Đề luyện thi học sinh giỏi

Khi trở về đến nhà mình, An tính ra rằng quãng đờng mình đi dài gấp 4 lần quãng đờng Bích đã đi.. Khi trở về đến nhà mình, An tính ra rằng quãng đờng mình đi dài gấp 4 lần quãng đờng Bíc

Trang 1

Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 1

1/ a) Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình:

2m – 2n = 1984

b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

x2 – 656xy – 657y2 = 1983

2/ Tìm cực trị:

a) Tìm giá trị lớn nhất của S = x6 + y6 biết x2 + y2 = 1

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của F = 2x2 + y2 biết x – y = 1

2 2 2

2 2

2

+

−

− + + +

−

− +

=

xy y x

y x x

xy y x

y y

xy y x

x A

a) Rút gọn A

b) Tìm cặp số nguyên (x,y) để A = -7

4/ Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc

4 km/h Lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình để đến

nhà An với vận tốc 3 km/h An gặp Bích trên đờng, rồi cả

hai cùng đi về nhà Bích Khi trở về đến nhà mình, An tính

ra rằng quãng đờng mình đi dài gấp 4 lần quãng đờng Bích

đã đi Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bích

5/ Cho tam giác ABC đều Gọi M là trung điểm của BC

Lấy hai điểm P và Q bất kì lần lợt trên hai cạnh AB và AC

sao cho góc PMQ = 600

a) Chứng minh rằng: MB2 = QC.BP

b) Chứng minh rằng: QM, PM lần lợt là phân giác của

góc CQP và góc BPQ

Kẻ MH vuông góc PQ Khi P, Q di chuyển trên AB, AC

nhng vẫn đảm bảo góc PMQ = 600 thì điểm H di chuyển

trên đờng cố định nào ?

1/ a/ Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình:

2m – 2n = 1984 b/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

x2 – 656xy – 657y2 = 1983 2/ Tìm cực trị:

a) Tìm giá trị lớn nhất của S = x6 + y6 biết x2 + y2 = 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của F = 2x2 + y2 biết x – y = 1

2 2 2

2 2

2

+

−

− + + +

−

− +

=

xy y x

y x x

xy y x

y y

xy y x

x A

a) Rút gọn A b) Tìm cặp số nguyên (x,y) để A = -7

4/ Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4 km/h Lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình để đến nhà

An với vận tốc 3 km/h An gặp Bích trên đờng, rồi cả hai cùng đi về nhà Bích Khi trở về đến nhà mình, An tính ra rằng quãng đờng mình đi dài gấp 4 lần quãng đờng Bích đã

đi Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bích

5/ Cho tam giác ABC đều Gọi M là trung điểm của BC Lấy hai điểm P và Q bất kì lần lợt trên hai cạnh AB và AC sao cho góc PMQ = 600

c) Chứng minh rằng: MB2 = QC.BP d) Chứng minh rằng: QM, PM lần lợt là phân giác của góc CQP và góc BPQ

e) Kẻ MH vuông góc PQ Khi P, Q di chuyển trên AB,

AC nhng vẫn đảm bảo góc PMQ = 600 thì điểm H di chuyển trên đờng cố định nào ?

Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 2 1/ a) Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình:

Trang 2

xy- 4x = 35 – 5y

2x3 + xy – 7 = 0

2/ Tìm giá trị lớn nhất của A = (3 - x)(4 - x)(2x + 3y)

với 0≤x≤3; 0≤y≤4

3/ Cho

30 11

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2

=

x x x

x x

x x x A

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A ≤0

4/ Một nông dân mang cam ra chợ bán cho ngời khách thứ

nhất

2

1

số cam và thêm

2

1

quả, bán cho ngời khách thứ hai

2

1

số cam còn lại và thêm

2

1

quả, bán cho nời khách thứ ba

2

1

2

1

quả Cứ tiếp tục nh vậy cho đến khi ngời khách thứ sáu mua xong thì số cam

vừa hết Tính tổng số cam của ngời nông dân đem bán

5/ Cho hình chữ nhật nội tiếp một tam giác (một cạnh của

hcn nằm trên cạnh đáy của tam giác và hai đỉnh kia của

hcn nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác Biết diện tích

hcn bằng 63 cm2, cạnh đáy bằng 30 cm, đờng cao ứng với

đáy là 10 cm Tính các kích thớc của hcn

1/ a) Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình:

xy- 4x = 35 – 5y

2x3 + xy – 7 = 0

2/ Tìm giá trị lớn nhất của A = (3 - x)(4 - x)(2x + 3y)

với 0≤x≤3; 0≤y≤4

3/ Cho

30 11

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2

=

x x x

x x

x x x A

a) Rút gọn A b) Tìm x để A ≤0 4/ Một nông dân mang cam ra chợ bán cho ngời khách thứ nhất

2

1

số cam và thêm

2

1

quả, bán cho ngời khách thứ hai

2

1

2

1

quả, bán cho nời khách thứ

ba

2

1

2

1

quả Cứ tiếp tục nh vậy cho đến khi ngời khách thứ sáu mua xong thì số cam vừa hết Tính tổng số cam của ngời nông dân đem bán

5/ Cho hình chữ nhật nội tiếp một tam giác (một cạnh của hcn nằm trên cạnh đáy của tam giác và hai đỉnh kia của hcn nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác Biết diện tích hcn bằng 63 cm2, cạnh đáy bằng 30 cm, đờng cao ứng với đáy là

10 cm Tính các kích thớc của hcn

Bài 1: Cho x thoả mãn đồng thời hai phơng trình:

x + a + b + c =7 (1)

x2 + a2 + b2 + c2 = 13 (2) (a, b, c là tham số)

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có của x) Bài 2: Giải và biện luận phơng trình:

Trang 3

( )

1

1 1

1

2

+

= +

+

−

x

x a x

b x

ax

Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:

4

2 2

2

b a c a c b c b a

− +

−

− +

−

Bài 4: Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào một bể chứa và

một vòi chảy ra ở lng chừng bể Khi bể cạn nếu mở hai vòi

thì sau 2h42’ đầy bể Còn nếu đóng vòi chảy ra, mở vòi

chảy vào thì sau 1h30’ đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp

hai lần vòi chảy ra

a) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc

ngang ở chỗ vòi chảy ra

b) Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi

chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu?

Bài 5: Cho hbh ABCD (AB > AD) Từ C kẻ CE, CF lần lợt

vuông góc với AB và AD

C/m: AB.AE + AD.AF = AC2

Bài 1: Cho x thoả mãn đồng thời hai phơng trình:

x + a + b + c =7 (1)

x2 + a2 + b2 + c2 = 13 (2)

(a, b, c là tham số)

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có của x)

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình:

1

1 1

1

2

+

= +

+

−

x

x a x

b x

ax

Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:

4

2 2

2

b a c a c b c b a

− +

−

− +

−

Bài 4: Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào một bể chứa và một vòi chảy ra ở lng chừng bể Khi bể cạn nếu mở hai vòi thì sau 2h42’ đầy bể Còn nếu đóng vòi chảy ra, mở vòi chảy vào thì sau 1h30’ đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp hai lần vòi chảy ra

c) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang ở chỗ vòi chảy ra

d) Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu?

Bài 5: Cho hbh ABCD (AB > AD) Từ C kẻ CE, CF lần lợt vuông góc với AB và AD

C/m: AB.AE + AD.AF = AC2

Bài 1: Tìm cực trị biểu thức

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 4x2 + 4x - 62x + 1 + 6 b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của:

C =

1

3 2 3

2

2 +

+

−

x

x x

Bài 2: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình:

Trang 4

x2 - y2 = 2(2x + y) + 1

Bài 3:(4 điểm) Cho biểu thức:











+

−

+













+

−

+

x

x x

x : x

x x x

x x

1

1 1

3 2

3

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của A với 2x - 1= 2

Bài 4: (4 điểm) An hỏi Bình: "Năm nay cha mẹ anh bao

nhiêu tuổi?" Bình trả lời: "Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi Trớc

đây khi tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi

của ba anh em chúng tôi là 14, 10 và 6 Hiện nay tổng số

tuổi của cha và mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của ba anh

em chúng tôi"

Tính xem tuổi của cha và mẹ Bình hiện nay là bao nhiêu?

Bài 5: Cho đoạn BC cố định Điểm A di động sao cho góc

BAC = 90o Tìm quỹ tích trọng tâm G của ∆ABC

Bài 1: Tìm cực trị biểu thức

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 4x2 + 4x - 62x + 1 + 6

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của:

C =

1

3 2 3

2

2 +

+

−

x

x x

Bài 2: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình:

x2 - y2 = 2(2x + y) + 1

Bài 3:(4 điểm) Cho biểu thức:











+

−

+













+

−

+

x

x x

x : x

x x x

x x

1

1 1

3 2

3

c) Rút gọn A d) Tính giá trị của A với 2x - 1= 2

Bài 4: (4 điểm) An hỏi Bình: "Năm nay cha mẹ anh bao

nhiêu tuổi?" Bình trả lời: "Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi Trớc

đây khi tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em chúng tôi là 14, 10 và 6 Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của ba anh

em chúng tôi"

Tính xem tuổi của cha và mẹ Bình hiện nay là bao nhiêu?

Bài 5: Cho đoạn BC cố định Điểm A di động sao cho góc

BAC = 90o Tìm quỹ tích trọng tâm G của ∆ABC

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên chúng của hai phơng trình sau:

x + y + z = 3 (1)

x3 + y3 + z3 = 3 (2) Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta có:

a2 + b2 + c2 + d2 ≥ ab + ac + ad Bài 3: Cho biểu thức:

3 2 5 2 9

125 5

4 5 3

180 120 20

2

2 2 2

2

+ +

− +

−

− +

+ +

x x

x

x x

Trang 5

a) Rút gọn A

b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z

Bài 4: Lớp 8A có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh

giỏi môn Văn Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn

bằng nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi

Văn Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn

biết rằng sĩ số lớp 8A là 37 hs

Bài 5: Cho ∆ ABC vuông tại A, một đờng thẳng cắt hai

cạnh AB, AC tại D và E

a) CMR: CD2 – CB2 = ED2 – EB2

b) Tìm tập hợp điểm M sao cho diện tích ∆ BMC bằng diện

tích ∆ ABC

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên chúng của hai phơng trình sau:

x + y + z = 3 (1)

x3 + y3 + z3 = 3 (2)

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta có:

a2 + b2 + c2 + d2 ≥ ab + ac + ad

Bài 3: Cho biểu thức:

3 2 5 2 9

125 5

4 5

3

180 120

20

2

2 2 2

2

+ +

− +

−

− +

+ +

x x

x

x x

c) Rút gọn A d) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z

Bài 4: Lớp 8A có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Văn Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn bằng nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi Văn Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn biết rằng sĩ số lớp 8A là 37 hs

Bài 5: Cho ∆ ABC vuông tại A, một đờng thẳng cắt hai cạnh

AB, AC tại D và E

a) CMR: CD2 – CB2 = ED2 – EB2 b) Tìm tập hợp điểm M sao cho diện tích ∆ BMC bằng diện tích ∆ ABC

Bài 1: a) Tìm nghiệm nguyên của bất phơng trình:

x2 + 2y2 + 2z2 < 2xy + 2yz + 2z b) Giải phơng trình: 1 – 3x + x - 4 = 5x + 1

Bài 2: Cho a, b, c, d, e là những số dơng thoả mãn:

a + b + c + d + e = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ab + bc + cd + de Bài 3: Cho biểu thức:

A = 1 - 1 2 2 4 5 2 1 1 1 2 4 2 +4 1+1

−













−

x x

x

a) Rút gọn A

Trang 6

b) Tìm x để A =

2

1

−

Bài 4: Trên một đờng ô tô đi qua ba thành phố A, B, C (B

nằm giữa A, C) có hai ngời chuyển động đều: Minh xuất

phát từ A bằng ô tô và Nam xuất phát từ B bằng xe máy

Họ khởi hành để đi về phía C cùng vào hồi 8 giờ và cùng

đến C vào hồi 10 giờ 30’ (cùng ngày) Trên đờng sắt liền

bên đờng ô tô, một tàu hoả chuyển động đều từ C đến A,

gặp Nam vào hồi 8 giờ 30’ và gặp Minh vào hồi 9 giờ 06’

Biết quãng đờng AB bằng 75 km và vận tốc tàu hoả bằng

2/3 vận tốc của Minh Tính quãng đờng BC

Bài 5: Từ điểm D trên cạnh huyền BC của ∆ABC vuông ta

kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC CMR:

DB.DC = EA.EB + FA.FC

Bài 1: a) Tìm nghiệm nguyên của bất phơng trình:

x2 + 2y2 + 2z2 < 2xy + 2yz + 2z

b) Giải phơng trình: 1 – 3x + x - 4 = 5x + 1

Bài 2: Cho a, b, c, d, e là những số dơng thoả mãn:

a + b + c + d + e = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ab + bc + cd + de

Bài 3: Cho biểu thức:

A = 1 - 1 2 2 4 5 2 1 1 1 2 4 2 +4 1 +1

−













−

x x

x

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A =

2

1

−

Bài 4: Trên một đờng ô tô đi qua ba thành phố A, B, C (B nằm giữa A, C) có hai ngời chuyển động đều: Minh xuất phát từ A bằng ô tô và Nam xuất phát từ B bằng xe máy Họ khởi hành để đi về phía C cùng vào hồi 8 giờ và cùng đến C vào hồi 10 giờ 30’ (cùng ngày) Trên đờng sắt liền bên đờng

ô tô, một tàu hoả chuyển động đều từ C đến A, gặp Nam vào hồi 8 giờ 30’ và gặp Minh vào hồi 9 giờ 06’ Biết quãng

đờng AB bằng 75 km và vận tốc tàu hoả bằng 2/3 vận tốc của Minh Tính quãng đờng BC

Bài 5: Từ điểm D trên cạnh huyền BC của ∆ABC vuông ta

kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC CMR: DB.DC = EA.EB + FA.FC

Tiêu đề	Đề luyện thi học sinh giỏi
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Đề thi
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Huyện

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	91 KB