Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)

Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)Năng lượng đa phức có trọng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chƣa từng đƣợc công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Trần Thị Thanh Hương

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận

lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường Phổ thông Dân tộc nội trú THPT Tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên

để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 7 năm 2015 Tác giả

Trần Thị Thanh Hương

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Hàm đa điều hoà dưới 3

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại 5

1.3 Hàm cực trị tương đối 6

1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10

Chương 2 NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG 16

2.1 Lớp Cegrell ( ) 16

2.2 Dung lượng của tập mức dưới 20

2.3 Các lớp năng lượng có trọng 25

2.4 Miền giá trị của toán tử Monge-Ampere phức 37

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đa thế vị phức được hình thành và phát triển dựa trên các công trình cơ bản của Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều tác giả khác Tuy nhiên lý thuyết này chỉ thực sự phát triển mạnh mẽ sau khi E Berfod

và B A.Taylor, xây dựng thành công toán tử Monge-Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và đưa ra khái niệm dung lượng của một tập Borel trong một tập mở của n Có thể xem toán tử Monge-Ampere là công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị Các kết quả đạt được

liên quan đến toán tử Monge - Ampère phức đã đóng một vai trò quan trọng

trung tâm trong lý thuyết đa thế vị

Năm 1998, U Cegrell đã giới thiệu và nghiên cứu toán tử Ampere phức (dd c.)n trên các lớp đặc biệt các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn trong , gọi là các lớp năng lượng Năm 2004, Cegrell đã cho một định nghĩa tổng quát của toán tử Monge-Ampere và đạt được nhiều kết quả đẹp đẽ Năm 2005, Cegrell đã đưa ra lớp hàm ( ) mà trên mỗi compact , nó trùng với một hàm trong lớp ( ) Tiếp tục mở rộng lớp năng lượng ( ), năm 2009, S Benelkourchi đã đưa ra lớp năng lượng có trọng ( )và nghiên cứu toán tử Monge-Ampere trên lớp năng lương đa phức hữu hạn trong trường hợp tổng quát Đồng thời giải thích các lớp này theo nghĩa tốc độ giảm của dung lượng của tập mức dưới và mô tả đầy đủ miền giá trị của toán tử Monge-Ampere (dd c.)n trong các lớp ( )

Monge-Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: "Năng lượng đa phức

có trọng"

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu về lớp năng lượng có trọng ( )và nghiên cứu toán tử Monge-Ampere trên lớp năng lượng đa phức hữu hạn trong trường hợp tổng quát

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm

đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère và một vài tính chất của nó

- Trình bày các kết quả gần đây của Slimane Benelkourchi về một số tính chất của các lớp năng lượng U.Cegrell trong n, dung lượng của tập mức dưới

và một số kết quả về lớp năng lượng có trọng ( ), miền giá trị của toán tử Monge-Ampere phức

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất

của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère và một vài tính chất của nó

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả gần đây

của Slimane Benelkourchi về một số tính chất của các lớp năng lượng U.Cegrell trong n, dung lượng của tập mức dưới và một số kết quả về lớp năng lượng có trọng ( ), miền giá trị của toán tử Monge-Ampere phức

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hoà dưới

1.1.1 Định nghĩa Cho X là một không gian tôpô, hàm u X: ,

được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi tập hợp

: ( )

1.1.2 Định nghĩa Cho là một tập con mở của n và u : , là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a và

n

b , hàm u a ( b ) là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành phần của tập hợp : a b Trong trường hợp này, ta viết

( )

u (Ở đây kí hiệu ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong )

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:

1.1.3 Mệnh đề Nếu u v , ( ) và u v hầu khắp nơi trong , thì

1.1.4 Mệnh đề Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của n và

( )

u PSH , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z ,

( ) sup lim sup ( )

y y

1.1.5 Định nghĩa Tập hợp E n được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm

a E đều có một lân cận V của a và một hàm u ( ) V sao cho

: ( )

1.1.6 Hệ quả Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không

1.1.7 Định lý Cho là một tập con mở trong n Khi đó

( ) i Họ ( ) là nón lồi, tức là nếu , là các số không âm và

\

xác định một hàm đa điều hoà dưới trong

1.1.9 Định lý Cho là một tập con mở của n

( )i Cho u v, là các hàm đa điều hoà trong và v 0 Nếu : là lồi, thì v u v ( / ) là đa điều hoà dưới trong

( ) ii Cho u ( ), v ( ), và v 0 trong Nếu :

là lồi và tăng dần, thì v u v( / )là đa điều hoà dưới trong

( ) iii Cho u v , ( ), u 0 trong , và v 0 trong Nếu

là đa điều hoà dưới trong

1.1.11 Định nghĩa Một miền bị chặn n được gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại hàm đa điều hòa dưới liên tục : ( , 0) sao cho

c z : ( )z c với mọi c 0

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

1.2.1 Định nghĩa Cho là một tập con mở của n và u : là hàm

đa điều hoà dưới Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho

( )

v G và v u trên G , đều có v u trong G

Một số tính chất tương đương của tính cực đại

1.2.2 Mệnh đề Cho n là mở và u : là hàm đa điều hoà dưới Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

( ) i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của và với mỗi hàm

E

u là đa điều hoà dưới trong

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối

1.3.2 Mệnh đề

Nếu E1 E2 1 2 thì u E, u E, u E ,

Chứng minh Nếu < 0 là một hàm vét cạn đối với , thì với số M 0 nào

đó, M 1 trên E Như vậy M u E, trong Rõ ràng, lim ( ) 0

và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm ‚

1.3.4 Mệnh đề Nếu n là siêu lồi và K là một tập compact sao cho *

K K

u thì u K, là hàm liên tục

Chứng minh Lấy u u E, và ký hiệu F  ( ) là họ các hàm u Giả sử

là hàm xác định của sao cho 1 trên K Khi đó u trong Chỉ

cần chứng minh rằng với mỗi (0,1) tồn tại v C ( ) F Sao cho

u v u trong Thật vậy, lấy (0,1) tồn tại 0 sao cho

Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini

trên K Đặt

\

trong v

Khi đó v C( ) F và nhƣ vậy

1.3.5 Mệnh đề Cho n là tập mở liên thông, và E Khi đó các điều kiện sau tương đương:

E

( ) ii Tồn tại hàm v ( ) âm sao cho E z : ( )v z

Chứng minh ( ) ii ( ) i là hiển nhiên Thật vậy, nếu v nhƣ ở trên ( ) ii , thì

Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều

1.3.6 Mệnh đề Cho là tập con mở liên thông của n Giả sử j

1 trên K Lấy (0,1) sao cho ( )z0 Khi đó tồn tại j0

sao cho tập mở 1(( , )) là tập compact tương đối trong

xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa 1

với dV là yếu tố thể tích trong n gọi là toán tử Monge-Ampe Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0( ) trên

0

n c

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn

địa phương trên thì tồn tại dãy

dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:

0

n

Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy u n nhƣ trên, ta ký hiệu:

và gọi là toán tử Monge-Ampe của u

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe

1.4.2 Mệnh đề Giả sử j là dãy các độ đo Radon trên tập mở n hội

tụ yếu tới độ đo Radon Khi đó

a) Nếu G là tập mở thì lim inf j

c) Nếu E compact tương đối trong sao cho E 0 thì

1.4.3 Mệnh đề Giả sử n là miền bị chặn và u v, ( ) L loc

sao cho u v, 0 trên và lim 0

z u z Giả sử T là n 1,n 1 -dòng dương, đóng trên Khi đó

u u C và do giả thiết T là n 1,n 1 dòng dương,

đóng trên nên dd u Tc là ( , ) n n dòng dương, đóng với mọi

( ) loc( )

Chương 2 NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu toán tử Monge-Ampere phức trên các lớp năng lượng đa thức phức có trọng ( ) trong trường hợp tổng quát ( (0) 0 tức là khối lượng Monge-Ampere tổng cộng có thể vô hạn) Ta

sẽ giải thích các lớp này theo nghĩa tốc độ giảm của dung lượng của tập mức dưới và mô tả đầy đủ miền giá trị của toán tử (dd c.)n trên các lớp ( )

2.1 Lớp Cegrell ( )

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày một vài tính chất của lớp Cegrell

( ) Công cụ chính là ước lượng dung lượng của tập mức dưới của hàm đa điều hoà dưới Dung lượng Monge-Ampere đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi E Bedford và A.Taylor trong [3]

2.1.1 Định nghĩa Cho tập con Borel K , dung lượng Monge-Ampere tương đối của nó đối với được xác định bởi:

U.Cegrell [8] đã chỉ ra rằng toán tử (dd c n) được xác định tốt và liên tục trên

( ) Lớp ( ) ổn định qua việc lấy maximum và là lớp rộng nhất có những tính chất này

liên tục tuyệt đối đối với dung lượng tức là triệt tiêu trên các tập đa cực

2.1.3 Bổ đề Cố định ( ) Khi đó với mọi s 0 và t 0, ta có

Chứng minh Chú ý rằng độ đo Monge-Ampere phức của hàm đa điều hoà dưới

u trên triệt tiêu trên các tập hợp đa cực khi và chỉ khi nó không có khối

lượng trên tập (u ) (xem [4]) Như vậy u a( ) khi và chỉ khi

Bất đẳng thức vế phải của (2.1) đã được chứng minh bởi S.Kolodziej [13] khi

bị chặn Ở đây ta sẽ chứng minh một cách đơn giản theo ý tưởng trên:

Cố định s t, 0 Cho K s t là một tập compact Khi đó

Hệ quả sau khái quát một số kết quả trong [11]

2.1.4 Hệ quả Cố định ( ) và cho h : ( , 0 ( , 0 là hàm tăng sao cho h(0) 0 và h u là hàm đa điều hòa dưới Khi đó

Chứng minh Nhận xét

z w, 1 2;max u z u w1( ), ( )2 s

z 1; ( )u z1 s w 2; ( )u w2 s

Từ đó suy ra kết quả theo Bổ đề 2.1

2.2 Dung lượng của tập mức dưới

Ta biết rằng nếu u ( )là một hàm đa điều hoà dưới thì với mỗi tập compact K đều tồn tại một hằng số C 0 sao cho

Trong phần này, ta chỉ ra rằng nếu dung lượng của tập mức dưới của một

hàm đa điều hoà dưới u giảm đủ nhanh thì toán tử Monge-Ampere phức

(dd u c )n của nó được xác định tốt

với mỗi tập compact K

Bedford trong [2], đã giới thiệu lớp sau đây: giả sử : là một hàm giảm sao cho t ( t ( ))t 1/n là một hàm lồi tăng trên ( , 0 và

Ký hiệu

và hàm giảm thỏa mãn (2.2): ( )1/n u trên

Liên quan đến các lớp n( )và ( )ta có kết quả sau:

2.2.1 Mệnh đề Với miền siêu lồi tùy ý n , ta có ( ) n( ) Nói riêng, với một hàm đa điều hòa dưới âm v trên và 0 1/ n, ta có

Bổ đề sau đây sẽ đƣợc sử dụng về sau (xem [10]):

2.2.3 Bổ đề Với một hàm đa điều hòa dưới bất kỳ u ( ), ta có

( c )n ( )n ( ),

B B

2.2.4 Định lý Với mỗi miền siêu lồi n , ta có ( ) a( )

k

k

n k

Phát biểu sau cùng là hệ quả trực tiếp của Hệ quả 4.4 trong [4] ‚

2.2.5 Hệ quả Với miền siêu lồi n tùy ý, ta có ( ) a( ), nghĩa là với hàm u ( ) tùy ý, độ đo Monge-Ampere phức (dd u c )n là xác định tốt và triệt tiêu trên các tập đa cực

Nếu h : là hàm lồi tăng thỏa mãn điều kiện (2.4), thì

Các lớp ( )và ˆ ( )có mối quan hệ mật thiết với nhau:

2.3.3 Mệnh đề Lớp ˆ ( ) là lồi và nếu ˆ ( ); ( ), thì

ˆmax( , ) ( ). Đồng thời ˆ ( ) ( ), trong khi đó ( ) ˆˆ( ),

ở đó ˆ( )t ( / 2).t

Chứng minh Xem Mệnh đề 4.2 trong [4]

2.3.4 Hệ quả Cho : là hàm tăng Nếu u ( ) thì

lim sup ( ) 0,

z u z với mọi

Chứng minh Nếu tập con E có “tiếp điểm lớn” với biên của , thì

dung lƣợng Monge-Ampere cuả nó là vô hạn Ví dụ nhƣ, nếu E B , trong đó B là một hình cầu có tâm tại một điểm nào đó trong Khi đó lấy

2.3.5 Định lý Cho : là hàm lồi hoặc lõm tăng sao cho

Trước tiên, giả sử là hàm lồi Khi đó với j 1 tuỳ ý, ta có

Bây giờ chỉ cần chứng minh lim sup j 0

j g hầu khắp nơi Thật vậy, đặt

j z Vậy lim supj g j 0 hầu khắp nơi

Bây giờ, nếu là hàm lõm Ta sẽ sửa đổi một chút chứng minh ở trên Thật vậy, vì là hàm lõm, nên hàm 1( )j 0( ) với j 0 tuỳ ý Khi đó

Khi đó lặp lại chứng minh giống nhƣ ở trên ta đƣợc điều phải chứng minh ‚

2.3.6 Bổ đề Nếu u ( )thì dãy giảm u j 0( ) với limu j u và

lim ( ) ( c )n ( ) ( c )n

Chứng minh Từ [12] suy ra với mỗi j , u j 0( ) sao cho

u là dãy giảm và lim j

j u u Theo định lý hội tụ đơn điệu ta có

Ước lượng dung lượng sau đây của tập mức dưới sẽ được sử dụng về sau:

2.3.7 Mệnh đề Cho : là hàm tăng lồi hoặc lõm sao cho

2.3.8 Mệnh đề Cho : là hàm tăng lồi hoặc lõm sao cho

( ) và (0) 0 Khi đó tồn tại một hằng số C C ( ) sao cho

với mọi s 0, ( )