Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, tính xác suất để số đó chia hết cho 5.. Cạnh AA’ vuông góc với mặt phẳng ABC, đường thẳng BC’ hợp với mặt phẳng ABB’A’ một góc 30.. Xác định thiết diện c
Trang 1http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 THPT CHUYÊN
Ngày thi: 20/3/2015
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 ( 2, 0 điểm) Giải phương trình 83 cot tan3
sin 2x+ x= x
Câu 2 ( 2, 0 điểm) Gọi S là tập tất cả các ước nguyên dương của số 10800 Lấy ngẫu nhiên một số
thuộc S, tính xác suất để số đó chia hết cho 5
Câu 3 ( 2, 0 điểm) Giải phương trình 1 ( )
3
3x− =2 log 2x− +1 1 (x∈ℝ)
Câu 4 ( 2, 0 điểm) Tính giới hạn
3 2 0
lim
x
x
→
Câu 5 ( 4, 0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Cạnh
AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC), đường thẳng BC’ hợp với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 30 0
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BB’
a) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với A’C Xác định thiết diện của (P) với hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và tính diện tích thiết diện đó
b) Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (BA’C’)
Câu 6 ( 2, 0 điểm) Cho hai đường tròn ( )O và ( )O' cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt ( )O tại A và M, cắt ( )O' tại A và M’ Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MM’
Câu 7 ( 2, 0 điểm) Giải hệ phương trình
( )
( )
(x y, ∈ℝ)
Câu 8 ( 2, 0 điểm) Cho dãy số nguyên dương ( a n) với a1=1, a2 =2, a n+2 =4a n+1+a n, n≥1
Chứng minh rằng (a a n n+2 + −( )1 n⋅5) là số chính phương với mọi số nguyên dương n
Câu 9 ( 2, 0 điểm) Cho hai số thực dương x và y thoả mãn điều kiện 32x6+4y3 =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5 2
2 2
P
+ +
=
- HẾT - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
Trang 2http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NGÀY THI 20/3/2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)
(2.0
điểm)
Điều kiện: sin 2x ≠ PT tương đương với 0
sin 2 sin cos
−
2
1
sin os 1 os2 sin
os 2 os2 2 0
os2 2 ( )
0.5
Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm 0.5
(2.0
điểm)
Ta có 10800=2 3 54 3 2.Mỗi ước nguyên dương của 10800 có dạng
2 3 5 ,a b c 0,1, 2, 3, 4 , 0,1,2, 3 , 0,1, 2
Có 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân suy ra số
các ước nguyên dương của 10800 là 3.4.5=60 số 0.5 Các ước nguyên dương của 10800 chia hết cho 5 có dạng
2 3 5 ,a b c 0,1,2, 3, 4 , 0,1,2, 3 , 1,2
Suy ra số các ước nguyên dương chia hết cho 5 của10800 là 5.4.2= 40 số
0.5
Gọi A = “Số được chọn chia hết cho 5” thì ta có |Ω =| |S | 60, |= Ω =A| 40
Xác suất cần tìm là | | 40 2
| | 60 3
A
Ω
0.5
(2.0
điểm)
ĐK: 1
2
( ) 3 2 log (2 1) 1,
2
x
(2 1)ln 3
x
f x
x
−
−
0.5
1 2
2
"( ) 3 ln 3 0,
2 (2 1) ln 3
x
x
−
− Suy ra f x là hàm số đồng '( )
biến, liên tục trên 1
; 2
+∞
, mà f '(1) '(2)f < và nên '( )0 f x = có nghiệm duy 0 nhất x0 ∈( )1;2
0.5
Từ BBT của f x suy ra PT ( ) f x( )= có không quá hai nghiệm 0 0.5
Ta có f(1)=0, (2)f =0 nên PT đã cho có đúng hai nghiệm là x =1,x =2 0.5
Trang 3http://toanhocmuonmau.violet.vn
(2.0
điểm)
3
1 2 ( 1) ( 1) 1 3
3 lim
x
→
0.5
lim
x
x
→
0.5
1
Câu
(2.0
điểm)
O B
B'
C
A
A'
C'
J N
I
E
M
H
Gọi I là trung điểm của A’B’ Chứng tỏ ( ) 0
';( ' ') ' 30
0.5
Xét tam giác BIC’, tính được 3
2
a
BI = Từ đó tính được BB'=a 2
0.5
Ta có BM ⊥(ACC A' ')⇒BM ⊥A C'
Trong (ACC’A’) kẻ MH ⊥A C H' , ∈CC' Khi đó mp (BMH) đi qua B và vuông
góc với AC’ nên thiết diện cần tìm là tam giác BMH
0.5
MH
AA
Xét tam giác BMH vuông tại M nên có diện tích là
2
a
0.5
Câu
Trang 4http://toanhocmuonmau.violet.vn
(2.0
điểm)
Gọi J là trung điểm của A’C’ ta có A C' ' ⊥(BMJB') Gọi O =MN ∩BJ
Dựng ME vuông góc BJ (E ∈BJ) suy ra ME ⊥A C' '⇒ME ⊥(BA C' ') 0.5
Do đó OE là hình chiếu của MN trên mp(BA’C’) nên
Ta có O là trọng tâm của tam giác BMB’ nên 2 5
a
Ta có
a ME
0.5
sin
55
ME MOE
MO
Vậy góc giữa đường thẳng MN và (BA’C’) là α với 54 0 0
55
0.5
(2.0
điểm)
Q
P' P
M' A
B
M
Gọi P và P’ lần lượt là trung điểm của AM và AM’
Gọi Q, K lần lượt là trung điểm của OO’, PP’ Suy ra KQ // OP nên KQ ⊥KA
0.5
Suy ra điểm K nhìn đoạn thẳng cố định AQ dưới một góc vuông nên quỹ tích các
điểm K là đường tròn (C) đường kính AQ 0.5
Do I là trung điểm của MM’ nên AM +AM' =2AI ⇔AP +AP'=AI (1)
Mà K là trung điểm của PP’ nên AP +AP'=2AK (2)
0.5
Từ (1) và (2) suy ra AI =2AK nên I là ảnh của K qua phép vị tự tâm A, tỉ số 2
Vậy quỹ tích các điểm I là đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm A, tỉ
số 2
0.5
(2.0
điểm)
0.5
5x +2xy+2y + 2x +2xy+5y ≥ 2x+ + +y x 2y ≥3 x+y Dấu “=” xảy ra khi 2x + ≥y 0,x +2y ≥0,x =y ⇔x =y ≥0 0.5
Với x = thay vào PT thứ hai của hệ được y
2
0.5
Trang 5http://toanhocmuonmau.violet.vn Kết hợp điều kiện ta được hpt đã cho có hai nghiệm là
(2.0
điểm)
Với mọi số nguyên dương n ta có 2 ( ) 2
1( 2) ( ) 1
1 3 2
( 1)n− a a a 1n− 5
Suy ra 2 ( 1) 5n 2 1
a a + + − =a + là số chính phương (đpcm) 0.5
(2.0
điểm)
Đặt 2
2 ( 0)
z = x z > thì từ giả thiết có 3 3 1
4
4 =y +z = y+z − yz y +z ≥ y+z −4 y+z = 4 y+z Suy ra y+ ≤ hay z 1 2
2x + ≤ Dấu “=” xảy ra khi y 1 2
2x = y
0.5
2x + + ≤y 3 4⇒ 2x + +y 3 ≤4 =1024 0.5
Áp dụng BĐT Cô-si ta có
1 1
2 2
+ − + + = + + + − + +
Dấu “=” xảy ra khi 1
2
0.5
Suy ra 1024
2048 1
2
P ≤ = Dấu “=” xảy ra khi
2
2
=
= =
Vậy GTLN của P là 2048, đạt được khi 1
2
x =y =
0.5
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng