Bài tập toán cao cấp 3

Ph n bên trong hình tròn tâm O bán kính 2ầb... 7.9 Trong R3 xét tích vô hướng Euclid.

d {(x, y) | x tuỳ ý, y < 3x} ⟺ các đi m n m dể ằ ướ ười đ ng th ng y = 3xẳ

e {(x, y) | x tuỳ ý, y > 3x} ⟺ các đi m n m trên để ằ ường th ng y = 3xẳ

1.3 Trong các trường h p sau đây, h i A = B khôngợ ỏ

a A là t p các s th c không âm, B là t p m i s th c không nh h n tr tuy t đ iậ ố ự ậ ọ ố ự ỏ ơ ị ệ ố

c a chính nó.ủ

b A là t p các s th c không âm, B là t p m i s th c không l n h n tr tuy t đ iậ ố ự ậ ọ ố ự ớ ơ ị ệ ố

c a chính nó.ủ

c A là t p m i s nguyên không âm và không l n h n 100 có lu th a b c 3 là m tậ ọ ố ớ ơ ỹ ừ ậ ộ

s l không chia h t cho 3, B là t p các s nguyên không âm và không l n h n 100ố ẻ ế ậ ố ớ ơ

có bình phương tr 1 chia h t cho 24.ừ ế

c Nh ng đi m có to đ nguyên n m phía dữ ể ạ ộ ằ ướ ười đ ng phân giác th nh t.ứ ấ

1.8 ℤ là t p s nguyên, ậ ố N¿ là t p các s nguyên dậ ố ương Quan h ~ trên t p ệ ậ ℤ × N¿

được xác đ nh nh sau:ị ư

(a, b) ~ (c, d) ⟺ ad = bc

Ch ng minh r ng đó là m t quan h tứ ằ ộ ệ ương đương

Ch ng minh: Quan h ~ có các tính ch t sau:ứ ệ ấ

a Ph n x : vì a.b = a.b ả ạ ⟺ (a, b) ~ (a, b)

b Đ i x ng: (a, b) ~ (c, d) ố ứ ⟺ a.d = b.c ⟺ c.b = d.a ⟺ (c, d) ~ (a, b)

c B c c u: ắ ầ

(a , b) (c , d )⟺ a d=b c⟺ a

b=

c d

(c , d) (e , f )⟺ c f =d e⟺ c

d=

e

f } ⟹ a b = e f ⟺ a.f = b.e ⟺ (a, b)~(e, f)

V y quan h ~ là m t quan h tậ ệ ộ ệ ương đương trên × ℤ N¿

1.9 N là t p s t nhiên Trên t p ậ ố ự ậ N × N xét quan h ≤ xác đ nh nh sau:ệ ị ư

(i, j) ≤ (k, m) ⟺ i + j < k + m ho c n u i + j = k + m thì i ≤ kặ ế

Ch ng minh r ng đó là m t quan h th t toàn ph n trên t p ứ ằ ộ ệ ứ ự ầ ậ N × N Vi tếtheo th t đó các ph n t đ ng trứ ự ầ ử ứ ước ph n t (3, 0).ầ ử

Ch ng minh: Ta c n ch ng minh quan h đó có các tính ch t sau:ứ ầ ứ ệ ấ

a Ph n x : vì i + j = i + j và i ≤ i nên (i, j) ≤ (i, j)ả ạ

b B c c u: Ta cóắ ầ

(i, j) ≤ (k, m) ⟺ i + j < k + m ho c n u i + j = k + m thì i ≤ kặ ế

(k, m) ≤ (g, h) ⟺ k + m < g + h ho c n u k + m = g + h thì k ≤ g.ặ ế

Ch ng minh r ng đó là m t quan h th t toàn ph n trên t p ứ ằ ộ ệ ứ ự ầ ậ N n Quan h nàyệ

được g i là quan h th t t đi n.ọ ệ ứ ự ừ ể

Ch ng minh: Quan h ứ ệ ≤ có các tính ch t sau:ấ

N u y < -4 thì phế ương trình vô nghi m V y f không toàn ánh.ệ ậ

Do đó, f không ph i song ánh, không có ánh x ngả ạ ược

Tương t , ta có f là song ánh và ánh x ngự ạ ược là: x = f−1 (y) = lny - 1

+ f là toàn ánh: v i y ớ ∈ ℝ luôn t n t i x = ồ ạ 10y ∈ +R¿¿ sao cho y = log x

Do g và f đ u là song ánh nên ánh x h p f ề ạ ợ ∘ g: (a, b) ⟶ ℝ là m t song ánh V y t p cácộ ậ ậ

s th c thu c kho ng (a, b) cùng l c lố ự ộ ả ự ượng v i t p ớ ậ ℝ

D a vào b ng bi n thiên ta th y, v i -1 < y < 1 có 2 nghi m x khác nhau đ y = f(x)ự ả ế ấ ớ ệ ể

và v i y > 1 ho c y < -1 thì không có nghi m nào tho mãn.ớ ặ ệ ả

Ta có: (f ∘ g)((x, y)) = f((αx + βy, γx + δy))

= (a (αx + βy) + b.(γx + δy), c (αx + βy) + d.(γx + δy))

= ((a.α + b.γ)x + (a.β+ b.δ)y, (c.α + d.γ)x + (c.β+ d.δ)y)

a Tính k t h pế ợ

b T n t i ph n t trung hoà (ồ ạ ầ ử f1 )

c M i ọ f i đ u có ph n t đ i.ề ầ ử ố

Đây là m t nhóm giao hoán vì có ộ f i ∘ f j = f j ∘ f i ∀i, j = 1, 2, 3, 4

2.2 Xét xem các nhóm sau đây đ i v i phép toán đã cho có ph i là m t nhóm hay không?ố ớ ả ộ

a T p các s t nhiên v i phép toán c ng.ậ ố ự ớ ộ

b T p các s nguyên v i phép toán c ng.ậ ố ớ ộ

c T p các s t nhiên v i phép toán nhân.ậ ố ự ớ

b Ph n t i ầ ử ∈ Z p kh ngh ch khi và ch khi (i, p) = 1 (i và p nguyên t cùng nhau).ả ị ỉ ố

c Vành Z p là trường khi và ch khi p là m t s nguyên t ỉ ộ ố ố

Gi i:ả

a Ch ng minh (ứ Z p , +, ) là m t vành giao hoán có đ n v :ộ ơ ị

+ ( Z p , +) là m t nhóm giao hoán v i phép c ng vì: ộ ớ ộ v i ớ ∀a, b ∈ Z p

[a] + [0] = [0] + [a] = [a]

[a] + [p-a] = [p-a] + [a] = [p] = [0]

[a] + [b] = [b] + [a] = [a+b]

+ Phép nhân có tính ch t k t h p, phân ph i v hai phía, có đ n v :ấ ế ợ ố ề ơ ị

[a].([b].[c]) = [a].[b.c] = [a.b.c] = [a.b].[c] = ([a].[b]).[c]

[a].([b] + [c]) = [a].[b+c] = [a(b+c)] = [a.b+a.c] = [a.b] + [a.c] = [a].[b] + [a].[c]

([b] + [c]).[a] = [b].[a] + [c].[a]

[a].[1] = [1].[a] = [a]

V y (ậ Z p , +, ) là m t vành giao hoán, có đ n v ộ ơ ị

b Ph n t i ầ ử ∈ Z p kh ngh ch nhân t c là ả ị ứ ∃ j ∈ Z p sao cho [i].[j] = [1]

⟺ t n t i 2 s nguyên j và s sao cho: i.j + s.p = 1 V y i và p là 2 s nguyên tồ ạ ố ậ ố ốcùng nhau

c p là s nguyên t thì ố ố ∀ i < p đ u là s nguyên t cùng nhau v i p ề ố ố ớ ⟺ ∀ i ∈ Z p

a Ph n bên trong hình tròn tâm O bán kính 2ầ

b Ảnh c a các s ph c z tho mãn |z-1| ≤ 1 n m trong và trên chu vi c a hình trònủ ố ứ ả ằ ở ủ

có tâm t i nh c a z = 1 và có bán kính b ng 1 T c là ph n trong và trên đạ ả ủ ằ ứ ầ ườngtròn tâm (1, 0) có bán kính b ng 1.ằ

c Ảnh c a các s ph c z tho mãn |z-1-i| ≤ 1 n m trong và trên chu vi c a hình trònủ ố ứ ả ằ ở ủ

có tâm t i nh c a z = 1 + i và có bán kính b ng 1 T c là ph n trong và trên đạ ả ủ ằ ứ ầ ườngtròn tâm (1, 1) có bán kính b ng 1.ằ

2.10 Gi i phả ương trình:

a x2 - ix + i = 0

CH ƯƠ NG III: MA TR N - Đ NH TH C H PH Ậ Ị Ứ Ệ ƯƠ NG TRÌNH Đ I S TUY N Ạ Ố Ế TÍNH (7 ti t) ế

3.1 Gi s A là ma tr n c m x p Xác đ nh c c a các ma tr n B, C sao cho bi u th cả ử ậ ỡ ị ỡ ủ ậ ể ứsau có nghĩa

2

35

6

6)

b A + (B + C) = (3 1

356

6)

c 3A + 2B = 3( 1 3

−13

= ((cosα)2−(sinα)2 −2 cosα sinα

2 cosα sinα (cosα )2−(sinα )2)

0 0 01

N u a = d ≠ 0 thì t 2 phế ừ ương trình cu i ta suy ra b = c = 0, quay l i 2 phố ạ ương trình

đ u ta l i suy ra a = d = 0 (mâu thu n) V y a = -d và b, c tuỳ ý v i đi u ki n ầ ạ ẫ ậ ớ ề ệ a2+bc=0

⟹ A = (a b

c −a) và a2

+bc=0

b A2 = (1 0

ab+bd=0 ac+cd =0

a jk b ki

b detA = 0 nên A không kh ngh ch.ả ị

c detA = 1 ≠ 0 và A−1 = ( cosφ sinφ

t) = ( 4

−3 1

3.25 Gi i h sau theo phả ệ ương pháp Gauss:

b Đa th c b c 3 có d ng: g(x) = aứ ậ ạ x3 + b x2 + cx + d = 0 Theo đ bài ta có h pt:ề ệ

3.27 V i giá tr nào c a a thì h sau đây không có nghi m duy nh t:ớ ị ủ ệ ệ ấ

−3 a ) , detA = a - 6 H không có nghi m duy nh t khi detA=0 ệ ệ ấ ⟺ a = 6

b H không có nghi m duy nh t khi detA = 0 ệ ệ ấ ⟺ a = -4/5

3.28 Xác đ nh a đ h sau có nghi m không t m thị ể ệ ệ ầ ường:

Gi i:ả

a rankA = 2 n u λ = 0; rankA = 3 n u λ ≠ 0ế ế

b rankB = 2 n u λ = 3; rankB = 3 n u λ ≠ 3ế ế

CH ƯƠ NG IV: B TÚC V Đ I S VECT VÀ HÌNH H C GI I TÍCH (0 ti t) Ổ Ề Ạ Ố Ơ Ọ Ả ế

CH ƯƠ NG V: KHÔNG GIAN VECT (6 ti t) Ơ ế

5.2 Gi s V, V’ là các ả ử � – không gian vect Ch ng minh r ng t p tích Đ các V×V’ơ ứ ằ ậ ề

cùng v i các phép toán sau là m t ớ ộ � – không gian vect :ơ

(x, x’) + (y, y’) = (x + y, x’ + y’);

α(x, x’) = (αx, αx’)

Gi i: Ki m tra l i các tiên đ đ u tho mãn.ả ể ạ ề ề ả

5.3 Trong t p E các dãy vô h n các s th c, ta đ nh nghĩa phép c ng các dãy và nhânậ ạ ố ự ị ộ

m t s th c v i m t dãy nh sau:ộ ố ự ớ ộ ư

{ u n } + { v n } = { u n + v n }α{ u n } = {α u n }

Ch ng minh E là m t ứ ộ ℝ - không gian vect đ i v i các phép toán trên.ơ ố ớ

Gi i: Ki m tra l i các tiên đ đ u tho mãn.ả ể ạ ề ề ả

5.4 Xét xem các t p con sau đây c a không gian vect ậ ủ ơ R4 , t p nào là không gian con.ậ

N u là không gian con, hãy các đ nh m t c s và bù tuy n tính c a nó:ế ị ộ ơ ở ế ủ

A = {x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + x2 + x3 + x4 =0};

B = {x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + x2 + x3 + x4 =1};

C = {x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + x2 = x3 + x4 =0};

Gi i: A, C là các không gian con.ả

M t c s c a không gian con A ch ng h n là {(1, -1, 0, 0); (1, 0 ,-1, 0); (1, 0, 0, -1)}.ộ ơ ở ủ ẳ ạ

V y W là không gian con c a ậ ủ R3

b Ta th y (a, 1, 1) và (a’, 1, 1) thu c W nh ng (a+a’, 2, 2) không thu c W Vì th nênấ ộ ư ộ ế

W không là không gian con c a ủ R3

c W là không gian con c a ủ R3

d W không là không gian con c a ủ R3

5.6 G i ọ M2 là t p các ma tr n vuông c p hai v i phép c ng và nhân ma tr n v i m tậ ậ ấ ớ ộ ậ ớ ộ

s th c thông thố ự ường Ch ng minh r ng ứ ằ M2 là m t không gian vect H i m iộ ơ ỏ ỗ

t p dậ ưới đây có là không gian vect con c a ơ ủ M2 hay không:

d Các ma tr n c p 2 sao cho detA = 0.ậ ấ

Gi i: Ta ch ng minh ả ứ M2 là không gian vect Ta ki m tra l i 10 tiên đ Rõ ràng ơ ể ạ ề M2

v i 2 phép toán c ng và nhân ma tr n v i m t s th c thông thớ ộ ậ ớ ộ ố ự ường tho mãn 10 tiên đả ề

⟹ W là không gian con c a ủ M2

d Do detA = 0, detB = 0 nh ng det(A + B) ch a ch c b ng 0 nên W không là khôngư ư ắ ằgian con c a ủ M2

5.7 H i m i t p dỏ ỗ ậ ưới đây có ph i là không gian con c a ả ủ P3 không:

a Các đa th c ứ a0 + a1 x + a2x2 + a3x3 trong đó a0 = 0

b Các đa th c ứ a0 + a1 x + a2x2 + a3x3 trong đó a0 + a1 + a2 + a3

= 0

c Các đa th c ứ a0 + a1 x + a2x2 + a3x3 trong đó a0 , a1 , a2 , a3 làcác s nguyên.ố

a N u λ ≠ 15 thì h vô nghi m, n u λ = 15 thì h vô s nghi m.ế ệ ệ ế ệ ố ệ

b H có nghi m duy nh t v i ệ ệ ấ ớ ∀ λ

c H có nghi m duy nh t v i ệ ệ ấ ớ ∀ λ

d N u λ = 12 thì h vô nghi m, n u λ ≠ 12 thì h có nghi m duy nh t.ế ệ ệ ế ệ ệ ấ

5.10 M i h vect dỗ ọ ơ ưới đây có sinh ra R3 hay không:

a v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 0, 0)

b v1 = (2, -1, 3), v2 = (4, 1, 2), v3 = (8, -1, 8)

c v1 = (3, 1, 4), v2 = (2, -3, 5), v3 = (5, -2, 9), v4 = (1, 4, -1)

d v1 = (1, 3, 3), v2 = (1, 3, 4), v3 = (1, 4, 3), v4 = (6, 2, 1)

Gi i: Ta c n ch ng minh m i vect c a ả ầ ứ ọ ơ ủ R3 đ u là t h p tuy n tính c a h vect này.ề ổ ợ ế ủ ọ ơ

a V i x = (ớ x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Ta c n ch ng minh phầ ứ ương trình vect x = aơ

v1 + b v2 + c v3 luôn có nghi m a, b, c Ta có: (ệ x1 , x2 , x3 ) = a(1, 1, 1)+ b(2, 2, 0) + c(3, 0, 0)

V y h vect này là h sinh c a ậ ệ ơ ệ ủ R3

b Làm tương t câu a) và h vect này không là h sinh c a ự ệ ơ ệ ủ R3

d Làm tương t câu c), rankA = rankự A = 3 V y h vect này là h sinh c a ậ ọ ơ ệ ủ R3

5.11 Các t p sau đây là đ c l p tuy n tính hay ph thu c tuy n tính:ậ ộ ậ ế ụ ộ ế

a u1 = (1, 2), u2 = (-3, -6) trong R2

b u1 = (2, 32), u2 = (-5, 8), u3 = (6, 1) trong R2

5.13 Tìm λ ∈ ℝ sao cho các vect sau ph thu c tuy n tính:ơ ụ ộ ế

Gi i: S vect không b ng s chi u.ả ố ơ ằ ố ề

5.16 Ch ng minh các h vect sau là c s trong không gian tứ ọ ơ ơ ở ương ng:ứ

Gi i: Các h vect trên đ u là h đ c l p tuy n tính và có s vect b ng s chi u c aả ệ ơ ề ệ ộ ậ ế ố ơ ằ ố ề ủkhông gian tương ng.ứ

5.17 Trong R - không gian vect ơ R4 , tìm h ng c a h vect sau:ạ ủ ệ ơ

b W là không gian 2 chi u nh n vect (1, 1, 0) và (0, 0, 1) làm c s ề ậ ơ ơ ở

c W là không gian 1 chi u, nh n vect (2, 1, 4) làm c s ề ậ ơ ơ ở

d W là không gian 2 chi u nh n vect (1, 1, 0) và (0, 1, 1) làm c s ề ậ ơ ơ ở

5.19 Xác đ nh s chi u và m t c s c a không gian nghi m c a các h sau:ị ố ề ộ ơ ở ủ ệ ủ ệ

Ta nh n th y: (3y – z, y, z) = (3y, y, 0) + (-z, 0, z) = y(3, 1, 0) + z(-1, 0, 1)ậ ấ

V y 2 vect u = (3, 1, 0) và v = (-1, 0, 1) sinh ra W và chúng l i đ c l p tuy n tính.ậ ơ ạ ộ ậ ế

⟹ dimW = 2 và {u, v} là m t c s ộ ơ ở

c H ch nghi m t m thệ ỉ ệ ầ ường nên dimW = 0

5.20 Xác đ nh s chi u c a các không gian con c a ị ố ề ủ ủ R4 :

a Các vect có d ng (a, b, c, 0)ơ ạ

b Các vect có d ng (a, b, c, d) trong đó d = a + b, c = a – bơ ạ

c Các vect có d ng (a, b, c, d) trong đó a = b = c = dơ ạ

a rank = 3 V y không gian con có s chi u b ng 3 và nh n 3 vect h sinh làm cậ ố ề ằ ậ ơ ệ ơ

5.27 G i V là không gian sinh b i ọ ở f1 = sinx và f2 = cosx

a CMR g1 = 2sinx + cosx và g2 = 3cosx t o thành m t c s c a V.ạ ộ ơ ở ủ

b Tìm ma tr n chuy n t c s B’ = {ậ ể ừ ơ ở g1 , g2 } sang B = { f1 , f2 }

c Tính ma tr n to đ ậ ạ ộ [h] B v i h = 2sinx – 5cosx và suy ra ớ [h] B '

d Tìm ma tr n chuy n t c s B sang B’ậ ể ừ ơ ở

Gi i: D dàng ch ng minh B = {ả ễ ứ f1 , f2 } là m t c s c a V vì a.sinx + b.cosx = 0 v iộ ơ ở ủ ớ

x = π2 thì a = 0 và x = 0 thì b = 0 nên h đ c l p tuy n tính và sinh ra V nên nó là c s ệ ộ ậ ế ơ ởTrong c s đó, ta có: ơ ở [f1]B = (1

CH ƯƠ NG VI: ÁNH X TUY N TÍNH TR RIÊNG VÀ VECT RIÊNG (4 ti t) Ạ Ế Ị Ơ ế 6.1 Ánh x f: ạ R2 ⟶ R2 dưới đây có ph i là tuy n tính không:ả ế

6.4 G i ọ M mxn là t p các ma tr n c mxn Cho B là m t ma tr n c 2 x 3 hoàn toànậ ậ ỡ ộ ậ ỡ

xác đ nh Ch ng minh r ng ánh x T: ị ứ ằ ạ M 2 x 2 ⟶ M 2 x 3 đ nh nghĩa b i T(A) =ị ởA.B là ánh x tuy n tính.ạ ế

6.5 Cho T: R3 ⟶ R2 là m t ánh x ma tr n và gi s :ộ ạ ậ ả ử

a H i ph n t nào thu c Ker(T): ỏ ầ ử ộ x2 , 0, 1 + x

b Ph n t nào thu c Im(T): x + ầ ử ộ x2 , 1 + x, 3 - x2

Tìm m t c s c a không gian con Kerf và Imfộ ơ ở ủ

Gi i: Kerf là không gian nghi m c a h phả ệ ủ ệ ương trình tuy n tính:ế

A = ( [T (e1)]B ' , [T (e2)]B ' , , [T (en)]B ' )

a T(1, 0) = (2

1)T(0, 1) = (−1

V y A = ậ ( 0 0

d Ch có 1 giá tr riêng th c ỉ ị ự λ1 = 2 và 2 giá tr riêng ph c và có 1 vect riêng tị ứ ơ ương

ng trên tr ng s th c Nên ma tr n này không chéo hoá đ c trên tr ng s

a A chéo hoá được n u ế (a−d )2 + 4bc > 0

b A không chéo hoá được n u ế (a−d )2 + 4bc < 0

b N u ế (a−d )2 + 4bc < 0 thì ma tr n A không có giá tr riêng trên trậ ị ường s th cố ựnên không chéo hoá được trên trường s th c.ố ự

CH ƯƠ NG VII: D NG SONG TUY N TÍNH VÀ D NG TOÀN PH Ạ Ế Ạ ƯƠ NG KHÔNG GIAN EUCLID (6 ti t) ế

7.1 Tính tích vô hướng Euclid trong R2 :

a Ki m tra l i các đi u ki n tích vô hể ạ ề ệ ướng đ u tho mãn ề ả

Ki m tra b t đ ng th c Cauchy – Schwarz:ể ấ ẳ ứ

7.4 V i tích vô hớ ướng Euclid trong R3 , hãy xác đ nh k đ u và v tr c giao:ị ể ự

a u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k)

b u = (k, k, 1), v = (k, 5, 6)

Gi i: a k = -3ả b k = -2, k = -3

7.5 V i tích vô hớ ướng Euclid trong R4 , hãy tìm hai vect có chu n b ng 1 và tr cơ ẩ ằ ự

giao v i các vect sau:ớ ơ

7.9 Trong R3 xét tích vô hướng Euclid Hãy tìm m t c s tr c chu n trong khôngộ ơ ở ự ẩ

gian con sinh b i các vect (0, 1, 2) và (-1, 0, 1).ở ơ

7.10 Trong không gian R3 xét tích vô hướng <u, v> = u1v1 + 2 u2v2 + 3 u3v3

Hãy áp d ng tr c giao hoá Gram – Schmidt đ bi n:ụ ự ể ế

Gi i: D ng toàn phả ạ ương xác đ nh dị ương khi các đ nh th c con chính dị ứ ương ĐS: λ > 2

7.13 Dùng phương pháp Jacobi đ a các d ng toàn phư ạ ương sau v d ng chính t c:ề ạ ắ

a x12 + x22 + x32 + 4 x1x2 + 4 x1x3 + 4 x2x3

b x12 + x22 + 5 x32 - 6 x1x2 - 2 x1x3 + 2 x2x3

Gi i:ả

a 3 y12 + 6 y22 - 2 y32