Sự tồn tại nghiệm của phương trình monge ampère phức trong các lớp năng lượng đa phức có trọng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM --- ---SHERLOR NENGZE SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ T

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

 -SHERLOR NENGZE

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -SHERLOR NENGZE

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất

cứ công trình nào

Tác giả

Sherlor Nengze

ii

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận

lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Lào - Việt nam (Thủ đô Viêng Chăn) cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 05 năm 2017

Tác giả

1.4 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 16

Chương 2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG

MONGE-22

2.1 Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong £n 22 2.2 Sự tồn tại nghiệm trong lớp Ec( )W 25 2.3 Sự tồn tại nghiệm trong lớp Ec( )f 28

2.4 Sự tồn tại nghiệm trong lớp F( )f 32

Năm 1998, Cegrell đã định nghĩa các lớp năng lượng E0( ),W Fp( ),W Ep( )Wtrên đó toán tử Monge-Ampère phức là xác định Năm 2004, Cegrell đã định nghĩa các lớp E( ),W F( )W và chỉ ra rằng lớp E( )W là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampère phức Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử

Monge-Ampère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới Tiếp

tục mở rộng lớp năng lượng F( )W, năm 2009, S Benelkourchi đã đưa ra lớp năng lượng có trọng ( )

E và nghiên cứu toán tử Monge-Ampère trên lớp năng lượng đa phức hữu hạn trong trường hợp tổng quát Đồng thời giải thích các lớp này theo nghĩa tốc độ giảm của dung lượng của tập mức dưới và mô tả đầy đủ miền giá trị của toán tử Monge-Ampère ( c.)n

dd trong các lớp Ec( )W Nghiên cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán Dirichlet,…

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử Monge-Ampère và áp dụng các kết quả đạt được trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp năng lượng có

trọng, chúng tôi chọn “Sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức

trong các lớp năng lượng đa phức có trọng” làm đề tài nghiên cứu của mình

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

+ Trình bày tổng quan và hệ thống một số kết quả cơ bản của lý thuyết đa thế vị phức

+ Trình bày lại một cách chi tiết một số kết quả của S Benelkourchi về sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong các lớp năng lượng

đa phức có trọng

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo Nội dung của luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1] và [5]

Chương 1 Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm

đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và nguyên lý so sánh

Chương 2 Là nội dung chính của luận văn Phần đầu của chương trình bày một

số khái niệm và kết quả về các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong £n

Tiếp theo trong mục 2.2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp Ec( )W (Định lý 2.2.1) Mục 2.3 trình bày

7

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hoà dưới

Địng nghĩa 1.1.1 Giả sử WÌ £n là tập mở, u :W® - ¥ + ¥é , )

êë là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng - ¥ trên moi thành phần liên thông của W Hàm u gọi là đa điều hoà dưới trên W (viết u Î PSH( )W) nếu với mọi a Î W

và b Î £ n , hàm l a u a( + l b) là điều hoà dưới hoặc bằng - ¥ trên mọi thành phần liên thông của tập {l Î £ : a+ l bÎ W}

Định lý sau đây cho một đặc trưng của tính đa điều hoà dưới đối với các hàm lớp 2

E Ì được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm a Î E

đều có một lân cận V của a và một hàm u Î PSH V( ) sao cho

E ÇV Ì z Î V u z = - ¥

8

Hệ quả 1.1.4 Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không

Dưới đây là một số kết quả liên quan tới tính đa điều hoà dưới khi qua giới hạn và tính lồi của họ các hàm đa điều hoà dưới

*

m u v

u trong

w w

w

ìïï

= íï

Wïî

là hàm đa điều hoà dưới trên W

Chứng minh Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W Chỉ cần chứng tỏ nếu

Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, ở đó WwW là bao đóng của w

lấy trong W Chỉ cần xét trường hợp a Î wWÇ W Khi đó w( )a = u a( )

C Khi đó You Î PSH( )W

Chứng minh Lại có thể coi 2

( )

u Î C W Với mọi w Î W và w Ì £ n, do Y là hàm lồi tăng ta có

Suy ra điều phải chứng minh W

Hệ quả 1.1.8 Nếu u Î PSH( )W thì e u Î PSH( )W Nếu u Î PSH( )W, u ³ 0 và

Từ đó, do tính nửa liên tục trên của u suy ra u = u z( )0 trên một lân cận của a Vậy D0 là mở và do đó D0 = D Điều này kéo theo u = u z( )0 trên D và mâu

thuẫn với giả thiết W

1.2 Hàm đa điều hòa dưới cực đại

Định nghĩa 1.2.1 Cho WÌ £n là tập mở và u Î PSH( )W Ta nói u là hàm đa điều hòa dưới cực đại trên W và viết u Î MPSH( )W nếu với mọi tập mở,

compact tương đối G Ð và mọi hàm W v nửa liên tục trên trên G , v Î PSH G( )

và v £ u trên G¶ thì v £ u trên G

Trường hợp n = 1 thì tập MPSH W trùng với tập các hàm điều hòa trên W ( )Mệnh đề sau nói về các cách nhận biết một hàm là đa điều hoà dưới cực đại

12

Mệnh đề 1.2.2 Giả sử WÌ £n là tập mở và u Î PSH( )W Khi đó các khẳng

định sau là tương đương

( )i Với mọi tập mở, compact tương đối G Ð và mọi hàm W v Î PSH G( ), nếu

- ³ với mọi x Î ¶ G thì u ³ v trên G

( )ii Nếu v Î PSH( )W và với e > 0 tồn tại tập compact K Ì W sao cho

Mệnh đề 1.1.6 cho u%Î PSH( )W Với e > 0, lấy K = G là tập compact trong

W và với z Î W\ K, ( )u z - u z%( )= 0> - e Do đó bởi giả thiết u ³ % trên G u

(iii) Þ ( )iv Giả sử v Î PSH( )W và G Ð sao cho W

%

Khi đó theo mệnh đề 1.1.6, ta cóu%Î PSH( )W Dễ thấy trên G¶ thì u = %u Vậy

u ³ % trên W và do đó u u ³ v trên G

( )iv Þ ( )v Giả sử G Ì W là tập mở, compact tương đối và v là hàm nửa liên

tục trên trên G và v £ u trên G¶

Do tính compact tương đối của G t rong W, ta có thể coi u là liên tục trên G và

v £ u trên ¶G Thật vậy nếu trái lại ta xét họ u e = u *c e

C¥ e PSH e

Î W Ç W với W Ée G Nếu ta chứng tỏ trên G , v £ u e thì v £ u

với mọi n Từ đó

( n) ( n)

u z £ u z% + h

Cho n ® ¥ ta có u( )x £ max( ( ), ( ))u x v x + h = u( )x + h< u( )x và gặp mâu

thuẫn Vậy từ giả thiết u ³ % trên G và chứng minh u ( )iv Þ ( )v hoàn thành

( )v Þ ( )i Giả sử G Ð , W v Î PSH G( ) và lim inf( )( ) 0

- ³ kéo theo u( )x ³ %v( )x tại mọi x Î ¶ G Từ đó suy ra

u ³ % trên G và vậy thì u u ³ v trên G W

Giả sử WÌ £n là miền bị chặn và f Î L¥ (¶W Ta kí hiệu ) U( , )Wf là lớp các hàm đa điều hòa dưới v Î PSH( )W sao cho v* ¶ W£ f , ở đó

15

với mọi z Î W Với z Î W, ta xác định

u z( )= uW,f( )z = sup{ ( ) :v z v Î U( , )}Wf

Hàm UW, f gọi là bao Perron – Bremermann của f trong W

Định lý 1.2.3 Giả sử W là miền bị chặn và f Î C(¶ W) sao cho u* = u* = f trên ¶W, ở đó u = uW, f Khi đó u = uW, f là hàm liên tục trong W

Chứng minh Từ u* = f trên ¶W nên uW*,f Î U( , )W Vậy f uW,f = uW*,f và do đó

Như vậy u nửa liên tục dưới trên W và định lý được chứng minh W

Sau đây là một số tính chất của các hàm đa điều hòa dưới cực đại

Mệnh đề 1.2.4 Giả sử W là một miền trong £n Khi đó

( )i Giới hạn của dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới cực đại trong W hoặc bằng - ¥ hoặc là hàm đa điều hòa dưới cực đại trong W

( )ii Nếu u Î MPSH( )W thì với mọi G Ð tồn tại một dãy giảm các hàm đa W

điều hòa dưới cực đại trong W hội tụ giảm tới u trên G

( )ii Do G Ð nên có thể chọn dãy hàm đa điều hòa dưới liên tục W v trên một j

lân cận của G giảm tới u Đặt

với dV là yếu tố thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact

dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon m trên W tức là:

và gọi là toán tử Monge-Ampère của u

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère

Mệnh đề 1.3.2 Giả sử { }m j là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ ¡ n hội

tụ yếu tới độ đo Radon m Khi đó

a) Nếu G Ì W là tập mở thì ( ) lim inf j ( )

cận mở của K và j Î C V0( ), 0£ j £ 1 và j = 1 trên K Khi đó

c) Viết E = IntE È ¶E Khi đó

( ) (int ) lim inf (int ) lim inf ( )

v các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u

và v sao cho u j ³ v k trên ¶w với mọi i k, Có thể coi - 1£ u v j, k £ 0 Lấy 0

e > và giả sử G Ì W là tập mở sao cho ( , )

n

C G W < e, u v , là các hàm liên tục trên W\ G Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho

Hệ quả 1.4.2 Giả sử WÌ £n là miền bị chặn và u v , Î P SH ( ) W Ç L¥ ( ) W sao

cho u £ v và lim ( ) lim ( ) 0

Cho l ] 1 ta được điều cần chứng minh W

Hệ quả 1.4.3 (Nguyên lý so sánh) Giả sử WÌ £n là miền bị chặn và

u v Î P SH W Ç L¥ W sao cho lim inf( ( ) ( )) 0

( dd uc )n £ ( dd vc )n trên W Khi đó u £ v trên W

Chứng minh Đặt y( )z = z 2 - M , với M được chọn đủ lớn sao cho y < 0trên W Giả sử {u < v} khác rỗng Khi đó có e > 0 sao cho {u < v + ey}

khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương Do Định lí 1.5.1 ta có

24

Hệ quả 1.4.4 Giả sử WÌ £n là miền bị chặn và u v , Î P SH ( ) W Ç L¥ ( ) W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

Hệ quả 1.4.5 Giả sử WÌ £n là miền bị chặn và u v , Î P SH ( ) W Ç L¥ ( ) W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

25

CHƯƠNG 2

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG

2.1 Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong £n

Cho WÌ n là một miền siêu lồi bị chặn, tức là tập con mở liên thông, bị chặn trong nsao cho tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm r sao cho {z Î W; ( )r z < - c}Ð W " >, c 0 r gọi là hàm vét cạn Sau đây chúng ta nhắc

lại một vài lớp năng lượng Cegrell trong £n (xem [8], [9])

các tính chất đó (Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 4.5 [9])

đa điều hòa dưới cực đại nhỏ nhất trên u

Đặt N( ) : {W = u Î E( );W u = 0} Trong thực tế, lớp này là tương tự của các thế

vị đối với các hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 2.1.2 Giả sử c :R- ® R- là một hàm không giảm Ta ký hiệu

W Î

- < ¥

òNhư vậy

Nói riêng, với hàm u Î Ec( )W túy ý, các toán tử Monge-Ampère phức (dd u c )n

được xác định tốt Hơn nữa, nếu c -( t) < 0 với mọi t > 0 thì

c( ) {u ( ); c( )(u dd u c )n }

W

W = Î W ò - < + ¥

Định nghĩa 2.1.3 Cho K Ì W là một tập con Borel, dung lượng Monge-Ampère

của K đối với W được định nghĩa là

Các lớp Ec( )W và Eˆ ( )c W có mối quan hệ mật thiết với nhau:

Mệnh đề 2.1.6 Các lớp Eˆ ( )c W là lồi và ổn định theo nghĩa nếu j Î Eˆ ( )c W và

j Î E W Þ Eˆ ( )c W Ì Ec( )W Bao hàm thức còn lại được chứng minh

tương tự, sử dụng bất đẳng thức thứ hai trong Bổ đề 2.1.5

Chú ý rằng ˆ( ) ˆ ( )

E E , khi cˆ ( )t = c(2 )t , suy ra bằng cách áp dụng các bất đẳng thức của Bổ đề 2.1.5 với t = s W Khi c ( ) t = - - ( t )p ta có Ecˆ( )W = Ec( )W Như vậy ta nhận được đặc trưng của các lớp U Cegrell p( )

W

E theo nghĩa tốc độ giảm của dung lượng của các tập mức dưới

2.2 Sự tồn tại nghiệm trong lớp ( ) Ec W

Định lý 2.2.1 Giả sử c : - ® - là một hàm lồi tăng c - ¥( )= - ¥ Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(1) tồn tại duy nhất một hàm j Î Ec( )W sao cho m= (dd c j )n;

(2) tồn tại một hằng số C >1 0 sao cho

= ò - ký hiệu là c -năng lượng của u

Các chứng minh (1) Û (3) Û (4) có thể tìm thấy trong [4] Các chứng minh

(1) Û (2) đã được chứng minh trong [6]

Chứng minh Ta bắt đầu bằng chứng minh (1) Þ (2) Giả sử u , j Î Ec( )W Chú ý rằng với s > 0 tùy ý ta có :

Bây giờ, Ta chứng minh (3)Þ (4) Giả sử y Î E0( ),W theo trên ta có

Từ đó ta nhận được (2.2) với C2 = max 1,( C1)

Đối với chứng minh (3) Þ (4), ta xét F t( ) = C2max(1, t1n)

31

(4) Þ (1) Điều đó suy ra từ [6] rằng lớp Ec( )W đặc trưng các tập đa cực Khi

đó, khẳng định (2.3) kéo theo m triệt tiêu trên các tập đa cực Từ [9] điều này

suy ra tồn tại u Î E0( )W và f Î L1loc(dd u c )nsao cho m = f dd u( c ) n

Xét m j= min(f j dd u, )( c )n Đó là một độ đo hữu hạn bị chặn trên bởi độ đo Monge-Ampère phức của một hàm bị chặn Do đó, từ [11] suy ra tồn tại

Bây giờ do tính liên tục của toán tử Monge-Ampère phức cùng các dãy giảm,

ta kết luận rằng (dd j c )n = m Tính duy nhất của j suy ra từ nguyên lý so sánh

32

2.3 Sự tồn tại nghiệm trong lớp Ec( )f

Giả sử c : - ® - là một hàm không giảm và f Î  M( )W là một hàm

đa điều hòa dưới cực đại

Đặc biệt, nếu (dd u c )n = (dd v c )n với u v, Î N a( )f thì u = v

Bổ đề sau đây cho một ước lượng độ lớn của tập mức dưới theo nghĩa của khối lượng Monge-Ampère, sẽ sử dụng về sau

Bổ đề 2.3.4 Giả sử c : - ® - là một hàm không giảm sao cho c º/ 0 và

-33

*

1( ) ( ) ,

Mệnh đề 2.3.5 Giả sử c : - ® - là một hàm tăng Khi đó ta có

v + f £ v j + f j £ u j £ f j trên Wj Cho j ® ¥ , ta được u = limj® ¥ u j Î Ec( ).f Cuối cùng, từ tính liên tục của toán tử Monge-Ampère phức dưới các dãy đơn điệu, ta có (dd u c )n = m Hàm u

là duy nhất suy từ nguyên lý so sánh trong lớp Ec( )f và Hệ quả 2.3.3 □

Hệ quả 2.3.7 Giả sử m là một độ đo không âm trong W với khối lượng tổng cộng hữu hạn và f Î M ¥ là một hàm cực đại bị chặn Khi đó tồn tại duy nhất một hàm j Î F a( )f sao cho (dd j c )n = m khi và chỉ khi m triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực