Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ DIỆU HUYỀN

KHỐI TÂM VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ DIỆU HUYỀN

KHỐI TÂM VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Không gian véctơ 2

1.2 Không gian affine 4

1.3 Không gian Euclid 13

2 Khối tâm và vận dụng 21 2.1 Khối tâm 21

2.1.1 Khối tâm và tọa độ khối tâm 21

2.1.2 Tọa độ khối tâm các điểm đặc biệt 23

2.1.3 Diện tích theo tọa độ khối tâm 27

2.2 Phương trình đường thẳng và đường tròn 35

2.2.1 Khoảng cách theo tọa độ khối tâm 35

2.2.2 Phương trình đường thẳng qua tọa độ khối tâm 37

2.2.3 Phương trình đường tròn 40

2.3 Vận dụng 43

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS Đàm VănNhỉ, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trongsuốt thời gian nghiên cứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Khoa Toán - Tin, PhòngĐào tạo, các bạn học viên lớp Cao học Toán K7D trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi,động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thânluôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luậnvăn

Thái Nguyên, 2015 Nguyễn Thị Diệu Huyền

Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chương với nội dung chính như sau.Chương 1 là chương chuẩn bị, chương này trình bày một số kiến thức cơbản về không gian vector, không gian Euclid và không gian affin.

Chương 2 trình bày khái niệm về khối tâm, toạ độ khối tâm và một số ứngdụng để tính diện tích và tính khoảng cách theo tọa độ khối tâm

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Nguyễn Thị Diệu Huyền

Email: huyendinh.7977@gmail.com

Chương 1

Không gian Euclid

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian véctơ, khônggian afin và không gian Euclid

1.1 Không gian véctơ

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập V mà các phần tử được kí hiệu: −→u , −→v , −→w , vàtrường K mà các phần tử được kí hiệu: a, b, c, Giả sử trên V có hai phéptoán:

- Phép toán trong, kí hiệu: + : V × V → V

(−→u , −→v ) 7→ −→u + −→v

- Phép toán ngoài, kí hiệu: : K × V → V

(a, −→v ) 7→ a.−→vthỏa mãn các tính chất sau với mọi −→u , −→v , −→w ∈ V và với mọi a, b ∈ K:1) (−→u + −→v ) + −→w = −→u + (−→v + −→w );

2) Có −→0 ∈ V sao cho −→0 + −→u = −→u +−→0 = −→u;

3) Có −→u0 ∈ V sao cho −→u0 + −→u = −→u +−→u0 = −→

0;4) −→u + −→v = −→v + −→u;

5) (a + b).−→u = a.−→u + b.−→u;

6) a.(−→u + −→v ) = a.−→u + a.−→v ;

7) a.(b.−→u ) = (a.b).−→u;

8) 1.−→u = −→u trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K.

Khi đó V cùng với hai phép toán xác định như trên được gọi là một K−không gian véctơ hay không gian véctơ trên trường K hay gọi tắt là khônggian véctơ

Nếu K = R thì V được gọi là không gian véctơ thực Nếu K = C thì Vđược gọi là không gian véctơ phức

Ví dụ 1) Tập các véctơ trong không gian với các phép cộng và nhân véctơ

với một số thực là một không gian véctơ thực

2) Tập K[x] các đa thức biến x với hệ số thuộc trường K với phép cộng

đa thức và nhân đa thức với phần tử thuộc trường K là một K− không gianvéctơ

Định nghĩa 1.1.2 1) Một tổ hợp tuyến tính của hệ véctơ (−→ui), i = 1, 2, , nvới họ hệ số (ai), i = 1, 2, , n là

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử V là một không gian véctơ trên K.

1) Một hệ véctơ trong V gọi là một hệ sinh của V nếu mọi véctơ của V

đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

2) Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là mộtkhông gian véctơ hữu hạn sinh

3) Một hệ véctơ trong V gọi là một cơ sở của V nếu mọi véctơ của V đềubiểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó.

Định nghĩa 1.1.4 Nếu V là không gian véctơ hữu hạn sinh thì V có cơ sở

hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong V đều như nhau Số đó được gọi là

số chiều của không gian véctơ V Khi V là một không gian véctơ có số chiều

Định nghĩa 1.1.6 Tập con W của một K− không gian véctơ V được gọi là

không gian véctơ con của V nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1) W đóng đối với hai phép toán của V , nghĩa là

+ ∀−→u , −→v ∈ W, −→u + −→v ∈ W.

+ ∀−→u , ∀a ∈ K, a.−→u ∈ W.

2) W cùng với hai phép toán của V là một K− không gian véctơ

Nhận xét: - Điều kiện 1) tương đương với điều kiện sau:

∀−→u , −→v ∈ W, ∀a, b ∈ W, a−→u + b−→v ∈ W.

- Từ điều kiện 2) suy ra W phải chứa véctơ −→0, tức là W 6= ∅

1.2 Không gian affine

Định nghĩa 1.2.1 Cho V là một không gian vector trên trường K và A là

một tập khác rỗng mà các phần tử của nó được gọi là các điểm Giả sử có ánh

ϕ : A × A → V(M, N ) 7→ ϕ(M, N )thỏa mãn hai điều kiện sau:

a) Với điểm M ∈ A và vector −→v ∈ V đều có duy nhất N ∈ A sao choϕ(M, N ) = −→v

b) Với ba điểm M, N, P ∈ A ta luôn có

Ví dụ 1.2.1 Không gian hình học ở trung học phổ thông cùng với các véctơ

trong không gian là một không gian affine

Sau đây là một số tính chất đơn giản suy ra từ định nghĩa của không gianaffine

0 thì theo chứng minh trên ta có −−→M M = −→

Tiếp theo là khái niệm phẳng, độc lập affine và phụ thuộc affine Phẳng

là khái niệm mở rộng theo số chiều của các khái niệm quen thuộc như điểm(0 - chiều), đường thẳng (1 - chiều) và mặt phẳng (2 - chiều) Trong E3, mộtđường thẳng d được hoàn toàn xác định nếu như chúng ta biết một điểm P ∈ d

và một vector chỉ phương −→v của nó Một mặt phẳng α được hoàn toàn xácđịnh nếu như chúng ta biết một điểm P ∈ α và một cặp vector chỉ phương

{−→u , −→v } của nó Chúng ta có thể mô tả đường thẳng d và mặt phẳng α nhưsau

Nếu dim −→α = m, ta nói α là một phẳng m− chiều hay một m− phẳng

và viết dim α = m Như vậy dim α = dim −→α

Theo cách gọi thông thường, 1− phẳng gọi là đường thẳng, còn 2− phẳng gọi là mặt phẳng Siêu phẳng là tên gọi của phẳng có đối chiều 1, tức là nếu

số chiều của không gian là n thì số chiều của siêu phẳng sẽ là n − 1

Các khái niệm độc lập affine và phụ thuộc affine trong hình học affine là các khái niệm tương tự các khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến

Ví dụ 1.2.2 a) Hệ hai điểm {P, Q} trong A là độc lập khi và chỉ khi P 6= Q.

b) Hệ 3 điểm {P, Q, R} trong A là độc lập khi và chỉ khi chúng khôngthuộc một đường thẳng (không thẳng hàng)

c) Hệ 4 điểm {P, Q, R, S} trong A là độc lập khi và chỉ khi chúng khôngthuộc một mặt phẳng (không đổng phẳng).

d) Tổng quát, hệ m + 1 điểm {A0, A1, , Am}trong A là độc lập khi vàchỉ khi chúng không cùng thuộc một (m − 1)− phẳng

Định nghĩa 1.2.4 Trong không gian affine n chiều An với 0 < m ≤ n + 1,luôn tồn tại các hệ m điểm độc lập Mọi hệ gồm hơn n + 1 điểm đều phụthuộc

Chứng minh. Giả sử {−→e1, −→e

2, , , −→e

n} là một cơ sở nào đó của −A→n Lấy

A0 ∈ An Khi đó, tồn tại duy nhất các điểm Ai sao cho −−−→A0A1 = −→e

i, i =

1, 2, bc, n

Theo định nghĩa hệ {A0, A1, , An}là hệ gồm n + 1 điểm độc lập Khi

đó, dĩ nhiên hệ {A0, A1, , Am−1}với 0 < m ≤ n + 1 là hệ gồm điểm độclập

Nếu hệ {B0, B1, , Bp} gồm hơn n + 1 điểm, tức là p > n thì hệ{−−−→B0B1,−−−→

i∈I

−

→α

i, ∀i ∈ I Điềunày tương đương với−−→P M ∈ T

αi được gọi là phẳng gian của các phẳng αi.

Từ định nghĩa trên, dễ thấy T

i∈I

αi chính là phẳng lớn nhất chứa trong tất

cả các phẳng αi, i ∈ I

Định nghĩa 1.2.6 Cho X là một tập con khác rỗng của không gian affine A.

Khi đó giao của mọi phẳng chứa X trong A sẽ là một phẳng, gọi là bao affinecủa X, kí hiệu hXi

Bao affine hXi của tập X là phẳng bé nhất chứa X

Định nghĩa 1.2.7 Cho {αi : i ∈ I} là một họ không rỗng các phẳng Baoaffine của tập hợp S

Định lí 1.2.3 Cho α và β là hai phẳng Nếu α ∩ β 6= ∅ thì với mọi điểm

P ∈ α và với mọi điểm Q ∈ β, ta có−→

P Q ∈ −→α +−→β Ngược lại nếu có điểm

P ∈ α và có điểm Q ∈ β sao cho−→

P Q ∈ −→α +−→

β thì α ∩ β 6= ∅.

Chứng minh. Giả sử α ∩ β 6= ∅ Lấy điểm M ∈ α ∩ β Khi đó với mọi điểm

P ∈ α và với mọi điểm Q ∈ β, ta có−−→P M ∈ −→α và−−→M Q ∈ −→

Chúng ta có định lý sau nói về số chiều của tổng hai phẳng, tương tự như

định lý nói về số chiều của tổng hai không gian vector con

Định lí 1.2.4 Giả sử α và β là hai phẳng với phương lần lượt là −→α và −→

dim(α + β) = dim α + dim β − dim(−→α ∩−→β ) + 1.

Tiếp theo ta trình bày kiến thức cơ bản về tâm tỉ cự và tỉ số đơn

Định nghĩa 1.2.8 Cho họ điểm {P1, P2, , Pm} ⊂ Anvà họ hệ số {λ1, λ2, , λm}, λi ∈

K thỏa mãn điều kiện

Ta gọi điểm G là tâm tỉ cự của họ {P1, P2, , Pm}gắn với họ hệ số {λ1, λ2, , λm}

Định lí 1.2.5 Điểm G là tâm tỉ cự của họ điểm {P1, P2, , Pm} gắn với họ

hệ số {λ1, λ2, , λm} khi và chỉ khi G thỏa mãn hệ thức

Từ Định lý 1.2.5 ta suy ra hai hệ quả sau.

Hệ quả 1.2.1 Tâm tỉ cự không phụ thuộc vào điểm O được chọn mà chỉ phụ

thuộc vào hệ điểm {P1, P2, , Pm} và họ hệ số {λ1, λ2, , λm}.

Hệ quả 1.2.2 Khi thay họ hệ số {λ1, λ2, , λm} bởi họ hệ số {kλ1, kλ2, , kλm}, k 6=

0 thì tâm tỉ cự không thay đổi.

Định nghĩa 1.2.9 Tâm tỉ cự G của {P1, P2, , Pm}gắn với họ hệ số {λ1, λ2,

, λm}với λ1 = λ2 = · · · = λm (theo Hệ quả 1.2.2 có thể chọn λ1 = λ2 =

· · · = λm = 1) gọi là trọng tâm của hệ điểm đó

Dễ thấy trọng tâm G được xác định bởi hệ thức

−→

OG =

1m

Định lí 1.2.6 Tập tất cả các tâm tỉ cự với họ các hệ số khác nhau của hệ điểm

{P0, P1, , Pm} trong không gian affine An chính là phẳng α = P0 + P1+

· · · + Pm.

Chứng minh. Dễ thấy −→α được sinh bởi hệ vector {−−→P0P1,−−→

Hệ quả 1.2.3 Cho hệ m+1 điểm {P0, P1, , Pm}, α = P0+P1+· · ·+Pm

và một điểm O tùy ý Khi đó, điểm M ∈ α khi và chỉ khi tồn tại các µi, i =

1.3 Không gian Euclid

Định nghĩa 1.3.1 Một không gian affine thực được gọi là không gian Euclid

nếu không gian vector liên kết là một không gian vector Euclid

Ta dùng kí hiệu E để chỉ không gian Euclid và −→E để chỉ không gian nềncủa nó Đôi khi để nhấn mạnh số chiều ta dùng kí hiệu En và−E→n

Ví dụ 1.3.1 1) Không gian 2 chiều trong hình học giải tích phẳng ở PTTH là

không gian Euclid 2 chiều, được ký hiệu E2 Không gian nền của nó chính làkhông gian các vector tự do trong mặt phẳng, ký hiệu −E→2, với tích vô hướngchính tắc

2) Không gian 3 chiều thông thường trong hình học giải tích ở PTTH làkhông gian Euclid 3chiều, được ký hiệu E3 Không gian nền của nó chính làkhông gian các vector tự do, ký hiệu−E→3, với tích vô hướng chính tắc

3) Không gian vector Euclid −E→nlà không gian Euclid n-chiều liên kết vớichính nó với cấu trúc affine chính tắc

Định nghĩa 1.3.2 Cho En là một không gian Euclid n-chiều Một mục tiêuaffine của En gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở tương ứng là cơ sở trựcchuẩn của −E→n Tọa độ của điểm M ∈ En đối với một mục tiêu trực chuẩnđược gọi là tọa độ trực chuẩn

Ví dụ 1.3.2 Xét không gian Rn với tích vô hướng chính tắc và cấu trúcaffine chính tắc Mục tiêu affine {O, −→ei}của không gian Euclid Rn với điểm

O = (0, 0, , 0) và {−→ei} là cơ sở chính tắc của Rn, là một mục tiêu trựcchuẩn

Nếu trong hình học affine, giữa hai phẳng chỉ có thể nói đến các vị trítương đối: cắt nhau, song song và chéo nhau; thì nay trong hình học Euclid,một vị trí tương đối quan trọng là vị trí trực giao (vuông góc) được xét đến.Cần chú ý rằng khái niệm trực giao ở đây có chỗ khác biệt so với khái niệmvuông góc trong hình học ở PTTH Chúng ta sẽ phân tích sự khác biệt này ởcác ví dụ

Định nghĩa 1.3.3 Hai phẳng α và β trong không gian Euclid E gọi là trực

giao (hay vuông góc)với nhau, kí hiệu α ⊥ β, nếu phương của chúng là cáckhông gian vector con trực giao trong−→E Nếu các phương −→α ,−→

β bù trực giaotrong −→E, ta nói α và β là bù trực giao hay α bù trực giao với β hay β bù trựcgiao với α

Ví dụ 1.3.3 Các ví dụ sau được xét trong không gian Euclid 3 - chiều thông

Theo định nghĩa, hai phẳng α và β trực giao khi và chỉ khi −→α ⊥ −→

βnên −→α ∩ −→

β = {−→

0 } Từ đây suy ra dim(−→α + −→

β ) = dim −→α + dim−→β =dim α + dim β Do đó

1 nếu dim α + dim β > n, thì α và β không trực giao (điều này cho thấyhai mặt phẳng trong không gian Euclid 3 chiều không thể trực giao nhau);

2 nếu α và β bù trực giao nhau thì dim α +dim β = n, hay nói cách khác

α + β = En

Người ta gọi hai phẳng là đối trực giao nếu các phẳng bù trực giao với chúng

là trực giao với nhau Cũng với lập luận tương tự như trên, định lý sau cho tathấy rõ về giao của các phẳng trực giao

Định lí 1.3.1 Trong không gian Euclid E,

1 hai phẳng trực giao có không quá một điểm chung;

2 hai phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất.

Chứng minh. 1 Giả sử hai phẳng α và β trực giao trong E Do −→α +−→

β ={−→0 }, nên nếu α ∩ β 6= ∅ thì giao của chúng chỉ có thể là một điểm

2 Để chứng minh phần còn lại của định lý, chúng ta chỉ cần chỉ ra rằnggiao của hai phẳng bù trực giao α và β luôn luôn khác rỗng Giả sử α∩β = ∅,theo định lý về số chiều của phẳng tổng, ta có

dim(α + β) = dim α + dim β + 1 = n + 1 > n

Điều mâu thuẩn này chứng tỏ α ∩ β 6= ∅ và do đó theo phần 1 thì α và β cógiao là một điểm

Định lí 1.3.2 Trong En cho hai phẳng bù trực giao α và β Nếu phẳng γ trực giao với β thì γ song song với α.

Chứng minh. Theo định nghĩa α và β bù trực giao khi và chỉ khi −→α và −→β

bù trực giao Khi đó, −→α là tập tất cả các vector vuông góc với −→β và do đó

−

→γ ⊂−→β

Hệ quả 1.3.1 Qua một điểm A cho trước của Encó một và chỉ một (n −

m)-phẳng bù vuông góc với một m-m)-phẳng α đã cho.

Chứng minh. Gọi −→β là phần bù trực giao của −→α và gọi β là phẳng đi qua

A với phương là −→β Khi đó β là (n − m) - phẳng bù vuông góc với α Nếu

(n − m) - phẳng β0 cũng bù trực giao với phẳng α thì β và β0 song song, có

cùng số chiều và có điểm chung nên chúng trùng nhau

Tiếp theo ta tìm hiểu về khoảng cách, góc và thể tích Nhờ vào tích vô

hướng, chúng ta có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm, khoảng cách

giữa hai phẳng và một cách tổng quát là khoảng cách giữa hai hình

Định nghĩa 1.3.4 a) Khoảng cách giữa hai điểm M, N trong E, ký hiệu

d(M, N ) là độ dài của vector−−→M N

d(M, N ) := k−−→

M N k

b) Khoảng cách giữa hai phẳng α và β trong E, ký hiệu d(α, β) là số inf

N ∈β,M ∈αd(M, N ).Như vậy

d(α, β) := inf

N ∈β,M ∈αd(M, N )

Nhận xét 1) Nếu α và β là các 0 - phẳng thì hai định nghĩa trên là trùng

nhau

2) Chúng ta có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai hình tùy ý tương tự

như định nghĩa khoảng cách giữa hai phẳng

3) Dễ thấy d là một metric trong E, tức là M, N, P ∈ E

a) d(M, N) ≥ 0, d(M, N) = 0 ⇔ M = N;

b) d(M, N) = d(N, M);

c) d(M, N) + d(N, P ) ≥ d(M, P ) (bất đẳng thức tam giác)

Định nghĩa 1.3.5 Trong E cho hai phẳng α, β và d là đường thẳng cắt cả α

lẫn β Nếu d ⊥ α và d ⊥ β thì d được gọi là đường vuông góc chung của α

⇔ −−→AM =−−→

BN ∈ −→α ∩−→β

⇔ −→AB = −−→

M N

Khoảng cách giữa hai điểm Giả sử điểm M có tọa độ (x1, , xn)và điểm

N có tọa độ (y1, , yn)đối với mục tiêu trực chuẩn đã cho {O, −→ei}của En.Khi đó dễ thấy

d(M, N ) =

vuut

BN ) + det Gr(−→ω

1, , −ω→

m,−→

AB).Chú ý rằng

1, , −ω→

m) .

Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 và d2 trong E làn lượt

có các vector chỉ phương −→a và−→b Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 và d2

b k

Góc giữa hai siêu phẳng Góc giữa hai siêu phẳng α và β trong Enđược xácđịnh là góc giữa hai đường thẳng lần lượt trực giao với α và β Nếu −→n và −→mlần lượt là các phép vector của α và β, thì góc giữa hai siêu phẳng α và β tínhtheo công thức

cos θ =

|−→n −→m|

k−→n kk−→mk.

Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng Trong E cho đường thẳng d và siêu

phẳng α Khi đó góc θ (0 ≤ θ ≤ π/2) giữa đường thẳng d và siêu phẳng αđược định nghĩa là góc phụ với góc giữa đường thẳng trực giao với α Nếu gọi

Thể tích của hình hộp Cho m− hộp H xác định bởi điểm O và hệ m vector

1, , −ω→

m)

Nếu H là 1 - hộp, tức là một đoạn thẳng thì thể tích của H chính là độ dài của

H Khi H là 2 - hộp, thuật ngữ diện tích sẽ được thay thế cho thể tích

Ta gọi (m−1) - hộp H0xác định bởi O và hệ m−1 vector {−→ω1, , −ω−−→

m−1}

là đáy của hộp H Gọi P là điểm sao cho −→OP = −ω→

m Khoảng cách từ P đến(m − 1)- phẳng chứa H0 gọi là chiều cao của hộp H, kí hiệu h Ta có côngthức sau

V (H) = V (H0)h

Thể tích của hình đơn Cho m− đơn hình S xác định bởi hệ m + 1 điểm

{P0, P1, , Pm} Thể tích của S, kí hiệu V (S) được xác định là số

V (S) :=

1m!V (H),trong đó H là hình hộp xác định bởi điểm P0và hệ m vector {−−→P0P1, ,−−−→

P0Pm}.Chiều cao của hình hộp H cũng gọi là chiều cao của đơn hình S Đáy của đơnhình S là (m − 1) - đơn hình S0 xác định bởi hệ m điểm {P0, P1, , Pm−1}.Khi đó ta có công thức

V (S) =

1

mV (S

0)h

Chương 2

Khối tâm và vận dụng

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản

về khối tâm Chúng tôi cũng xét một số vận dụng khối tâm vào giải đề thi họcsinh giỏi

2.1 Khối tâm

2.1.1 Khối tâm và tọa độ khối tâm

Mục này sẽ trình bày về tọa độ khối tâm Không gian Euclid Rn đề cậpđến ở đây được giới hạn chỉ xét trong trường hợp n 6 3 Chúng ta bắt đầubằng bổ dề sau:

Bổ đề 2.1.1 Cho một hệ s điểm {M1, M2, , Ms} trong không gian Rn và một hệ gồm s số thực {α1, α2, , αs} với

điểm M được gọi là điểm khối tâm của hệ s điểm {M1, M2, , Ms};còn hệ{α1, α2, , αs}với Ps

M Mk = ~0được gọi là tọa độ khối

tâmcủa M đối với hệ s điểm {M1, M2, , Ms}.Khi α1 = · · · = αs = 1

Ví dụ 2.1.1 Cho hai điểm phân biệt A và B Điểm M thuộc đoạn thẳng AB

2.1.2 Tọa độ khối tâm các điểm đặc biệt

Ký hiệu G, I, O, H, Ja, Jb, Jc, K là điểm trọng tâm, tâm đường tròn nộitiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, tâm các đường tròn bàng tiếp, điểmđối trung, tương ứng của ∆ABC Khi đó

G(1, 1, 1)I(a, b, c)O(sin 2A, sin 2B, sin 2C)H(tan A, tan B, tan C)

Ja(−a, b, c), Jb(a, −b, c), Jc(a, b, −c)K(a2, b2, c2)

Những đường trung tuyến của tam giác đối xứng qua đường phân giác trong

tương ứng đồng quy tại một điểm Điểm K này được gọi là điểm đối trung hay điểm Lemoine Tọa độ khối tâm của điểm K(a2, b2, c2)

Cho hai điểm với tọa độ khối tâm M(x1, y1, z1)và N(x2, y2, z2) Khi đó

−−→

M N = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

Ví dụ 2.1.2 Cho ngũ giác ABCDE Gọi A1, B1, C1, D1, E1 là trung điểmcạnh CD, DE, EA, AB, BC, tương ứng Gọi A2, B2, C2, D2, E2 là trung điểmđoạn E1B1,A1C1, B1D1, C1E1, D1A1, tương ứng Chứng minh rằng, nămđoạn AA2, BB2, CC2, DD2, EE2 đồng quy tại một điểm O và

Mệnh đề 2.1.1 Cho một hệ s điểm {M1, M2, , Ms} trong không gian Rn

và một hệ gồm s số thực không âm {α1, α2, , αs} với

Mệnh đề 2.1.2 Cho tam giác ABC với độ dài cạnh a = BC, b = CA, c =

AB Giả sử điểm M có tọa độ khối tâm (α, β, γ) Khi đó có

(1) M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi

αM A2 + βM B2 + γM C2 = 0