Bài giảng: Vật lý chất rắn

Mô hình điện tử gần tự do  Mô hình điện tử tự do  Năng lượng nhận các giá trị liên tục từ 0 đến   Điều kiện biên tuần hoàn • Mang xung lượng  Phản xạ Bragg là nguyên nhân hình thà

VẬT LÝ CHẤT RẮN

TS Ngô Văn Thanh

Viện Vật Lý

Hà Nội - 2016

Tài liệu tham khảo

[1] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8 th Eds (John Wiley & Sons, 2005)

[2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007)

[3] Charles Kittel, Mở đầu vật lý chất rắn, (Đặng Mộng Lân và Trần Hữu Phát dịch), (NXB

KHKT Hà Nội, 1984)

[4] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007)

[5] Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG TP HCM, 2002)

Website : http://iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/vatlychatran/

Email : nvthanh@iop.vast.ac.vn

CHƯƠNG 7 CÁC VÙNG NĂNG LƯỢNG

1 Mô hình điện tử gần tự do

2 Hàm Bloch

3 Mô hình Kronig-Penney

4 Phương trình sóng của điện tử trong thế tuần hoàn

5 Số lượng quỹ đạo trong một vùng

1 Mô hình điện tử gần tự do

 Mô hình điện tử tự do

 Năng lượng nhận các giá trị liên tục từ 0 đến 

 Điều kiện biên tuần hoàn

• Mang xung lượng

 Phản xạ Bragg là nguyên nhân hình thành khe năng lượng

chất rắn là vật dẫn hay điện môi

• Điều kiện phản xạ Bragg thứ nhất:

• Các điều kiện khác :

1 Mô hình điện tử gần tự do

 Giải thích vùng cấm

 Xét chất rắn có hằng số mạng là a

• là vector mạng đảo, n là số nguyên

• Để ý rằng : khoảng giá trị từ đến trong không gian vector sóng chính

là vùng Brillouin thứ nhất

sóng đứng Hướng của sóng đảo ngược lại mỗi khi bị phản xạ

 (+) và (-) thể hiện tính chẵn/lẻ của hàm sóng (khi thay đổi dấu của x)

1 Mô hình điện tử gần tự do

 Nguồn gốc của vùng cấm

có thế năng khác nhau trong trường ion của tinh thể => là nguyên nhân hình

thành vùng cấm

 Mật độ xác suất tìm thấy hạt :

• Mật độ điện tích sẽ không đổi (constant)

• Cho thấy các điện tử tụ tập quanh các ion dương tại các vị trí có thế năng thấp nhất

Thế năng của điện tử

là âm

1 Mô hình điện tử gần tự do

 Đối với sóng đứng (-)

• Sóng này làm cho các điện tử tập trung ở xa lõi ion

 Độ lớn thế năng của các sóng

 Độ rộng vùng cấm : E g

1 Mô hình điện tử gần tự do

 Độ rộng của vùng cấm

 Tại biên vùng Brillouin, các hàm sóng là

 Giả thiết thế năng của điện tử trong tinh thể có dạng

2 Hàm Bloch

 Hàm sóng

 là hàm tuần hoàn theo chu kỳ của mạng tinh thể

 Định lý Bloch:

• Hàm riêng của phương trình sóng với thế tuần hoàn là tích của sóng phằng có dạng

và hàm tuần hoàn theo mạng tinh thể

 Hàm sóng của một điện tử được gọi là hàm Bloch

truyền tự do trong trường thế năng của các lõi ion

 Chứng minh:

• a : là hằng số mạng

• Thế năng tuần hoàn với chu kỳ a : , s là số nguyên

2 Hàm Bloch

• Sau một vòng kín

 Mặt khác, ta có điều kiện hàm sóng phải đơn trị

• C phải là một trong số N nghiệm đơn nhất

với

 Từ đó ta có:

=> thòa mãn điều kiện cho nghiệm của phương trình sóng

• Chứng tỏ là hàm tuần hoàn theo chu kỳ a

3 Mô hình Kronig-Penney

 Xác định hàm sóng đầy đủ

 Miền a < x < a + b : nghiệm phải có dạng như trong miền -b < x < 0

• Vector sóng k đóng vai trò là chỉ số nhãn cho các nghiệm

3 Mô hình Kronig-Penney

 Thay đổi mốc tính thế năng b = 0 và U0 = ; đặt Q2ba/2 = P

• Trong giới hạn

• suy ra

 Đồ thị của phương trình điều kiện với

4 Phương trình sóng của điện tử trong thế tuần hoàn

 Tổng quát hóa

• Bất biến dưới phép biến đổi tịnh tiến

• Thế năng này có thể khai triển thành chuỗi Fourier theo các vector mạng đảo G

 Trên thực tế, hệ số U G giảm rất nhanh khi tăng G

• Trường hợp thế Coulomb cơ bản :

 Giả thiết thêm rằng tinh thể đối xứng qua x = 0

 Phương trình sóng có nghiệm được gọi là hàm riêng hoặc hàm

Bloch hoặc là quỹ đạo

4 Phương trình sóng của điện tử trong thế tuần hoàn

• k : là số thực nhận các giá trị thỏa mãn điều kiện biên tuần hoàn trên đoạn L

• n : là các số nguyên (âm hoặc dương)

• Tính chất tịnh tiến của hàm sóng là do hàm Bloch

đưa vào chuỗi Fourier

• Nếu như một vector sóng k có mặt trong hàm sóng

• Dẫn đến tất cả các vector sóng khác trong khai triển Fourier của hàm sóng sẽ có dạng:

k + G

• G : là vector mạng đảo

4 Phương trình sóng của điện tử trong thế tuần hoàn

 Ví dụ : xét vòng xuyến L = 20 ô tối giản

• thỏa mãn điều kiện biên tuần hoàn

• Vector mạng đảo ngắn nhất :

 Các giá trị của vector sóng cho phép có mặt trong khai triển Fourier bắt đầu từ

4 Phương trình sóng của điện tử trong thế tuần hoàn

 Giải phương trình sóng

 Thay vào ta có :

=> Phương trình trung tâm

với

4 Phương trình sóng của điện tử trong thế tuần hoàn

 Trình bày lại định lý Bloch

 Biểu diễn lại biểu thức hàm sóng

 Trong đó :

• Là chuỗi Fourier trong theo các vector mạng đảo

• Bất biến đối với phép tịnh tiến

 Để ý rằng

4 Phương trình sóng của điện tử trong thế tuần hoàn

 Xung lượng tinh thể của điện tử

 Các tính chất khi vector sóng được dùng làm chỉ số của hàm Bloch

 Tịnh tiến mạng tinh thể

Ta có chú ý là :

• : thừa số pha, là phần được thêm vào hàm Bloch sau khi tịnh tiến mạng

 Suy ra tất cả các giá hệ số ngoại trừ hệ số

 => hàm Bloch là hằng số

 => hàm sóng có dạng của điện tử tự do

 Xung lượng tinh thể của điện tử :

 Vector sóng này có mặt trong các định luật bảo toàn liên quan đến các quá trình

4 Phương trình sóng của điện tử trong thế tuần hoàn

 Nghiệm của phương trình trung tâm

 Giả thiết : thế năng chỉ có một thành phần của chuỗi Fourier

 Định thức

 Phương trình định thức có nghiệm , với n là số thứ tự của năng lượng

• k : chỉ số gán nhãn cho hệ số C

5 Số lượng quỹ đạo trong một vùng

 Xét một tinh thể tuyến tính được dựng bởi N ô tối giản

 Điều kiện biên được áp dụng cho toàn bộ chiều dài của tinh thể

 Giá trị cho phép của vector sóng của điện tử trong vùng Brillouin thứ nhất

 Chú ý: biên vùng Brillouin thứ nhất tại

• Điểm cuối của chuỗi là

 Trong mỗi vùng năng lượng, một ô tối giản chỉ đóng góp 1 giá trị độc lập của

vector sóng k

vùng năng lượng là 2N

• Chỉ có một nguyên tử đơn của vùng hóa trị (nằm trong một ô tối giản)

• Một nguyên tử nhưng đóng góp 2 điện tử hóa trị vào vùng năng lượng

• Có 2 nguyên tử của vùng hóa trị (trong cùng một ô tối giản)

5 Số lượng quỹ đạo trong một vùng

 Kim loại và chất cách điện

 Điện môi :

 Chỉ một số vùng hóa trị được lấp đầy

 Số điện tử hóa trị trong một ô tối giản là số chẵn

 Có hai trường hợp cần xét khi có số chẵn điện tử

• Không có sự chồng phủ vùng năng lượng => Điện môi

• Nếu có sự chồng phủ => kim loại

• Mực độ chồng phủ ít => bán kim loại

 Kim loại kiềm

 Mỗi ô tối giản có 1 điện tử hóa trị

 Kim loại kiềm thổ

 Mỗi ô tối giản có 2 điện tử hóa trị

 Một số chất bán dẫn

 Si, Ge… có 4 điện tử hóa trị

trong một ô tối giản