Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương trình Eulerwaring cho đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HỒ THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG TRÌNH EULER - WARING CHO ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HỒ THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG TRÌNH EULER - WARING CHO ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1 Phương trình Euler - Waring đối với đa thức tuyến tính và đa

1.1 Phương trình Euler - Waring đối với đa thức tuyến tính 41.2 Phương trình Euler - Waring đối với đa thức Laurent 21

2 Phương trình Euler - Waring đối với đa thức trên trường đóng

2.1 Phương trình Euler - Waring đối với đa thức trên trường đóng

đại số đặc số không 242.2 Ứng dụng phương trình Euler - Waring trong toán học phổ

thông 46

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực

và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan mọi thông tintrích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Họ và tên

Hồ Thị Thu Huyền

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS Vũ Hoài An, đãtrực tiếp hướng dẫn tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Khoa Toán - Tin, PhòngĐào tạo Khoa học, các bạn học viên lớp Cao học Toán K7D trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiệnthuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thânluôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luậnvăn

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của cácthầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, 2015 Hồ Thị Thu Huyền

Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán chia kẹo của Euler [1]: Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m

em bé Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo?

Hay chính là bài toán sau đây:

Bài toán A (Bài toán Euler [1]): Tìm số nghiệm nguyên không âm củaphương trình

f1k(z) + · · · + fnk(z) = 0

Mặt khác, sự tương tự giữa đa thức và số nguyên cho ta ứng dụng của các kiểuphương trình trên trong toán học phổ thông (xem [2]) Theo hướng nghiên cứu

này, chúng tôi xem xét vấn đề: Phương trình Euler - Waring đối với đa thức

trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng Cụ thể, chúng tôi xét haiphương trình sau:

2 Mục đích, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp và trình bày các kết quả trong [4] và tương tự của nó về cácphương trình (1), (2) và (3) Chú ý rằng công cụ chúng tôi dùng ở đây có khác

so với Dong-Il.Kim và Nguyễn Hoài Nam Trong [4], Dong-Il.Kim dùng côngthức Nhị Thức Newton và bất đẳng thức giữa bậc và số không điểm Trong[2], Nguyễn Hoài Nam dùng các Định lý chính đối với đường cong hữu tỷ Ởđây chúng tôi dùng Định lý Mason suy rộng [3, Định lý 2.1.2 ]

Ứng dụng các kết quả về phương trình (2) và (3) trong toán học phổ thông

Để ý rằng C là trường đóng đại số đặc số không Do đó các kết quả khi xétđối với K là trường đóng đại số đặc số không vẫn đúng khi thay K bằng C.Ngoài ra, chúng tôi cũng xét tương tự vấn đề của Dong-Il.Kim và mở rộngcủa nó cho Bài toán chia kẹo của Euler và phương trình nghiệm nguyên

3 Nội dung nghiên cứu

Luận văn tổng hợp, trình bày các kết quả về phương trình Euler - Waringđối với đa thức trên trường đóng đại số đặc số không và ứng dụng của nó Cáckết quả này đã được đề cập trong [4] và tương tự của nó, trường hợp đặc biệt

đã được đề cập trong [2] Các ví dụ ứng dụng đã được đề cập trong [1] Cụthể:

- Trình bày các Định lý 1.1.7, 1.1.9, 1.2.1, 1.2.3, 2.1.7, 2.1.8 Định lý1.1.9 là kết quả của Dong - Il Kim trong [4, Định lý 2.1.2] Định lý 1.2.1,1.2.3 là trường hợp riêng của Định lý 3.2.1 trong [4]

- Trình bày 7 ví dụ về Bài toán chia kẹo của Euler

- Trình bày 6 ví dụ về ứng dụng vấn đề của Dong - Il Kim trong [4] đốivới phương trình nghiệm nguyên.

4 Cấu trúc luận văn

Luận văn được chia thành hai chương với nội dung chính như sau:

Chương 1 trình bày phương trình Euler - Waring đối với đa thức tuyếntính và đa thức Laurent trên trường đóng đại số đặc số không Cụ thể: trìnhbày các Định lý 1.1.7, 1.1.9, 1.2.1, 1.2.3 Định lý 1.1.9 là kết quả của Dong -

Il Kim trong ([4] Định lý 2.1.2) Định lý 1.2.1, 1.2.2 là trường hợp riêng củaĐịnh lý 3.2.1 trong [4]

Chương 2 trình bày phương trình Euler - Waring đối với đa thức trêntrường đóng đại số đặc số không và ứng dụng trong toán học phổ thông CácĐịnh lý 2.1.7, 2.1.8 là tương tự của Định lý 2.1.2, Định lý 3.2.1 trong [4]cho phương trình P (f) = Q(g), ở đó P, Q là đa thức, f, g là hàm hữu tỷtrên trường đóng đại số đặc số không Về phần ứng dụng trong toán học phổthông, chương này trình bày 7 ví dụ về Bài toán Euler, 6 ví dụ về ứng dụngvấn đề nghiên cứu của Dong - Il.Kim trong [4] đối với phương trình nghiệmnguyên

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Hồ Thị Thu Huyền

Email: hothuhuyen75@gmail.com

Chương 1

Phương trình Euler - Waring đối với đa thức tuyến tính và đa thức Laurent trên trường

đóng đại số đặc số không

Dong - IL Kim [4] đã phát biểu và chứng minh định lý sau

Định lý B ([4], Định lý 2.1.2) Giả sử k ≥ 2, n ≥ 2 Cho f1, , fn là các đathức tuyến tính khác hằng thỏa mãn

f1k(z) + · · · + fnk(z) = z (1)Giả sử rằng p là số n nhỏ nhất thỏa mãn (2) Khi đó p = k

Từ Định lý B trong chương này chúng tôi xét phương trình (1) và phươngtrình sau đối với đa thức Laurent:

Định nghĩa 1.1.1 Một trường K được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức

một ẩn có bậc khác không với hệ số trong K, có nghiệm trong K

Ví dụ 1.1.1 Trường hữu tỷ Q không là trường đóng đại số vì đa thức P (x) =

x10+ 2không có nghiệm trong Q mặc dù các hệ số của đa thức này đều thuộcQ

Trường số thực R không là trường đóng đại số vì đa thức P (x) = √3x2+1không có nghiệm trong R mặc dù các hệ số của đa thức này đều thuộc R

Định nghĩa 1.1.2 Cho K là một trường.

1) Số tự nhiên n nhỏ nhất khác không sao cho n.1 = 0 thì số n được gọi

là đặc số không của trường K Kí hiệu char(K)

2) Với mọi số tự nhiên n 6= 0 mà n.1 6= 0 thì khi đó ta nói trường K cóđặc số là 0

Ví dụ 1.1.2 Trường số thực R có đặc số 0 Trường Z13có đặc số 13 vì 13 ≡ 0

và 13 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này

Kí hiệu K là trường đóng đại số, đặc số không Gọi f là đa thức khác hằng

có bậc n trên K và a là không điểm của f Khi đó

f = (z − a)mp(z),với p(a) 6= 0 và m là bội của không điểm a của f

Đặt µ0f (a) = m Kí hiệu n(f) là số các không điểm của f kể cả bội,

d ∈ K và l là số nguyên dương Ta định nghĩa

Ví dụ 1.1.3 Xét đa thức f(x) = (x − 1)(x − 2)2

∈ R[x], R là trường sốthực Khi đó, bậc của f là d(f) = 3 và số các không điểm của f là n(f) = 3

Không gian xạ ảnh Pn được gọi là không gian vector sinh ra không gian

xạ ảnh đó Để cho tiện ta thường kí hiệu đơn giản không gian xạ ảnh n chiều

là Pn

Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian xạ ảnh Pn được sinh ra từ không gianvector Vn+1vởi song ánh p Xét Vm+1 là không gian vector con của Vn+1 (0 ≤

m ≤ n), khi đó Vm+1 ⊂ Vn+1 Nên ta định nghĩa ảnh qua song ánh p của

Vm+1 được gọi là m− phẳng của không gian xạ ảnh

có không điểm chung trên K Hai bộ (n + 1) đa thức (f1, , fn+1) và(g1, , gn+1) là tương đương với nhau khi và chỉ khi tồn tại c ∈ K∗ saocho gi = cfi với mọi i = 1, , n + 1

Định nghĩa 1.1.6 Đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn

(K) được gọi là khôngsuy biến tuyến tính nếu ảnh của f không được chứa bất kì siêu phẳng nào của

Pn(K)

Đường cong hữu tỷ f được gọi là khác hằng nếu ảnh của f không là mộtđiểm nào của Pn

(K)

Đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn

(K) với biểu diễn rút gọn ˜f = (1 : x :

· · · : xn) Ta có f là không suy biến tuyến tính Thật vậy:

Xét tổ hợp tuyến tính a1.1 + a2.x + · · · + an+1.xn ≡ 0

Xét đa thức P (x) = a1 + a2.x + · · · + an+1.xn

Đa thức P (x) có vô số nghiệm nên a1 = a2 = · · · = an+1 = 0 Vậy f không

suy biến tuyến tính.

Ví dụ 1.1.8 Xét đường cong hữu tỷ f từ K vào P1

(K) với biểu diễn rút gọn

là ˜f = (x : x + 1) Ta có f khác hằng

Ví dụ 1.1.9 Xét đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn

(K) với biểu diễn rút gọn

là ˜f = (1 : 2 : · · · : (n + 1)) Ta có f là hằng

Định lí 1.1.1 Giả sử f là đường cong hữu tỷ từ K vào Pn

(K) với biểu diễn

rút gọn là ˜f = (f1 : f2) và X là một điểm nào đó của P1(K) sao cho ảnh

của f không chứa trong X Khi đó T (f, X) = T (f ).

Định lí 1.1.2 Giả sử f là đường cong hữu tỷ từ K vào P1

(K) với biểu diễn

+ n1

 1g



− 1

Chứng minh. Viết f = f1

f2 không có không điểm chung Do a 6= 0 và f +g =

a nên f, g có cùng cực điểm tính cả bội Khi đó, ta có thể viết g = g1

max{deg f1, deg g1, deg f2} ≤ n1(f1) + n1(g1) + n1(f2) − 1

g



Ta có

max{T (f ), T (g)} ≤ n1(f ) + n1 1

f

+ n1 1

max{deg F1, deg F2} ≤ n1(F1) + n1(F2) + n1(a) − 1

Ta có deg F1 = k, deg F2 = k, n1(F1) = 1, n1(F2) = 1, n1(a) = 0 Từđây và (2) ta có k ≤ 1 + 1 + 0 − 1 = 1 Từ k ≥ 1 ta nhận được k = 1 Vậy

f1(z) + f2(z) = a

Sau đây tôi xin trình bày cách chứng minh khác cho Định lý 1.1.4 Giả sử

k > 1 Viết

f1(z) = a1 + b1z, f2(z) = a2 + b2z

Thay vào phương trình fk

1(z) + f2k(z) = a, ta có(a1 + b1z)k+ (a2 + b2z)k = a(ak1 + ak2) + c1k(ak−11 b1 + ak−12 b2)z + · · · + cmk (ak−m1 bm1 + ak−m2 bm2 )zm

+ · · · + (bk1 + bk2)zk = a (1.4)Đồng nhất hệ số trong phương trình (1.4) ta có

ak−11 b1 + ak−12 b2 = 0, , bk1 + bk2 = 0 (1.5)

Do f1, f2 khác hằng nên fk

1, f2k độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử fk

1, f2k phụthuộc tuyến tính, khi đó

f1k = cf2k, f1k + f2k = (1 + c)f2k = a

Do a 6= 0 nên 1 + c 6= 0 Khi đó k = 0 Mâu thuẫn, vậy fk

1, f2k độc lập tuyếntính Từ đây suy ra, có nhiều nhất là một ai = 0, i ∈ {1, 2} Xét hai trườnghợp sau:

1) a1 = 0hoặc a2 = 0 Không làm mất tính tổng quát, giả sử a1 = 0 Khi

Do fk

1, f2k độc lập tuyến tính nên

Từ đây và (1.6) suy ra a1 = a2 = 0, mâu thuẫn Vậy k = 1

Định lí 1.1.5 Cho k ≥ 2 là số nguyên dương, f1(z), f2(z) là các đa thức

tuyến tính thỏa mãn

f1k(z) + f2k(z) = z (1.7)

Khi đó k = 2.

Chứng minh. Đặt F1 = f1k(z), F2 = f2k(z), F3 = z Khi đó áp dụng Bổ đề1.1.1 ta có

Chứng minh. Giả sử ngược lại k ≥ 4 Xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 k = 4 Viết f1(z) = a1 + b1z, f2(z) = a2 + b2z, f3(z) =

a3 + b3z Do fk

1, f2k, f3k độc lập tuyến tính nên có nhiều nhất là một ai =

0, i ∈ {1, 2, 3} Xét hai trường hợp con sau

Trường hợp 1.1. Có một ai = 0 Không mất tính tổng quát giả sử a3 = 0, khiđó

f1(z) = a1 + b1z, f2 = a2 + b2z, f3 = b3z, ai, bi 6= 0 (i = 1, 2, 3)

Suy ra

f1k(z) + f2k(z) + f3k(z) = bk3zk + (a1 + b1z)k+ (a2 + b2z)k

= bk3zk+ ak1 + c1kak−11 b1z + c2kak−21 b21z2 + · · · + ck−1k a1bk−11 zk−1 + ckkbk1zk+ ak2 + c1kak−12 b2z + c2kak−22 b22z2 + · · · + ck−1k a2bk−11 zk + ckkbk2zk

Do fk

1, f2k, f3k độc lập tuyến tính nên

... đa thức trường đóng đại số đặc số không,

k1, , kn số nguyên dương Kết xét phương trình (2) (3)được trình bày Mục 2.1 Ứng dụng vấn đề xét Dong-Il.Kim v? ?phương trình. .. thơng trình bày Mục 2.2

2.1 Phương trình Euler - Waring đa thức trên< /b>

trường đóng đại số đặc số khơng

Trong [2], Nguyễn Hồi Nam xét phương trình. .. 2

Phương trình Euler - Waring đa thức trường đóng đại số đặc số khơng ứng dụng< /b>

Trong chương 2, trước tiên xét hai phương trình

f1k(z)