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng:

– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ

– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác

và BC Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm

Câu 3 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng minh:

Câu 8 Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng minh:

Câu 9 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là

điểm thuộc AC sao cho CN 2NA

Trang 6

Hình học 10

3

Câu 11 Cho ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:

Gọi I là trung điểm của CD, G là

trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AG ,

   

Tính BC CA AB  , ,

theo u và v 

Câu 18 Cho ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên cạnh

BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC

Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đĩ đối với hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OMa

– Trung điểm của đoạn thẳng

– Trọng tâm tam giác, …

Câu 20 Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC  0

   

Câu 21 Cho đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I M là điểm tuỳ ý khơng nằm trên đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI

Trang 7

Câu 24 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung

điểm của MN Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA SB SC SD   4SO

Câu 29 Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MDMCAB

Câu 30 Cho tứ giác ABCD

a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD   0

a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA, BB, CC, DD

b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác ABCD

Câu 32 Cho tứ giác ABCD Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao

Trang 8

Hình học 10

5

§3 TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ

Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau

 Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng

Câu 2 Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:

b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm AIB)

Câu 4 Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N,

Câu 5 Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho

Câu 7 Cho ABC Hai điểm M, N được xác định bởi: MA3 4MB0

  

, NB3NC0

  

Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC

Câu 8 Cho ABC Lấy các điểm M N, P: MB2MC NA2NCPA PB 0

Trang 9

6

Câu 11 Cho ABC Gọi A, B, C là các điểm định bởi: A B2  3A C 0

Chứng minh các tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm

Câu 12 Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy các điểm A, B, C sao cho:

Chứng minh các tam giác ABC và ABC có chung trọng tâm

Câu 13 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý Gọi A, B, C lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh ba đường thẳng AA, BB, CC đồng qui tại một điểm N

b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của

Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ABC

Câu 15 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho

Câu 17 Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c  0

a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC  0

Câu 18 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN 2MA3MB MC

Câu 19 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN 2MA MB MC 

c) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm

cố định

Trang 10

Hình học 10

7

Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết Chẳng hạn:

– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó

– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi

Câu 20 Cho 2 điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực của AB

Câu 21 Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ABC)

b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA

Câu 22 Cho ABC

a) Xác định điểm I sao cho: IA3 2IB IC 0

   

b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:

MN 2MA2MB MC

   

luôn đi qua một điểm cố định

c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: HA3 2HB HC  HA HB

    

d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: KA KB KC2   3KB KC

    

a) Xác định điểm I sao cho: IA3IB2IC0

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA3MB2MC  2MA MB MC 

     

Trang 11

thì AB AB + Nếu A(a), B(b) thì AB b a

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB BC AC

2 Hệ trục toạ độ

 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần

lượt là i j ,

O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung

 Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u( ; )x y u x i.y j.

Trang 12

c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho MA2 5MB0

  

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA2 3NB 1

Câu 2 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA3 2MB1

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA3NBAB

Câu 3 Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2), B(4), C(1), D(6)

a) Chứng minh rằng:

AC AD AB

b) Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh: IC ID IA  2

c) Gọi J là trung điểm của CD Chứng minh: AC AD AB AJ 

Câu 4 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA MB MC  0

Câu 7 Viết dưới dạng u xiyj

khi biết toạ độ của vectơ u

là:

a) u(2; 3); u  ( 1; 4);u(2; 0);u (0; 1)

b) u(1;3);u (4; 1); u(1; 0); u (0; 0)

Trang 13

10

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I

Câu 10 Cho hai điểm A(3; 5), (1; 0) B

a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC  3AB

 

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3

Câu 11 Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0)

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB

Câu 12 Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2)

a) Tìm toạ độ các vectơ AB AC BC  , ,

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB

c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM 2AB3AC

Câu 13 Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2)

a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C

b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành cĩ 3 đỉnh là A, B, C

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Câu 1 Cho tam giác ABC với trực tâm H, B là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường

trịn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ giữa các vectơ AH và B C AB và HC ; 

Câu 3 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MDMCAB

Trang 14

Hình học 10

11

Câu 7 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD2AB

Câu 8 Cho ABC Gọi D là điểm xác định bởi AD 2AC

IC

IB

và AI

AM

Câu 9 Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:

a) MAMB

 

b) MA MB MC  0

    c) MA MB  MA MB

Câu 10 Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2)

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Câu 11 Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0)

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Câu 12 Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1) Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:

a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh

b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

Thảo luận bài tập và tham khảo tài liệu trên:

Trang 15

12

CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI

y

1 -1

– tan chỉ xác định khi  90 0 , cot chỉ xác định khi  0 0 và  180 0

2 Tính chất

 Góc phụ nhau  Góc bù nhau

0 0 0 0

sin(90 ) coscos(90 ) sintan(90 ) cotcot(90 ) tan

sin(180 ) sincos(180 ) costan(180 ) tancot(180 ) cot

Trang 16

sintan cot 1 (sin cos 0)

Câu 1 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) asin 00bcos 00csin 900 b) acos 900bsin 900csin1800

c) a2sin 900b2cos 900c2cos1800 d) 3 sin 90 2 02 cos 602 03 tan 452 0

e) a4 2sin 452 03( tan 45 )a 0 2(2 cos 45 )a 0 2

Câu 2 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sinxcosx khi x bằng 00; 450; 600 b)2 sinxcos 2x khi x bằng 450; 300

Câu 3 Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại: a) sin 1

 Tinh cos15 , tan15 , cot15 0 0 0

Câu 5 Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:

Câu 6 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sinxcos )x 2  1 2 sin cosx x b) sin4 xcos4x 1 2 sin2x.cos2x

c) tan2xsin2xtan2x.sin2x d) sin6xcos6x 1 3sin2x.cos2x

e) sin cos (1 tan )(1 cot ) 1 2 sin cosx x  x  x   x x

Câu 7 Đơn giản các biểu thức sau:

a) cosysin tany y b) 1 cos 1 cos b  b c) sina 1 tan 2a

x

2 2



f) sin(900x) cos(180 0x) sin 2x(1 tan 2x) tan 2x

Câu 8 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) cos 122 0cos 782 0cos 12 0cos 892 0 b)

sin 3 sin 15 sin 75 sin 87

Trang 17

14

§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

O A

= 180 0 a b,

ngược hướng + a b,  b a,

2 Tích vô hướng của hai vectơ

; a2 0;a2 0a0

+ a b 2 a22 a b b  2

; a b 2 a22 a b b 2

; a2b2 a b a b

+ a b > 0  a b, nhọn

Trang 18

Hình học 10

15

b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui"

Câu 4 Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh:

, rồi suy ra cosA

b) Gọi G là trọng tâm của ABC Tính AG BC 

c) Tính giá trị biểu thức S = GA GB GB GC GC GA  

     

d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC

Câu 10 Cho tứ giác ABCD

a) Chứng minh AB2BC2CD2DA2 2AC DB

 

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:

Trang 19

16

§3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

VÀ GIẢI TAM GIÁC

a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC

b) Tìm toạ độ điểm M biết CM2AB3AC

  

c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 14 Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8)

a) Tính AB AC

 

Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC

e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng

f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N

g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật

h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO

i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA2TB3TC0

   k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B

l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC

Câu 15 Cho tam giác ABC tìm tập hợp những điểm M sao cho:

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p

– diện tích tam giác: S

1 Định lí côsin

a2 b2c22 cosbc A; b2 c2a22 cosca B; c2 a2b22ab.cosC

Trang 20

sin sin sin 

3 Độ dài trung tuyến

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước

5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)

Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao

 ba.sinBa.cosCctanBccotC; ca.sinCa.cosBbtanCbcotC

6 Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định

 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD

PM/(O) = MA MB MC MD MO2R2

   

 Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT

PM/(O) = MT2MO2R2

Câu 1 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;

a) ab.cosC c cosB b) sinAsin cosB Csin cosC B

Trang 21

18

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II

Câu 2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

Câu 3 Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD

a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S 1AC BD .sin

b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Câu 4 Cho ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH

a) Chứng minh AH a.sin cos ,B B BH a.cos2B CH, a.sin2B

b) Từ đó suy ra AB2 BC BH AH , 2 BH HC

Câu 5 Cho AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao Đặt OA = a, AOH 

a) Tính các cạnh của OAK theo a và 

b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và 

c) Từ đó tính sin 2 , cos 2 , tan 2   theo sin , cos , tan  

Câu 6 Giải tam giác ABC, biết:

Trang 22

Hình học 10

19

Câu 2 Biết sin180 5 1

4



 Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720

Câu 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = cos4xcos2xsin2x b) B = sin4 xsin2xcos2x

Câu 4 Cho các vectơ a b,

a) Tính góc a b,

, biết (a3 )b (7a5 ), (b a4 )b (7a2 )b

d) Tính a b , 2a3b

, biết a 3, b 2, ( , ) 120a b   0

e) Tính a , b

Câu 9 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB Trên đường

chéo AC lấy điểm N sao cho AN 3AC

4



 

a) Chứng minh DN vuông góc với MN

Câu 11 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:

a) b2c2 a b( cosC c cos )B b) b( 2c2) cosAa c( cosC b cos )B

b) sinAsin cosB Csin cosC Bsin(B C )

Câu 12 Cho ABC Chứng minh rằng:

Trang 23

c) Nếu a2 cosb C thì ABC cân đỉnh A

cos cos sin sin thì ABC vuông tại A

e) Nếu S2R2sin sinB C thì ABC vuông tại A

Câu 14 Cho ABC Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau là: b2c2 5a2

a) Có a = 5, b = 6, c = 3 Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho

HD: a) MK = 8 30

15 b) AC = 5, BC =

25

3 , AB = 10

Câu 16 Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x2 x 1; 2x1; x21

a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên

b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 120 0

Câu 17 Cho ABC có B  900, AQ và CP là các đường cao, SABC  SBPQ

a) Có B  600, R 2, I là tâm đường tròn nội tiếp Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ACI

b) Có A  900, AB 3,AC 4, M là trung điểm của AC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM

c) Có a 4,b 3,c 2, M là trung điểm của AB Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp BCM

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	1,57 MB