giải đề thi giải tích

* Tìm các điểm tới hạn điểm dừng: Hàm số xác định trên R2... Hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với cả x và y, miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz và mặt phẳng yOz... Miền V có

2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015

Môn thi: Giải tích 2

Số tín chỉ: 02 Đề số 1

Dành cho sinh viên: Ngoài khoa Toán

Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (3đ): Tìm cực trị của hàm số

3 3

y 6xy x

Câu 2 (4đ): Tính tích phân 3 lớp sau:





V

dxdydz

| xy

| I

Trong đó V là miền xác định bởi x2 + y2 + z2 4 và z  0

Câu 3 (3đ): Tính tích phân đường loại hai:



L

2 x

2 x

dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e I

Trong đó, L là đường cong kín gồm cung 2

x 1

y  và đoạn [–1, 1]

Lời giải:

Câu 1: Tìm cực trị của hàm số hai biến

y 6xy x

Thuộc dạng bài tìm cực trị tự do của hàm số hai biến

* Tìm các điểm tới hạn (điểm dừng):

Hàm số xác định trên R2 Đặt: pfx'; qfy'; rfx''2; Sfxy'' ; tfy''2

Ta có:

6y 3x f

6x 3y f

6x f

r x''2  ; Sfxy'' 6; t fy''2 6y

0 2x y

0 2y x 0

6x 3y

0 6y 3x 0

q

0

2

2

2

2

























































ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015

























2) (y x

y x 0 2) y y).(x (x

+ Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = 0 ta được:





























2 x

0 x 2 y

0 y 0 2y

y2

+ Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y = 0 ta được:

0 4

y2  (vô nghiệm thực)

 Có 2 điểm dừng: A(0, 0) và B(2, 2)

* Xét xem các điểm dừng có phải là cực trị hay không:

+ Xét điểm dừng A(0, 0) ta có:

0 36 36xy 36

rt

S2      Do đó, A không là cực trị

+ Xét điểm dừng B(2, 2) ta có:

0 108 36xy

36 rt

Kết hợp với r = 6x = 12 > 0 Do đó, B là điểm cực tiểu

Kết luận:

Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương bằng –8 tại điểm B(2, 2)

Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết quả tính toán):

Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu và z(B) = – 8

HVT

Câu 2: Tính tích phân 3 lớp





V

dxdydz

| xy

|

I trong đó V là miền xác định bởi x2 + y2 + z2  4 và z  0

Miền lấy tích phân có dạng một nửa khối cầu phía trên mặt phẳng xOy, tâm khối cầu tại O(0, 0, 0); bán kính R = 2 Hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với cả x và y, miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz và mặt phẳng yOz

Cực tiểu

Miền V có dạng như hình vẽ:

Chia miền V thành 4 miền ứng

với 4 góc phần tư trong mặt phẳng

xOy Tích phân cần tìm là:





V

dxdydz

| xy

|





1

V

dxdydz xy

4

Đổi biến sang hệ tọa độ cầu:

Đặt:

















rcosθ z

sinθ rsin y

sinθ rcos x





z z z

y y y

x x x

' θ ' ' r

' θ ' ' r

' θ ' ' r













Miền V1 được xác định với























π/2 0

π/2 θ 0

2 r 0



1

2

V

dθ drd

| sinθ r

| θ

sin rsin θ

sin rcos 4

dxdydz xy

4







0 3 π/2

0

2

0

4

V

3 4

dθ θ sin d cos sin dr r 4 dθ drd θ sin cos sin r

4

1















0 2 π/2

0

2 π/2

0

2 2

0

5

θ) (cos d ) 1 θ cos ( 2

1 5

32 4 θ) (cos d θ sin

2

sin 5

r

15

128 1

3

1 0 0 5

64 θ

cos 3

θ cos

5

0

3

































Câu 3: Tính tích phân đường loại hai



L

2 x

2 x

dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e I

Trong đó, L là đường cong kín gồm cung 2

x 1

y  và đoạn [–1, 1]

Đường cong kín L xác định miền D  R2 có dạng nửa đường tròn tâm O, bán kính 1

Sử dụng mối liên hệ giữa tích phân đường

loại hai với tích phân kép (công thức Green) để

tìm tích phân trên



D

' x

' y L

dxdy Q

P dy

y) Q(x, dx

y)

P(x,

x

y

1

V 2

2

x 1

y  

y

x

O

D 1

Do đó:



L

2 x

2 x

dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e



D D

x x

dxdy y x dxdy

x 2 y cosy e y 2 x cosy e

Miền D có dạng nửa hình tròn, sử dụng phương pháp đổi biến trong hệ tọa độ cực:

Đặt:















rsin

y

rcos

x

rcos sin

rsin cos

y y

x x

r

' '















Tích phân trở thành:



D' D

drd

| r

| ) rsin (rcos

dxdy y x















π 0

1 r 0







0

1

0

2

D'

2

d ) sin (cos

dr r d

) sin (cos

dr

3

2 1 1 3

1 cos

sin

3

0 1

0

3













2.7 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015

Môn thi: Giải tích 2

Số tín chỉ: 03 Đề số 1

Dành cho sinh viên: Khoa Vật lý, Hóa học, Môi trường, KT-TV-HDH

Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 Cho hàm số



















(0,0) y)

(x, khi 0

(0,0) y)

(x, khi y

2x

4y x y)

3 3

a) Xét sự liên tục của f(x,y) trên R2

b) Tính các đạo hàm riêng '

x

f và fy'

Câu 2 Tìm cực trị của hàm số

2 2 3 2 2

3y 3x ) y (x y)

Câu 3 Tính tích phân kép



D

2

dxdy ) x xy (x I

Trong đó D là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 và đường thẳng y = 2x + 3

Câu 4 Tính tích phân bội ba

 V

2 2

dxdydz )

y x (xyz I

Trong đó V là hình cầu x2 + y2 + z2 1

Câu 5 Tính tích phân đường



L

2

ds ) y (xy I

Trong đó L là biên của tam giác ABC với A(–1, 0); B(0, 1); C(1, 0)

Câu 6 Tính tích phân đường



L

3 2 2

2

dy ) y (xy dx y) x (x I

Trong đó L là đường tròn x2 + y2 = 1 theo chiều dương

Lời giải:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015

Câu 1: Xét sự liên tục của hàm số và tính các đạo hàm riêng cấp 1



















(0,0) y)

(x, khi 0

(0,0) y)

(x, khi y

2x

4y x y)

3 3

a) Xét sự liên tục của f(x,y) trên R 2 :

Hàm số xác định (x,y)  R2

Hàm số liên tục trên R2\{0, 0} Xét tính liên tục của hàm số tại điểm (0, 0) ta có:

2 2

3

2 2

3

2 2

3 3

y 2x

4y y

2x

x y

2x

4y x 0













4y 2

x y

4y 2x

x y

2x

4y x

3

2

3

2 2

3 3

















Khi (x, y)  (0, 0) thì 4y 0

2

x   do đó theo nguyên lý kẹp ta được:

0 y 2x

4y x

3 3

(0,0)

y)





y 2x

4y x

3 3 (0,0) y)







y 2x

4y x

3 3 (0,0) y)





 Do đó hàm số f(x,y) liên tục tại điểm (0, 0)

Vậy, hàm số f(x,y) liên tục trên R2

b) Tính các đạo hàm riêng f x ' và f y ' :

3 2

2 4 2

2 2

3 4

2 2 4 2

2 2

3 3 2

2

2

'

x

y 2x

16xy y

3x 2x y

2x

16xy 4x

y 3x 6x y

2x

) 4y 4x(x )

y (2x

3x

f





























3 2 2 4

2 2 2

4 3

4 2

2

2 2 2

3 3 2

2 2

'

y

y 2x

y 2x y 24x 4y

y 2x

8y y 2x 12y y

24x y

2x

) 4y 2y(x )

y (2x

12y

f





























Câu 2: Tìm cực trị của hàm số

2 2 3 2 2

3y 3x ) y (x y)

f(x,     Dạng bài tìm cực trị tự do của hàm số hai biến

* Tìm các điểm tới hạn (điểm dừng):

y

'' xy ''

x

' y

'

x; q f ; r f 2; S f ; t f 2

f

6x ) y 6x(x f

6y ) y 6y(x f

6 ) y (x 24x )

y 6(x f

) y 24xy(x f

6 ) y (x 24y )

y 6(x f

t  y"2  2  2 2  2 2 2 

Cho:





















































































0 y

1 x

0 x

0 y

1 y x

0 x 0

6y ) y 6y(x

0 6x ) y 6x(x 0

q

0

2 2 2

2 2 2

 Có 3 điểm dừng: A(0, 0); B(1, 0) và C(–1, 0)

* Xét xem các điểm dừng có phải là cực trị hay không:

+ Xét điểm dừng A(0, 0) ta có:

0 36 6 )

6 ( 0 rt

S2   2    Do đó, A không là cực trị

+ Xét điểm dừng B(1, 0) ta có:

0 288 24.12

0 rt

Kết hợp với r = 24 > 0 Do đó, B là điểm cực tiểu

+ Xét điểm dừng C(–1, 0) ta có:

0 288 24.12

0 rt

Kết hợp với r = 24 > 0 Do đó, C là điểm cực tiểu

Kết luận:

Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương bằng –2 tại hai điểm B(1, 0) và C(–1, 0)

Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết quả tính toán):

Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B và C thỏa mãn là các điểm cực tiểu

Câu 3: Tính tích phân kép



D

2

dxdy ) x xy (x I

Trong đó D là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 và đường thẳng y = 2x + 3

Miền D có dạng như hình vẽ:

Đối với dạng này ta tìm khoảng biến thiên của x và y, sau đó sử dụng phương pháp lặp để giải

Hoành độ giao điểm tại A và B là nghiệm của hệ:











































3 x

1 x 0

3) 1)(x (x

0 3 2x x 3 2x y

x

Tích phân cần tìm là:

3 2x

x

2 2

3

1

3 2x

x 2 3

xy xy y x dx dy

xy) x (x dx

I

















 

x x x 2

3) x(2x 3)

x(2x 3)

(2x x dx

5 3 4

2 2

3

1

3

1

x 2x 2x 9x 12x 4x

6x 4x 6x 4x dx

2



1

2 3

4 5

6 2

3 4 5 3

1

x 2

15 x 3

22 x

2

3 x 5

2 6

x 2

1 15x 22x

6x 2x x

dx

2

1



5

416 2

15 3

22 2

3 5

2 6

1 2

135 3

594 2

243 5

486 6

729

2











Câu 4: Tính tích phân bội ba

 V

2 2

dxdydz )

y x (xyz

I trong đó V là hình cầu x2 + y2 + z2 1

Miền lấy tích phân là một khối cầu tâm O, bán kính bằng 1 Sử dụng phương pháp đổi biến trong hệ tọa độ cầu:

x

y

O

3 2x

2

x



A

Đặt:

















rcosθ z

sinθ rsin y

sinθ rcos x





z z z

y y y

x x x

' θ ' ' r

' θ ' ' r

' θ ' ' r













Miền V ' được xác định với























π 2 0

π θ 0

1 r 0



Do đó:



'

V

2 2

2 2 2 2 2

dθ drd

| sinθ r

| θ) sin sin r θ sin cos r θ θ.rcos sin

rsin θ

sin rcos (



'

V

2 2 2 2

3

dθ drd sinθ r θ) sin r θ θ.cos sin

sin cos



'

V

3 4 3

5

dθ drd θ) sin r θ θ.cos sin

sin cos





' V

3 4

'

V

3 5

dθ drd θ sin r dθ

drd θ θ.cos sin

sin cos











0 3 2π

0

1

0 4 π

0 3 2π

0

1

0

5

dθ θ sin d dr r dθ θ θ.cos sin

d sin cos dr







π

0

2 2π

0 1

0

5 π

0

4 2π

0

2 1

0

6

θ) (cos d θ sin 5

r 4

θ sin 2

sin

6

π

0

3 π

0

3

θ cos 2π 5

1 θ) (cos d 1) θ (cos 2π 5

1 0

0

6

1





















3

4 5

2π 1

3

1 1 3

1

5











Câu 5: Tính tích phân đường loại một



L

2

ds ) y (xy

I với L là biên của tam giác ABC và A(–1, 0); B(0, 1); C(1, 0)

Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào chiều lấy tích phân Với L có dạng

biên của một tam giác thì ta viết phương trình phụ thuộc của y vào x trên từng cạnh của

tam giác sau đó lấy tích phân trên từng cạnh của tam giác đó

Đường L có dạng như hình vẽ:

+ Phương trình đường thẳng AB

y = x + 1

+ Phương trình đường thẳng BC

y

O

1

x 1

1

-





A

B

C

y = –x + 1

+ Phương trình đường thẳng CA

y = 0

 Tích phân đường loại một cần tìm là:



L

2

ds ) y (xy

I

0 dx 1) ( 1 ] 1) x ( 1) x [x(

dx 1 1 ] 1) (x 1)

1

0

2 2

0

1









dx 1) x ( 2 dx 1) 3x (2x 2

1

0

0

1

2

















 









































1 2

1 2 1

2

3 3

2 2 x

x 2

1 2 x

x 2

3 x 3

2

2

1

0 2 0

1

2 3

3

2

2



Câu 6: Tính tích phân đường loại hai



L

3 2 2

2

dy ) y (xy dx y) x (x I

Trong đó L là đường tròn x2 + y2 = 1 theo chiều dương

Sử dụng mối liên hệ giữa tích phân kép với tích phân đường loại hai trên đường cong kín (công thức Green) để giải bài toán này

Theo công thức Green ta có:      

D

' x

' y L

dxdy Q

P dy

y) Q(x, dx

y) P(x,

(trong đó D là miền phẳng tạo bởi đường cong kín L)

Do đó:





D

2 2 L

3 2 2

2

dxdy ) y (x dy

) y (xy dx y) x (x

Miền D có dạng hình tròn tâm O(0,0); bán kính 1 Đổi sang hệ tọa độ cực:

Đặt:















rsin

y

rcos

x

rcos sin

rsin cos

y y

x x

r

' '















Tích phân trở thành:

   



D'

3 D'

2 2 2 2 D

2 2

drd r drd

| r

| ) sin r cos (r dxdy

y x

với D' xác định bởi:















π 2 0

1 r 0



2

π 2π 4

1

4

r d dr r

1

0

4 2π

0

1

0



2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015

Môn thi: Giải tích 2

Số tín chỉ: 02 Đề số 1

Dành cho sinh viên: Ngoài khoa Toán

Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (3đ): Tìm cực trị của hàm số

3 3

y 6xy x

Câu 2 (4đ): Tính tích phân 3 lớp sau:





V

dxdydz

| xy

| I

Trong đó V là miền xác định bởi x2 + y2 + z2 4 và z  0

Câu 3 (3đ): Tính tích phân đường loại hai:



L

2 x

2 x

dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e I

Trong đó, L là đường cong kín gồm cung 2

x 1

y  và đoạn [–1, 1]

Lời giải:

Câu 1: Tìm cực trị của hàm số hai biến

y 6xy x

Thuộc dạng bài tìm cực trị tự do của hàm số hai biến

* Tìm các điểm tới hạn (điểm dừng):

Hàm số xác định trên R2 Đặt: pfx'; qfy'; rfx''2; Sfxy'' ; tfy''2

Ta có:

6y 3x f

6x 3y f

6x f

r x''2  ; Sfxy'' 6; t fy''2 6y

0 2x y

0 2y x 0

6x 3y

0 6y 3x 0

q

0

2

2

2

2

























































ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015

























2) (y x

y x 0 2) y y).(x (x

+ Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = 0 ta được:





























2 x

0 x 2 y

0 y 0 2y

y2

+ Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y = 0 ta được:

0 4

y2  (vô nghiệm thực)

 Có 2 điểm dừng: A(0, 0) và B(2, 2)

* Xét xem các điểm dừng có phải là cực trị hay không:

+ Xét điểm dừng A(0, 0) ta có:

0 36 36xy 36

rt

S2      Do đó, A không là cực trị

+ Xét điểm dừng B(2, 2) ta có:

0 108 36xy

36 rt

Kết hợp với r = 6x = 12 > 0 Do đó, B là điểm cực tiểu

Kết luận:

Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương bằng –8 tại điểm B(2, 2)

Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết quả tính toán):

Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu và z(B) = – 8

HVT

Câu 2: Tính tích phân 3 lớp





V

dxdydz

| xy

|

I trong đó V là miền xác định bởi x2 + y2 + z2  4 và z  0

Miền lấy tích phân có dạng một nửa khối cầu phía trên mặt phẳng xOy, tâm khối cầu tại O(0, 0, 0); bán kính R = 2 Hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với cả x và y, miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz và mặt phẳng yOz

Cực tiểu

Miền V có dạng như hình vẽ:

Chia miền V thành 4 miền ứng

với 4 góc phần tư trong mặt phẳng

xOy Tích phân cần tìm là:





V

dxdydz

| xy

|





1

V

dxdydz xy

4

Đổi biến sang hệ tọa độ cầu:

Đặt:

















rcosθ z

sinθ rsin y

sinθ rcos x





z z z

y y y

x x x

' θ ' ' r

' θ ' ' r

' θ ' ' r













Miền V1 được xác định với























π/2 0

π/2 θ 0

2 r 0



1

2

V

dθ drd

| sinθ r

| θ

sin rsin θ

sin rcos 4

dxdydz xy

4







0 3 π/2

0

2

0

4

V

3 4

dθ θ sin d cos sin dr r 4 dθ drd θ sin cos sin r

4

1















0 2 π/2

0

2 π/2

0

2 2

0

5

θ) (cos d ) 1 θ cos ( 2

1 5

32 4 θ) (cos d θ sin

2

sin 5

r

15

128 1

3

1 0 0 5

64 θ

cos 3

θ cos

5

0

3

































Câu 3: Tính tích phân đường loại hai



L

2 x

2 x

dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e I

Trong đó, L là đường cong kín gồm cung 2

x 1

y  và đoạn [–1, 1]

Đường cong kín L xác định miền D  R2 có dạng nửa đường tròn tâm O, bán kính 1

Sử dụng mối liên hệ giữa tích phân đường

loại hai với tích phân kép (công thức Green) để

tìm tích phân trên



x

'

y Q dxdy P

dy y) Q(x, dx

y)

P(x,

x

y

1

V 2

2

x 1

y  

y

D

Do đó:



L

2 x

2 x

dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e



D D

x x

dxdy y x dxdy

x 2 y cosy e y 2 x cosy e

Miền D có dạng nửa hình tròn, sử dụng phương pháp đổi biến trong hệ tọa độ cực:

Đặt:















rsin

y

rcos

x

rcos sin

rsin cos

y y

x x

r

' '















Tích phân trở thành:



D' D

drd

| r

| ) rsin (rcos

dxdy y x















π 0

1 r 0







0

1

0

2

D'

2

d ) sin (cos

dr r d

) sin (cos

dr

3

2 1 1 3

1 cos

sin

3

0 1

0

3











