Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - 2015

2 Phép biến đổi dãy số nguyên, liên phân số 8

n

X

k=0

n+k 2k
ak 15 2.4 Phép biến đổi b n =

n

X

k=0

(n2k) ak 22 2.5 Phép biến đổi b n =

n

X

k=0

n−k 2k
a k 24 2.6 Phép biến đổi b n =

n

X

k=0

n+k 3k
ak 27 2.7 Liên phân số hai chiều và tam giác số 29 2.8 Phép biến đổi b n =

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi muốn gửi những lời biết ơn sâu sắc tới người hướng dẫn khoa họccủa mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đã hết lòng giúp đỡ, động viên và chỉ bảotôi trong quá trình học tập và luận văn này

Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên vìluôn tạo điều kiện thuận lợi dành cho tôi trong suốt thời gian học tập tại Trường.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Trung học phổ thông HồngBàng (Thành phố Hải Phòng) đã luôn tạo điều kiện tốt để tôi hoàn thành luận văn này.Cuối cùng tôi xin gửi những tình cảm đặc biệt nhất đến đại gia đình tôi, nhữngngười luôn động viên và chia sẻ những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn

Mở đầu

Nhiều dãy cổ điển có hàm sinh được biểu diễn thành liên phân số Nhiều dãy quantrọng khác nảy sinh từ việc áp dụng các phép biến đổi vào những dãy như thế có biểudiễn liên phân số đã biết Do đó nếu ta có thể biểu diễn kết quả của phép biến đổi ởdạng liên phân số, ta có thể suy ra biểu diễn liên phân số của dãy mới

Tất cả các phép biến đổi mà tôi quan tâm đến là phép biến đổi sẽ được miêu tảbằng mảng Riordan (thông thường), hay mảng Riordan mở rộng

Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, luận văn chia thành hai chương như sau:

• Chương 1 Số Catalan và nhóm Riordan.

• Chương 2 Phép biến đổi dãy số nguyên, phân số liên tục và phương trình Pell

suy rộng.

Thái Nguyên, ngày 26 tháng 03 năm 2015

Trần Thị Thu Thủy

Học viên Cao học Toán Lớp B, khóa 06/2013-06/2015

Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Email: tranthuyhb1978@gmail.com

Chương 1

Số Catalan và nhóm Riordan

Các dãy số được nhắc đến trong luận văn này thường được ký hiệu là Annnnnn.

Đó là số thứ tự của dãy trong Online Encyclopedia of Integer Sequences [4].

gọi là hàm sinh của dãy (an) Ta gọi đó là chuỗi hình thức vì ta không xét đến tính hội

tụ hay tính giá trị của chuỗi mà ta chỉ xem đó như là một cách viết thuận tiện

Định nghĩa 1.2 Số Catalan là số được xác định một cách truy hồi như sau:





4nn!x

suy ra xC(x) không thể bằng

1 +√

1 − 4x2

vì các hệ số của xk trong xC(x) là các số nguyên dương Do đó

n· 1 · 2 · 3 · 4 · · · (2n − 1) · 2n(n + 1)!2 · 4 · 6 · · · 2n



là √ 1

1 − 4x, có thể đượcbiểu diễn thành

Cho P là một phát biểu, ta viết [P] = 1 nếu P đúng, và [P] = 0 nếu P sai.

Chú ý rằng nếu ta có dãy a0, a1, a2, thì dãy thoáng của dãy này được định nghĩa là

a0, 0, a1, 0, a2, 0, a3, 0, với các số 0 xen kẽ Nếu (an) có hàm sinh g(x), thì dãy thoáng có hàm sinh g(x2)

1.2 Nhóm Riordan

Nhóm Riordan là một tập vô hạn các ma trận tam giác dưới có các phần tử là

số nguyên, trong đó mỗi ma trận được định nghĩa bằng một cặp hàm sinh g(x) =

1 + g1x + g2x2+ và f(x) = f1x + f2x2+ với f1 6= 0 Ma trận liên kết là matrận có cột thứ j được sinh bởi g(x)f(x)j (cột đầu tiên được đánh chỉ số bằng 0) Dovậy phần tử thứ i của cột thứ j là

Ti,j = [x]jg(x)f (x)jtrong đó toán tử [xn]cho ra hệ số của xn trong chuỗi lũy thừa được áp dụng vào Matrận tương ứng với bộ g, f được ký hiệu bằng (g, f) hoặc R(g, f) Luật nhóm đượccho bởi

akxk là hàm sinh của dãy an,

được gọi là dãy mảng của dãy an Số hạng tổng quát của nó là

Tn,k = [xn]g(x)xk = [xn−k]g(x) = an−k

Các mảng có dạng như trên tạo thành một nhóm con của nhóm Riordan, được gọi là

nhóm Appell.

Nếu M là ma trận (g, f), và a = (a0, a1, )T là một dãy số nguyên có hàm sinhthông thường A(x), thì dãy Ma có hàm sinh thông thường g(x)A(f(x)) Điều nàysuy ra từ nếu M = (Tn,k)n,k≥0 ta có

mở rộng tác động trên vành chuỗi lũy thừa Z[[x]] bằng

(g, f ) : A(x) −→ (g, f ) · A(x) = g(x)A(f (x))

Ví dụ 1.2 Ma trận nhị thức B là số hạng 1

1−x, 1−xx
của nhóm Riordan Nó có sốhạng tổng quát



nk



rn−k Có thể chứng minh được rằng nghịch đảo B−r của

Br là

1

Một phép biển đổi dãy số nguyên phổ biến là phép biến đổi nhị thức, biến dãy với

số hạng tổng quát an thành dãy có số hạng tổng quát bn định nghĩa bởi

Ta nhắc lại nếu g(x) là hàm sinh của dãy an, thì hàm sinh của dãy bn là

Áp dụng điều này vào biểu diễn liên phân số bên trên, ta thu được biểu diễn hàm sinhcủa phép biến đổi nhị thức thứ r của số Catalan như sau Đầu tiên

1 −

x 1−rx

1 −

x 1−rx

1 −

x 1−rx

1 − 21−rxx −

x2(1−rx)2

1 − 21−rxx −

x2(1−rx)2

1 − · · ·

1 − rx − x −

x21−rx

1 − 21−rxx −

x2(1−rx)2

1 − 21−rxx −

x2(1−rx)2

Mệnh đề 2.1 Giả sử an là dãy có hàm sinh g(x) biểu diễn dưới dạng

= 1

1 − (α + r)x − βx2, x

1 − (α + r)x − βx2



Ví dụ 2.1 Hệ số tam thức trung tâm Hệ số nhị thức trung tâm



2nn

Ví dụ 2.3 Hệ số tam thức trung tâm Hệ số tam thức trung tâm cũng có thể được

biểu diễn bằng phép biến đổi nhị thức của hệ số nhị thức trung tâm thoáng Cách biểu

diễn này có hàm sinh là



(−1)jrjxj

1 − α2

x21−rx

Ví dụ 2.4 Số đường Motzkin có độ dài n không có bước mức ở mức lẻ Dãy có số

1 − α21−rxx2 − β2

x4(1−rx) 2

1 − · · ·

1 − rx − α1x2− β1

x41−rx

1 − α21−rxx2 − β2

x4(1−rx) 2

1 − · · ·

Ví dụ 2.5 Số cây được sắp thứ tự có n cạnh và không có nhánh có độ dài 1 Số

này là A026418, bắt đầu bằng 1, 0, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 22, Dãy bắt đầu bằng 1, 1, 2,



Khi đó dãy số với số hạng tổng quát bn, cho dưới dạng

1 − α2

x (1−x) 2

1 − · · ·

1 − x − α1

x 1−x

1 −

α2(1−x)x 2

1 − · · ·1







2kk





Do đó chúng có biểu diễn của hàm sinh là



với r ∈ Z Ta thu được

Mệnh đề 2.6 Cho an là dãy số có hàm sinh g(x) được biểu diễn dưới dạng



rn−kak

là số hạng tổng quát của dãy biến đổi.

Ví dụ 2.8 Trường hợp r = −1 Trường hợp này tương đương với mảng Riordan

1 − rx,

x(1 − rx)2





(−1)n−kck = 0n = δ0n,

trong đó 0n là dãy số 1, 0, 0, 0, vói hàm sinh bằng 1 Do đó ta thu được phần tửđơn vị



(−1)n−k



2kk



vào an có hàm sinh là

1 − rx(1 − rx)2− α1x − β1x

Chứng minh. Kết quả thu được từ biểu diễn

1 − rx(1 − rx)2

1

1 − α1(1−rx)x 2 − β1

x2(1−rx) 4

1 − α2(1−rx)x 2 − β2

x2(1−rx) 4

được cho bởi

Khi đó hàm sinh của dãy

Ví dụ 2.10 Đường hoàng gia trong một mạng A006319 Đây là dãy số 1, 1, 4, 16,

68, 304, 1412, cũng chính là số đỉnh mức 1 trong tất cả đường đi Schr¨oder có nửa độdài n, (n ≥ 1) Nó có số hạng tổng quát là



Mk+1

Cuối cùng, dãy số với hàm sinh



Mệnh đề 2.10 Cho an là dãy số có hàm sinh biểu diễn dưới dạng

Chứng minh. Ta có

1

1 − xg

 x2(1 − x)2



ak

được biểu diễn dưới dạng



Số hạng tổng quát của ma trận này là

Tn,k = [xn] x

3k

(1 − x)2k+1

Ví dụ 2.12 Số Catalan mở rộng Ta cho an = Cn và lập dãy số

.Khi đó, ta có thể biểu diễn hàm sinh này thành







2kk

là ảnh của dãy lũy thừa rn qua phép nhân bởi mảng Riordan

1 − x,

x3(1 − x)2

,hay bằng

1 − α3

x2(1−x) 3

Do vậy ta thu được

Mệnh đề 2.13 Trong trường hợp bên trên, dãy số



ck

Đây là số A086581 (số đường đi Dyck có nửa độ dài n không có UUDD).

2.7 Liên phân số hai chiều và tam giác số



cn−k,

Đây là số A124644 Ảnh của dãy lũy thừa rn qua ma trận này là

n − k



 Do đó việc áp dụng ma trận với hàm sinh hai chiều ởphương trình (2.4) vào dãy số rn tương đương với tính phép biến đổi nhị thức thứ rcủa số Catalan Cn

Ví dụ này có thể được tổng quát hóa bằng nhiều cách

Đây là số A105864 Theo cách xây dựng bên trên, nó là kết quả của việc áp dụngmảng Riordan

1 − x2, x

1 − x2



vào số Catalan Thật ra, chúng ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.14 Cho an là dãy số có hàm sinh biểu diễn như sau



Sn−2k

có hàm sinh cho bởi

Xem định nghĩa gốc trong A084938.

Ví dụ 2.15 Tam giác Narayana Ba dạng phổ biến của tam giác Narayana được phát

biểu như sau:

Tổng đường chéo của mảng có hàm sinh

Tích của mảng r∆s và B có hàm sinh cho bởi

(1, x, x2, )(r∆s) · (1, y, y2, )T

Nó chính là

(1, x, x2, )(r∆s)(1, 1 + y, (1 + y)2, )Ttheo giả thiết là

Hàm sinh của phép biến đổi nhị thức của mảng (tức là tích của B và r∆s) được chobởi

1 − (r1 + s1y)

x 1−x

1 − (r2+ s2y)

x 1−x

Phép dựng hình Deleham dẫn tới nhiều mảng tam giác số thú vị Lĩnh vực các khối

liên kết [1, 2, 3, 8] rất rộng trong những tam giác này, bao gồm tam giác Narayana.Chúng ta kết thúc bằng một số ví dụ trong lĩnh vực này Một khối liên kết một dạnghình đa diện đặc biệt f-vecto là vecto (f−1, f0, , fn−1)trong đó fi ký hiệu số mặti-chiều Mặt phẳng −1-chiều duy nhất là mặt phẳng rỗng h - vecto (h0, h1, , hn)được xác định từ f-vecto qua một quá trình tương đương được miêu tả bên dưới Trongphần tiếp theo, An và Bn ám chỉ hệ nghiệm thông thường của nhóm quay [3]

Ví dụ 2.17 Mảng hệ số của f-vecto của Bn Tam giác với số hạng tổng quát



nk







2kk







2n − kn

hay tương đương





2

Đây làmảng h-vecto của Bn.Do đó hàm sinh của nó biểu diễn là





được cho bởi

[1, 0, 1, 0, 1, ]∆(1)[1, 1, 1, 1, ].Đây là mảng hệ số của f-vecto của An [1,2] Ta nhắc lại rằng

Đảo chiều tam giác này thu được tam giác có phần tử tổng quát

[k ≤ n] 1

n − k + 1



nk







2n − k + 2

n − k



,

tiếp theo nhân ma trận này với B−1, ta thu được mảng hệ số của h-vecto của An [3].Kết quả là một dạng của tam giác số Narayana bắt đầu bằng





2n − k

chính là tam giác Narayana A090181 Hàm sinh của nó được biểu diễn là

Kết luận và Đề nghị

Luận văn “Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng” đã đạt được các kết

quả sau đây:

1 Trình bày nhiều biến đổi khác nhau của các dãy số nguyên

2 Mô tả các biến đổi thực hiện bởi ma trận Riordan hoặc ma trận Riordan suyrộng

3 Chỉ ra mối liên quan của những biến đổi đó với liên phân số

Những kết quả trên là những nghiên cứu gần đây của Barry (xem [3])

Tài liệu tham khảo

[3] Barry P (2009), "Continued fractions and transformations of integer sequences",

Journal of Integer Sequences, Vol 12, Article 09.7.6

[4] Sloane N J A., The On-line Encyclopedia of Integer Sequences Available at

http://www.research.att.com/ njas/sequences/