ĐỘNG lực học và điều KHIỂN ROBOT

Khi xác định vị trí của vật rắn bằng các góc Euler, ta có thể quay hệ qui chiếu cố định Oxyz0 sang hệ qui chiếu động bằng ba phép quay Euler nh sau: Quay quanh trục Oz0 một góc  , quay

Trờng đại học bách khoa hà nội

I Tổng quan về rôbốt

1.1 Sự ra đời của rôbốt công nghiệp

Nhu cầu nâng cao chất lợng sản phẩm và nâng cao năng suất lao

động đòi hỏi phải ứng dụng rộng rãi các phơng tiện tự động sản xuất Chính

điều đó đã tạo ra những dây chuyền thiết bị tự động có tính linh hoạt cao

Nó đang dần thay thế các máy truyền thống chỉ đáp ứng một công việc nhất

định Trong khi đó thị trờng luôn đòi hỏi những thay đổi về mẫu mã, chất ợng , kích thớc…vì thế nhu cầu ứng dụng rôbốt để tạo ra các hệ thống sảnvì thế nhu cầu ứng dụng rôbốt để tạo ra các hệ thống sảnxuất tự động có tính linh hoạt cao ngày càng tăng

l-Theo ISO thì “rô bốt công nghiệp là một tay máy đa mục tiêu, có một sốbậc tự do, dễ dàng lập trình, điều khiển trợ động, dùng để gắp phôi, dụng cụhoặc các vật dụng khác Do chơng trình thao tác có thể thay đổi nên thựchiện nhiều nhiệm vụ đa dạng ”

Có một cách định nghĩa khác: “Rôbốt công nghiệp có thể đợc hiểu là nhữngthiết bị tự động linh hoạt, bắt chớc đợc các chức năng lao động công nghiệpcủa con ngời” Nh vậy theo cách định nghĩa này thì:

Rôbốt là thiết bị tự động linh hoạt: là nói đến khả năng thao tác với nhiều

bậc tự do,đợc điều khiển trợ động và lập trình thay đổi đợc

Rôbốt có khả năng bắt chớc chức năng lao động của con ngời: nói đến sự

không hạn chế từ chức năng lao động chân tay đơn giản đến trí khôn nhântạo, tuỳ thuộc vào công việc mà nó đảm nhiệm

1.2 ứng dụng rôbốt công nghiệp

Mục tiêu ứng dụng rôbốt công nghiệp nhằm góp phần nâng cao năngsuất lao động, giảm giá thành, nâng cao chất lợng sản phẩm và khả năngcạnh tranh của sản phẩm, đồng thời cải thiện điều kiện làm việc đặc biệt làtrong những môi trờng độc hại ảnh hởng đến sức khoẻ của ngời lao động.Việc ứng dụng rôbốt vào trong quá trình sản xuất tuỳ thuộc vào yêu cầu,

điều kiện và nhiệm vụ, chức năng của nơi sản xuất Việc u tiên đầu t trớchết phải nhằm để đồng bộ hoá cả hệ thống thiết bị, rồi tự động hoá và rô bốthóa chúng khi cần thiết

Ngày nay, việc ứng dụng rôbốt rất rộng rãi Có thể kể ra một số lĩnh vực nh:

 Kĩ nghệ đúc

 Trong ngành gia công áp lực

 Các quá trình hàn và nhiệt luyện

 Trong lĩnh vực gia công và lắp ráp(tháo lắp phôi và sản phẩm cơ khí)

II Các phép biến đổi toạ độ cơ bản

2.1 Ma trận côsin chỉ hớng

2.1.1 Định nghĩa ma trận côsin chỉ hớng của vật rắn

Cho vật rắn B và hệ quy chiếu  (0) (0) (0)

Ax, Ay, Az

đợc gọi là ma trận côsin chỉ hớng của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R0

Ta đa vào các kí hiệu

e

(0) 3

e

(0) 2

e 

(0) 2

Hình 1.3

Ma trận (1.7) đợc gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quant truc x0

Bằng cách tơng tự, xác định đợc ma trận quay cơ bản quanh trục y0

Từ (1.7)& (1.8)& (1.9) ta dễ dàng tính đợc

detAxo( ) det   Ayo( ) det   Azo( ) 1  

(1.10)

2.2 Các góc Euler

Vị trí của vật rắn B quay quanh O cố định đợc xác định bởi hệ qui chiếu

động Oxyz (gắn chặt vào vật rắn B) đối với hệ qui chiếu cố định (Oxyz)0

e 

(0) 1

e 

(0) 1

e 

y

2

Giả sử giao của mặt phẳng Oxy và mặt phẳng Oxy là trục OK Trục OK nàygọi là đờng nút.

Ta đa vào các kí hiệu sau:

 Góc giữa trục Ox0 và OK là 

 Góc giữa trục OK và Ox là 

 Góc giữa trục Oz0 và Oz là 

Hình 1.6

Ba góc ,,  đợc gọi là ba góc Euler Nh thế vị trí của vật rắn B đối với

hệ qui chiếu cố định đợc xác định bởi ba toạ độ suy rộng ,,  Khi xác

định vị trí của vật rắn bằng các góc Euler, ta có thể quay hệ qui chiếu cố

định (Oxyz)0 sang hệ qui chiếu động bằng ba phép quay Euler nh sau:

Quay quanh trục Oz0 một góc  , quay quanh trục OK một góc , quayquanh trục Oz một góc 

Các ma trận quay ứng với phép quay Euler là:

cos( ) sin( ) 0 ( ) sin( ) cos( ) 0

cos( ) sin( ) 0 ( ) sin( ) cos( ) 0

sin( ) cos( ) 0 0 cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 0

1 0 0 ( ) 0 cos( ) sin( )

Là ma trận ứng với phép quay quanh trục x0 một góc  để chuyển (Oxyz)0

chuyển sang (Oxyz)1

Là ma trận ứng với phép quay quanh trục y1 một góc  để chuyển (Oxyz)1

chuyển sang (Oxyz)2

cos( ) sin( ) 0 ( ) sin( ) cos( ) 0

Là ma trận ứng với phép quay quanh trục z2 một góc  để chuyển (Oxyz)2

chuyển sang (Oxyz)3 ở đây các véc tơ đơn vị của hệ (Oxyz)3 trùng với cácvéc tơ đơn vị của (Oxyz)1

Khi đó

sin( )sin( ) cos( ) cos( )sin( ) sin( )sin( )sin( ) cos( ) cos( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) cos( ) sin( )sin( ) cos( )sin( )sin( ) sin( )cos( ) cos( ) cos( )

2.4 Các toạ độ thuần nhất

Các phép quay thuần tuý là đủ để xác định hớng của bàn kẹp Nhng việcxác định vị trí của bàn kẹp trong hệ toạ độ gắn với giá cố định là cha xác

định đợc Ta phải sử dụng một phép biến đổi khác, đó là phép tịnh tiến.Phép tịnh tiến có đặc điểm khác phép quay là: trong phép quay, gốc của hệtoạ độ động luôn trùng với gốc hệ toạ độ cố định Tuy vậy, gốc của hệ toạ

độ động cần đợc dịch chuyển so với gốc cố định

2.4.1 Các toạ độ thuần nhất

Ta xét trong không gian làm việc có số chiều lớn hơn Hệ toạ độtrong không gian 4 chiều

Vị trí của điểm P ở trong hệ toạ độ ba chiều Oxyz

Trong cơ học kỹ thuật (đặc biệt trong lĩnh vực rôbốt) ngời ta thờng chọn 

=1 Khi đó toạ độ thuần nhất bốn chiều của điểm P đợc mở rộng từ toạ độ

vật lý ba chiều của điểm P bằng cách thêm vào thành phần thứ t nh sau:

2.4.2 Ma trận biến đổi toạ độ thuần nhất

Nếu một điểm vật lý trong không gian 3 chiều đợc biểu diễn bằng toạ độthuần nhất, và muốn thay đổi từ hệ toạ độ này sang hệ toạ độ khác Ta sửdụng ma trận biến đổi thuần nhất cỡ 4x4

Xét vật rắn B chuyển động trong hệ quy chiếu cố định (Oxyz)0 Lấy điểm Anào đó của vật rắn B và gắn chặt vào vật rắn hệ quy chiếu Axyz (hình ) Lấy

P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B Trong hệ toạ độ vật lý (Oxyz)0 ta có:

s , s y, s zlà các toạ độ của véc tơ sAP trong hệ quy chiếu Axyz

Nếu sử dụng các toạ độ thuần nhất phơng trình trên có thể viết dới dạng sau:

2.4.3 Các ma trận quay cơ bản thuần nhất và ma trận tịnh tiến thuần nhất

Các ma trận quay cơ bản trong mục ma trận côsin chỉ hớng mở rộng ratrong hệ toạ độ thuần nhất bốn chiều có dạng nh sau:

1 0 0 0

0 cos( ) sin( ) 0 ( ) ( , )

Ngoài ra, ta đa vào khái niệm ma trận tịnh tiến thuần nhất có dạng nh sau:

1 0 0

0 1 0 ( , , )

0 0 1

0 0 0 1

a b Trans a b c

2.4.4 Phép quay theo 3 góc Euler

Các ma trận quay của các góc Euler mở rộng ra trong hệ toạ độ thuần nhấtbốn chiều có dạng nh sau:

cos( ) sin( ) 0 0 sin( ) cos( ) 0 0 ( )

cos( ) sin( ) 0 0 sin( ) cos( ) 0 0 ( )

III Quy tắc Denavít – Hatenberg Hatenberg

Mô hình tay máy có thể mô hình hoá bởi một chuỗi các vật rắn đợc gắn vớinhau bởi các khớp Mục đích của phần này là xác định hệ toạ độ gắn chotừng khâu Đó là một trong các bớc chuẩn bị để lập phơng trình chuyển

động cho khâu thao tác (bàn kẹp) của rôbốt

3.1 Các tham số động học Denavít – Hatenberg Hatenberg

Quan hệ giữa vị trí và hớng của 2 khâu kế tiếp có thể xác định bởi hai tham

số khớp

d

k

Khớp k

Khâu k

Khâu 1

Hình1.9 Góc khớp  và

khoảng cách giữa các

khớp d

ở đây khớp k nối khâu k-1 với khâu k Các tham số gắn với khớp k đợc xác

định đối với trục zk-1 Đó là trục của khớp k Tham số thứ nhất k gọi là góckhớp, góc khớp k là góc quay quanh trục zk-1 để trục xk-1 quay đến songsong với với trục xk Tham số thứ hai dk gọi là khoảng cách khớp Đó làkhoảng tịnh tiến dọc trục zk-1 để trục xk-1 đến gặp trục xk Vậy k là góc quayquanh khớp k, trong khi dk là khoảng cách tịnh tiến dọc theo trục của khớp

k Mỗi một khớp đều có một tham số là không đổi và tham số khác là biến

đổi Biến số khớp phụ thuộc vào kiểu của khớp, xem bảng (1.1)

Tham số tay máy

Ký hiệu



biếnconstconstconst

constbiếnconstconst

ở đó khâu k nối với khớp k và khớp k+1 Các tham số gắn liền với khâu k

đ-ợc xác định theo xk Tham số khâu đầu tiên là ak, ak gọi là độ dài khâu Nó

là khoảng cách tịnh tiến dọc theo trục xk để trục zk-1 đến gặp trục zk Tham

số khâu thứ hai là k gọi là góc xoắn của khâu Nó là góc quay của khâuquanh xk để trục zk-1 song song với trục zk

a i

Khâu k

Hình1.10 Độ dài khâu và

góc xoắn của khâu

Khác với hai tham số khớp, hai tham số khâu luôn không đổi và xác địnhmột phần của quá trình thiết kế cơ khí Đối với rôbốt công nghiệp thì gócxoắn của khâu thờng là /2 Đôi khi trục của khớp k và trục khớp k-1 làgiao nhau trong trờng hợp đó thì tham số độ dài của khâu k là bằng không

3.2 Véc tơ pháp tuyến, véc tơ trợt, véc tơ tiếp cận

Trong cơ cấu chấp hành của rôbốt thờng là một cơ cấu hở, gồm một chuỗicác khâu nối với nhau bằng các khớp Các khớp động này là khớp quay(R)hoặc tịnh tiến (T) Để rôbốt có thể thao tác linh hoạt, cơ cấu chấp hành của

nó phải cấu tạo sao cho điểm mút của khâu cuối cùng đảm bảo dễ dàng dichuyển theo một quỹ đạo nào đó, đồng thời khâu này có một định hớngnhất định theo yêu cầu Khâu cuối cùng thờng là bàn kẹp hoặc là khâu gắnliền với dụng cụ làm việc Điểm mút của khâu cuối cùng là điểm đáng quantâm nhất vì đó là điểm tác động của rôbốt lên đối tác và gọi là điểm tác

động cuối Chính điểm này cần quan tâm không những vị trí nó chiếm trongkhông gian mà cả hớng tác động của khâu cuối đó Các khớp và khâu củatay máy đợc đánh số lần lợt bắt đầu từ giá đỡ cố định, đó là khâu 0, và kếtthúc ở bàn kẹp, đó là khâu thứ n Đối với rôbốt n bậc tự do thì có n+1 khâu

và có n khớp, khớp k nối khâu k-1 với khâu k Ta phải đặt hệ toạ độ vào cáckhâu của rôbốt, đặc biệt là phải đặt vào khâu cuối cùng là bàn kẹp Hớngcủa bàn kẹp có thể đợc diễn tả bằng ma trận quay R=[r1 r2 r3]T Trong đó 3

cột của R tơng ứng với các véc tơ pháp tuyến, véc tơ trợt, véc tơ tiếp cận(hình)

Véc tơ tiếp cận có hớng tiếp cận với đối tác

3.3 Biểu diễn Denavít – Hatenberg Hatenberg

Denavít – Hatenberg Hatenberg (1955) đã đa ra cách biểu diễn các hệ toạ độ trên mộtdãy các khâu Đặt Ok là hệ toạ độ gắn với khâu thứ k Hệ tọa độ đợc Ok gắnvào điểm cuối khâu k, (với 0kn) Nh vậy, hệ toạ độ cuối cùng đợc đặtvào bàn kẹp Các hệ toạ độ gắn vào khâu đợc xác định nh sau:

1 Trục zk-1 đợc chọn dọc theo hớng của trục khớp động thứ i

2 Trục xk-1 đợc chọn dọc theo đờng vuông góc chung của hai trục zk-2 và

zk-1, hớng đi từ trục zk-2 sang zk-1 Nếu trục zk-1 cắt trục zk-2 thì hớng của

xk-1 trục đợc chọn tùy ý

3 Gốc tọa độ Ok-1 đợc chọn tại giao điểm của trục xk-1 và trục zk-1

4 Trục yk-1 đợc chọn sao cho hệ (Oxyz)k-1 là hệ quy chiếu thuận Vớicách chọn hệ trục tọa độ nh trên, nhiều khi các hệ tọa độ khâu(Oxyz)k-1 không xác định một cách duy nhất Vì vậy ta cần có một số

bổ sung thích hợp sau:

5 Đối với hệ tọa độ (Oxyz)0 theo qui ớc trên ta mới chỉ chọn đợc trục z0

, còn trục x0 cha có trong qui ớc trên Ta có thể chọn trục x0 một cáchtùy ý

6 Đối với hệ tọa độ (Oxyz)n do không có khớp n+1, nên theo qui ớctrên ta không xác định đợc trục zn Trục zn không đợc xác định duynhất, trong khi trục xn lại đợc chọn theo pháp tuyến của trục zn-1.Trong trờng hợp này, nếu khớp n là khớp quay ta nên chọn trục songsong với trục Ngoài ra ta có thể chọn tùy ý sao cho hợp lý

7 Khi hai trục zk-2 và zk-1 song song với nhau, giữa hai trục này có nhiều

đờng pháp tuyến chung, ta có thể chọn trục zn-1 hớng theo pháp tuyếnchung nào cũng đợc

8 Khi khớp thứ k là tịnh tiến, về nguyên tắc ta có thể chọn zk-1 một cáchtùy ý Tuy nhiên trong nhiều trờng hợp ngời ta thờng chọn zk-1 dọctheo trục của khớp tịnh tiến này

Hình 1.11 và 1.12 minh họa cách chọn các hệ tọa độ khâu theo ý tởng củaDenavit – Hatenberg Hatenberg

Hình 1.12 Biểu diễn hình học thông số Denavit Hartenberg của khớp quay

Vị trí của hệ tọa độ khâu (Oxyz)k đối với hệ tọa độ khâu đợc xác định bởibốn tham số Denavit – Hatenberg Hatenberg nh sau:

k

 : góc quay trục xk-1 quanh trục zk-1 đến trục xk‘(xk‘// xk)

k

d : dịch chuyển tịnh tiến dọc trục zk-1 đến gốc tọa độ Ok-1 chuyển đến

Ok’, giao điểm của trục xk và trục zk-1

k

a : dịch chuyển tịnh tiến dọc trục xk để điểm Ok’ chuyển đến điểm

Ok

k

 : góc quay quanh trục xk sao cho trục zk-1 chuyển đến trục zk

Trong bốn tham số trên, các tham số a k và k luôn luôn là các hằng số, độlớn của chúng phụ thuộc vào hình dáng và sự ghép nối các khâu thứ k-1 vàthứ k Hai tham số còn k lại d k và , một là hằng số một là biến số phụthuộc vào khớp k là quay hay là tịnh tiến Khi khớp k là khớp quay thì k làbiến số, còn d k là hằng số Khi khớp k là khớp tịnh tiến thì d k là biến số,còn k là hằng số

3.3.1 Ma trận Denavít – Hatenberg Hatenberg

Ta có thể chuyển toạ độ khâu(Oxyz)k-1 sang hệ toạ độ khâu (Oxyz)k bằngbốn phép biến đổi cơ bản sau:

 Quay quanh trục zk-1 một góc k

 Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục zk-1 một đoạn d k

 Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục xk một đoạn a k

 Quay quanh trục xk một góc k

Ma trận của phép biến đổi, kí hiệu là T k, là tích của bốn ma trận biến đổi cơbản và có dạng nh sau:

cos( ) sin( ) cos( ) sin( )sin( ) s( )

sin( ) s( ) cos( ) cos( )sin( ) sin( )

Ma trận Denavít – Hatenberg Hatenberg T k là ma trận côsin chỉ phớng của hệ quy

chiếu (Oxyz)k-1 đối với hệ quy chiếu (Oxyz)k Chính xác hơn ta phải kí hiệu

3.3.2 Phơng trình xác định vị trí khâu thao tác (bàn kẹp) của rôbốt

Khi các toạ độ khâu đợc biểu diễn sử dụng các tham số (D-H) ta có thể tính

đợc toạ độ thứ k đến k-1 sử dụng ma trận biến đổi toạ độ thuần nhất Bằngcách nhân các ma trận biến đổi toạ độ với nhau Ta nhận đợc ma trận biến

đổi toạ độ phức hợp từ toạ độ bàn kẹp và toạ độ cơ sở Ma trận biến đổi toạ

độ thuần nhất phức hợp này gọi là ma trận bàn tay máy

Nhắc lại ba tham số động học xuất hiện trong ma trận biến đổi toạ độ Tk làkhông đổi, trong khi tham số chính là biến khớp Biến khớp đôi khi là (khớpquay) và đôi khi là (khớp tịnh tiến) Trong trờng hợp đó ta giới thiệu về kiểutham số khớp định nghĩa nh sau:

Phơng trình trên xác định vị trí khâu thao tác (bàn kẹp) của rôbốt

Ta biểu diễn ma trận đó dới dạng sau đợc gọi là phơng trình bàn tay máy

( ) 0

Ta có bảng tham số động học Denavít – Hatenberg Hatenberg nh sau:

áp dụng bảng tham số động học Denavít – Hatenberg Hatenberg vào biểu thức () sau

đó nhân các ma trận biến đổi toạ độ khâu ta đợc

a2

a2

/200

áp dụng bảng tham số động học Denavít – Hatenberg Hatenberg vào biểu thức () sau

đó nhân các ma trận biến đổi toạ độ khâu ta đợc

Khảo sát cơ hệ gồm p vật rắn, chụi liên kết, giữ, dừng, lý tởng có f bậc

tự do Gọi q=[q1,q2,…vì thế nhu cầu ứng dụng rôbốt để tạo ra các hệ thống sản,qf]T là véc tơ toạ độ suy rộng đủ của cơ hệ, thông

th-ờng đó là các toạ độ khớp của Robot

Hình1.15

Trên mỗi vật rắn Bi ta gắn chặt vào nó một hệ trục toạ độ vuông

góc (Oxyz)i Khi i=0, hệ toạ độ (Oxyz)0 là hệ toạ độ cố định

với giá hay còn gọi là hệ toạ độ quán tính

Hệ toạ độ (Oxyz)0 có các vectơ đơn vị trên các trục là i0 , j0, k0 Hệ toạ độ

(Oxyz)i có các vectơ đơn vị là ii ,j i, ki

Vị trí của vật rắn Bi đợc xác định nếu ta biết đợc vectơ định vị gốc toạ độ

Oi, là hàm của vectơ toạ độ suy rộng q:

r Oi =r Oi (q)

Và biết đợc ma trận quay Ai(q) từ hệ R0 sang hệ Ri (hay đợc gọi là ma trận

côsin chỉ hớng của vật rắn Bi đối với hệ quy chiếu R0)

Hình 1.16 Xét chuyển động của điểm M, r0 là bán kính định vị của điểm M trong hệtoạ độ (Oxyz)0, ri bán kính định vị của M trong hệ toạ độ (Cxyz)i Với hai

hệ toạ độ có gốc trùng nhau OOi thì ta có:

Các phần tử của ma trận J Rii đợc xác định nh sau:

J Rii = hệ số của q j  trong i k (k=1,2,3; j=1,2, ,f),

Véc tơ định vị của điểm M trong hệ toạ độ cố định (Oxyz)0 là:

R

O i

r r A s;Với R i

s là véc tơ đại số của s trong hệ qui chiếu động Ri

Nh vậy

r=r(p) Vận tốc của điểm M đợc xác định bằng đạo hàm bán kính định vị r theo

y y Ti

f z

I Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động của rôbốt

1.1 Biểu thức động năng của hệ nhiều vật

Xem tay máy nh một hệ gồm n vật rắn Tổng thế năng của toàn hệbằng tổng của các thành phần liên quan đến chuyển động của mỗi khâu vàcác thành phần liên quan tới chuyển động của mỗi khớp dẫn động

1

n

i mi i

'

i

I - là ma trận của tenxơ quán tính của vật rắn lấy đối với hệ trục toạ độgắn liền vào vật (Cxyz)i Các thành phần của ma trận I'i không thay đổi vàkhông phụ thuộc vào thời gian

Ta đợc biểu thức động năng của vật rắn nh sau:

1 2

T

1 2

1

n

i mi i

z : là độ cao khối tâm Ci trong hệ tọa độ quán tính (Oxyz)0

mi: là thế năng của các môtơ gắn trên các khâu, và đợc xác định bởi:

Gọi vi là vận tốc của điểm đặt lực tác dụng Fi , ta có tổng công suất các lựckhông thế:

Fi và Ti là các vectơ (3x1) có các thành phần là hình chiếu của Fi và Ti lên

hệ toạ độ cố định (R0) Nếu biết hình chiếu của nó trong hệ toạ độ động(gắn liền với vật) thì ta có quan hệ sau:

i  i

i

F A F ;Ti A Ti. i;Trong đó: Ti,Filà các vectơ có các thành phần là hình chiếu của lực Ti,Fi

đối với hệ toạ động Ri

Vậy ta có:

1.4 Phơng trình vi phân chuyển động Lagrange II của hệ nhiều vật

Các phơng trình vi phân chuyểnộng Lagrange loại II cho hệ có f bậc tự do,liên kết hôlônôm, giữ, dừng, lý tởng có dạng:

1 2

( ) ( )  ( , )t    ( )t

NÕu t¹i c¸c khíp liªn kÕt gi÷a c¸c kh©u cã c¶n nhít, ta ®a vµo hµm hao t¸n

 lµ hµm bËc hai cña c¸c vËn tèc suy réng:

II Thành lập phơng trình vi phân của rôbốt ba khâu phẳng

Robot là tay máy ba khâu phẳng chuyển động trong mặt phẳng thẳng

đứng Cả ba khâu đều là các thanh đồng chất có chiều dài tơng ứng là a 1 , a 2 ,

a 3 và khối lợng tơng ứng là m 1 , m 2 , m 3 chịu tác động của ba mômen động cơ

1 , , 2 3

   Khối lợng của các mô tơ gắn trên các khâu lần lợt là m R1 , m R2 , m R3

Chiều dài trọng tâm của các khâu lần lợt là l 1 , l 2 , l 3

2.1 Phơng trình vi phân chuyển động của Robot ba khâu phẳng.

(sử dụng toạ độ tơng đối)

Trớc khi tính toán, ta phải xác định hệ toạ độ cố định và hệ toạ độ

động gắn liền trên các vật chuyển động, để từ đó viết ra đợc các ma trậnquay (ma trận véctơ chỉ hớng)

Việc thiết lập phơng trình vi phân chuyển động của Robot đợc thực hiệntheo các bớc sau:

1 Chọn véctơ toạ độ suy rộng, từ đó suy ra véctơ vận tốc suy rộng

7 Tính thế năng của hệ (U), từ đó tính đợc lực suy rộng Q i của các lựcthế.

2.2 Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động của rôbốt

(sử dụng toạ độ tuyệt đối)

Ten xơ quán tính đối với hệ trục toạ độ động gắn vào khối tâm cáckhâu là:

Hình 1: Cấu hình của tay máy ba khâu

Hàm Lagrange chuyển động tay máy đợc xác định bởi:

Xét khâu 2: Chuyển động song phẳng

Thay các biểu thức trên vào hàm Lagrange:

Trong những biểu thức ở trên, I zk đợc xác định là môment quán tính của

khâu thứ k (k=1,2,3) Chú ý rằng, ở đây coi khối lợng của môtơ nh những

khối lợng của chất điểm, động năng quay của chúng đợc xem nh là không

đáng kể đối với động năng của những khâu tơng ứng

j là môment xoắn của môtơ thứ j trên khâu thứ j (j=1,2,3).

Ta đợc các phơng trình vi phân chuyển động của Robot là:

R R