Suy ra d song song với BD và nằm trong mặt phẳng A NI1.. Vậy mp A NI1 chứa đường thẳng d cố định.. Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT
NĂM HỌC 2016 – 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN – BẢNG A
(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
1
(6,0đ)
a) (3,0 điểm) Giải phương trình cos 2 3 cos sin 3 0
3
( )1 2cos2 1 2cos 3 0
⇔ ⎜ + ⎟− + ⎜ + ⎟− =
⇔ ⎜ + ⎟+ ⎜ + ⎟− =
( )
6
6
x
π π
⎡ ⎛ + ⎞=
⎢
⇔
+ = −
⎢ ⎜⎝ ⎟⎠
⎣
0,5
6
6
b) (3,0 điểm) Giải phương trình (x2+2) x2+ + + −x 1 x3 3x2− + = (2)5x 2 0
( )2 ⇔(x2+2) x2+ + +x 1 (x2+2) (x− −3) 7x+ =8 0 0,5
⇔(x2+2) ( x2+ + + − =x 1 x 3) ( x2+ + + −x 1 x 3)( x2+ + − +x 1 x 3) 0,5
( )
2
⎡ + + = −
⎢
⇔
⎢ + = + + + −
⎣
2
7
1 9 6
x
≤
⎧
+ + = − +
2
b ⇔ x + + +x x + + − = ⇔ =x x − ± 0,5
2
(5,0đ)
a) (3,0 điểm)
Số phần tử không gian mẫu: ( ) 8
15
Gọi A là biến cố: Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ ba môn
Khi đó A là biến cố: Số cuốn sách còn lại của thầy X không đủ ba môn 0,5
Trang 2Xét các khả năng xẩy ra:
KN 1: 7 cuốn sách còn lại chỉ có Văn và Sử Số cách chọn là: C97
KN 2: 7 cuốn sách còn lại chỉ có Văn và Địa Số cách chọn là: C107
KN 3: 7 cuốn sách còn lại chỉ có Địa và Sử Số cách chọn là: C117
1,0
9 10 11 8 15
5949
6435
C
+ +
b) (2,0 điểm) : ( )
1
1 1
n n
+
+ + + • Tìm công thức số hạng tổng quát u theo n n
Với mọi n ∈• *, ta có
2 1
1
2 1
n
+
+
( ) ( ) ( )
+
+ ⎣ + + ⎦
0,5
1
1 1
n n
+
1 2
u
n n
+
3
(5,0đ)
a) (3,0 điểm) Chứng minh PQ // ( ACC1)
Q
D1
A1
C1
B1
B
C
A
D
E
P
Gọi E là trung điểm của BB1
1
1 2
AA = PA = nên A P E1, , theo thứ tự đó thẳng hàng và
1
1 2
PE
Tương tự, C Q E , , theo thứ tự đó thẳng
2
QE
0,5
Xét tam giác EAC1 có P, Q lần lượt thuộc các cạnh EA1 và EC đồng thời
Trang 3PA = QC ⇒ PQ AC // 1
b) (2,0 điểm) Chứng minh mặt phẳng ( A NI1 )luôn chứa một đường thẳng cố định
M I
K N
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K =DM ∩AB
Vì AB//CD nên:
CJ = IC = ID
1,0
Qua A1 kẻ đường thẳng d song song với IN Suy ra d song song với BD và nằm
trong mặt phẳng ( A NI1 ) Vậy mp ( A NI1 ) chứa đường thẳng d cố định 1,0
4
(2,0đ)
A
M N
Gọi N là trung điểm cạnh AB Ta có:
Vì MN AC// ⇒NMA MAC∑ =∑ Mặt khác theo giả thiết
A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn
Vậy tam giác ABC vuông tại A
0,5
Ta có: A AM = ∩ AH ⇒ A ( − 1;5 )
Vì M ∈ AM : 3 x y + − = ⇒ 2 0 M m ( ;2 3 − m )
1
5
2
m
m
⎡ =
⎢
⎢ = −
⎢⎣
0,5
;
⎜ ⎟
⎝ ⎠ Khi đó BC qua M và BC ⊥ AH ⇒ BC x : + 3 y − = 2 0
0,5
Trang 4+) Với 5 5 19
;
m= − ⇒M ⎛− ⎞
⎝ ⎠ Khi đó BC qua M và BC ⊥ AH ⇒ BC x : + 3 y − 26 0 =
5
(2,0đ)
Cho ba số thực a b c , , thay đổi Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
2 1
3
2
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
3
0,5
3
3
t = + + − − − t ≥ ⇒ ≤P t − t
Lại có: t3+ + ≥ t3 1 3 t2⇒ ≤ P 1
Dấu bằng xẩy ra khi a = 1, b = 2, c = 3 hoặc a = − 1, b = − 2, c = − 3
Vậy maxP=1 khi a = 1, b = 2, c = 3 hoặc a = − 1, b = − 2, c = − 3
1,0
- Hết -
Ghi chú: Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa