Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)

Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC

KHÔNG K𝑨 HLER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC

KHÔNG K𝑨 HLER

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài đã công bố Tôi cũng xin cam đoan rằng các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái nguyên, tháng 04 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Vân Anh

M C C

Trang

Trang bìa phụ

L i cam đoan i

Mục lục ii

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian phức 3

1.2 Đa tạp phức 4

1.3 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình 6

1.4 Metric Hermit trên đa tạp phức 7

1.6 Hàm đa điều hòa 7

1.7 Dòng 8

1.8 Miền giả lồi 9

1.9 Mặt cầu 9

Chương 2 SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER 10

2.1.Ánh xạ phân hình và không gian chu trình 10

2.1.1 Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình 10

2.1.2 Tính giải tích của C f và cách xây dựng G f 14

2.2 Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình 29

2.2.1 Tổng quát của lí thuyết đa thế vị 29

2.2.2 Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình từ một hình Hartogs n 1  U H  r vào một không gian phức lồi đĩa 35

KẾT UẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích phức hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số phức Trong đó, thác triển phân hình là một trong những bài toán trung tâm của Giải tích phức Những năm gần đây, thác triển phân hình là vấn đề nhận được

sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới

Trong luận văn này, tôi nghiên cứu vấn đề sau: Giả sử, cho một tập con

mở khác rỗng , ánh xạ f thác triển trên Vậy, giá trị cực đại nào của ̂ sao cho f thác triển phân hình trên ̂ ?

Vấn đề này được gọi là thác triển kiểu Hartogs Nếu ̂ với mọi f lấy

giá trị trong X và mọi gốc (khác rỗng) U thì ta nói rằng định lý thác triển kiểu Hartogs vẫn đúng với các ánh xạ phân hình vào trong X này Với , tức là

với các hàm chỉnh hình, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh bởi F Hartogs Nếu , tức là các hàm phân hình, kết quả được chứng minh bởi E Levi Từ đó, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh ít nhất hai lần cho nhiều trư ng hợp tổng quát chứ không riêng những hàm chỉnh hình hay hàm phân hình

Để hệ thống lại các kết quả chính về sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không K hler, tôi trình bày trong hai chương của luận văn:

Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ sở về không gian phức, hàm chỉnh hình, hàm phân hình, đa tạp phức, tập giải tích, đa điều hòa dưới, phủ, mặt cầu

Chương 2: Trình bày lại một cách chi tiết rõ ràng các kết quả nghiên cứu vềsự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không K hler

Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, em luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư phạm - ĐH Thái Nguyên) Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

cô và xin gửi l i tri ân nhất của em đối với những điều cô đã dành cho em

Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào tạo sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22A (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện và tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cho em hoàn thành khóa học

Em xin gửi l i cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những ngư i

đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong có được những ý kiến đóng góp của các thầy cô

và các bạn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Vân Anh

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức

1.1.1 Định nghĩa không gian phức

Định nghĩa 1.1: Xét không gian Oclit n chiều chẵn R2n

, các điểm của nó là các

bộ có thứ tự 2n số thực Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức bằng cách đặt Ta thư ng kí hiệu nên

Không gian mà điểm là những bộ n số phức (hữu hạn)

sẽ gọi là không gian phức n chiều và kí hiệu Đặc biệt, khi n = 1, ta có là mặt phẳng số phức Có thể xem rằng, với n tùy ý, không gian là tích n mặt phẳng phức ⏟

1.1.2 Không gian phức chuẩn tắc

Định nghĩa 1.2: Cho E là một không gian vecto phức Một giả chuẩn p trên E

là một ánh xạ từ E vào tập các số thực không âm thỏa mãn:

(i) p( ) p( ) p( ) với mọi a, b E

(ii) p( ) | |p( ) với mọi , với mọi a E

Giả chuẩn p trên E xác định một tôpô trên E (* p( ) + là một lân cận mở của )

Không gian vecto phức E cùng với tôpô định nghĩa như trên được gọi là một không gian giả chuẩn tắc

Nếu p là một chuẩn trên E thì không gian phức E được gọi là không gian phức chuẩn tắc

Nói một cách khác, một không gian phức E là không gian phức chuẩn tắc nếu p thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) và điều kiện sau:

(iii) p( ) nếu và chỉ nếu a = 0

1.1.3 Không gian phức khả quy

Định nghĩa 1.3: Một cặp ( ) được gọi là một không gian vành phức nếu:

1 X là một không gian tôpô;

2 𝓗 là một bó -đại số địa phương trên X

Định nghĩa 1.4:Một không gian phức khả quy là một không gian vành phức

( ) mà có những tính chất sau:

1 X là một không gian Hausdorff;

2 Với mọi điểm có một lân cận mở ( ) và một tập giải tích

Định nghĩa 1.6: Họ của M được gọi là một tập bản đồ giải tích

(atlas) của M nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

ii) Với mọi mà ánh xạ là ánh xạ chỉnh hình

Xét họ các atlas trên M Hai atlas gọi là tương đương nếu hợp của chúng

là một atlas trên M Dễ thấy sự tương đương giữa các atlas lập thành một quan

hệ tương đương Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên gọi là một cấu trúc khả vi phức trên M M cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được

gọi là một đa tạp phức n chiều

Ví dụ: Cho là một miền Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với

bản đồ địa phương

Định nghĩa 1.7: Cho U là một miền trong Một tập con V của U là

một đa tạp con nếu với mọi z trong U có một lân cận và các hàm chỉnh hình f1, f trong t U z sao cho:

V U  x U f x  f x  V f f

1.2.2 Tập giải tích trên đa tạp phức

Định nghĩa 1.8: Cho là một đa tạp phức (một miền trong hoặc trong ) Một tập A  được gọi là tập con giải tích của  nếu với mỗi điểm a có một lân cận U của a và các hàm chỉnh hình trên U sao cho:

* ( ) ( ) +

Định nghĩa 1.9: Một tập A trong đa tạp phức được gọi là một tập giải tích

(địa phương) nếu M là tập các không điểm chung của một họ hữu hạn các hàm chỉnh hình trong một lân cận của mỗi điểm của nó

+ Mọi tập giải tích (địa phương) trên một đa tạp phức là tập con giải tích của một lân cận của nó.

Định nghĩa 1.10: Một tập giải tích A được gọi là khả quy nếu tồn tại các tập

con giải tích sao cho:

1 ;

2 A i A i, 1, 2

Nếu A không khả quy thì A được gọi là bất khả quy

Định nghĩa 1.11: Tập con giải tích bất khả quyA của tập giải tích A được gọi

là thành phần bất khả quy của A nếu mọi tập con giải tíchA Asao choA  A

vàA Alà khả quy

1.3 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình

Định nghĩa 1.12: Một hàm giá trị phức f xác định trên một tập con mở

n

D được gọi là chỉnh hình trên n

nếu với mỗi điểm wD có một lân

cận mở U, w U D sao cho hàm f có một khai triển thành chuỗi lũy thừa

1 1

0

n n

v v

3) Với mọi điểm x0A, có một lân cận U x 0 X và các hàm chỉnh hình

g, h trên U sao cho:

1.4 Metric Hermit trên đa tạp phức

Định nghĩa 1.14: Cho E là một bó vecto phức C trên một đa tạp (thực hoặc

phức) M Một cấu trúc Hermit hoặc metric Hermit h trên E là một Ctrư ng các tích trong Hermit của các thớ của E

Cho M là một đa tạp phức, g là một cấu trúc Hermit trên TM g được gọi

là một metric Hermit trên M

Một đa tạp phức M cùng với một metric Hermit g trên nó được gọi là một đa tạp Hermit

1.5 Phủ

Định nghĩa 1.15: Cho X, Y là các đa tạp phức, A là một tập đóng địa phương

trên X và f A: Y là ánh xạ hữu hạn, riêng, liên tục Bộ ba ( , , )A f Y được

gọi một phủ giải tích trên Y nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) Tồn tại một tập con giải tích  Y (có thể là rỗng) chiều <dimY và một

số tự nhiên k sao cho 1 

là không đâu trù mật trong A

Một phủ giải tích thư ng được viết như là một ánh xạ f A: Y

1.6 Hàm đa điều hòa

Định nghĩa 1.16: Giả sử D là miền trong C Một xác định trên D

được gọi là điều hòa nếu h: 4 2h 0

z z



  trên D

Định nghĩa 1.17: Hàm u D:    ; ) được gọi là điều hòa dưới trong miền D

nếu u thoả mãn hai điều kiện sau:

i) U là nửa liên tục trên trong D, tức là tập zD u z;  s là tập mở

Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau:

Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D cần và đủ

là với mỗi điểm zD, tồn tại r0  z  0 sao cho   2  

0

1 2

được gọi là đa điều hòa dưới nếu:

i)  là nửa liên tục trên và  không đồng nhất với  trên mọi thành

phần liên thông của G;

ii) Với mỗi z0G và a n mà a 0 và với mỗi ánh xạ

 (là các miền trong ) hoặc bằng  hoặc là điều hòa dưới

Định nghĩa 1.19: Giả sử X là một không gian phức Hàm :X    [ ; )

được gọi là hàm vét cạn nếu 1 

Định nghĩa 1.21: Cho  là các dòng trên một đa tạp phức, () là không gian đối ngẫu của (), (), T p q, xác định như sau:

Khi đó các dòng T p q, được gọi là các dòng song chiều p q , 

1.8 Miền giả lồi

Định nghĩa 1.22: Cho M là một đa tạp phức và D là một miền con của M D

được gọi là giả lồi tại yD nếu có một lân cận U của y và một C - hàm giá 2

trị thực  xác định trên U sao cho:

i) D U x U : x 0

ii) Nếu tM T y và d t 0 thìH y  t t, 0

Nếu ii) là đúng với H y  t t, 0 với mọi t 0, D được gọi là giả lồi chặt tại y

D được gọi là giả lồi Levi (chặt) nếu D là compact trong M và D giả lồi

(chặt) tại mọi điểm yD

1.9 Mặt cầu

Định nghĩa 1.23: Một mặt cầu (2-chiều) trong một đa tạp phức X là ảnh 

của hình cầu tiêu chuẩn qua một ánh xạ chỉnh hình từ lân cận của vào X sao cho  không tương ứng tới 0 trong X

Chương 2

SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC

KHÔNG K HLER 2.1 Ánh xạ phân hình và không gian chu trình

2.1.1 Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình

Trong luận văn này, ta sẽ sử dụng khái niệm và kết quả nghiên cứu từ lí thuyết không gian chu trình mà Barlet đã đưa ra (xem [3] hoặc [6]) Tất cả các không gian phức trong luận văn đều được giả thiết là chuẩn tắc, khả quy và có thể đếm được tại vô cực Tất cả các chu trình, nếu không nói gì thêm, được giả thiết là có giá liên thông

Định nghĩa 2.1: Một k-chu trình giải tích trong một không gian phức Y là tổng

j j

j

Z  n Z , trong đó  Z j là một dãy hữu hạn địa phương các tập con giải tích (k chiều thuần túy) và n j là các số nguyên dương được gọi là các bội số của Z j

Đặt Z  j Z j là giá của Z

Đặt A k  r,1   k \ k r

Cho X là không gian phức chuẩn tắc, khả quy được trang bị metric Hermit

Cho một ánh xạ chỉnh hình f : n A k  r,1  X Ta sẽ bắt đầu với không gian của các chu trình gắn với f Cố định hằng số dương C và xét tập C f C, của tất cả các k-chu trình giải tích Z trong Y: n k X sao cho:

.Điều này có nghĩa, trong trư ng hợp đặc biệt, với z này, ánh xạ fz thác triển phân hình từ A k z  r,1 trên  k z :  z  k

(b) ( ) và giá | | của Z là liên thông

Ta đặt C f : C0C f C, và chỉ ra rằng C là một không gian giải tích hữu f

hạn chiều trong một lân cận của mỗi điểm của nó

Cho Z là một chu trình giải tích k chiều trong một không gian phức

chuẩn tắc, khả quy Y Trong phần này, Y là n k X Bằng một biểu đồ tọa

độ tương thích với Z, ta sẽ hiểu một tập mở V trong Y như là | | cùng

với một phép đẳng cấu j từ V vào một đa tạp con ̃ trong lân cận của   k q

sao cho ( ̅ ) | | Ta sẽ kí hiệu biểu đồ như vậy bởi V j , Ảnh j Z của chu trình Z qua phép đẳng cấu j chính là ảnh của tập giải tích  

cơ bản cùng với các bội Đôi khi, theo Barlet, ta sẽ kí hiệu:  k U, q B và gọi bộ bốn EV j U B, , ,  là thang tương thích với Z

Nếu pr: k  q  k là phép chiếu tự nhiên, thì hạn chế

   

|j Z : k

pr j Z   là phủ rẽ nhánh bậc d Số q phụ thuộc vào số chiều nhúng

của Y (hoặc X trong trư ng hợp này) Thỉnh thoảng, ta sẽ bỏ qua j trong phần

kí hiệu Các phủ rẽ nhánh: pr| :Z Z       k q k xác định một cách tự nhiên một ánh xạ:

Không mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng ánh xạ chỉnh hình f được xác định trên n a A kr b1,  với a b ,  1, r1  r Bây gi , mỗi ZC f có thể được phủ bởi một số hữu hạn các lân cận tương thích V, j  Phủ như vậy được gọi là một phủ tương thích

Kí hiệu hợp WZ   V Lấy phủ  V, j đủ nhỏ, ta có thể giả thiết rằng: (a) Nếu , thì trên mỗi thành phần bất khả quy của giao

Z V V , một điểm x1 được cố định sao cho:  c1 hoặc tồn tại một lân cận

đa trụ  1k k của pr j 1 x1  sao cho biểu đồ 1  

1

12 1

V  j    là thích ứng với Z và được chứa trong

p V      A

Ở đây, ta kí hiệu p:   n k X n k là phép chiếu tự nhiên Trư ng

hợp  c có thể được thực hiện khi chiều nhúng của 1

1

V nhỏ hơn hoặc bằng chiều nhúng của

Ta tham khảo [3] để định nghĩa sự đẳng hướng của tập hợp các phần tử

từ HY  U sym , d  B  đã được tham số hóa bởi tập giải tích Banach S Không gian HY  U sym , d   B  có thể được thay thế bởi một (nhiều) cấu trúc giải tích khác nhiều tính chất hơn Không gian giải tích mới này sẽ được kí hiệu bằng

U của s0 trong S sao cho Z s :s U s0 là đẳng hướng trong V1

Điều này có nghĩa,trong trư ng hợp đặc biệt, ánh xạ:

đó S được xác định như một tập con giải tích

Định nghĩa2.2: Một họ Z của các chu trình giải tích trong một tập mở W Y

, được tham số hóa bởi một không gian giải tích Banach S được gọi là giải tích trong một lân cận của s0 Snếu với mọi thang E tương thích với

0

s

Z thì tồn tại một lân cận U của s sao cho họ 0 Z s :s U  là đẳng hướng

2.1.2 Tính giải tích của C f và cách xây dựng G f

Cho f :  n A k r,1 X là ánh xạ Lấy một chu trình ZC f và một phủ hữu hạn V, j thỏa mãn điều kiện (c) và (d) Đặt WZ  V Ta cần chỉ

ra rằng C f là một không gian giải tích có số chiều hữu hạn trong một lân cận của Z Ta xét hai trư ng hợp của V:

Trường hợp 1: Với V như trong (d): Nếu y V   với

,12

Tất cả H là những tập mở trong những tập con giải tích Banach phức

và với V của trư ng hợp 1, H có số chiều n và trơn Từ định lí Mazet, ta có nếu :h AS là đơn ánh chỉnh hình từ một tập giải tích hữu hạn chiều A vào một tập giải tích Banach S, thì h A( ) cũng là một tập giải tích Banach hữu hạn chiều

Barlet-Với mọi thành phần bất khả quy của V V Z l, cố định một điểm

 c1 hoặc tồn tại một lân cận đa trụ  1k k của pr j 1 x1  sao cho



   Để thuận tiện hơn cho việc trình bày,

từ đây ta sẽ đưa vào một thứ tự các phủ hữu hạn  V và viết  N 1

V   Xét các tích hữu hạn     H và  lHl Trong tích thứ hai, ta chỉ lấy bội ba với   Tích này là không gian giải tích Banach và theo định lí về phép chiếu thay đổi của Barlet, với mỗi cặp   , ta có hai ánh xạ chỉnh hình

của Z Hạch này là tập giải tích Banach, và hơn nữa, họ A là một họ giải tích

trong WZ theo định nghĩa 1.1

Bổ đề 2.1: A là hạch của cặp ánh xạ chỉnh hình  , Khi đó, A có số chiều

V  j    của trư ng hợp 2 Ta xác định H' như

H khi thay V bằng V' và H' :  H' Lặp lại phép dựng như trên, chúng

ta xây dựng được một tập giải tích Banach A’ Ta có một ánh xạ chỉnh hình

K AA xác định bởi ánh xạ hạn chế Vi phân dK Kcủa ánh xạ này là một toán tử compact

Ta sẽ chỉ ra rằng có ánh xạ ngược giải tích F A: 'A Tính giải tích của

F, chính xác hơn, nó sẽ được xác định trong một số lân cận của A' trong H' Với các thang E V U, ,B, j của trư ng hợp 2 ánh xạ

  được xác định bởi tính đẳng hướng của họ A’

như trong [3] Đặc biệt, F này thác triển giải tích tới một lân cận trong H' ! 

của mỗi điểm của A’

E  V U  U B j của trư ng hợp 1 xác định Fnhư sau: Cho Y  Y là một điểm trong H’ Vì H H' nên ta có thể định nghĩa chính xác F Y :Y như là một phần tử của H Điều này trực tiếp xác định F trên toàn bộ H’ Tính giải tích là hiển nhiên

Đặt F:  F :A'A F được xác định và giải tích trong một lân cận

của mỗi điểm của A’ Hơn nữa, id - dK dF là Fredholm Vì

A h H idK F h  nên A’ là một tập con giải tích trong một

đa tạp phức hữu hạn chiều

Do đó, C f là một không gian giải tích hữu hạn chiều trong một lân cận của mỗi điểm của nó C f C, là các tập con mở của C f Chú ý rằng C1C2, tập hợp

chứa K và hơn thế nữa, C K là một tập con mở của K Tổng quát, số chiều của C

các thành phần bất khả quy của C f không bị chặn và không gian C f là rất lớn

Kí hiệu G f là hợp của các thành phần bất khả quy của C f mà chứa ít nhất một chu trình bất khả quy hay nói cách khác, một chu trình có dạng

z

f



với zn

Kí hiệu Z f :Z a:aC f là họ phổ dụng Trong phần tiếp theo, kí hiệu

2 Chiều của G f không lớn hơn n

3 Nếu k 1 thì tất cả các thành phần bất khả quy, compact của các chu trình trong G f là hữu tỉ

Để chứng minh bổ đề này, chúng ta cần bổ đề sau (bổ đề 2.3.1 trong [14]):

Bổ đề 2.3: Cho  r là một dãy các q-đĩa phân hình trong một không gian phức X Giả sử tồn tại một K compact, K X và một hằng số C   sao cho: (a) r  q K với mọi r;

(b) vol  r C với mọi r;

Thì tồn tại một dãy con  r j và một tập giải tích riêng A q sao cho:

(1) Dãy   rj hội tụ trên metric Hausdorff tới một tập con giải tích  của

(6) Đặt 1

0

q p p

  với giá liên thông Đánh dấuB có tính chất sau: Có một lân cận s j

trong V của Z trong C f

  , trong đó B là một chu trình compact trong một lân cận của 1 B s j

trong không gian Barlet B k X Ánh xạ :C f C f

  biến mỗi chu trình Z thành một chu trình có được từ Z này bằng cách xóa tất cả các thành phần được

đánh dấu Ánh xạ  là một ánh xạ giải tích Mỗi chu trình bất khả quy rõ ràng

là một điểm cố định của  Do đó, tập hợp các điểm cố định là mở trong



   và : p ev1 1: Cf n

 

   hoàn toàn xác định Trong đóp1:n k   X n là một phép chiếu tự nhiên và ev : Z n k

B là chu trình

compact gần với B Quan sát thấy mỗi chu trình trong một lân cận của s j Z có 1

cùng dạng tức là trong sự phân tích của nó với j2, theo Bổ đề 2.3 Do Z 1

cũng là một điểm cố định của , ta có thể lặp lại quá trình này N lần để thu được một chu trình bất khả quy trong một lân cận cho trước của Z

Kí hiệu Gf C, là tập con mở của G f gồm có Z với vol Z C

Bây gi ,ta sẽ phát biểu và chứng minh bổ đề chính của bài, bổ đề 2.5

Từ gi trở đi, ta sẽ hạn chế họ phổ dụng Z f trên G f mà không thay đổi kí hiệu Z f C, :Z a:aG f,C,Z f : C0Z f C, và  :Z f G f là phép chiếu tự nhiên Hơn nữa, Z f là không gian phức hữu hạn chiều Ta có một ánh xạ đánh giá ev :Z f  n k X được xác định bởi Z aZ f Z a n k X sẽ sử dụng trong chứng minh của bổ đề 2.5 Ngoài ra, trong chứng minh của bổ đề, cần sử dụng bổ đề sau (bổ đề 2.4.1 từ [14]):

Bổ đề 2.4: Giả sử tồn tại một lân cận U của s0 trong V sao cho với mọi

s trong V sao cho f thác triển phân hình tới V1 W1.

Nhắc lại rằng, ta giả sử không gian phức X được trang bị metric Hecmit

Chứng minh: Kí hiệu    K là khối cực tiểu của một tập con giải tích

compact k chiều trong K,  0 theo bổ đề 2.3 Kí hiệu W là tập con mở lớn

nhất của n sao cho f thác triển phân hình trên  n A k r,1 W k Tập

Trong đó 0 c 1 cố định Ở đây, C thỏa mãn 0 vol f z C0 với mọi zn

Từ đó, theo bổ đề 1.2, các chu trình của dạng

G   c là compact theo sự tổng quát

hóa Harvey-Shiffman của định lí của Bishop Do đó : ,2 ,1

và ev Z: f  n k Xcũng riêng và theo định lí ánh xạ riêng Remmert, ảnh

của nó là một tập giải tích thác triển tới đồ thị của f Ta thấy rằng

 ,2 0 ,1

W  G f C và do đó G f,2C0,1 n 1

Định nghĩa 2.4: Một không gian phức X là lồi-đĩa k chiều nếu với bất kì K

1 Với k = 1 ta nói rằng X là lồi đĩa

2 Nhắc lại rằng, một không gian phức X được gọi là k-lồi (theo nghĩa của Grauert) nếu có một hàm số khử :X 0,là k-lồi tại tất cả các điểm ngoài tập compact K tức là dạng Levi của nó có ít nhất dimX-k+1 giá trị riêng dương Với cách giải thích phù hợp của nguyên lí cực đại cho hàm số lồi, k-lồi bao hàm các lồi đĩa k chiều

3 Điều kiện (3) của bổ đề 2.5 (cũng như định lí 2.6 và 2.7 dưới đây) sẽ được thỏa mãn nếu X là lồi đĩa k chiều

2.1.3 Định lý thác triển kiểu Levi

Trong chứng minh của định lí về ánh xạ phân hình vào một không gian phức lồi đĩa chứa một metric Hermit đa âm, ta sẽ nghiên cứu trư ng hợp trong

Định nghĩa 2.6: Ta nói rằng X có chu trình hình học không bị chặn trong k

chiều nếu tồn tại một đường  : 0,1 B k X với vol 2kev Z  t   khi

t và ev Z  t K với mọi t, trong đó K compact trong X

Trư ng hợp hai chiều, khi n = 1 là tương đối đặc biệt Ta xét trư ng hợp riêng biệt này Ở đây, S là đặc tại gốc nếu và chỉ nếu S chứa một dãy  s n hội

tụ tới 0 Với số chiều lớn hơn hai, trư ng hợp này trở nên phức tạp hơn; xem ví

dụ 3.2 và 3.3 trong mục 3 Ta đưa ra một điều kiện trên X đủ để có kết luận của định lí 2.6

Định lí 2.6: Cho f : A r ,1 X là một ánh xạ chỉnh hình vào một không gian phức X khả quy, chuẩn tắc Giả sử với một dãy  s n các điểm trong  hội

sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

1) Tồn tại K compact, sao cho

2) Diện tích của các ảnh f  s n là bị chặn đều

Khi đó tồn tại  0 sao cho f thác triển như một ánh xạ phân hình trên

một dãy hội tụ tới 0 Xét hạn chế Z f |K của họ phổ dụng trên K Đây là một không gian phức hữu hạn chiều Nối các điểm a1và a2 bởi một đĩa giải tích

minh của bổ đề 2.2 Ánh xạ  được hạn chế trên G f sẽ được kí hiệu là  Do

đó,  là riêng và và hiển nhiên ánh xạ      1

0 trong n và một thác triển phân hình của f trên U k

Chứng minh:

Trường hợp n1: Chứng minh tương tự định lí 2.6

Trường hợp n2: Ta sẽ chứng minh qua hai bước

Bước 1: Cố định một điểm n

z sao cho z G f Tồn tại một tập

mở compact tương đối W G f chứa ,

Do đó, tất cả các thành phần liên thông của 1 

Bước 2: Nếu S là đặc tại z thì tồn tại một lân cận V của z sao cho f thác

triển phân hình trên V  k

Vì S V  W và S là đặc tại gốc, bước 1 cho thấy  W V V

Vì nên tồn tại một hằng số C sao cho vol Z s:sWC Điều này

cho phép ta áp dụng bổ đề 2.5 và có được thác triển của f trên V  k

Do đó, định lí được chứng minh

Ta sẽ sử dụng định lí 2.7 khi k = 1 Trong trư ng hợp này, nó chấp nhận

một sự làm mịn tốt Một 1- chu trình Z  j n Z j j được gọi là hữu tỉ nếu tất cả

j

Z là các đư ng cong hữu tỉ, tức là, các ảnh của hình cầu Rieman 1

trong X qua ánh xạ chỉnh hình khác hằng Xét không gian của các chu trình hữu tỉ

( )

R X thay vì không gian Barlet B ( 1 X), ta có thể xác định như trong định nghĩa 2.6 khái niệm về chu trình hình học hữu tỉ bị chặn Do đó, từ định lý 2.7 ta có

hệ quả sau:

Hệ quả 2.8: Với k = 1 và các giả thiết của định lí 2.7 thì kết luận của định lí

2.7 luôn đúng khi X có chu trình hình học hữu tỉ bị chặn

Chứng minh:

Trường hợp k = 1: Giới hạn của một dãy các đĩa giải tích mà có diện

tích bị chặn là một đĩa giải tích thêm vào một chu trình hữu tỉ Do vậy, ta chỉ cần xét không gian của các chu trình hữu tỉ trong trư ng hợp này Phần còn lại thì rất rõ ràng Điều này cho ta hệ quả 2.7

Bước 1 của chứng minh định lí 2.7 cho ta khẳng định sau và ta sẽ dùng

Khi đó tồn tại một lân cận V của 0 và một đa tạp con giải tích W của V sao cho V S W và sao cho với mỗi zW, f z thác triển phân hình trên k

z



với vol f s C0

Với lập luận tương tự như trên, ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.10: Cho f : n A r ,1 X là một ánh xạ phân hình, trong đó X là một đa tạp phức compact với chu trình hình học hữu tỉ bị chặn Cho S là một tập con của n bao gồm các điểm s sao cho f hoàn toàn xác định và thác s triển chỉnh hình trên s Nếu S không được chứa trong một hợp đếm được các

đa tạp con đóng, giải tích địa phương riêng của n thì tồn tại U mở khác rỗng,

n

U  và một thác triển phân hình của f trên U 

Thật vậy, ta có thể dễ ràng suy ra sự tồn tại của một điểm pn, mà có thể đóng vai trò như điểm gốc trong định lí 2.7

2.1.4 Chú ý về không gian với chu trình hình học bị chặn

Để áp dụng định lí 2.7 trong chứng minhđịnh lí về ánh xạ phân hình từ một hình Hartogs n 1 

U

H  r vào một không gian phức lồi đĩa chứa một metric Hermit đa âm trên n 1\ A, ta phải kiểm tra tính bị chặn của chu trình hình học của đa tạp X mà có một dạng metric đa đóng Ta sẽ làm việc này trong mệnh đề 2.11 dưới đây Trước hết, ta có nhận xét sau:

Nhận xét: Mọi đa tạp phức compact k+1 chiều thì đều có một (k,k)-dạng

dương chặt k với dd c k 0

Thật vậy, hoặc một đa tạp phức compact có một (k,k)-dạng dương chặt

ddc -đóng hoặc nó có một song chiều (k+1,k+1)-dòng T với dd c T 0 nhưng

không trùng với 0.Trong trư ng hợp này, dimX = k+1 như một dòng không là

gì nhưng hàm đa điều hòa dưới khác hằng không tồn tại trên X compact