Kiểm tra Toán 9

H là trực tâm của tam giác.. Vì BL là đường kính của O nên LA vuông góc với AB và LC vuông góc với BC.. Từ đó suy ra LA song song với HCcùng vuông góc với hành Bây giờ,không mất tính tổn

ĐÁP ÁN Đề 15

Bài 1: a) Tìm số có ba chữ số sao cho = (a + b)3

b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:

Lời giải:

a) Vì là số có ba chữ số và là lập phương của một số nên chỉ có thể là:

125 = 53, 216 = 63, 343 = 73, 512 = 83, 729 = 93 Thử từng trường hợp thì có 343 là số thỏa mãn bài toán

Ta có: a2 – ab + b2 =

Từ (1) và (3) suy ra x = 9 và từ đó cũng suy ra

Vậy (a; b) = (4; 5), (5; 4).

Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c dương:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

Hay là

1004.2009, ở đây [x] là phần nguyên của số thực x

Lời giải:

Bổ đề: Với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

,

Chứng minh bổ đề:

Ta có:

(1)

Lại có:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra bổ đề được chứng minh

Trở lại với bài toán ban đầu:

Với mỗi số tự nhiên k ≥ 1,ta đặt:

Sk =

Dễ dàng nhận thấy S = S1 + S2 + S3+ + S2008

Áp dụng bổ đề với n = 2008

Ta có

ĐPCM

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC có BAC = 600 và nội tiếp đường tròn (O) H là trực tâm của tam giác

a) Chứng minh rằng: OH =|AB – AC|

b) Đường thẳng OH cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N Chứng minh rằng: BM + CN = MN

Lời giải:

a) Kéo dài BO cắt (O) tại L Vì BL là đường kính của (O) nên LA vuông góc với AB

và LC vuông góc với BC Từ đó suy ra LA song song với HC(cùng vuông góc với

hành

Bây giờ,không mất tính tổng quát, giả sử AC AB Gọi K là điểm nằm trên AC sao cho AK = AB và J là điểm chính giữa cung BC không chứa A của đường tròn (O) Ta có:

JK = JB(Hai điểm B, K đối xứng với nhau qua AJ) (2)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

AH = AO = JK = JC =R (5)

Lại có:

KJC = AJC – AJK = AJC – AJB = ABC – ACB = B –C

b) Kẻ JX vuông góc với AC, JY vuông góc với AB Dễ dàng chứng minh được:

BYJ = CXJ (cạnh huyền, góc vuông)

BY = CX

AB + AC = AB + AX + CX

= AB + AX + BY = AY + AX = 2AX

Gọi P là giao điểm của AJ và OH

Mặt khác, tam giác AMN có AP vừa là phân giác,vừa là đường cao nên AMN là tam giác cân tại A Ngoài ra, theo giả thiết ban đầu MAN = 600 nên AMN là tam giác

Lại có: AB + AC = AM + BM + AN + CB = 2MN + BM + CN (11)

Từ (10) và (11) suy ra BM + CN = MN ĐPCM

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác của góc A Cho biết

AB = c, AC = b và AD = d Chứng minh:

Lời giải:

Kẻ DK vuông góc với AC Dễ dàng nhận thấy tam giác AKD là tam giác vuông cân

Mặt khác, vì AD là đuờng phân giác của tam giác ABC nên

hay là Lại có DK || AB nên:

Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM