Bộ đề thi toán tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên

c Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi.. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ... Qua mỗi đỉnh của t

Sở giáo dục và đào tạo

Câu III (2.0 điểm):

1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dơng và biết

Điều kiện để phơng trình có nghiệm: ∆ ≥x' 0 0.25

câu II

2,5 điểm

1)1,5điểm

2 2

A 2 a b 2x A x 2

2)1,0®iÓm

a m + b m c 0 + = (1)Gi¶ sö cã (1)

2

a m bc m

Theo bµi ra f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d víi a nguyªn d¬ng 0.25

Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c ⇒ 16b + 2c = (2010- 98a) 0.25

Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)M3 0.25V× a nguyªn d¬ng nªn 16a + 2010>1 VËy f(7)-f(1) lµ hîp sè 0.252)

x 3 2 .Thö l¹i x = 7 th× A(5; 1); B(10; 2) nªn A thuéc ®o¹n

c©uIV

2 ®iÓm

1)0,75®iÓm

Ta dÔ dµng chøng minh tø gi¸c MBAN néi tiÕp ⇒ MAB MNB · = · , MCAP néi tiÕp ⇒ CAM CPM · = · . 0.25L¹i cã BNM CPM· = ·

M

D

3

A N

M

P D

Do DE//NP nên DEK NABã = ã , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên:

NMB NAB 180 ⇒ NMB DEK 180 ã + ã = 0 0.25Theo giả thiết DMK NMPã = ã ⇒ DMK DEK 180 ã + ã = 0

Vì MEK MDKã = ã ⇒MDK MDCã = ã ⇒DM là phân giác của góc CDK, kết hợp với AM là phân giác DAB⇒M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK của

câu V

1 điểm

D'

B'A'

O

CA

B

D

Không mất tổng quát giả sử:AB≤AC Gọi B’ là điểm chính giữa cung ABCẳ

⇒AB ' CB'=Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA⇒AB BC CA '+ =

0.25

Ta có ⇒B'A B'C B'A' B'C A'C+ = + ≥ = AB + BC ( B’A + B’C không đổi vì

B’, A, C cố định) Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’ 0.25Hoàn toàn tơng tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung ADCẳ thì ta cũng có AD’

+ CD’≥ AD + CD Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’.

⇒Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các cung ằAC

Sở giáo dục và đào tạo

Thời gian làm bài: 150 phút

y 3

y 9xy

a) MB.BD MD.BC =

b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD

c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi

Bài 5:(1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ

−

Thay vào (1) ta đợc

3y 3 16y

3

Thay vào (1) ta đợc y2 = ⇔ = ± 9 y 3

0,25 đ

- Với y 3= ⇒ =x 2 (thoả mãn điều kiện)

- Với y= − ⇒ = −3 x 2 (thoả mãn điều kiện)

Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

4 m4

c) Kẻ đờng kính MN của (O) ⇒ NB ⊥ MB

Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB

Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ∆ ADC

( − ) =

0,25 đ

Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O 0,5 đ

Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân.

KỲ THI TUỶấN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYấN Lấ QUí ĐễN

Bài 4(3điểm)

Cho tam giỏc ABC nội tiếp trũn tõm O cú độ dài cỏc cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là điểm nằm trờn cung BC khụng chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh BC tại D

a.Chỳng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC

b.Tớnh độ dài AD theo a,b,c

Bài 5(1.5điểm)

12

ĐÁP ÁN MễN TOÁN THI VÀO 10 TRƯỜNG CHUYấN Lấ QUí ĐễN NĂM 2009 Bài 1:

Vỡ a,b,c là độ dài ba cạnh tam giỏc nờn ta cú:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b

a b c+ + < c b+ < a b c+ +

Tương tự

2(2);

a b c+ + < c a+ < a b c+ +

2(3)

Ta cú f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p) ạ 0

= >m,n,p khụng phải là nghiệm của pt(1)

Vậy PT đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt

Ta cú BADã =CAEã ( Do cung EB = cung EC)

Và AECã =DBAã ( Hai gúc nội tiếp cựng chắn cung AC) nờn ΔBAD ΔEAC

Ta cú ãADC=BDCã (Đối đỉnh) và CADã =DBEã

(2 gúc nội tiếp cựng chắn cung CE) nờn ΔACD

b a

Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))

4b)Theo tính chất đường phân giác ta có

DChay b

n

- +-

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm)

A B

C= +

là một số nguyên

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD) Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD,

AC Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại

Giải PT(2) ta được:

2 (3)1(4)2

xy xy

1

x y

22

1

x y

Nếu p= −1 thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 2 x≤ ; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm. 0,25

Nếu p=1 thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn − ≤ <3 x 2; (1) có nghiệm x=2; (3)VN 0,25

Kết luận:

+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và

2( 4)1

p x p

−

=+

+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm 2 x≤ ∈¡

+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm − ≤ ≤3 x 2

+ Nếu

11

Nội dung trình bày Điểm

Gọi I là trung điểm AB,

Suy ra ∆KIB= ∆KED⇒IK=KE. 0,25

Chứng minh tương tự có: ∆MIA= ∆MRC 0,25

Ta có: IA=IB, KB=KD (gt)⇒ IK là đường trung bình của ∆ABD ⇒ IK//AD hay

IE//AD

chứng minh tương tự trong ∆ABC có IM//BC hay IR//BC

0,25 Có: QK⊥AD(gt), IE//AD (CM trên) ⇒QK ⊥IE Tương tự có QM ⊥IR 0,25

Từ trên có: IK=KE, QK ⊥IE⇒QK là trung trực ứng với cạnh IE của ∆IER Tương tự 0,25

QM là trung trực thứ hai của ∆IER

Hạ QH ⊥CD suy ra QH là trung trực thứ ba của ∆IER hay Q nằm trên trung trực của

Câu 5 (1,0 điểm):

A'

B' C'

A

P P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S)

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường

thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác ' ' 'A B C (hình vẽ) Khi đó S A B C' ' ' =4S ABC≤4

Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác A B C' ' '.

0.25

Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác ' ' ',A B C chẳng hạn như trên hình vẽ

Khi đó d P AB( ; ) >d C AB( ; ) , suy ra S PAB >S CAB, mâu thuẫn với giả thiết tam giác

Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC

1. Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp

1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1

2. Cho bảng ô vuông kích thước 2009 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là

ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không

=> tứ giác BOPN nội tiếp

+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp

+) do tứ giác AOQM nội tiếp=>·AQO=AMO· =900

tứ giác BOPN nội tiếp =>· · 0

90

BPO BNO= =

=>·AQB=·APB=900 => tứ giác AQPB nội tiếp

b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA

NQ ON OM NOQ COA g g

PQ OP OM POQ BOA g g

2.Ta tụ màu cỏc ụ vuụng của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua

Lỳc đầu tổng số sỏi ở cỏc ụ đen bằng 1005 2009 là một số lẻ

sau mối phộp thực hiện thao tỏc T tổng số sỏi ở cỏc ụ đen luụn là số lẻ

vậy khụng thể chuyển tất cả viờn sỏi trờn bẳng ụ vuụng về cựng một ụ sau một số hữu hạn cỏc phộp thưc hiện thao tỏc T

Môn thi : toán(đề chuyên)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề)

x

x y x

1) Cho phơng trình: 2x2+2 2( m−6)x−6m+52 0= ( với m là tham số, x là ẩn số) Tìm giá trị

của m là số nguyên để phwowng trình có nghiệm là số hữu tỷ

2) Tìm số abc thoả mãn: ( )2

4

abc= a b+ c.

Bài 4.(3,5 điểm)

Cho ∆ABC nhọn có C A.à <à Đờng tròn tâm I nội tiếp ∆ABC tiếp xúc với các cạnh AB,

BC, CA lần lợt tại các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE

b) Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đờng tròn

c) Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET

d) Gọi Bt là tia của đờng thẳng BC và chứa điểm C Khi 2 điểm A, B và tia Bt cố định;

điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng minh rằng các đờng thẳng NE tơng ứng luôn đi qua một điểm cố định

Từ đó xét 4 trờng hợp ta sẽ tìm đợc giá trị của m

2)Từ giả thiết bài toán ta có:

a b

=+ − và ( )2

Vì 0<a<4 và 1+3aM7⇒1+3a=7⇒a=2,

khi đó c=6 và b=1.Ta có số 216 thoả mãn

Kết luận số 216 là số cần tìm

Và do BM=BN từ đó suy ra điều phải c/m

*ý d:Chứng minh NE đi qua một điểm cố định:

Do A, B và tia Bt cố định nên ta có tia Bx cố định và ãABI =α không đổi (tia Bx là tia

phân giác của ãABt )

Xét ∆ABK vuông tại K ta có KB = AB.cos ABI=AB.cosα không đổi

Nh vậy điểm K thuộc tia Bx cố định và cách gốc B một khoảng không đổi do đó K cố

định ⇒đpcm.

GIẢI ĐỀ CHUYấN TOÁN THPT HUỲNH MẪN ĐẠT – KIấN GIANG, NĂM 2009 – 2010

Đề, lời giải Cỏch khỏc, nhận xột

Bài 1: (1 điểm) Cho phương trỡnh ax 2 + bx + c =

0 cú 2 nghiệm phõn biệt x 1 , x 2 Đặt S 2 = x 1 + x 2 ;

S 1 = x 1 x 2 Chứng minh rằng: a.S 2 + b.S 1 + 2c = 0

Theo Vi-ột ta cú: x1+ x2 =

b a

−

; x1.x2 =

c a

9 và tìm tất cả nghiệm còn lại của phương trình.

b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

7273

x x x

Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hệ (I) là:

Nếu x, y, z đều là các số dương thì hệ chỉ

có 1 nghiệm

x x

y y

x x

y y

Vậy nghiệm của hệ là (0 ; 0 ; 0) và (-2 ; -4 ; -6)

Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho

parabol (P):

23

b/ Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai

điểm phân biệt A, B với AB > 6

Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) và

(O’ ; R’) cắt nhau tại A và B (R > R’) Tiếp tuyến

b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A Chứng

minh bốn điểm B, C, E, D thuộc một đường tròn

có tâm là K Xác định tâm K của đường tròn

B O' A E

Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm K Với

K là gaio điểm 3 đường trực của BCE∆ hoặc

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1: (3.5 điểm)

a) Giải phương trình3 x + + 2 3 7 − = x 3

b) Giải hệ phương trình

3 3

8

2 3

62

x y x

Bài 4:(1.5 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành

Bài 5:(2.0 điểm)

a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng

1 Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC

b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c + + = 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 trêng thpt chuyªn

phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010

x x

1 3

1 1

x x

1 1

1 3

x x

4 2

x x

0 2

x x

Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI

đồng dạng với tam giác AOB

Gọi E, F là giao điểm của đờng thẳng AOvới (O) (E nằm giữa A, O)

Chứng minh tơng tự (1) ta đợc:

AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)

Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.

Không mất tính tổng quát, giả sử A và Onằm về 2 phía của đờng thẳng BC 0,25đSuy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K

Kẻ AH vuông góc với BC tại H 0,25đ

Suy ra AH ≤ AK < AO <1 suy ra AH < 1 0,25đSuy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

0,25đ

Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN LAM SƠN

MễN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyờn Toỏn)

Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 thỏng 6 năm 2009Cõu 1: (2,0 điểm)

Đề chớnh thức

1. Cho số x (x R ; x > 0∈ ) thoả món điều kiện : 2 2

1 + 2 - 21

xy

2. Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 Vẽ cỏc tiếp

tuyến AB, AC với đường trũn (O) (B, C là cỏc tiếp điểm) Một gúc xOy cú số đo bằng

450 cú cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E Chứng minh rằng 2 2 - 2 DE < 1 ≤ .

Cõu 5: (1,0 điểm)

Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , trong đú ad – bc = 1 Chứng minh rằng: P ≥

3.

- Hết

-Họ và tờn thớ sinh: ……… Số bỏo danh: ………

sở giáo dục - đào tạo hà

nam

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên

Năm học 2009 - 2010 Môn thi : toán(Đề chung)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Giải hệ phơng trình:

( ) ( )

1) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = x + 6 và parabol y = x2

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục õ, trục Oy lần lợt tại các điểm A ,

B và ∆AOB cân ( đơn vị trên hai trục õ và Oy bằng nhau)

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho ∆ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm của HC

Đờng tròn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại diểm M và N

a) Chứng minh ∆ACB và ∆AMN đồng dạng

b) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH)

-hết -sở giáo dục đào tạo hà

nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010–

hớng dẫn chấm thi môn toán : đề chung Bài 1 (2 điểm)

Bµi 4(3,5 ®iÓm)

a) (1,5 ®iÓm)

E N

M

I

K H

C B

A

0,25

Cã AMN AHN· =· (cïng ch¾n cung AN)

lại có IH = IN (bán kính đờng tròn (AH)) và IK chung nên ∆KNI = ∆KHI (c.c.c)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BèNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYấN

NĂM HỌC 2009 – 2010Mụn Toỏn – Vũng 1(Dựng cho tất cả cỏc thớ sinh)Thời gian làm bài 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 05 cõu trong 01 trang

Câu 2: (2,5 điểm)

Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 1 2

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M

kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó

b) Chứng minh MA.MB = MN2

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều

d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

a, b).

c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R

d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

*****

Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + 1 = 0, a là tham số

a) Giải phương trình với a = 1

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a2> 2

Câu 2.(4,0 điểm)

a) Giải phương trình: x + 3 + 6 - x− (x + 3)(6 - x) = 3.

b) Giải hệ phương trình: 2

x + y + z = 12x + 2y - 2xy + z = 1

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

3abc + xyz3 ≤ 3(a + x)(b + y)(c + z).

≤

(MN + NP + PQ + QM)

b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất

Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS OA và OB là hai bán kính thay

đổi vuông góc với nhau Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By

3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số

II- Đáp án và thang điểm:

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm

Chia 2 vế của (2) cho x2 ta được:

2 2