Bảng công thức lượng giác

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Buổi 1: Phương trình lượng giác cơ bản, Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 1.. Mục đích, yêu cầu - HS nắm được công thức nghiệm của cá

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Buổi 1: Phương trình lượng giác cơ bản,

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

1 Mục đích, yêu cầu

- HS nắm được công thức nghiệm của các ptlg cơ bản

- Biết chuyển phương trình bậc nhất về phương trình cơ bản

- Thành thạo giải các phương trình lượng giác cơ bản

2 Phương trình lượng giác cơ bản

+> sinx = a có nghiệm x = arcsina + k2 và x =  - arcsina + k2 với -1  a  1

sinx = sin có nghiệm x =  + k2 và x =  -  + k2 , k  Z

+> cosx = a có nghiệm x = arccosa + k2 , k  Z với -1  a  1

cosx = cos có nghiệm x =  + k2

+> tanx = a có nghiệm x = arctana + k , k  Z với a

tanx = tan có nghiệm x =  + k

+> cotx = a có nghiệm x = arccota + k , k  Z với a

tanx = cot có nghiệm x =  + k

3 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng: a.sinf(x) + b = 0

a.cosf(x) + b = 0 (a  0)

a.tanf(x) + b = 0

a.cotf(x) + b = 0

Cách giải: - Chuyển vế b

- Chia 2 vế cho a  PT cơ bản

4 Các bài tập

Bài 1: Giải các phương trình sau:



  2>sin( 3x – 20o ) = -1 3>tan( )

4 2





x

= 1 4>sin(x + )

2

 = 0 5> cot2x = - 3 6>cos(

2

2 )

60 3

0







x

7>sin x 45  0 cos2x 8>sin 2x cos x 2

3

 



10> tan 3x cot 5x 1  0

2



  11>tan 2x 15  0 1 0  12>sin 2x cos x 2

3



  13> tan 3x cos2x 1  0

2



Bài 2: Giải các phương trình sau:

1> 2sin x 30  0  2 2> 3 tan 2x 3

3



5



2



4

1 x

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - Lớp 11 -

Bài 3 Tìm nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho.

1> sin 2x 1

2



3>tan 2x 15  0 1 với 1800 x 90 0 4>cot 3x 1

3

2



Bài 4*: Giải các phương trình sau

1>

    2>tan 2 tanx x 1 3> sin2xsin tan2x 2x3

4> 5cos2xsin2x4 5>

1

cos

x

6>cos 24 xsin3x sin 24 x

7>

4

  8>

4

9> sin4xcos4x cos4x 10> cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x)

11> sin 52 xcos 32 x1 12 >

2 cos cos2 cos 4

16

13>

  17 >

cosx sin 2x sin 4x

18> 4sin 23 x6sin2x3 15>sinsinx 1

………

Buổi 2: Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác

1 Mục đích, yêu cầu:

- HS nắm được dạng và cách giải phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác

- Biết áp dụng một số công thức lượng giác, hằng đẳng thức lượng giác trong biến đổi pt để đưa về dạng bậc hai đối với một hàm số lượng giác

- Yêu cầu học sinh thành thạo giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

2 Dạng phương trình :

a.sin2 f(x) + b.sinf(x) + c = 0

a.cos2 f(x) + b.cosf(x) + c = 0 (a  0)

a.tan2 f(x) + b.tanf(x) + c = 0

a.cot2 f(x) + b.tanf(x) + c = 0

Cách giải: Nếu đặt t = sinf(x) hoặc cosf(x) thì đk: -1  t  1

Nếu đặt t = tanf(x) hoặc cotf(x) thì t bất kì Đưa về PT bậc 2 ẩn t

Trang 3

3 Chú ý sử dụng công thức:

x x

2 2

cot 1 sin

1 7

tan 1 cos

1 6

cot

1 tan

5

1 cos 2 2 cos 4

sin 2 1 2 cos 3

sin 1 cos 2

cos 1 sin 1

























Bài 1: Giải các phương trình sau

1> 2sin x 3sinx 5 02    2> 6cos x cosx 1 02   

3> 2cos 2x cos2x 02   4> cot 2x 3cot 2x 2 02   

5> tan x2  3 1 tan x   3 0 6> 6cos x 5sinx 7 02   

9> cos2x cosx 1 0   10> 3sin 2x 7cos 2x 3 02   

11> 2 2 cos 32 x 2 2 cos3 x 1 0

12>

2

13> 2tan2x + 7tanx – 4 = 0 14> cotx – 3cot2x = 0

15> 2cos2x + (1 - 2)cosx + 2 - 3 = 0 16> -3sin2x + 2sinx + 8 = 0

2

3> 6sin 3x cos12x 42   4> 5 1 cos x    2 sin x cos x4  4

7> cos2x sin x 2cos x 1 0 2    8> cosx 3cosx 2 0

2

Bài 3*: Giải các phương trình sau

1> sin4xcos4xcos 2x 2>

2

3>

x

4> 4 sin 6 cos6  cos 2 0

2

5>

4

6>

4cot 2

x







7>

1

sin 2

x

8>

16

Trang 4

* Phương trình bậc 3 đối với một hàm số lượng giác

Cách giải : Tương tự như cách giải phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác

Bài 4 : Giải các phương trình sau

1> 4sin3x – 8sin2x + sinx + 3 = 0 2> 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) 3> 2tan3x + 5tan2x – 23tanx + 10 = 0 4> cot3x + 2cot2x – 3cotx – 6 = 0 5> cos3x + 3cos2x = 2(1 + cosx) 6> 2sin3x – cos2x + sinx = 0 7> 2cos2x – 8cosx + 7 = cos1 x 8> cos3x + 5sin2x + 7cosx – 7 = 0

………

Buổi 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

- Học sinh nắm được dạng và cách giải pt bậc nhất đối với sinx và cosx

- Học sinh nắm được các công thức cộng và các công thức khác Biết áp dụng vào phương trình trong quá trình biến đổi

- Yêu cầu học sinh thành thạo giải được phương trình dạng này

2 Dạng phương trình:

a.sinx + b.cosx + c = 0 (1) trong đó a, b, c là các số thực

và a2 + b2  0

Cách giải:

- Nếu a = 0, b 0 hoặc a  0, b = 0 thì (1) trở phương trình cơ bản

- Nếu a 0 và b 0 thì

+ Chia 2 vế pt cho a 2 b2

a

b , cos

2 2 2





a

hoặc đặt ngược lại + Sử dụng công thức cộng đưa về pt cơ bản theo sin hoặc cos

 Lưu ý điều kiện có nghiệm pt: c2  a2 + b2









 ) 4 cos(

2

) 4 sin(

2



x x

Và sinx – cosx =











 ) 4 cos(

2

) 4 sin(

2



x x

2

Trang 5

7> 3sinx cosx 2 0 8> 3sin 2x2cos2x3 9>

9

2

10> 4cos3x 3sin 3x 5 0 11> sin 2x + 6

2 cos

5 x

= 0 12> cos(x + 100) – 2sin(x + 100) = 2

Bài 2*: Giải các phương trình sau

1> 3sinx 1 4sin 3x 3 cos3x 2> sin cosx x sin2x cos2x

3>tanx 3cotx4 sin x 3 cosx

4> 2sin 3x 3 cos7xsin 7x0 5> cos5x sin3x 3 cos3 x sin5x 6> 2sinx cosx 1 cos x sin2x

7>

3

  8> sin x 1 sin x   cos x cos x 1  

9> sin8x cos6x  3 sin 6x cos8x  

10>

4

  11> 2 cos 4 xsin4 x 3 sin 4x2

12> 1 cos xsin 3xcos3x sin 2x sinx

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau

1

y



y

x





3

y



2

y







………

Buổi 4: Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx

- HS nắm được dạng và cách giải pt bậc 2 đối với sinx và cosx

- Biết áp dụng một số công thức lg trong quá trình biến đổi

- Yêu cầu học sinh biết giải thành thạo dạng pt này

a.sin2x + b.sinxcosx + c.cos2x + d = 0 trong đó a, b, c, d là các số thực

a2 + b2 + c2  0

Cách giải:

- B1: Xét xem cosx = 0 có thỏa mãn pt hay không?

(Bằng cách thay cosx = 0, sin2x = 1 vào pt)

+> Nếu thỏa mãn thì x = k ,kZ

2 



là một họ nghiệm của pt, rồi chuyển sang B2 +> Nếu không thỏa mãn  cosx 0, rồi chuyển B2

- B2: Xét cosx  0 thì chia 2 vế của pt cho cos2x được pt bậc 2 theo tanx

Trang 6

1 sin2a = 2sina.cosa

x

2

cos

1





x

2

sin

1





1> 2sin2xsin cosx x 3cos2x 0 2> 2sin 2x 3cos2x5sin cosx x 2 0

3> sin2xsin 2x 2cos2 x0,5 4> sin 2x 2sin2x2cos 2x

5> 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 6>

os x sin sin x

7> 3sin 2x 4sin 2x8 3 9 cos   2x 0

8> 2cos3x3cosx 8sin3x0 9>

2

4

11> 3sin2x 2sin 2xcos2 x0 12> 2cos x 5sin x cos x 6sin x 1 02   2   13> cos x sin x cos x 2sin x 1 02   2   14> cos x2  3 sin x cos x 1 0 

15> sin x 3sin x cos x 1 02    16> 4sin x 3 3 sin 2x 2cos x 42   2 

17> 3sin x 5cos x 2cos 2x 4sin 2x 02  2   

18>3sin x2  3sin x cos x 2cos x 2 2 

19> 2 2 sinx cos x cos x 3 2cos x     2

* Phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sinx và cosx

Dạng: a.sin3x + b.sin2x.cosx + c.sinx.cos2x + d.cos3x + (e.sinx + f.cosx) = 0

Cách giải: Tương tự cách giải pt đẳng cấp bậc 2

sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2x.cosx = 0

cos3x – sin3x = sinx – cosx

2cos3x = sin3x

sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3

2sinx + 2

x x

x

sin

1 cos

3 cos

6>2cos3x3cosx 8sin3x0 7>

3

4

8>

3

4>

2cos 2

x

5> 3 2 cosx sinxcos3x3 2 sin sin 2x x

………

Buổi 5: Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx

Trang 7

- Học sinh nắm được dạng và cách giải pt đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx

- Sử dụng thành thạo một số công thức lg, biết biến đổi pt về dạng pt đối xứng

- Yêu cầu học sinh thành thạo giải pt dạng này

* PT đối xứng: a( sinx + cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 (1)

Cách giải: Đặt t = sinx + cosx = )

4 sin(

2 x Điều kiện: t  [ 2 ; 2 ]  sinx.cosx =

2

1

2 

t

Thay vào pt (1) được pt bậc hai ẩn t

* PT nửa đối xứng: a( sinx - cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 (2)

Cách giải: Đặt t = sinx - cosx = )

4 sin(

2 x  Điều kiện: t  [ 2 ; 2 ]  sinx.cosx =

2

1  t2 Thay vào pt (2) được pt bậc hai ẩn t

1> 2 sin x cos x   6sin x cos x 2 0  2> sin x cos x 4sin x cos x 1 0   

3> sin x cos x 2 sin x cos x   1 0 4>2sin 2x 3 3 sin x cos x     8 0

5> sin x 2sin 2x 1 cos x

2

   6>1 sin x 1 cos x 2

7> 2 sin xcosx sin 2x 1 0

1> 2 2 sin x cos x   3sin 2x 2> 6 sin x cos x    1 sin x cos x

3> sin cosx x 6 sin x cosx 1 4> sin x cos x 2 6 sin x cos x 

1>

4

  2> tanx 2 2 sinx1

3> sin3xcos3x1 4> sinx cosx3  1 sin cosx x

5> sinxcosx4  3sin 2x 1 0 6> cos3x sin3xcos 2x

………

Buổi 6: Phương trình đối xứng với tanx và cotx

Một số phương trình lượng giác khác

- Cung cấp cho HS dạng và cách giải pt đối xứng đối với tanx và cotx

- HS nắm vững dạng, cách giải và thành thạo giải được pt dạng này

- Ngoài ra đối với những pt không có cách giải tổng quát thì HS phải linh hoạt trong sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi pt về các pt đã có cách giải

Trang 8

a(tan2x + cot2x) + b(tanx cotx) + c = 0

Cách giải: Nếu đặt t = tanx – cotx, t  R thì tan2x + cot2x = t2 + 2

Nếu đặt t = tanx + cotx, t  2 thì tan2x + cot2x = t2 – 2

Phương trình đã cho trở thành pt bậc hai ẩn t

1> 3 tan xcotx  2 tan 2xcot2 x  2 0

2> tanxtan2xtan3xcotxcot2xcot3x6

3> 3 tan x cotxtan2xcot2x6

4> 9 tan xcotx448 tan 2xcot2x96

5>  4  2 2 

3 tanx cotx  8 tan x cot x  21

4 Ngoài các phương trình đã có dạng và cách giải thì phương trình lượng giác rất đa dạng

không thể có một công thức chung nào để giải mọi phương trình lượng giác Do đó trong quá trình biến đổi phương trình ta chú ý một số vấn đề sau :

- Nếu phương trình chứa nhiều hàm số lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về pt chỉ chứa một hàm lượng giác

- Nếu pt chứa các hàm số lượng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương đương về

pt chỉ chứa các hàm số lượng giác của một cung

- Sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như :

+ Phương pháp đặt ẩn phụ

+ Phương pháp hạ bậc

+ Phương pháp biến thành phương trình tích

+ Phương pháp tổng các số hạng không âm

+ Phương pháp đánh giá tổng hợp…

5.Một số bài tập

Bài 1: Sử dụng công thức biến tổng thành tích hoặc tích thành tổng

1 sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x

2 cos x cos 2x cos3x cos 4x 0   

3 sin 3x sin x sin 2x 0  

4 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

5 cos2x - cos8x+ cos4x = 1

6 cos11x.cos3x cos17x cos9x

7 sin18x.cos13x sin9x.cos4x

8

1

9 sin6x.sin2x = sin5x.sin3x

10 2 + sinx.sin3x = 2 cos2x

11 cosx cos4x - cos5x = 0

Bài 2: Sử dụng công thức hạ bậc

1> sin2x + sin22x = sin23x + sin24x

3> sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x

Trang 9

4> sin2x = cos22x + cos23x

5> 2cos22x + cos2x = 4 sin22x.cos2x

6> cos x cos 2x cos 3x2 2 2 3

2

7> sin x sin 2x sin 3x2 2 2 3

2

8> sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x

9> cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2

10> sin2x + sin23x – 3.cos22x = 0

Bài 3 : Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

1> tan 2x 2 tanxsin 2x0 2> cosx 2 cos 2x cosx 2 cos 2x 3 3>

5

4> cos2x2 2 cos x 2

Bài 4: Biến đổi đưa về phương tích

1> sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0 2> 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx

3> sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 4> cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0

5>

sin 3 sin 5

 6> cos2x - 2cos3x + sinx = 0 7> cos3x – sin3x = cosx – sinx 8> cos4x + sin6x = cos2x 9> 2cos 3x cos 2x sinx 0 10>cos3x 4cos 2x 3cosx 4 0 

Bài 5: Một vài bài toán khác

1> cos 2x cos6x4 3sin x 4sin3x1 0

5> sin3xcos4x1

2> 3sin 2x 2sin2x 4cosx 6 0 6> sin2010xcos2010x1

3> 2sin 2xcos 2x2 2 sinx 4 0 7> 3cos2x 1 sin 72 x

4> cos2x 3sin 2x4sin2x 2sinx 4 2 3cosx 8> sin3xcos3x 2 sin 22 x

9> sin3 cos4x x 1 10> cos2 cos5x x 1

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	452,5 KB